资源简介

工程问题
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补
充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看
成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，
让学生建立正确概念是工程应用题的关键。本节课从始至终都以工程问题
的概念来贯穿，目的在于使学生理解并熟练掌握概念。
知识梳理
1.工程问题在主要概念
定义 ： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间的相
互关系的问题。在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工
作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）。工程问题是小升初
的常见考题，题型复杂多变，但是核心不变，
即：工作总量=工作效率×工作时间，
工作效率=工作总量÷工作时间，
工作时间=工作总量÷工作效率；
在分数应用题中，经常将工作总量抽象成单位“1”；例如：一项工程，甲 5 天
完成，则甲每天完成全部的几分之几？分析：这道题中，我们将一项工程抽象
1
成单位“1”，5 为工作时间，所以每天完成整个工程的 1÷5= ，即为所求，同
5
1 1
时 也是甲完成这项工作的速度，所以 就是这道题中甲的工作效率。
5 5
在解决工程问题时，对于题中已知条件给出的每一个数字或字母表示的具
体含义必须在读完题后，清晰明了，然后通过所求与已知的逻辑关系，再进一
步求解。常用方法：列表法，条件转换法，整体法；每一种方法的使用要在具
体题目中用心体会。
2.解决工程问题的基本思路
(1) 工作量看作“1”，用完成工作总量所需的时间的倒数作为工作效率，用工作
总量除以工作效 率和，就可以求出完成这项工程所需的时间。工程问题一般采
用这种方法求解。
(2) 先求出独做的队或个人的工作效率 ，然后用工作总量“1”除以一个队或个
人的工作效率，就可以求出一个队或个人独做的工作时间。
(3) 求剩余部分的工作量完成的时间。关键是正确求出剩余部分的工作量。从工
作总量“1”中 减去已完成的工作量，就是剩余部分的工作量。
3.划分工程问题的基本题型
(1) 水管问题：从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水
或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排
水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.
因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同.
(2) 工资问题
从数学本质解法来看，工资问题与工程问题是一样的，抓住每个人发放的工资
与发放总工资之间的关系就能找到相应量与率的关系进而转换成工程问题来解
决了。
(3) 牛吃草问题
从数学本质解法来看，牛吃草问题与工程问题是一样的，抓住牛头数与牛吃草
的总数及吃的天数之间的关系就能找到相应量与率的关系进而转换成工程问题
来解决了。
(4) 周期问题问题
从数学本质解法来看，同上。
4.重点难点解析
（1）. 明确题目中的工作总量、工作效率、和工作时间具体指向
（2）. 根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的转换。
5.竞赛考点挖掘
（1）. 工程问题的基本数量关系是：工作总量=工作效率×工作时间。解题时，
要抓住这一关系，灵活地运用这一数量关系提高解题能力。
（2）. 抓住完成工作的几个过程或几种变化，工程问题中常出现单独做，几人
合作或轮流做，分析时一定要对应工作每一阶段的工作量、工作时间来确定单
独做或合作的工作效率。
6.要想解决好工程问题，一定要求学生充分理解掌握多个单位“1”转换为统一
单位“1”的方法，这是用算术方法解决分数应用题的基本思路也是重点难点，
教师应该在授课过程中有耐心的将转换过程一一展示给学生。
例题精讲
【试题来源】
【题目】
一件工作，甲、乙两人合作 30 天可以完成，共同做了 6天后，甲离开了，由乙继续做了 40
天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？
【答案】75，,50
【解析】
共做了 6 天后，原来，甲做 24 天，乙做 24 天， 现在，甲做 0 天，乙做 40=（24+16）天.
这说明原来甲 24 天做的工作，可由乙做 16 天来代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的
2
16/24=2/3。 如果乙独做，所需时间是50 75天
3
2
如果甲独做，所需时间是30 30 50天
3
答：甲或乙独做所需时间分别是 75 天和 50 天.
【知识点】工程问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数:1
【试题来源】
【题目】
甲、乙两人共同加工一批零件，8小时司以完成任务．如果甲单独加工，便需要 12小时完
2
成．现在甲、乙两人共同生产了 2 小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了
5
420 个零件才完成任务．问乙一共加工零件多少个
【答案】480
【解析】
1 1 1
乙单独加工，每小时加工
8 12 24
2 1 1 84
甲调出后，剩下工作乙需做 (1 2 )
5 8 24 5
84 2 2
所以乙每小时加工零件 420 25 (个)，则 2 小时加工 25 2 60 (个)，
5 5 5
所以乙一共加工零件 420+60＝480(个)．
【知识点】工程问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】
某工程先由甲独做 63 天，再由乙单独做 28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需 48 天
完成.现在甲先单独做 42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？
【答案】56
【解析】
先对比如下：甲做 63 天，乙做 28天；甲做 48 天，乙做 48 天.就知道甲少做 63-48=15（天），
乙要多做 48-28=20（天），由此得出甲的工作效率的 20/15=2/3(倍)甲先单独做 42 天，比
4
63 天少做了 63-42=21（天），相当于乙要做21 28天
3
因此，乙还要做 28+28= 56 （天）
答：乙还需要做 56天.
【知识点】工程问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】1
【试题来源】
【题目】
一件工程，甲队单独做 10天完成，乙队单独做 30 天完成.现在两队合作，其间甲队休息了
2天，乙队休息了 8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？
【答案】11
【解析】
1 8 1 2 13甲队单独做 8 天，乙队单独做 2 天，共完成工作量 余下的工作量是两
10 30 16
13 1 1
队共同合作的，需要的天数是 (1 ) ( ) 12+8+ 1= 11（天）.答：从开始到完
15 10 30
工共用了 11天.
【知识点】工程问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
一项工作甲先做6小时，乙接着做 12 小时可以完成。甲先做8小时，乙接着做 6小时也可
以完成，如果甲做 3小时后，乙接着做，还需几小时完成？
【答案】21
【解析】
同一件工作，甲先做 6 小时，乙接着做 12 小时，或者甲先做 8 小时，乙接着做 6 小时都可
完成，比较发现甲多做 2 个小时，乙少做了 6 小时，所以甲 2 小时的工作量 乙 6 小时的
工作量。即甲 1 小时的工作量 乙 3 小时的工作量。
若甲单独做需要6 12 3 10（小时）
若乙单独做需要6 3 12 30（小时）
所以甲先做 3 小时后，乙接着做: (10 3) 3 21（小时）
【知识点】工程问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
一件工作，甲、乙两人合作 36 天完成，乙、丙两人合作 45 天完成，甲、丙两人合作要 60
天完成.问甲一人独做需要多少天完成？
【答案】90
【解析】
1 1
设这件工作的工作量是 1。甲乙两人合作每天完成 ，甲丙两人合作每天完成 ，乙丙
36 60
1 1 1 1 6
两人合作每天完成 ，甲、乙、丙三人合作每天完成 ( ) 2 减去乙、
45 36 45 60 180
6 1 1 1
丙两人每天完成的工作量，甲每天完成 ，甲独做需要1 90天 答：
180 45 90 90
甲一人独做需要 90天完成.
【知识点】工程问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】
某工程如果由第一、二、三小队合干需要 12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需
要 7天完成；如果由第二、四、五小队合干需要 8天才能完成；如果由第一、三、四小队
合干需要 42天才能完成。那么五个小队一起合作需多少天才能完成这项工程？
【答案】6
【解析】
这道题采用列表法，题中所给的数字都是工作时间，所以先转换成工作效率。
第一小队 第二小队 第三小队 第四小队 第五小队 工作效率和
√ √ √ 1 1 12
12
√ √ √ 1 7 1
7
√ √ √ 1 8 1
8
√ √ √ 1 42 1
42
根据观察，第一小队与第三小队出现三次，第二、四、五小队只出现两次，我们应将五个
小队构造成出现次数一样多的情况，然后求出五个小队的效率和，然后对应求出工作时间。
因为第二、四、五小队少出现一次，而且在已知条件中，我们还能求出这三个队的工效和，
所以可以让五个小队都出现三次。
1 1 1 1 1 1
五个小队的效率和： 3
12 7 8 42 8 6
1
所以五个小队完成这项工程需：1 6（天）
6
【知识点】工程问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
有一条公路，甲队独修需10 天，乙队独修需 12 天，丙队独修需 15 天．现在让 3个队合修，
但中途甲队撤出去到另外工地，结果用了 6天才把这条公路修完．当甲队撤出后，乙、丙
两队又共同合修了多少天才完成
【答案】5
【解析】
1 1 1 1 1 1
甲、乙、丙三个队合修的工作效率为 6 天完成的工程量为 6 1 ，而实
10 12 15 4 4 2
1 1 1 1
际 6 天完成了的工程量为 1，即 甲队少做了 ，甲队完成 ，需 5 (天)，所以 甲队
2 2 2 10
只修了 1 天，即 当甲队撤出后，乙、丙两队又合修了 6-1=5 天．
【知识点】工程问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
一件工作，甲独做要 12 天，乙独做要 18 天，丙独做要 24 天.这件工作由甲先做了若干天，
然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的 3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的
天数的 2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？
【答案】20
【解析】
1
解法一：甲做 1 天，乙就做 3 天，丙就做 3×2=6（天），甲做 1 天，完成工作量的 ，乙
12
1 1 1 1 1 1
就完成工作量的 3，丙就完成工作量的 6。共完成 3 6 。
18 24 12 18 24 2
1 1 2天说明甲做了 2 天，乙做了 6 天，丙做了 12 天，三人共做了 20 天说明甲做了 2
2
天，乙做了 2×3=6（天），丙做 2×6=12(天），三人一共做了 2+6+12=20（天）.答：完成这
项工作用了 20天.
解法二：本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24 这三数有一个易求出的最小公倍数
72.可设全部工作量为 72.甲每天完成 6，乙每天完成 4，丙每天完成 3.总共用了
72 1 3 6 20天。
6 1 4 3 3 6
【知识点】工程问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13 天完成.如果丙休息 2天，乙就要多做 4天，或者由
甲、乙两人合作 1天.问这项工程由甲独做需要多少天？
【答案】26
【解析】
丙 2 天的工作量，相当乙 4 天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的 4÷2=2（倍），甲、
乙合作 1 天，与乙做 4 天一样.也就是甲做 1 天，相当于乙做 3 天，甲的工作效率是乙的工
13 26
作效率的 3 倍.乙做 13 天，甲只要 天，丙做 13 天，乙要 26 天，而甲只要 天他们共
3 3
13 13 26同做 13 天的工作量，由甲单独完成，甲需要 26天
3 3
【知识点】工程问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
搬运一个仓库的货物，甲需要 10 小时，乙需要 12 小时，丙需要 15 小时.有同样的仓库 A
和 B，甲在 A仓库、乙在 B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助
乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？
【答案】3，5
【解析】
设搬运一个仓库的货物的工作量是 1.现在相当于三人共同完成工作量 2，所需时间是
2 ( 1 1 1 ) 8 8 1 8小时。甲 8 小时能完成 ，尚需要丙帮助搬运 (1 ) 3小时，
10 12 15 10 10 15
8 8 1
乙 8 小时能完成 ，尚需要丙帮助搬运（1 ） 5小时。
12 12 15
解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬
运一个仓库全部工作量为 60.甲每小时搬运 6，乙每小时搬运 5，丙每小时搬运 4.三人共
同搬完，需要 60 × 2÷ （6+ 5+ 4）= 8（小时）.甲需丙帮助搬运（60- 6× 8）÷ 4= 3
（小时）。乙需丙帮助搬运（60- 5× 8）÷4= 5（小时）
【知识点】工程问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
1 1
一项工程，甲 15 天做了 后，乙加入进来，甲、乙一起又做了 ，这时丙也加入进甲、
4 4
乙、丙一起做完．已知乙、丙的工作效率的比为3：5，整个过程中，乙、丙工作的天数之
比为2：1，问题中情形下做完整个工程需多少天
【答案】27
【解析】
方法一：
1
先把整个工程分为三个阶段：Ⅰ﹑Ⅱ﹑Ⅲ；且易知甲的工作效率为 .有乙、丙工作的天
60
数之比为(Ⅱ+Ⅲ)：Ⅲ=2：1，所以有Ⅱ阶段和Ⅲ阶段所需的时间相等．即甲、乙合作完成
1 1 1 1
的 的工程与甲、乙、丙合作完成1 的工程所需的时间相等．所以对于工作效
4 4 4 2
1
率有：(甲+乙)×2=(甲+乙+丙)，甲+乙=丙，那么有丙-乙= .又有乙、丙的工作效率的比
60
3 5
为 3：5．易知乙的工作效率为 ,丙的工作效率为南 .那么这种情形下完成整个工程
120 120
1 1 3 1 1 8
所需的时间为：15 ( ) ( ) 15 6 6 27天.
4 60 120 2 60 120
方法二：
1
显然甲的工作效率为 ，设乙的工作效率为3x，那么丙的工作效率为5x ．所以有乙工作
60
1
的 天 数 为 ( 1 3x) 1 ( 1 8x), 1 1 丙 工 作 的 天 数 为 ( 8x). 且 有
4 60 2 60 2 60
1 ( 1 3x) 1 ( 1 1 1 8x) 2 ( 8x). 1 ( 1 3x) 1 ( 1即 8x), 解得
4 60 2 60 2 60 4 60 2 60
x 1 . 3 5 所以乙的工作效率为 ,丙的工作效率为高 .那么这种情形下完成整个工程
120 120 120
15 1 ( 1 3 1所需的时间为： ) ( 1 8 ) 15 6 6 27天.
4 60 120 2 60 120
【知识点】工程问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、
乙每天工作效率和的 1 ．如果 3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天
5
才能完成？
【答案】24
【解析】
1
已知甲、乙、丙合抄一天完成书稿的 ，又已知甲每天抄写量等于乙、丙两人每天抄写量
8
1 1
之和，因此甲两天抄写书稿的 ，即甲每天抄写书稿的 ；由于丙抄写 5 天相当于甲乙合
8 16
1 1
抄一天，从而丙 6 天抄写书稿的 ，即丙每天抄写书稿的 ；于是可知乙每天抄写书稿的
8 48
1 1 1 1 1
- - ＝ .所以乙一人单独抄写需要 1÷ =24 天才能完成．
8 16 48 24 24
【知识点】工程问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
一件工程，甲、乙两人合作 8天可以完成，乙、丙两人合作 6天可以完成，丙、丁两人合
作 12天可以完成．那么甲、丁两人合作多少天可以完成
【答案】24
【解析】
1 1 1
甲、乙，乙、丙，丙、丁合作的工作效率依次是 、 、 .对于工作效率有(甲，乙)+(丙，
8 6 12
1 1 1 1 1
丁)－(乙，丙)=(甲，丁)．即 + － = ，所以甲、丁合作的工作效率为 ．所以，
8 12 6 24 24
甲、丁两人合作 24天可以完成这件工程．
【知识点】工程问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
一项工作，甲、乙两人合做 8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做 18 天完
成．那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天
【答案】48
【解析】
方法一：
1 1 1 13
对于工作效率有：(甲，乙)+(乙，丙)－(丙，甲)=2 乙，即 + － = 为两倍乙的工
8 9 18 72
21
作效率，所以乙的工作效率为 ．而对于工作效率有，(乙，丙)－乙=丙，那么丙的工作
144
1 13 1 1
效率为 － ＝ 那么丙一个人来做，完成这项工作需 1÷ =48 天．
9 144 48 48
方法二：
1 1 1 21 21
2(甲，乙，丙)=(甲+乙)+(乙、丙)+(甲、丙)＝ ＋ ＋ ＝ ，所以(甲，乙，丙)=
8 9 18 72 72
21 21 21
÷2＝ ，即甲、乙、丙 3 人合作的工作效率为 ．那么丙单独工作的工作效率为
144 144 144
1 1
－ ＝ ，那么丙一个人来做，完成这项工作需 48天．
8 48
【知识点】工程问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
一项工程，甲独做需 10 天，乙独做需 15 天．如果两人合做，甲的工作效率就要降低，只
4 9
能完成原来的 ，乙只能完成原来的 ．现在要 8天完成这项工程，两人合做天数尽可能
5 10
少，那么两人要合做多少天
【答案】5
【解析】
因为甲比乙的工作效率高，又要求合做的天数尽可能的少，所以除了两人合作之外，其余
1
工程应由甲单独完成．现设两人合作 x天，则甲单独做 8- x天，于是得到方程( ×80％
10
1 1
+ ×90％) × x+ ×(8- x)=l，解出 x=5.所以，在满足条件下，两人至少要合作 5 天．
15 10
【知识点】工程问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】
甲、乙两项工程分别由一、二队来完成．在晴天，一队完成甲工程需要 12天.二队完成乙工
程需要 15 天；在雨天，一队的工作效率要下降40％，二队的工作效率要下降 10％．结果
两队同时完成这两项工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天
【答案】10
【解析】
1 1 1 1 1
晴天时，一队、二队的工作效率分别为 和 ，一队比二队的工作效率高 - = ；
12 15 12 15 60
1 1 1 3
雨天时，一队、二队的工作效率分别为 ×(1-40%)= 和 ×(1-10%)= ,这时二队的
12 20 15 50
3 1 1 1 1
工作效率比一队高 - = .由 : =5:3 知，要两个队同时完工，必须是 3 个晴
50 20 100 60 100
1 1 1
天，5 个雨天，而此时完成了工程的 ×3+ ×5= ，所以，整个施工期间共有 6 个晴
12 20 2
天,10 个雨天.
【知识点】工程问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】
甲、乙、丙 3队要完成 A，B两项工程．B工程的工作量比A工程的工作量多丢．甲、乙、
丙 3队单独完成 A工程所需时间分别是 20 天、24天、30 天.为了同时完成这两项工程，先
派甲队做 A工程，乙、丙两队共同做 B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A工
程．那么，丙队与乙队合作了多少天
【答案】15
【解析】
5
设 A 项工程的工程总量为“1”，那么 B 工程的工程总量为 ，A、B 两项工程的工程总量为
4
5 9 1 1 1 1
1+ = ．而甲、乙、丙合作时的工作效率为 + + = ，甲、乙、丙始终在同时工
4 4 20 24 30 8
9 1 1 3
作，所以两项工程同时完成时所需的时间为 ÷ =18(天)．在这 18天，乙完成 18× =
4 8 24 4
5 3 1 1
的工程量，则 B 工程中剩下的 - = 的工程量是由丙帮助完成，所以需丙 ÷
4 4 2 2
1
=15(天)．即丙队与乙队合作了 15天．
30
【知识点】工程问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】
一项挖土万工程，如果甲队单独做，16 天可以完成，乙队单独做要20 天能完成．现在两队
同时施工，工作效率提高20％．当工程完成 1 时，突然遇到了地下水，影响了施工进度，
4
使得每天少挖了 47.25 方土，结果共用了 10天完成工程．问整工程要挖多少方土
【答案】1100
【解析】
1 1 27 1 1 27 50
甲、乙合作时工作效率为( + )×(1+20%)= ．则 的工程量需 ÷ = (天)，
16 20 200 4 4 200 27
50 220
则遇到地下水后，甲、乙两队又工作了 10- = (天)．则此时甲、乙合作的工作效率
27 27
3 220 81 27 81 189
为 ÷ = ．遇到地下水前后工作效率的差为: - = ，则总工作量为
4 27 880 200 880 4400
189
47.25÷ =1100 方土.
4400
【知识点】工程问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】
甲、乙、丙 3名搬运工同时分别在 3个条件和工作量完全相同的仓库工作，搬完货物甲用
10 小时，乙用12 小时，丙用 15小时．第二天3人又到两个较大的仓库搬运货物，这两个
仓库的工作量也相同．甲在 A仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，结果干了 16小时后同
时搬运完毕．问丙在 A仓库做了多长时间
【答案】6
【解析】
1 1 1 1
设第一天的每个仓库的工作量为“1”，那么甲、乙、丙的合作工作效率为 =
10 12 15 4
1
第二天，甲、乙、丙始终在同时工作，所以第二天两个仓库的工作总量为 ×16=4，即第
4
1 8
二天的每个仓库的工作总量为 4÷2=2．于是甲工作了 16 小时只完成了 16× = 的工程
10 5
8 2 2 1
量，剩下的 2- = 的工程量由丙帮助完成，则丙需工作 ÷ =6(小时).丙在 A 仓库做
5 5 5 15
了 6 小时．
【知识点】工程问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】
甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配 8400 元工资．按两队原计划的工作效率，乙队
应获5040 元．实际从第 5天开始，甲队的工作效率提高了 1倍，这样甲队最终可比原计划
多获得 960 元．那么两队原计划完成修路任务要多少天
【答案】12
【解析】
开始时甲队拿到 8400—5040=3360 元，甲乙的工资比等于甲乙的工效比，即为 3360：
5040＝2：3；甲提高工效后，甲乙的工资及工效比为(3360+960)：(5040—960)=18：
17；设甲开始的工效为“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需 x天完成
40
任务．有(2×4+4 x)：(3×4+3 x )=18：17，化简为 216+54 x =136+68 x，解得 x .
7
40
于是共有工程量为 4 5 7 60,所以原计划 60÷(2+3)＝12天完成．
7
【知识点】工程问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】
一个蓄水池，每分钟流入 4立方米水.如果打开 5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如
果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开 13个水龙头，问要多少时间才能把
水放空？
【答案】54
【解析】
先计算 1 个水龙头每分钟放出水量.2 小时半比 1 小时半多 60 分钟，多流入水 4 × 60= 240
（立方米）.时间都用分钟作单位，1 个水龙头每分钟放水量是 240 ÷（ 5× 150- 8 × 90）
= 8（立方米），8 个水龙头 1 个半小时放出的水量是 8 × 8 × 90，其中 90分钟内流入水
量是 4 × 90，因此原来水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.打开 13
个水龙头每分钟可以放出水 8×13，除去每分钟流入 4，其余将放出原存的水，放空原存的
5400，需要 5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分钟）.
所以打开 13个龙头，放空水池要 54 分钟.水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，
就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.
【知识点】工程问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
【试题来源】
【题目】
规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做 1个小时,第二个人接着做一个小时，然后再
由第一个人做 1个小时，然后又由第二个人做 1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、
乙轮流做一个工程需要 9．8 小时，而乙、甲轮流做同样的程只需要 9．6 小时，那乙单独
做这个工程需要多少小时
【答案】7.3
【解析】
即甲工作 2 小时，相当与乙 1 小时．所
以 ， 乙 单 独 工 作 需
9.8 5 5 2 7.3小时．
【知识点】工程问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】
有 10 根大小相同的进水管给 A、 B 两个水池注水，原计划用 4根进水管给 A水池注水，
其余6根给B 水池注水，那么5小时可同时注满．因为发现 A水池以一定的速度漏水，所
以改为各用 5根进水管给水池注水，结果也是同时注满．(1)如果用 10 根进水管给漏水的 A
水池注水，需要多少分钟注满 (2)如果增加 4根同样的进水管， A 水池仍然漏水，并且要
求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多少
分钟 (结果四舍五入到个位)
【答案】（1）144；（2）257；277
【解析】
设每只进水管的工效为“1”，那么 A 池容量为 4×5=20，B 池容量为 6×5=30．当用 5
根进水管给 B 池灌水时需 30÷5=6小时，而在 6 小时内 5 只其水管给 A 池也是灌有 30
5
的水，所以漏了 30—20=10，因此漏水的工效为10 6 .(1)用 10 根进水管给漏水
3
5
的 A 池灌水，那么需 20 (10 ) 2.4小时＝144分钟. (2)设 A 池需 x根，那么
3
B 池需 14 x根，有 (x 5 ) : (14 x) 2 :3,所以有 28 2x 3x 5,化简解得 x 6.6.
3
所以 A 池用 7 根或 6 根进水管，此时对应所需时间，分别为：①当 A 池用 7 根进水管
5 3
时：A：7 根水管，需时间 20 (7 ) 3 小时=225 分钟；B：7 根水管，需时间
3 4
30 30 7 小时 257 分钟．此时要把两个水池注满最少需要 257 分钟；
7
5 60
②当 A 池用 6 根进水管时：A：6 根水管，需时间 20 (6 ) 小时 277 分钟；B：
3 13
15
8 根水管，需时间 30÷8= 小时=225 分钟．此时要把两个水池注满最少需要 277 分
4
钟．所以，要把两个水管都注满，最少需 257 分钟，7 根水管注 A 池，7 根水管注 B
池．
【知识点】工程问题
【适用场合】当堂例题
【难度系数】4
习题演练
【试题来源】
【题目】一项工程，由甲工程队修建，需要 12天，由乙工程队修建，需要 20 天，两
队共同修建需要多少 天？
【答案】15／2
【解析】15／2
【知识点】工程问题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
【题目】一项工程，甲队独做 8 天完成，乙队独做 10天完成，两队合做，多少天完成
全部工程的 3／4？
【答案】10／3
【解析】10／3
【知识点】工程问题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】2
【试题来源】
1
【题目】甲、乙、丙三人生产一批玩具，甲生产的个数是乙、丙两人生产个数之和的 ，
2
1
乙生产的个数是甲、丙两人生产个数之和的 。丙生产了 50个。这批玩具共有多少个？
3
【答案】120
【解析】120
【知识点】工程问题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】有一项工程，甲、乙合做需要 12 天完成，乙、丙合做需要 20 天完成，甲、丙合
作需要 15天完成。甲、乙、丙合做 3 天后，剩下的由甲单独完成，那么还需多少天才能完
成？
【答案】14
【解析】14
【知识点】工程问题
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3工程问题
学生姓名 授课日期
教师姓名 授课时长
知识定位
工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是工程应用题的关键。本节课从始至终都以工程问题的概念来贯穿，目的在于使学生理解并熟练掌握概念。
知识梳理
1.工程问题在主要概念
定义 ： 工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间的相互关系的问题。在工程问题中，一般要出现三个量：工作总量、工作时间（完成工作总量所需的时间）和工作效率（单位时间内完成的工作量）。工程问题是小升初的常见考题，题型复杂多变，但是核心不变，
即：工作总量=工作效率×工作时间，
工作效率=工作总量÷工作时间，
工作时间=工作总量÷工作效率；
在分数应用题中，经常将工作总量抽象成单位“1”；例如：一项工程，甲5天完成，则甲每天完成全部的几分之几？分析：这道题中，我们将一项工程抽象成单位“1”，5为工作时间，所以每天完成整个工程的1÷5=，即为所求，同时也是甲完成这项工作的速度，所以就是这道题中甲的工作效率。
在解决工程问题时，对于题中已知条件给出的每一个数字或字母表示的具体含义必须在读完题后，清晰明了，然后通过所求与已知的逻辑关系，再进一步求解。常用方法：列表法，条件转换法，整体法；每一种方法的使用要在具体题目中用心体会。
2.解决工程问题的基本思路
(1) 工作量看作“1”，用完成工作总量所需的时间的倒数作为工作效率，用工作总量除以工作效 率和，就可以求出完成这项工程所需的时间。工程问题一般采用这种方法求解。
(2) 先求出独做的队或个人的工作效率 ，然后用工作总量“1”除以一个队或个人的工作效率，就可以求出一个队或个人独做的工作时间。
(3) 求剩余部分的工作量完成的时间。关键是正确求出剩余部分的工作量。从工作总量“1”中 减去已完成的工作量，就是剩余部分的工作量。
3.划分工程问题的基本题型
(1) 水管问题：从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同.
(2) 工资问题
从数学本质解法来看，工资问题与工程问题是一样的，抓住每个人发放的工资与发放总工资之间的关系就能找到相应量与率的关系进而转换成工程问题来解决了。
(3) 牛吃草问题
从数学本质解法来看，牛吃草问题与工程问题是一样的，抓住牛头数与牛吃草的总数及吃的天数之间的关系就能找到相应量与率的关系进而转换成工程问题来解决了。
(4) 周期问题问题
从数学本质解法来看，同上。
4.重点难点解析
（1）. 明确题目中的工作总量、工作效率、和工作时间具体指向
（2）. 根据题目中的实际情况能够正确进行单位“1”的转换。
5.竞赛考点挖掘
（1）. 工程问题的基本数量关系是：工作总量=工作效率×工作时间。解题时，要抓住这一关系，灵活地运用这一数量关系提高解题能力。
（2）. 抓住完成工作的几个过程或几种变化，工程问题中常出现单独做，几人合作或轮流做，分析时一定要对应工作每一阶段的工作量、工作时间来确定单独做或合作的工作效率。
6.要想解决好工程问题，一定要求学生充分理解掌握多个单位“1”转换为统一单位“1”的方法，这是用算术方法解决分数应用题的基本思路也是重点难点，教师应该在授课过程中有耐心的将转换过程一一展示给学生。
例题精讲
【试题来源】
【题目】
一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？
【试题来源】
【题目】
乙两人共同加工一批零件，8小时司以完成任务．如果甲单独加工，便需要12小时完成．现在甲、乙两人共同生产了小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了420个零件才完成任务．问乙一共加工零件多少个
【试题来源】
【题目】
某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？
【试题来源】
【题目】
一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？
【试题来源】
【题目】
一项工作甲先做6小时，乙接着做12小时可以完成。甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成，如果甲做3小时后，乙接着做，还需几小时完成？
【试题来源】
【题目】
一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？
【试题来源】
【题目】
某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天才能完成。那么五个小队一起合作需多少天才能完成这项工程？
【试题来源】
【题目】
有一条公路，甲队独修需10天，乙队独修需12天，丙队独修需15天．现在让3个队合修，但中途甲队撤出去到另外工地，结果用了6天才把这条公路修完．当甲队撤出后，乙、丙两队又共同合修了多少天才完成
【试题来源】
【题目】
一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？
【试题来源】
【题目】
一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？
【试题来源】
【题目】
搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？
【试题来源】
【题目】
一项工程，甲15天做了后，乙加入进来，甲、乙一起又做了，这时丙也加入进甲、乙、丙一起做完．已知乙、丙的工作效率的比为3：5，整个过程中，乙、丙工作的天数之比为2：1，问题中情形下做完整个工程需多少天
【试题来源】
【题目】
抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能完成？
【试题来源】
【题目】
一件工程，甲、乙两人合作8天可以完成，乙、丙两人合作6天可以完成，丙、丁两人合作12天可以完成．那么甲、丁两人合作多少天可以完成
【试题来源】
【题目】
一项工作，甲、乙两人合做8天完成，乙、丙两人合做9天完成，丙、甲两人合做18天完成．那么丙一个人来做，完成这项工作需要多少天
【试题来源】
【题目】
一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天．如果两人合做，甲的工作效率就要降低，只能完成原来的，乙只能完成原来的．现在要8天完成这项工程，两人合做天数尽可能少，那么两人要合做多少天
【试题来源】
【题目】
甲、乙两项工程分别由一、二队来完成．在晴天，一队完成甲工程需要12天.二队完成乙工程需要15天；在雨天，一队的工作效率要下降40％，二队的工作效率要下降10％．结果两队同时完成这两项工程，那么在施工的日子里，雨天有多少天
【试题来源】
【题目】
甲、乙、丙3队要完成A，B两项工程．B工程的工作量比A工程的工作量多丢．甲、乙、丙3队单独完成A工程所需时间分别是20天、24天、30天.为了同时完成这两项工程，先派甲队做A工程，乙、丙两队共同做B工程；经过几天后，又调丙队与甲队共同完成A工程．那么，丙队与乙队合作了多少天
【试题来源】
【题目】
一项挖土万工程，如果甲队单独做，16天可以完成，乙队单独做要20天能完成．现在两队同时施工，工作效率提高20％．当工程完成时，突然遇到了地下水，影响了施工进度，使得每天少挖了47.25方土，结果共用了10天完成工程．问整工程要挖多少方土
【试题来源】
【题目】
甲、乙、丙3名搬运工同时分别在3个条件和工作量完全相同的仓库工作，搬完货物甲用10小时，乙用12小时，丙用15小时．第二天3人又到两个较大的仓库搬运货物，这两个仓库的工作量也相同．甲在A仓库，乙在B仓库，丙先帮甲后帮乙，结果干了16小时后同时搬运完毕．问丙在A仓库做了多长时间
【试题来源】
【题目】
甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资．按两队原计划的工作效率，乙队应获5040元．实际从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元．那么两队原计划完成修路任务要多少天
【试题来源】
【题目】
一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？
【试题来源】
【题目】
规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时,第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要9．8小时，而乙、甲轮流做同样的程只需要9．6小时，那乙单独做这个工程需要多少小时
【试题来源】
【题目】
有10根大小相同的进水管给、两个水池注水，原计划用4根进水管给水池注水，其余6根给水池注水，那么5小时可同时注满．因为发现水池以一定的速度漏水，所以改为各用5根进水管给水池注水，结果也是同时注满．(1)如果用10根进水管给漏水的水池注水，需要多少分钟注满 (2)如果增加4根同样的进水管，水池仍然漏水，并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多少分钟 (结果四舍五入到个位)
习题演练
【试题来源】
【题目】一项工程，由甲工程队修建，需要12天，由乙工程队修建，需要20天，两队共同修建需要多少 天？
【试题来源】
【题目】一项工程，甲队独做8天完成，乙队独做10天完成，两队合做，多少天完成全部工程的3／4？
【试题来源】
【题目】甲、乙、丙三人生产一批玩具，甲生产的个数是乙、丙两人生产个数之和的，乙生产的个数是甲、丙两人生产个数之和的。丙生产了50个。这批玩具共有多少个？
【试题来源】
【题目】有一项工程，甲、乙合做需要12天完成，乙、丙合做需要20天完成，甲、丙合作需要15天完成。甲、乙、丙合做3天后，剩下的由甲单独完成，那么还需多少天才能完成？

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