资源简介

第2讲 简易逻辑用语
【考点分析】简易逻辑在高考中一般会与其它章节知识放在一起考察5分，难度比较低送分题
【考点预测】
一、充分条件、必要条件、充要条件
1．定义
如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件.
2．从逻辑推理关系上看
（1）若且，则是的充分不必要条件；
（2）若且，则是的必要不充分条件；
（3）若且，则是的的充要条件(也说和等价)；
（4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件.
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立).
二．全称量词与存在童词
（1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”.
（2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）.
三．含有一个量词的命题的否定
（1）全称量词命题的否定为，.
（2）存在量词命题的否定为.
注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.
题型一 充分、必要条件的判断
【例1】（2022黑龙江哈尔滨市）设，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【例2】（2021·黑龙江大庆市）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【例3】已知连续可导函数，则“”是函数“在处取得极值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【题型专练】
1.（2022·重庆·三模）已知且，“函数为增函数”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2.（2021·陕西西安市）已知“”是“”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
题型二 充分、必要条件的选择
【例1】（2022浙江高考模拟（多选））“”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【题型专练】
1.（2022福建福州市）“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
2.（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））已知两条直线m，n和平面，则的一个充分条件是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
题型三 根据充分、必要条件求参数
【例1】（2022宁夏固原市）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【题型专练】
1.（2022河北衡水中学）若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是________．
2.（2022浙江高三模拟）已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是____________．
题型四 判断全称、特称量词命题的真假
【例1】（2022江苏无锡市·）有下列四个命题：
①，；②；③，；④
其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【例2】（2022淮安市）（多选）下列命题是真命题的有（ ）
A． B．
C． D．
【题型专练】
1.（2021·云南省云天化中学高一开学考试）（多选）下列命题正确的有（ ）
A．，
B．是函数为偶函数的充要条件
C．，
D．是的必要条件
2.（2021·浙江高一期末）（多选）下列命题错误的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
题型五 命题的否定
【例1】（2022云南丽江市·高一期末）命题的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【例2】（2022全国高三其他模拟）命题“”的否定（ ）
A． B．
C． D．
【题型专练】
1.（2022·全国·高三专题练习（文））已知命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，则为（ ）
A．任意一个无理数，它的平方不是有理数
B．存在一个无理数，它的平方不是有理数
C．任意一个无理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方是无理数
2.（2022·山西晋中·模拟预测（理））命题：，，则为___________.
题型七 求含有量词的参数
【例1】（2022全国高三专题练习（文））若对，都有，则实数的取值范围是_____.
【例2】（2022安徽芜湖市·高一期末）已知命题“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是___________.
【题型专练】
1.（2022江西）已知命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是___________.
2.（2022福建高一期末）若命题“”为真命题，则的取值范围是______第2讲 简易逻辑用语
【考点分析】简易逻辑在高考中一般会与其它章节知识放在一起考察5分，难度比较低送分题
【考点预测】
一、充分条件、必要条件、充要条件
1．定义
如果命题“若，则”为真(记作)，则是的充分条件；同时是的必要条件.
2．从逻辑推理关系上看
（1）若且，则是的充分不必要条件；
（2）若且，则是的必要不充分条件；
（3）若且，则是的的充要条件(也说和等价)；
（4）若且，则不是的充分条件，也不是的必要条件.
对充分和必要条件的理解和判断，要搞清楚其定义的实质：，则是的充分条件，同时是的必要条件.所谓“充分”是指只要成立，就成立；所谓“必要”是指要使得成立，必须要成立(即如果不成立，则肯定不成立).
二．全称量词与存在童词
（1）全称量词与全称量词命题.短语“所有的”、“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示.含有全称量词的命题叫做全称量词命题.全称量词命题“对中的任意一个，有成立”可用符号简记为“”，读作“对任意属于，有成立”.
（2）存在量词与存在量词命题.短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示.含有存在量词的命题叫做存在量词命题.存在量词命题“存在中的一个，使成立”可用符号简记为“”，读作“存在中元素，使成立”（存在量词命题也叫存在性命题）.
三．含有一个量词的命题的否定
（1）全称量词命题的否定为，.
（2）存在量词命题的否定为.
注：全称、存在量词命题的否定是高考常见考点之一.
题型一 充分、必要条件的判断
【例1】（2022黑龙江哈尔滨市）设，则“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】由，
由不一定能推出，但是由一定能推出，
所以“”是“”的必要不充分条件，故选：C
【例2】（2021·黑龙江大庆市）若，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】充分性：若，，则，充分性不成立；
必要性：若，则，由不等式的性质可得，必要性成立.
因此，“”是“”的必要不充分条件.故选：B.
【例3】已知连续可导函数，则“”是函数“在处取得极值”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【题型专练】
1.（2022·重庆·三模）已知且，“函数为增函数”是“函数在上单调递增”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【详解】函数为增函数,则 ,此时,故函数在上单调递增;当在上单调递增时, ,,所以,故为增函数.
故选:C
2.（2021·陕西西安市）已知“”是“”的（ ）条件．
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】A
【解析】，
所以是的充分不必要条件.故选:A
题型二 充分、必要条件的选择
【例1】（2022浙江高考模拟（多选））“”的一个充分不必要条件可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】BC
【解析】，所以.设,设选项对应的集合为,
因为选项是“”的一个充分不必要条件，所以是的真子集.故选：BC
【题型专练】
1.（2022福建福州市）“关于的不等式的解集为”的一个必要不充分条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由关于的不等式的解集为，
可得，解得，所以的取值范围是.
根据必要不充分条件的概念可知B项正确.故选：B.
2.（2022·四川·宜宾市教科所三模（理））已知两条直线m，n和平面，则的一个充分条件是（ ）
A．且 B．且 C．且 D．且
【答案】C
【详解】解：对于A，若且，则，故A不符题意；
对于B，若且，则与平行或异面，故B不符题意；
对于C，若且，则，故C符合题意；
对于D，若且，则与平行、相交或异面，故D不符题意.
故选：C.
题型三 根据充分、必要条件求参数
【例1】（2022宁夏固原市）若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】解不等式可得.
因为“”是“”的充分不必要条件，则 ，
由题意可得，解得.因此，实数的取值范围是.故选：A.
【题型专练】
1.（2022河北衡水中学）若不等式成立的充分不必要条件是，则实数的取值范围是________．
【答案】
【解析】由得，
因为是不等式成立的充分不必要条件，
∴满足且等号不能同时取得，即，解得．
2.（2022浙江高三模拟）已知，，且是的必要不充分条件，则实数的取值范围是____________．
【答案】
【解析】，，且是的必要不充分条件，
所以是的真子集，
所以或，解得，
题型四 判断全称、特称量词命题的真假
【例1】（2022江苏无锡市·）有下列四个命题：
①，；②；③，；④
其中真命题的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】对于①，，，故命题成立；
对于②，显然当时满足，但，故命题为假；
对于③，显然时满足，成立，故命题为真；
对于④，的实数根为，是无理数，故命题为假.
综上，真命题的个数为2. 故选：B.
【例2】（2022淮安市）（多选）下列命题是真命题的有（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】对选项A，当时，满足，故A为真命题；
对选项B，当时，不满足，故B为假命题；
对选项C，，解得，
所以不满足，故C为假命题.
对选项D，因为恒成立，
所以满足，故D为真命题.
故选：AD
【题型专练】
1.（2021·云南省云天化中学高一开学考试）（多选）下列命题正确的有（ ）
A．，
B．是函数为偶函数的充要条件
C．，
D．是的必要条件
【答案】AB
【解析】对于A，，解得，所以，，所以A正确；
对于B，“”时，函数是偶函数，“函数是偶函数时，由得到，故B正确．
对于C，，所以，不正确，所以C不正确．
对于D，可得，反之不成立，所以D不正确．
故选：AB．
2.（2021·浙江高一期末）（多选）下列命题错误的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】AC
【解析】A. 由，得，故错误；
B.由得：或，故正确；
C. 由得：，故错误；
D. 由，故正确；
故选：AC
题型五 命题的否定
【例1】（2022云南丽江市·高一期末）命题的否定是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【解析】特称命题的否定是全称命题，即命题“”的否定是“”.
故选：A
【例2】（2022全国高三其他模拟）命题“”的否定（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】因为原命题“”，所以其否定为“”，
故选：D.
【题型专练】
1.（2022·全国·高三专题练习（文））已知命题p：存在一个无理数，它的平方是有理数，则为（ ）
A．任意一个无理数，它的平方不是有理数
B．存在一个无理数，它的平方不是有理数
C．任意一个无理数，它的平方是有理数
D．存在一个无理数，它的平方是无理数
【答案】A
【详解】因为存在命题的否定是全称量词命题，所以为：任意一个无理数，它的平方不是有理数，
故选：A
2.（2022·山西晋中·模拟预测（理））命题：，，则为___________.
【答案】，
【解析】命题：，. 则为：，
故答案为：，
题型七 求含有量词的参数
【例1】（2022全国高三专题练习（文））若对，都有，则实数的取值范围是_____.
【答案】
【解析】因为，都有，所以，都有，令，，因为，在上单调递减，所以，所以，
即实数的取值范围是；
故答案为：
【例2】（2022安徽芜湖市·高一期末）已知命题“，恒成立”是真命题，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】已知命题“，恒成立”是真命题.
当时，则有恒成立，合乎题意；
当时，则有，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【题型专练】
1.（2022江西）已知命题“存在，使”是假命题，则实数的取值范围是___________.
【答案】
【解析】因为命题“存在，使”是假命题，
所以命题“，使得”是真命题，
当时，得，故命题“，使得”是假命题，不合题意；
当时，得，解得.
故答案为：
2.（2022福建高一期末）若命题“”为真命题，则的取值范围是______
【答案】
【解析】依题意可得，命题等价于恒成立，
故只需要解得，即
故答案为：

展开更多......

收起↑