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导数一轮创新学案
——奋力争取，静待花开
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姓名：
目录
【重点讲解】——————————————————————————3
【创新题试做】—————————————————————————21
【参考答案】——————————————————————————28
【课时作业】——————————————————————————53
【参考答案】——————————————————————————57
特别提醒：创新题试做部分是难度极大的试题，
仅针对学有余力的学生，或作为共同探讨问题。
请勿轻易尝试！请勿轻易尝试！请勿轻易尝试！
【重点讲解】
重点1：导数的几何意义（选填题）
【例1】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
【答案】D
【详解】设直线在曲线上的切点为，则，
函数的导数为，则直线的斜率，
设直线的方程为，即，
由于直线与圆相切，则，
两边平方并整理得，解得，（舍），
则直线的方程为，即.
【跟踪训练1】函数与有公切线，则实数的值为__________．
【答案】4
【详解】根据题意，函数与有公切线，设切点分别为，，，，；
所以且，所以公切线为，
则有，
设，
则在 上递增，又，故，
【例2】已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】依题意，圆心为，设点的坐标为，由两点间距离公式得，设，，令解得，由于，可知当时，递增，时，，递减，故当时取得极大值也是最大值为，故，故时，且，所以，函数单调递减.当时，，，当时，，即单调递增，且，即，单调递增，而，故当时，函数单调递增，故函数在处取得极小值也是最小值为，故的最小值为，此时.
【跟踪训练2】已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】实数满足，，
点在直线上，点在曲线上，
的几何意义就是直线到曲线上点的距离最小值的平方，
考查曲线平行于直线的切线，
，令，解得，切点为，
该切点到直线的距离，就是所求的直线与曲线间的最小距离，故的最小值为.
重点2：导数与极最值（选填题）
【例3】已知函数，则的最小值是_____________．
【答案】
【详解】首先对函数进行求导，化简求得，从而确定出函数的单调区间，减区间为，增区间为，确定出函数的最小值点，从而求得代入求得函数的最小值.
详解：，所以当时函数单调减，当时函数单调增，从而得到函数的减区间为，函数的增区间为，所以当时，函数取得最小值，此时，所以，故答案是.
【跟踪训练3】函数的最小值为______.
【答案】1
【详解】由题设知：定义域为，
∴当时，，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递减；
当时，，有，此时单调递增；
又在各分段的界点处连续，
∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；
∴
【例4】若2是函数的极大值点，函数的极大值是：
【答案】32.
【详解】由已知得，，且，
∴，解得m＝2或m＝6.
①当m＝2时，，由得或x＞2；
由得.∴2是的极小值点，不合题意，故m＝2舍去.
②当m＝6时，，由得x＜2或x＞6；
由得2＜x＜6.
∴2是的极大值点，故m＝6符合题意，∴的极大值为.
重点3：利用导数研究函数零点问题（选填题）
【例5】设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设，，由题意知，函数在直线下方的图象中只有一个点的横坐标为整数，
，当时，；当时，.
所以，函数的最小值为.
又，.
直线恒过定点且斜率为，
故且，解得，故选D.
【跟踪训练4】已知函数有唯一零点，则
A． B． C． D．1
【答案】C
【详解】因为，设，则
，因为，所以函数为偶函数，若函数有唯一零点，则函数有唯一零点，根据偶函数的性质可知，只有当时，才满足题意，即是函数的唯一零点，所以，解得.故选：C.
重点4：构造函数（选填题）
【例6】已知定义域为的奇函数的导函数为，当时， ，若，则的大小关系正确的是
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】构造函数g（x），∴g′（x），
∵xf′（x）﹣f（x）＜0，∴g′（x）＜0，
∴函数g（x）在（0，+∞）单调递减．∵函数f（x）为奇函数，
∴g（x）是偶函数，∴cg（﹣3）＝g（3），
∵ag（e），bg（ln2），∴g（3）＜g（e）＜g（ln2），∴c＜a＜b
【跟踪训练5】已知是定义在上的函数，为的导函数，且满足，则下列结论中正确的是
A．恒成立 B．恒成立
C． D．当时，；当时，
【答案】A
【详解】设g(x)=(x-1)f(x),所以，
所以函数g(x)在R上单调递增，又因为所以x>1时，g(x)>0,x<1时，g(x)＜0，
所以x>1时，(x-1)f(x)>0，所以f(x)>0;所以x<1时，(x-1)f(x)<0，所以f(x)>0.
所以恒成立.
【跟踪训练6】设定义在上的函数，满足，为奇函数，且，则不等式的解集为
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】设g（x）=exf（x）-ex，（x∈R），则g′（x）=exf（x）+exf′（x）-ex=ex[f（x）+f′（x）-1]，∵f（x）+f′（x）＞1，∴f（x）+f′（x）+1＞0，∴g′（x）＞0，∴y=g（x）在定义域上单调递增，不等式ln（f（x）-1）＞ln2-x等价为不等式ln[f（x）-1]+x＞ln2，
即为ln[f（x）-1]+lnex＞ln2，即ex（f（x）-1）＞2，则exf（x）-ex＞2，∵y=f（x）-3为奇函数，∴当x=0时，y=0，即f（0）-3=0，得f（0）=3，又∵g（0）=e0f（0）-e0=3-1=2，∴exf（x）-ex＞2等价为g（x）＞g（0），∴x＞0，∴不等式的解集为（0，+∞）
重点5：双变量问题（大题）
【例7】已知函数，其中，，e为自然对数的底数.
(1)若，且当时，总成立，求实数a的取值范围；
(2)若，且存在两个极值点，，求证：
【答案】(1) ；(2)见解析.
【详解】(1)若，则，
所以，
因为，，所以当，即时，，
所以函数在上单调递增，所以，符合题意；
当，即时，时，；时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，不符合题意，综上：实数a的取值范围为.
(2) 若，则，所以，
因为存在两个极值点，所以，所以，
令，得，所以是方程的两个根，
所以，，且，，不妨设，则，
所以
，令，
所以，
所以在上单调递增，所以，
所以，又，所以.
【跟踪训练7】已知函数．
（1）求函数的最大值；
（2）若函数存在两个零点，证明：．
【答案】（1）最大值是；（2）证明见解析．
【详解】（1）函数定义域是，由题意，
当时，，递增，当时，，递减，
所以时，取得唯一的极大值也是最大值．
（2）由（1），即时，有两个零点，（），则，，
由，得，
令，则，，，
，显然成立，要证，即证，
只要证，即证，（），令，，
，，
令，则，，
令，
，，令，
，时，是减函数，
所以时，，
所以是减函数，，即（），
所以是减函数，，所以，在时是减函数，
，即，所以在上是减函数，，
所以，即，
综上，成立．
重点6：极值点偏移（大题）
【例8】已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.
【详解】
(1)的定义域为．由得，，
当时，；
当时；
当时，．
故在区间内为增函数，在区间内为减函数，
(2)证明同证法2．
以下证明．不妨设，则，
由得，，
要证，只需证，两边取对数得，
即，即证．
记，则.
记，则，
所以，在区间内单调递减．，则，
所以在区间内单调递减．
由得，所以，
即．
【跟踪训练8】已知函数．
（1）若恒成立，求实数的取值范围．
（2）若函数的两个零点为，，证明：．
【答案】（1）；（2）证明见解析.
【详解】（1）解：因为恒成立，所以，
即恒成立．令，则，
易知在上单调递增，且．
所以当时，；当时，．
所以在上单调递减，在上单调递增，所以，故．
（2）证明：由题意可知方程的两根为，．
令，则的两个零点为，．．
当时，，在上单调递增，不存在两个零点；
当时，在上单调递增，在上单调递减，
则，得．
设，则，．因为，所以，．
要证，即要证，即证．
令
，．
则，所以在上单调递减，所以．
因为，所以．
因为，，且在上单调递减，
所以，即，故成立．
重点7：切线放缩与割线放缩（大题）
【例9】（2018年新课标I卷文）已知函数．
（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．
【答案】(1) a=；f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．(2)证明见解析.
【详解】（1）f（x）的定义域为，f ′（x）=aex–．
由题设知，f ′（2）=0，所以a=．
从而f（x）=，f ′（x）=．
当02时，f ′（x）>0．
所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．
（2）当a≥时，f（x）≥．
设g（x）=，则
当01时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．
故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．
因此，当时，．
【跟踪训练9】已知函数.
(1)若函数f(x)的图象与直线y＝x－1相切，求a的值；(2)若a≤2，证明f(x)>ln x.
【答案】(1)a＝2(2)证明见解析
【解析】(1)解：f(x)＝ex－a，∴f′(x)＝ex，令f′(x)＝1，得x＝0，
而当x＝0时，y＝－1，即f(0)＝－1，所以，解得a＝2.
(2)证明　∵a≤2，∴f(x)＝ex－a≥ex－2，
令φ(x)＝ex－x－1，则φ′(x)＝ex－1，令φ′(x)＝0 x＝0，
∴当x∈(0，＋∞)时，φ′(x)>0；当x∈(－∞，0)时，φ′(x)<0，
∴φ(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，
∴φ(x)min＝φ(0)＝0，即φ(x)≥0，即ex≥x＋1，
∴ex－2≥x－1，当且仅当x＝0时等号成立，
令h(x)＝lnx－x+1，则，令h′(x)＝0 x＝1，
∴当x∈(0，1)时，h′(x)>0；当x∈(1，+∞)时，h′(x)<0，
∴h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，
∴h(x)max＝h(1)＝0，即，即，
∴，当且仅当x＝1时等号成立，
∴ex－2≥x－1≥ln x，两等号不能同时成立，
∴ex－2>ln x，即证f(x)>ln x.
【例10】已知函数在点处的切线方程为．
（1）求，；
（2）函数图像与轴负半轴的交点为，且在点处的切线方程为，函数，，求的最小值；
（3）关于的方程有两个实数根，，且，证明：．
【答案】（1），；（2）0；（3）证明见解析
【详解】（1）将代入切线方程中，得，所以，
又或，又，
所以，若，则（舍去）；
所以，则；
（2）由（1）可知，，所以，
令，有或，故曲线与轴负半轴的唯一交点为
曲线在点处的切线方程为，则，
因为，所以，
所以，．
若，，若，，，
所以.
若，，
，
，所以在上单调递增，
，函数在上单调递增．
当时，取得极小值，也是最小值，所以最小值．
（3），设的根为，
则，又单调递减，由（2）知恒成立．
又，所以，
设曲线在点处的切线方程为，则，
令，．
当时，，当时，，
故函数在上单调递增，又，
所以当时，，当时，，
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
所以，即，设的根为，则，
又函数单调递增，故，故．
又，所以．
【跟踪训练10】已知函数（e为自然对数的底数）．
（1）求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；
（2）设方程有两个实数根，求证：．
【答案】（1），切线方程为和；（2）证明见解析．
【详解】（1）由题意，函数，令，得，
所以函数的零点，又由，可得，，
所以曲线在处的切线方程为．
又由，所以曲线在处的切线方程为．
（2）由（1）知，令，即，解得，
当时，；当时，．
所以的单调递增区间为，，单调递减区间为，
由（1）知，当或时，；当时，．
下面证明：当时，．
当时，由，即，可得，
令，可得，所以在上单调递增，
所以对任意恒成立，当时，．
由，可得，记，
不妨设，则，
所以，
要证，只需证，即证，
又因为，只需证，即，
因为，所以，所以只需证，
令，则．
当时，，函数为单调递减函数；
当时，，函数为单调递增函数，
所以，所以，
所以.
重点8：隐零点与凹凸性反转（大题）
【例11】1.已知函数.
(1)若是的极值点，求t的值，并讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
【答案】(1)，单调性见解析(2)证明见解析
【解析】(1)由题意，得函数的定义域是，.
因为是的极值点，所以，解得.
所以．
因为和在上单调递增，所以在上单调递增.
又，所以当时，；当时，.
所以在上单调递减，在上单调递增.
(2)当时，.
设，则.
因为和在上单调递增，所以在上单调递增.
又，，所以存在使得，
所以当时，，当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，所以
由，得，所以，所以.
因为，所以，所以.
【跟踪训练11】已知函数在上有两个极值点，，且．
(1)求实数a的取值范围；(2)证明：当时，．
【答案】(1)(2)证明见解析
【解析】(1)解：∵，∴，
∵函数在上有两个极值点，且
∴由题意知方程在上有两不等实根，
设，其图像的对称轴为直线，
故有 ，解得，所以，实数a的取值范围是.
(2)证明：由题意知是方程的较大的根，故，
由于，∴，∴．
设，，，
∴在单调递增，∴，即成立．
∴不等式成立,证毕.
【例12】设函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，证明：在上恒成立．
【答案】（1）在处取得极大值无极小值（2）详见解析
【详解】（1）当时，，
∴当时，；当时，．
∴在上单调递增，在上单调递减．
∴在处取得极大值无极小值
（2）当时，，
下面证，即证．设， 则，
在上，是减函数；在上，是增函数．
所以．设， 则，
在上，是增函数；在上，是减函数，
所以，．
所以，即，所以，即，
即在上恒成立
【跟踪训练12】设函数，，其中，e是自然对数的底数.
（1）设，当时，求的最小值；
（2）证明：当时，总存在两条直线和曲线与都相切；
（3）当时，证明：.
【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【详解】（1）由题可得，，则，
当时，单调递减；当时，单调递增，∴当时，取得极小值，也是最小值，且最小值为.
（2）证明：由题可得，，∴，
∴曲线在点处的切线方程为.∵，∴，
∴曲线在点处的切线方程为.
令，则.
令，则，
由（1）得当时，单调递减，且，又时，，
∴当时，单调递减；当时，单调递增.
易得，
又，
，∴函数在和内各有一个零点，
∴当时，总存在两条直线和曲线与都相切.
（3）证明：.
令，以下证明当时，的最小值大于0.
求导得.①当时，；
②当时，，
令，，，取且使，即，则，
∵，∴存在唯一零点，
即有唯一的极值点且为极小值点，又，
且，即，∴，
∵，∴是上的减函数.
∴，∴.综上，当时，.
【创新题试做】
一、单选题
1．已知函数，（）的三个零点分别为，，，其中，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，关于的不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
3．已知函数的导函数是偶函数，若方程在区间(其中为自然对数的底)上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
4．设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
5．已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．下列关于三次函数叙述正确的是（ ）
①函数的图象一定是中心对称图形；②函数可能只有一个极值点；
③当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点；
④当时，则过点的切线可能有一条或者三条．
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
8．已知定义在上的函数和函数满足，且，则下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
9．已知函数，若时，恒有，则的最大值为
A． B． C． D．
二、多选题
10．已知函数，下列选项正确的有（ ）
A．函数在上单调递减，在上单调递增 B．对任意，
C．当时， D．（且）
11．定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则必有（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，的图象与直线分别交于、两点，则（ ）
A．的最小值为
B．使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线
C．函数至少存在一个零点
D．使得曲线在点处的切线也是曲线的切线
13．已知函数，下列选项正确的是 （ ）
A．函数f（x）在（－2，1）上单调递增 B．函数f（x）的值域为
C．若关于x的方程有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是
D．不等式在恰有两个整数解，则实数a的取值范围是
14．已知函数有两个极值点，，则（ ）
A．a的取值范围为（－∞，1） B．
C． D．
15．我们常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数，等于十进制的数13．把m位n进制中的最大数记为，其中m，，为十进制的数，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．已知函数，，若，，不等式成立，则的可能值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
三、填空题
17．若函数与函数的图象有公切线，则实数的取值范围是________.
18．已知函数，且，给出下列命题：①；②；③当时， ；④，其中正确的命题序号是_____．
19．已知函数，若关于的方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是_________.
20．设函数，若对任意恒成立，则实数a的取值范围为________.
21．已知函数满足恒成立，则实数的取值范围是____．
22．设函数的两个极值点分别为，若恒成立，则实数的取值范围是_______．
四、双空题
23．已知函数则根为_____________；若函数有四个零点，则实数的取值范围是___________.
24．已知函数（），若函数的极值为0，则实数__________；若函数有且仅有四个不同的零点，则实数的取值范围是__________．
五、解答题
25．已知函数.
（1）当时，求的单调递增区间；
（2）若与的图象上恰有两对关于轴对称的点，求的取值范围.
26．已知函数，当时，的最大值为．
（1）讨论函数的单调性，并求的值；
（2）证明：不等式对任意的恒成立．
27．已知函数，．
（1）当为何值时，轴为曲线的切线；
（2）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数．
28．已知函数.
(1)当时，
（ⅰ）求在点处的切线方程；
（ⅱ）求的最小值；
(2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)当时，证明.
29．已知函数，是函数的两个零点，且，
（1）讨论函数的单调性；
（2）求的取值范围；
（3）设是函数的导函数，求证
30．已知函数．
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，设的两个极值点，恰为的零点，求的最小值．
【参考答案】
1．D【详解】∵，令，即，（）
令，（），则，则，（），
令，（），要想除1外再有两个零点，则在上不单调，
则，解得：或，当时，在恒成立，
则在单调递增，不可能有两个零点，
当时，设，即的两根为，且，
则有，故，
令，解得：或，令，解得：，
所以在，上单调递增，在上单调递减，
因为，所以，
又因为，若，则，
因为，所以，
所以
，因为，故.
检验：当时，（），，
此时在上单调递增，
又，即，此时为临界情况，；
综上：的取值范围为.
2．A【详解】对函数求导可得，令，解得，令，解得，所以的递增区间为，递减区间为，故的最大值，时时，故在时，，在时，，所以时，由不等式得或，而或，而的解集为，整数解有无数多个，不合题意；时，由不等式，得，解集为，整数解有无数多个，不合题意；时，由不等式得，所以的解集为无整数解．若不等式有且只有三个整数解，在递增，有递减，而，，所以三个正整数为，而，综上，实数的取值范围是．故本题答案选．
3．B【详解】，，
导函数的对称轴为直线，由于该函数为偶函数，则，
，令，即，得.
问题转化为当直线与函数在区间上的图像有两个交点时，求实数的取值范围．
，令，得，列表如下：
极大值
所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，，
又，，显然，，如下图所示：
结合图象可知，当时，即当时，直线与函数在区间上有两个交点，因此，实数的取值范围是．
4．D【详解】函数的定义域为..
函数恰有两个极值点，
即恰有两个零点，等价于函数有一个不等于1的零点.
令，得.令，，
则在递减，在递增，在取得最小值，
作的图象，并作的图象，如图所示
又.（原定义域中，这里为方便讨论，考虑）
当时，直线与只有一个交点，即只有一个零点（该零点值大于1）；
当时，在两侧附近同号，不是极值点；
当时，函数有两个不同零点（其中一个零点等于1），
但此时在两侧附近同号，使得不是极值点不合.
5．B【详解】函数有两个极值点，假设，则有两个不等的实数根，，方程的判别式，所以方程有两解，且或，函数的图像
和直线的交点个数即为方程解的个数，函数的图像和直线的交点个数即为方程解的个数.
在上单调递增，在上单调递减，又，画出图象如图所示，的图像和直线的交点个数为2个，
的图像和直线的交点个数为1个，或的根共有3个，即方程的不同实根个数为3.
6．C【详解】令，，所以，
因为需要保证有意义，所以，所以在上单调递增，
因为当时，，且，所以，使得，
并且当时，；当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，且，
所以，，所以
所以，
考虑函数，
其中，
根据复合函数单调性可得函数在上单调递减，
因为，所以解得到，所以，
因为在上单调递增，所以，
所以的最大值为.
7．A【详解】①的对称轴为的轴对称图形，所以必定是中心对称图形，且对称中心为，所以①正确：（或者可用证明）
②由于函数的图象是中心对称图形，如果存在极大值，那么一定存在极小值，故②错误；
③设切点为，，斜率，
切线为，所以
，化简得：，∴或者，所以当时，即时，切线与有唯一的交点，当时，切线与有两个不同的交点，所以③正确；
④过点的切线的切点不一定是，设切点为，则切线方程为，因为在切线上，所以，将，，代入化简可得：，∴或者，所以当时，即时，切线只有一条，当时，切线有两条，所以④错误；
8．C【详解】，，
则，，，
将代入函数的解析式得，得，
，则.构造函数，
则，
所以，函数在上单调递减，
，即，即，
因此，，故选C.
9．C【详解】因为函数，则，
由题可知，对，恒有成立，
令，则，
当时，函数在R上单调递增，且时，，不符合题意；
当时，，当时，令，所以函数在上单调递增，且在上单调递减；
所以，
故，
令，则，且，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，
所以，故，
综上所述，的最大值为.
10．BCD【详解】对于选项A：由已知得，则，，
令，，
则，当时，，单调递增；当时，，单调递减.所以对任意，，即，所以在，都是减函数，故A错误；
对于选项B：“对任意，”等价于“对任意，”，
令，则，
所以单调递增，单调递减，
又，∴，即
∴时，，故B正确；
对于选项C：令，，则，
当时，，单调递增，
所以当时，，即，所以，故C正确；
对于选项D：由A知，在上单调递减，则对任意，，即，所以当时，，即.
所以，，，…，，
以上式子相加得，
即（时，等号成立），故D正确.
11．ACD【详解】设函数，，因为
则，
所以在上单调递减，从而，
即，
则必有，，，.
又在上单调递减，所以x>0时，，
所以x>0时，，又，所以.
12．ABD
【详解】令，得，令，得，
则点、，如下图所示：
由图象可知，，其中，
令，则，则函数单调递增，且，当时，，当时，.
所以，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，A选项正确；
，，则，，
曲线在点处的切线斜率为，
曲线在点处的切线斜率为，
令，即，即，
则满足方程，所以，使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线，B选项正确；
构造函数，可得，
函数在上为增函数，由于，，
则存在，使得，可得，
当时，；当时，.
，
所以，函数没有零点，C选项错误；
设曲线在点处的切线与曲线相切于点，
则曲线在点处的切线方程为，即，
同理可得曲线在点处的切线方程为，
所以，，消去得，
令，则，
函数在上为减函数，，，
则存在，使得，且.
当时，，当时，.
所以，函数在上为减函数，，，
由零点存在定理知，函数在上有零点，
即方程有解.
所以，使得曲线在点处的切线也是曲线的切线.
13．ACD【详解】当时，，当时，，单调递减，
当时，，单调递增，当时，，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
又当时，，，故数f（x）在（－2，1）上单调递增，A正确；
由A选项分析可知：在处取得极小值，，在处取得极大值，，又时，恒成立，时，恒成立，
画出，如图：
故f（x）的值域为，B错误；
由得：或画出的图象，如图所示：
从图象可以看出有1个根，为，
要想方程有3个不相等的实数根，
需要需要有2个不相等的实数根，且不等于-1，
所以则实数a的取值范围是，C正确；
不等式在恰有两个整数解，
即在恰有两个整数解，在同一坐标系下画出的图象：当介于直线之间时，满足要求，
其中，，
则实数a的取值范围是，D正确.
14．BCD【详解】由题设，且定义域为，则，
当时，则单调递增，不可能存在两个零点，即不可能存在两个极值点，A错误；当时，即单调递增，当时，即单调递减，即，当时，，所以至多有一个零点；
当时，，而，当趋向于0时趋于负无穷大，当趋向于正无穷时趋于负无穷大，
综上，，在内各有一个零点，且，
B：由且趋向于0时趋于负无穷大，所以，故，
令，
，又，所以单调递减，
故当时，，
又，所以，
而，因此，故正确；
C：，
令，显然有，令，显然，
因此有：，设，则，
当时，单调递减，当时，单调递增，
因为，所以，令，即，
因为，所以单调递增，
因为，所以，
而，所以，因为，所以，
当时，单调递减，因此有，即，正确；
D：由，则，故，正确.
15．ABD【详解】对于A：即是：，A正确；
对于B：即是：
即是：，B正确；
对于C、D：，即是：
，即是：
构造函数：，求导得：
，，单调递增；
，，单调递减；
代入得：
即是：，
，D正确.
16．BCD
【详解】，若，则，则在单调递增， ；若，则在单减，在单增，，∴.
，则在单调递增，在单调递减，，
∴.∵，，不等式成立，
∴若，，成立；
若，，即，令，∴，∴h（x）在（1，+∞）单增.而，，，.
17．
【详解】设公切线与函数切于，与函数切与，则公切线斜率，故切线方程为，即，也可以表示为，即，可得，，，令，则，，令，则，则在上单调递增，当时，，时，，故.
故答案为：.
18．②③【详解】，当时，，在单调递减，
当时，，在单调递增，
①令，则，设，则，
在单调递增，当时，，
，，故①错误.
②令，则在上单调递增，
，，，故②正确.
③当时，则，在单调递增，，
，由②知，
，故③正确.
④令，则，
时，，在单调递减，
设，且，，
，故④错误.
19．【详解】方程有四个不相等的实数根，即方程有四个不相等的实数根，则或有四个不相等的实数根，
因为函数，
对方程的根分析，令，
由图象分析可知，当时，必有一根，
当时，令，则，所以函数单调递增，故，所以当时，方程无根，
故方程只有1个根，那么方程应有3个根，
对方程的根分析，令，
由图象分析可知，当时，必有一根，
当时，方程应有2两个不等的实根，其等价于方程有2个不等的实根，令，则，且其在内有两个零点，
显然当，函数单调递增，不满足条件，则；
令，则函数在区间上单调递减，在区间 单调递增；
所以函数在取得极小值，同时也为最小值，，
函数若要有两个零点，则，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：
20．
【详解】由题意不等式为，
即对任意恒成立，
令，由得，则，
函数在上是增函数．∴，从而，
∴对任意恒成立，令，
，
设，
，
∴时，，在上是增函数，∴时，，∴，
∴在时，是增函数，，
∴．故答案为：．
21．【详解】∵ 恒成立，
∴ 恒成立.∴
又 设，则
∴ 时，，函数为增函数，时，，函数为减函数，
又时，∴ 设，则恒成立，
所以在区间内单调递增，
所以，故所以实数的取值范围为.
22．
【详解】解：∵函数有两个极值点分别为，的定义域为，
，令，其判别式.
当时，在上单调递减，不合题意.
当时，的两根都小于零，在上，，则在上单调递减，不合题意.当时，，设的两个根都大于零，
令，
当时，，当时，，当时，，
故分别在上单调递减，在上单调递增，
∴的取值范围是.则，
，
.
若恒成立，则，
，不妨设，则.
又，①恒成立.
记，
记，
在上单调递增，在上单调递减，
且易知.又，
∴当时，；当时，.
故由①式可得，，代入方程，
得，（在上递增）.
又，∴的取值范围是.
23． 或2
【详解】（1）当时，，所以，
令，得，并且当时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，故当时，有唯一根，
当时，，令，解得（舍去）或2，
故当时，的根为2，综上，根为或2；
（2）因为，
当时，由（1），则，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
且仅当，且，因为当时，则有或，
即或，
由图象得，要使函数有四个零点，
则解得，或，无解，
综上所述，实数的取值范围是，
故答案是：或2；.
24．
【详解】当时，，即递增，无极值；当时，，
若时，，即递减，无极值；
若时，时，递减，时，递增，此时有极小值；综上，在且时，，可得；
由题设，，显然即为偶函数，
要有且仅有四个不同的零点，则在上有两个零点，即存在变号零点，
所以时，，故递增；
而趋向正无穷时趋于正无穷，故，即，而，存在使得，
即，且在上递减，在上递增，
由，趋向时趋于，故，只需，则或（舍），
而，则，即递增，所以.
综上，的取值范围.
故答案为：；
25．（1）单调递增区间为；（2）.
【详解】（1）当时，，则.
令，得，所以的单调递增区间为.
（2）因为与的图象上恰有两对关于轴对称的点，
所以方程有两个正根，即关于的方程有两个正根.
令，则
当时，在(0，2)上单调递减，在上单调递增，
所以，得.
当时，在(0，2)，上单调递减，在上单调递增，
所以或.
而，令，则.
设，则，所以在(2，4)上单调递减，在上单调递增，所以，不满足题意.
当时，在上单调递减，不满足题意.
当时，在，上单调递减，在上单调递增，
所以或
而，，不满足题意.综上所述，.
26．（1）见解析；；（2）证明见解析．
【详解】（1）由题意得，函数的定义域为， ，
(i)当时，，，得；，得．
所以在上单调递增，在上单调递减，
故的极大值为，所以最大值．
(ii)当时，，，得；，得．
(iii)当时，，
①当时，令，得或；，得．
②当时，在上恒成立．
③当时，令，得或；令，得．
综上所述，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
（2）令，则，原不等式等价于，
即．首先证明．
设，则，令，则，
则在上单调递减，在上单调递增．
又，，，所以．所以存在使得，
所以当时，，当时，，当时，，
所以在，上单调递增，在上单调递减．
又，所以在上恒成立，即对任意的恒成立，
即；由（1）知当时，，则，
所以，故，
故不等式对任意的恒成立．
【点睛】
27．（Ⅰ）；（Ⅱ）当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.
【详解】（Ⅰ）设曲线与轴相切于点，则，，即，解得.因此，当时，轴是曲线的切线.
（Ⅱ）当时，，从而，
∴在（1，+∞）无零点.
当=1时，若，则，,故=1是的零点；若，则，,故=1不是的零点.
当时，，所以只需考虑在（0,1）的零点个数.
（ⅰ）若或，则在（0,1）无零点，故在（0,1）单调，而，，所以当时，在（0，1）有一个零点；当0时，在（0，1）无零点.（ⅱ）若，则在（0，）单调递减，在（，1）单调递增，故当=时，取的最小值，最小值为=.
①若＞0，即＜＜0，在（0,1）无零点.
②若=0，即，则在（0,1）有唯一零点；
③若＜0，即，由于，，所以当时，在（0,1）有两个零点；当时，在（0,1）有一个零点.…10分
综上，当或时，由一个零点；当或时，有两个零点；当时，有三个零点.
28．(1)（ⅰ）；（ⅱ）0(2)(3)见解析
【解析】（1）解：当时，，，（ⅰ），所以在点处的切线方程为，即；（ⅱ）当时，，当时，，所以函数在上递减，在上递增，所以；
（2）解：，令，则，当，即时，，，所以函数在上递增，所以，即，，所以函数在上递增，所以，所以满足题意；当，即时，令，则，当时，，所以函数在上递减，所以当时，，即当时，，所以函数在上递减，此时，与题意矛盾，综上所述，实数的取值范围为；
（3）证明：由（2）得，当时，，即，要证，只需要证明，只需要证明，只需要证明，令，则，所以函数在上递增，所以，所以，所以.
29．（1）时，单调递增；时，单调递减；
（2）；（3）证明见解析．
【详解】（1），令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减
（2）方法一：由于函数存在两个零点，
由（1）可知，而，则，得，
，
由于在为增函数，且
.所以所以的取值范围是
方法二：函数有两个零点，即方程有两个实数根，即有两个实数根，设，则，设，且单调递增，
时，，，单调递减
时，，，单调递增
（3）由于是函数的两个零点，且
所以，
两式相减得：，
又因为，
要证明，只需证，
即只需证，设，构造函数
，在单调递增，
，
， 得证.
30．（Ⅰ）当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，当时，的单调递增区间为；（Ⅱ）．
【解析】（Ⅰ）函数，，；
当时，由解得，即当时，，单调递增；
由解得，即当时，，单调递减；
当时，，即在上单调递增；
当时，，故，即在上单调递增；
当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为； ...（5分）
（Ⅱ），则，
的两根、即为方程的两根；
又，，，； ...（7分）
又，为的零点，，
两式相减得,
得,而,
， ...（10分）
令，由得，
因为，两边同时除以，得，
，故，解得或，； ...（12分）
设，，则在上是减函数，
.
即的最小值为 ...（14分）
【课时作业】
一、单选题
1．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是
A． B． C． D．
2．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A． B． C． D．
3．已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题
5．曲线在点处的切线方程为__________．
6．在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.
三、解答题
7．已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
8．已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
9．设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
10．已知函数，，其中.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.
11．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明.
12．已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有
【参考答案】
1．A【详解】构造新函数,，当时.
所以在上单减，又，即.
所以可得,此时，
又为奇函数，所以在上的解集为：.
2．C【详解】∵，即，
（1）当时，，
当时，，故当时，在上恒成立；
若在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，当函数单增，当函数单减，
故，所以．当时，在上恒成立；
综上可知，的取值范围是，
3．D【详解】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；对于C，，则，
当时，，与图象不符，排除C.
4．C【详解】当时，，函数有两个零点和，不满足题意，舍去；当时，，令，得或．时，；时，；时，，且，此时在必有零点，故不满足题意，舍去；当时，时，；时，；时，，且，要使得存在唯一的零点，且，只需，即，则，选C．
5．【详解】由题，当时，，故点在曲线上．
求导得：，所以．故切线方程为．
6．4.【详解】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.由，得，，
即切点，则切点Q到直线的距离为，
7．（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2）
【详解】(1)当时，，，
由于，故单调递增，注意到，故：
当时，单调递减，当时，单调递增.
(2) [方法一]【最优解】：分离参数
由得，，其中，
①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；
②.当时，分离参数a得，，
记，，
令，则，，
故单调递增，，故函数单调递增，，
由可得：恒成立，故当时，，单调递增；
当时，，单调递减；因此，,
综上可得，实数a的取值范围是.
[方法二]：特值探路
当时，恒成立．只需证当时，恒成立．
当时，．
只需证明⑤式成立．
⑤式，令，
则，
所以当时，单调递减；当单调递增；
当单调递减．
从而，即，⑤式成立．
所以当时，恒成立．综上．
8．（1）见解析；（2）见解析
【详解】（1）由题意知：定义域为：且
令，，
在上单调递减，在上单调递减在上单调递减
又，，使得
当时，；时，
即在上单调递增；在上单调递减则为唯一的极大值点
即：在区间上存在唯一的极大值点.
（2）由（1）知：，
①当时，由（1）可知在上单调递增
在上单调递减
又为在上的唯一零点
②当时，在上单调递增，在上单调递减
又
在上单调递增，此时，不存在零点
又
，使得在上单调递增，在上单调递减
又，
在上恒成立，此时不存在零点
③当时，单调递减，单调递减
在上单调递减，又，
即，又在上单调递减在上存在唯一零点
④当时，，
即在上不存在零点
综上所述：有且仅有个零点
9．（1）；（2）证明见详解
【详解】（1）由，，
又是函数的极值点，所以，解得；
（2）[方法一]：转化为有分母的函数
由（Ⅰ）知，，其定义域为．
要证，即证，即证．
（ⅰ）当时，，，即证．令，因为，所以在区间内为增函数，所以．
（ⅱ）当时，，，即证，由（ⅰ）分析知在区间内为减函数，所以．
综合（ⅰ）（ⅱ）有．
[方法二] 【最优解】：转化为无分母函数
由（1）得，，且，
当 时，要证，， ，即证，化简得；
同理，当时，要证，， ，即证，化简得；
令，再令，则，，
令，，
当时，，单减，故；
当时，，单增，故；
综上所述，在恒成立.
[方法三] ：利用导数不等式中的常见结论证明
令，因为，所以在区间内是增函数，在区间内是减函数，所以，即（当且仅当时取等号）．故当且时，且，，即，所以．
（ⅰ）当时，，所以，即，所以．
（ⅱ）当时，，同理可证得．
综合（ⅰ）（ⅱ）得，当且时，，即．
10．（1）见解析；（2）.
【详解】（1）函数的定义域为，
.当时，令，可得或.
①当时，即当时，对任意的，，
此时，函数的单调递增区间为；
②当时，即当时，
令，得或；令，得.
此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
③当时，即当时，
令，得或；令，得.
此时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
（2）由题意，可得，可得，其中.
构造函数，，则.，令，得.
当时，；当时，.
所以，函数在或处取得最小值，
，，则，，.
因此，实数的取值范围是.
11．（1）见解析；（2）见解析.
【详解】（1） 的定义域为（0，+），.
若a≥0，则当x∈（0，+）时，，故f（x）在（0，+）单调递增.
若a＜0，则当时，时；当x∈时，.
故f（x）在单调递增，在单调递减.
（2）由（1）知，当a＜0时，f（x）在取得最大值，最大值为.
所以等价于，即.
设g（x）=lnx-x+1，则.
当x∈（0,1）时，；当x∈（1，+）时，.所以g（x）在（0,1）单调递增，在（1，+）单调递减.故当x=1时，g（x）取得最大值，最大值为g（1）=0.所以当x＞0时，g（x）≤0.从而当a＜0时，，即.
12．（Ⅰ）（i）；（ii）的极小值为，无极大值；（Ⅱ）证明见解析.
【详解】(Ⅰ) (i) 当k=6时，，.可得，，
所以曲线在点处的切线方程为，即.
(ii) 依题意，.从而可得，
整理可得：，令，解得.
当x变化时，的变化情况如下表：
单调递减 极小值 单调递增
所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；
g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值.
（Ⅱ）证明：由，得.
对任意的，且，令，则
. ①令.
当x>1时，，
由此可得在单调递增，所以当t>1时，，即.
因为，，，
所以
. ②
由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即，
故 ③
由①②③可得.
所以，当时，任意的，且，有
.导数一轮创新学案
——奋力争取，静待花开
班级：
姓名：
目录
【重点讲解】——————————————————————————3
【创新题试做】—————————————————————————11
【课时作业】——————————————————————————18
特别提醒：创新题试做部分是难度极大的试题，
仅针对学有余力的学生，或作为共同探讨问题。
请勿轻易尝试！请勿轻易尝试！请勿轻易尝试！
【重点讲解】
重点1：导数的几何意义（选填题）
【例1】若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（ ）
A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+
听课笔记：
【跟踪训练1】函数与有公切线，则实数的值为__________．
听课笔记：
【例2】已知点为函数的图象上任意一点，点为圆上任意一点，则线段的长度的最小值为
A． B． C． D．
听课笔记：
【跟踪训练2】已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为
A． B． C． D．
听课笔记：
重点2：导数与极最值（选填题）
【例3】已知函数，则的最小值是_____________．
听课笔记：
【跟踪训练3】函数的最小值为______.
听课笔记：
【例4】若2是函数的极大值点，函数的极大值是：
听课笔记：
重点3：利用导数研究函数零点问题（选填题）
【例5】设函数，其中 ，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
听课笔记：
【跟踪训练4】已知函数有唯一零点，则
A． B． C． D．1
听课笔记：
重点4：构造函数（选填题）
【例6】已知定义域为的奇函数的导函数为，当时， ，若，则的大小关系正确的是
A． B． C． D．
听课笔记：
【跟踪训练5】已知是定义在上的函数，为的导函数，且满足，则下列结论中正确的是
A．恒成立 B．恒成立
C． D．当时，；当时，
听课笔记：
【跟踪训练6】设定义在上的函数，满足，为奇函数，且，则不等式的解集为
A． B． C． D．
听课笔记：
重点5：双变量问题（大题）
【例7】已知函数，其中，，e为自然对数的底数.
(1)若，且当时，总成立，求实数a的取值范围；
(2)若，且存在两个极值点，，求证：
听课笔记：
【跟踪训练7】已知函数．
（1）求函数的最大值；
（2）若函数存在两个零点，证明：．
听课笔记：
重点6：极值点偏移（大题）
【例8】已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.
听课笔记：
【跟踪训练8】已知函数．
（1）若恒成立，求实数的取值范围．
（2）若函数的两个零点为，，证明：．
听课笔记：
重点7：切线放缩与割线放缩（大题）
【例9】（2018年新课标I卷文）已知函数．
（1）设是的极值点．求，并求的单调区间；
（2）证明：当时，．
听课笔记：
【跟踪训练9】已知函数.
(1)若函数f(x)的图象与直线y＝x－1相切，求a的值；(2)若a≤2，证明f(x)>ln x.
听课笔记：
【例10】已知函数在点处的切线方程为．
（1）求，；
（2）函数图像与轴负半轴的交点为，且在点处的切线方程为，函数，，求的最小值；
（3）关于的方程有两个实数根，，且，证明：．
听课笔记：
【跟踪训练10】已知函数（e为自然对数的底数）．
（1）求函数的零点，以及曲线在处的切线方程；
（2）设方程有两个实数根，求证：．
听课笔记：
重点8：隐零点与凹凸性反转（大题）
【例11】1.已知函数.
(1)若是的极值点，求t的值，并讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
听课笔记：
【跟踪训练11】已知函数在上有两个极值点，，且．
(1)求实数a的取值范围；(2)证明：当时，．
听课笔记：
【例12】设函数．
（1）当时，求的极值；
（2）当时，证明：在上恒成立．
听课笔记：
【跟踪训练12】设函数，，其中，e是自然对数的底数.
（1）设，当时，求的最小值；
（2）证明：当时，总存在两条直线和曲线与都相切；
（3）当时，证明：.
听课笔记：
【创新题试做】
一、单选题
1．已知函数，（）的三个零点分别为，，，其中，的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数，关于的不等式有且只有三个整数解，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
3．已知函数的导函数是偶函数，若方程在区间(其中为自然对数的底)上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
4．设函数恰有两个极值点，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
5．已知函数有两个极值点，若，则关于的方程的不同实根个数为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．若对任意，不等式恒成立，则实数a的最大值为（ ）
A． B． C． D．
7．下列关于三次函数叙述正确的是（ ）
①函数的图象一定是中心对称图形；②函数可能只有一个极值点；
③当时，在处的切线与函数的图象有且仅有两个交点；
④当时，则过点的切线可能有一条或者三条．
A．①③ B．②③ C．①④ D．②④
8．已知定义在上的函数和函数满足，且，则下列不等式成立的是
A． B．
C． D．
9．已知函数，若时，恒有，则的最大值为
A． B． C． D．
二、多选题
10．已知函数，下列选项正确的有（ ）
A．函数在上单调递减，在上单调递增 B．对任意，
C．当时， D．（且）
11．定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则必有（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数，的图象与直线分别交于、两点，则（ ）
A．的最小值为
B．使得曲线在处的切线平行于曲线在处的切线
C．函数至少存在一个零点
D．使得曲线在点处的切线也是曲线的切线
13．已知函数，下列选项正确的是 （ ）
A．函数f（x）在（－2，1）上单调递增 B．函数f（x）的值域为
C．若关于x的方程有3个不相等的实数根，则实数a的取值范围是
D．不等式在恰有两个整数解，则实数a的取值范围是
14．已知函数有两个极值点，，则（ ）
A．a的取值范围为（－∞，1） B．
C． D．
15．我们常用的数是十进制数，如，表示十进制的数要用10个数码．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9；而电子计算机用的数是二进制数，只需两个数码0和1，如四位二进制的数，等于十进制的数13．把m位n进制中的最大数记为，其中m，，为十进制的数，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
16．已知函数，，若，，不等式成立，则的可能值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
三、填空题
17．若函数与函数的图象有公切线，则实数的取值范围是________.
18．已知函数，且，给出下列命题：①；②；③当时， ；④，其中正确的命题序号是_____．
19．已知函数，若关于的方程有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是_________.
20．设函数，若对任意恒成立，则实数a的取值范围为________.
21．已知函数满足恒成立，则实数的取值范围是____．
22．设函数的两个极值点分别为，若恒成立，则实数的取值范围是_______．
四、双空题
23．已知函数则根为_____________；若函数有四个零点，则实数的取值范围是___________.
24．已知函数（），若函数的极值为0，则实数__________；若函数有且仅有四个不同的零点，则实数的取值范围是__________．
五、解答题
25．已知函数.
（1）当时，求的单调递增区间；
（2）若与的图象上恰有两对关于轴对称的点，求的取值范围.
26．已知函数，当时，的最大值为．
（1）讨论函数的单调性，并求的值；
（2）证明：不等式对任意的恒成立．
27．已知函数，．
（1）当为何值时，轴为曲线的切线；
（2）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数．
28．已知函数.
(1)当时，
（ⅰ）求在点处的切线方程；
（ⅱ）求的最小值；
(2)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)当时，证明.
29．已知函数，是函数的两个零点，且，
（1）讨论函数的单调性；
（2）求的取值范围；
（3）设是函数的导函数，求证
30．已知函数．
（Ⅰ）讨论函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，设的两个极值点，恰为的零点，求的最小值．
【课时作业】
一、单选题
1．设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是
A． B． C． D．
2．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为
A． B． C． D．
3．已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
4．已知函数，若存在唯一的零点，且，则的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题
5．曲线在点处的切线方程为__________．
6．在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.
三、解答题
7．已知函数.
（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.
8．已知函数，为的导数．证明：
（1）在区间存在唯一极大值点；
（2）有且仅有2个零点．
9．设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:．
10．已知函数，，其中.
（1）当时，求的单调区间；
（2）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.
11．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，证明.
12．已知函数，为的导函数．
（Ⅰ）当时，
（i）求曲线在点处的切线方程；
（ii）求函数的单调区间和极值；
（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有

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