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学 科 数学 课题名称 命题、条件、一元二次方程
知识梳理 1.有关命题的概念 一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。 命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。 2.充要条件的判定 充分条件与必要条件： 一般地，用、分别表示两个命题，如果成立，可以推出也成立，即，那么叫做的充分条件。叫做的必要条件。 充要条件： 如果既有，又有，即有，那么既是的充分条件又是的必要条件，这时我们就说是的充要条件。 3.反证法的定义 反证法是间接论证的方法之一。亦称“逆证”。是通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚假来确立论题的真实性的论证方法。反证法的论证过程如下：首先提出论题：然后设定反论题，并依据推理规则进行推演，证明反论题的虚假；最后根据排中律，既然反论题为假，原论题便是真的。在进行反证中，只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题，论题的反对判断是不能作为反论题的，因为具有反对关系的两个判断可以同时为假。反证法中的重要环节是确定反论题的虚假，常常要使用归谬法。反证法是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证或反驳比较困难时，用反证法会收到更好的效果。 反证法的步骤是： （1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾； （3）假设不成立，则结论成立． 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 4．等式的性质 5.方程的解集 含有未知数的等式称为方程．使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根 一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集． 6.一元二次方程的解集 一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式． 7．一元二次方程根与系数的关系 【备注】一元二次方程根的分布 设的两根为， 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 在内恰有一解或（检验另一根在内）或（检验另一根在内） 12． 讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置． 8、不等式的性质： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 注：在高考中，不等式性质的判断题常有出现，一般我们判断此类问题主要采用两种方法： 其一：按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。 其二：采用赋值法/特殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用； 二、比较两式大小的常见方法：作差法、作商法 作差法：作差是两式比较大小的常用方法，基本步骤如下： 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段； 第三步：定号，重点是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键． 注1：有的问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较； 注2：含参不等式的大小判断要注意符号问题，具体根据不等式性质判断．注意分类合理恰当． 作商法： 注：在两式无法确定正负号或是否可能为0的情况下无法适用. 作商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小. 例题讲解 例1．判断下列语句是不是命题，若是，判断其真假；若不是，说明理由。 （1）12是4的倍数； （2）对角互补的四边形外接于一个圆；（3）我会说英语；（4）今天下雨吗 （5）是有理数，则都是有理数。（6）所有能被6整除的整数都是3的倍数； （7）关于的方程有且只有一个实数根。 【难度】★ 【答案】（1）是命题，真命题，因为。 （2）是命题，真命题，定理。 （3）是命题，假命题，当时，为有理数，而不是有理数。 （4）不是命题，没有对一事物做出判断。 （5）不是命题，因为其不能做出真假判断。 （6）真命题。（7）假命题，当时，方程无实数根。 说明：假命题的判断可以使用“举反例法”。 若判断为真命题，则需证明。 例2．（1）若，，则是的 （ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 （2）已知、，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 例3．唐代诗人杜牧的七绝唐诗中两句诗为“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C.充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 例4．设均为正实数，反证法证明：至少有一个不小于2. 【分析】假设结论反面成立，即全部小于2.然后推理出矛盾结论． 【详解】 证明：假设全部小于2.即， 则，① 又，当且仅当时等号成立， 与①矛盾，所以假设错误．原命题为真． 所以至少有一个不小于2. 例5．求证：对于任何实数，三个数中至少有一个不小于． 例6．若是方程的两个根，试求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 【解析】：由题意，根据根与系数的关系得： (1) (2) (3) (4) 常见的一些变形结论：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形： ，，， ，， 等等．韦达定理体现了整体思想． 一元二次方程根的分布问题 例7．（1）、方程f(x)＝0有一根大于k，另一根小于k的条件是f(k)＜0 方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0两实根一个大于2，另一个小于2，求实数m的取值范围． 【解析】设f(x)＝8x2－(m－1)x＋m－7，符合题意的f(x)如图． 方程一根大于2，另一根小于2，等价于f(2)＜0， 即8·22－(m－1)·2＋m－7＝27－m＜0. 解得m的取值范围是m＞27. （2）、方程f(x)＝0的一根小于k1，另一根大于k2且k1＜k2的条件是 方程x2－(m－1)x＋m－7＝0两根x1，x2满足x1<－1，x2>2，求实数m的取值范围． 【解析】设f(x)＝x2－(m－1)x＋m－7.符合题意的f(x)图象如图． 两根x1，x2满足x1<－1，x2>2， 则即 解得m∈. （3）、方程f(x)＝0在区间(k，＋∞)内有两个实根的条件是 方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两实根都大于1，求实数m的取值范围． 【解析】方法一　设函数f(x)＝8x2－(m－1)x＋m－7，作其草图，如图． 若两实根均大于1，需 即解得m≥25. 方法二　设方程两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝，x1x2＝，因为两根均大于1， 所以x1－1＞0，x2－1＞0， 故有即解得 所以m≥25. （4）、方程f(x)＝0在区间(k1，k2)内有两个实根的条件是 方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0两实根都在区间(1,3)内，求实数m的取值范围． 【解析】　设f(x)＝8x2－(m－1)x＋m－7，[] 符合题意的f(x)图象如图 则即所以25≤m＜34. 例8．对于实数，，中，判断下列命题的真假： ①若，则． ②若，则． ③若，则． ④若，则． ⑤若，则． ⑥若，则． ⑦若，则． ⑧若，，则，． ⑨若，则 例9、（1）设、是不全为零的实数，试比较与的大小； （2）设为正数，且，求证：. 【参考答案】 （1）解法1： 因为、是不全为零的实数，所以，即 解法2：当时， ； 当时，作差：； 因为、是不全为零的实数，所以当时，． 综上， （2）证明：当时，取得等号3． 作差比较： = = =， 所以， 例10．（1）若角满足，则的取值范围是__________； 若角满足，则的取值范围为____________． 例11．设是实系数二次方程的两个实根，证明：，成立的充要条件是：，。 三：课后作业 1. 判断下列命题的真假, 如果是真命题, 请说明理由; 如果是假命题, 请举出反例. (1) 若, 则; (2)若, 则; (3)若, 则; (4)若, , 则; (5)若, , 则; (6)若, , 则; (7)若, 则; (8)若, , 则; (9)若, 则; (10). 2. 求解下列问题. 命题甲: 满足, 命题乙: 满足, 则甲是乙成立的_____________条件; 设, 求的取值范围. 3. 已知 “存在，使得”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4．用反证法证明“已知，求证：.”时，应假设(_) A． B． C．且 D．或 【答案】D 分析：根据反证法证明数学命题的方法，应先假设要证命题的否定成立，求得要证命题的否定，可得结论. 详解：根据反证法证明数学命题的方法， 应先假设要证命题的否定成立， 而的否定为“不都为零”，故选D. 点睛：本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于简单题. 5、若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根． （1）求| x1－x2|的值； （2）求的值；（3）x13＋x23． 【解析】∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，∴，． （1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝＝＋6＝，∴| x1－x2|＝． （2）． （3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2] ＝(－)×[(－)2－3×()]＝－． 6. 若是实数，则“”是“”或“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2021·安徽滁州市·）已知，给出下列不等式：①；②；③；④；其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用作差法，结合题干条件，可判断①②④的正误，代入特殊值，可判断③的正误，即可得答案. 【详解】对于①：， 因为，所以， 所以，即，故①正确； 对于②：， 因为，所以， 所以，即，故②正确； 对于③：当时，，， 所以，故③错误； 对于④：， 因为，所以， 所以，即，故④正确.所以正确的有①②④. 故选：C 8．如果，，那么的大小关系为________． 【答案】 【分析】利用分子有理化化简，通过比较分母的大小可得结果. 【详解】， ， ，，， . 故答案为：. 9. 已知，证明：若，则关于的两个方程和至少有一个方程有实数根。 10.若一元二次方程有两个正根，求的取值范围． 【难度】★ 【答案】依题意有0<<1． 11.若一元二次方程的两实根都小于2，求m的取值范围． 【难度】★★ 【答案】 12．若方程的两根中，一根在0与1之间，另一根在1与2之间，求k的取值范围． 【难度】★★ 【答案】 ,∴． 13、已知方程x2－a2x－a＋1＝0的两根x1，x2满足0＜x1＜1，x2＞1.则实数a的取值范围是 ． 【解析】设f(x)＝x2－a2x－a＋1. 依题意有 14．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0 （1）若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围 （2）若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围 【难度】★★★ 【答案】(1)条件说明抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内， 得 ∴ (2) 据抛物线与x轴交点落在区间(0，1)内，列不等式组　　 15.（1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 16.，且，设方程的根为,求证：. 17．设，． （1）证明：介于与之间； （2）判断，哪个更接近于，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）更接近于，理由见解析 【分析】（1）只要证明即可； （2）用来刻画与的接近程度，然后比较与的大小即可． 【详解】（1）证：∵， ∴介于，之间； （2）解：∵， ， 更接近于． 【点睛】本题主要考查比较代数式大小的方法，常用作差法或作商法，属于基础题．教师姓名 学生姓名 年 级 高三 上课时间
学 科 数学 课题名称 命题、条件、一元二次方程
知识梳理 1.有关命题的概念 一般地，我们把可以判断真假的语句叫做命题。 命题通常用陈述句表示，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题。 2.充要条件的判定 充分条件与必要条件： 一般地，用、分别表示两个命题，如果成立，可以推出也成立，即，那么叫做的充分条件。叫做的必要条件。 充要条件： 如果既有，又有，即有，那么既是的充分条件又是的必要条件，这时我们就说是的充要条件。 3.反证法的定义 反证法是间接论证的方法之一。亦称“逆证”。是通过断定与论题相矛盾的判断（即反论题）的虚假来确立论题的真实性的论证方法。反证法的论证过程如下：首先提出论题：然后设定反论题，并依据推理规则进行推演，证明反论题的虚假；最后根据排中律，既然反论题为假，原论题便是真的。在进行反证中，只有与论题相矛盾的判断才能作为反论题，论题的反对判断是不能作为反论题的，因为具有反对关系的两个判断可以同时为假。反证法中的重要环节是确定反论题的虚假，常常要使用归谬法。反证法是一种有效的解释方法，特别是在进行正面的直接论证或反驳比较困难时，用反证法会收到更好的效果。 反证法的步骤是： （1）假设结论不成立； （2）从假设出发推出矛盾； （3）假设不成立，则结论成立． 在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 4．等式的性质 5.方程的解集 含有未知数的等式称为方程．使得方程两端相等的未知数的值，称为方程的解或者方程的根 一般地，把一个方程所有解组成的集合称为这个方程的解集． 6.一元二次方程的解集 一般地，Δ＝b2－4ac称为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的判别式． 7．一元二次方程根与系数的关系 【备注】一元二次方程根的分布 设的两根为， 1． 2． 3． 4． 5． 6． 7． 8． 9． 10． 11． 在内恰有一解或（检验另一根在内）或（检验另一根在内） 12． 讨论二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：①判别式；②区间端点的函数值的符号；③对称轴与区间的相对位置． 8、不等式的性质： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 注：在高考中，不等式性质的判断题常有出现，一般我们判断此类问题主要采用两种方法： 其一：按照性质进行判断，此种方法要求我们对不等式性质有一个全面熟练的掌握。 其二：采用赋值法/特殊值法进行判断，此种方法对于证明假命题非常适用； 二、比较两式大小的常见方法：作差法、作商法 作差法：作差是两式比较大小的常用方法，基本步骤如下： 第一步：作差； 第二步：变形，常采用配方，因式分解等恒等变形手段； 第三步：定号，重点是能确定是大于0，还是等于0，还是小于0．最后得结论．概括为“三步，—结论”，这里的“变形”一步最为关键． 注1：有的问题直接作差不容易判断其符号，这时可根据两式的特点考虑先变形，到比较易于判断符号时，再作差，予以比较； 注2：含参不等式的大小判断要注意符号问题，具体根据不等式性质判断．注意分类合理恰当． 作商法： 注：在两式无法确定正负号或是否可能为0的情况下无法适用. 作商法的基本步骤是：①求商，②变形，③与1比大小从而确定两个数的大小. 例题讲解 例1．判断下列语句是不是命题，若是，判断其真假；若不是，说明理由。 （1）12是4的倍数； （2）对角互补的四边形外接于一个圆；（3）我会说英语；（4）今天下雨吗 （5）是有理数，则都是有理数。（6）所有能被6整除的整数都是3的倍数； （7）关于的方程有且只有一个实数根。 例2．（1）若，，则是的 （ ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 （2）已知、，则“”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 例3．唐代诗人杜牧的七绝唐诗中两句诗为“今来海上升高望，不到蓬莱不成仙。”其中后一句中“成仙”是“到蓬莱”的（ ） A．充分条件 B．必要条件 C.充分必要条件 D．既非充分又非必要条件 例4．设均为正实数，反证法证明：至少有一个不小于2. 例5．求证：对于任何实数，三个数中至少有一个不小于． 例6．若是方程的两个根，试求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 一元二次方程根的分布问题 例7．（1）、方程f(x)＝0有一根大于k，另一根小于k的条件是f(k)＜0 方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0两实根一个大于2，另一个小于2，求实数m的取值范围． （2）、方程f(x)＝0的一根小于k1，另一根大于k2且k1＜k2的条件是 方程x2－(m－1)x＋m－7＝0两根x1，x2满足x1<－1，x2>2，求实数m的取值范围． （3）、方程f(x)＝0在区间(k，＋∞)内有两个实根的条件是 方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0的两实根都大于1，求实数m的取值范围． （4）、方程f(x)＝0在区间(k1，k2)内有两个实根的条件是 方程8x2－(m－1)x＋m－7＝0两实根都在区间(1,3)内，求实数m的取值范围． 例8．对于实数，，中，判断下列命题的真假： ①若，则． ②若，则． ③若，则． ④若，则． ⑤若，则． ⑥若，则． ⑦若，则． ⑧若，，则，． ⑨若，则 例9、（1）设、是不全为零的实数，试比较与的大小； （2）设为正数，且，求证：. 例10．（1）若角满足，则的取值范围是__________； 若角满足，则的取值范围为____________． 例11．设是实系数二次方程的两个实根，证明：，成立的充要条件是：，。 三：课后作业 1. 判断下列命题的真假, 如果是真命题, 请说明理由; 如果是假命题, 请举出反例. (1) 若, 则; (2)若, 则; (3)若, 则; (4)若, , 则; (5)若, , 则; (6)若, , 则; (7)若, 则; (8)若, , 则; (9)若, 则; (10). 2. 求解下列问题. 命题甲: 满足, 命题乙: 满足, 则甲是乙成立的_____________条件; 设, 求的取值范围. 3. 已知 “存在，使得”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4．用反证法证明“已知，求证：.”时，应假设(_) A． B． C．且 D．或 5、若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根． （1）求| x1－x2|的值； （2）求的值；（3）x13＋x23． 6. 若是实数，则“”是“”或“”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．已知，给出下列不等式：①；②；③；④；其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如果，，那么的大小关系为________． 9. 已知，证明：若，则关于的两个方程和至少有一个方程有实数根。 10.若一元二次方程有两个正根，求的取值范围． 11.若一元二次方程的两实根都小于2，求m的取值范围． 12．若方程的两根中，一根在0与1之间，另一根在1与2之间，求k的取值范围． 13、已知方程x2－a2x－a＋1＝0的两根x1，x2满足0＜x1＜1，x2＞1.则实数a的取值范围是 ． 14．已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0 （1）若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m的范围 （2）若方程两根均在区间(0，1)内，求m的范围 15.（1）若，求的取值范围； （2）若，求的取值范围． 16.，且，设方程的根为,求证：. 17．设，． （1）证明：介于与之间； （2）判断，哪个更接近于，并说明理由．

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