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2022年全国一卷新高考题型细分2-8
——立体几何（填空）2 外接球、内切球、球截面
试卷主要是2022年全国一卷新高考地区真题、模拟题，合计174套。
题目设置有尾注答案，复制题干的时候，答案也会被复制过去，显示在文档的后面，双击尾注编号可以查看。方便老师备课选题。
单选、填空题型比较单一，按知识点、方法分类排版；多选题、大题比较综合，按难度分类排版，每道题后面标记该题的知识点、方法；
外接球：
（2022年江苏苏州第六中学J20，填空4）如图，已知四面体中，和都是等腰直角三角形，．若四面体外接球的表面积为，则此时二面角的大小为__________；若二面角为时，点为线段上一点，则的最小值为[endnoteRef:0]_______．
（两两垂直的外接球反求夹角，中下；求斜高，中下；） [0: 【答案】 ①. ## ②. ##
【解析】
【分析】①首先找到四面体外接球的球心，再作出二面角的平面角，即可求得二面角的大小；②首先确定的最小值即为的边上的高，再利用余弦定理解三角形即可求得的最小值.
【详解】分别取BD、CD中点E、F，连接EF，AE，AF
由和都是等腰直角三角形，．
可得，则为二面角的的平面角
又由和都是等腰直角三角形，．
可得，
①若四面体外接球的表面积为，可得四面体外接球的半径为
由和，可知在四面体外接球的大圆上,
则F为四面体外接球的球心，则
中，，则有
则，即此时二面角的大小为
②若二面角为时， 则，
又，则
点为线段上一点，则的最小值即为的边上的高
中
又，则
则边上的高为
则的最小值为
故答案为：；
]
（2022年山东枣庄一模J60）如图，等腰与矩形所在平面垂直，且，则四棱锥的外接球的表面积为[endnoteRef:1]______．
（直棱锥外接球，易） [1: 【答案】
【解析】
【分析】连接，交于点，取的中点，连接，则由已知可得平面，连接，，然后利用已知条件可求出，从而可得点为四棱锥的外接球的球心，从而可求出其表面积
【详解】连接，交于点，取的中点，连接，
因为，所以，
因为等腰与矩形所在平面垂直，平面平面，
所以平面，
连接，，则
因为等腰和矩形中，，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以点为四棱锥的外接球的球心，则球的半径为
所以四棱锥的外接球的表面积为，
故答案：
]
（2022年湖北重点中学J53，填空4）一边长为4的正方形为的中点，将分别沿折起，使重合，得到一个四面体，则该四面体外接球的表面积为_[endnoteRef:2]_______.
（直棱锥外接球，易） [2: 【答案】
【解析】
【分析】先判断出MA⊥平面ACD，△ACD为等边三角形.利用球内截面的性质，过△ACD的中心O1作平面ACD的垂线l1，过线段MC的中点O2作平面MAC的垂线l2，记，则O即为三棱锥M一ACD外接球的球心.利用勾股定理求出半径R，即可求出外接球的表面积.
【详解】如图所示，
由图可知在四面体A-CDM中，由正方形为的中点，可得MA⊥AD，MA⊥AC，AC∩AD=A，故MA⊥平面ACD.
将图形旋转得到如图所示的三棱锥M-ACD，其中△ACD为等边三角形，过△ACD的中心O1作平面ACD的垂线l1，过线段MC的中点O2作平面MAC的垂线l2，由球内截面的性质可得直线l1与l2相交，记，则O即为三棱锥M一ACD外接球的球心.
设外接球的半径为R，连接OC，O1C，可得.
在Rt△OO1C中，
，故该外接球的表面积.
故答案为：.
]
（2022年山东菏泽一模J37）如图，在四面体ABCD中，和都是等腰直角三角形，，，平面，则四面体ABCD外接球的表面积
为[endnoteRef:3]______．
（直棱锥外接球，易） [3: 【答案】
【解析】
【分析】取中点,连接，通过已知条件可以判断出N为四面体ABCD外接球的球心，进而可求四面体ABCD外接球的表面积.
【详解】如下图所示，取中点,连接.
在等腰直角中，，，，
在等腰直角中，，,
又平面，,即N为四面体ABCD外接球的球心，，则四面体ABCD外接球的表面积为.
故答案为：
]
（2022年福建漳州一中J21，填空3）在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，且△ABC为等边三角形，AB=3，PA=2，则三棱锥P-ABC的外接球的表面积为[endnoteRef:4]___________.
（直棱锥外接球，易） [4: 【答案】
【分析】求出的外接圆半径和球心到平面的距离，则可得出外接球的半径，进而求出表面积.
【详解】由题，设的外接圆半径为，则，即，
因为PA⊥平面ABC，所以球心到平面的距离，
设外接球的半径为，则，
所以外接球的表面积为.
故答案为：.
]
（2022年湖南岳阳J33，填空4）在梯形中，，将沿折起，连接，得到三棱锥，则三棱锥体积的最大值为__________．此时该三棱锥的外接球的表面积为___[endnoteRef:5]_______．
（直棱锥外接球，易） [5: 【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】注意到三棱锥体积最大时，平面平面ABC，可知以B为顶点时，BC为三棱锥的高，然后利用正余弦定理可得各棱长可得体积；利用球心到平面的距离、外接圆半径和球的半径满足勾股定理可得球半径，然后可得表面积.
【详解】过点C作，垂足为E，
为等腰梯形，
，
由余弦定理得，即
易知，当平面平面ABC时，三棱锥体积最大，
此时，平面
易知，
记O为外接球球心，半径为R
平面，
O到平面的距离
又的外接圆半径
故答案为：，
]
（2022年河北演练三J41，填空4）如图，在正三棱柱中，与平面所成的角为，则该三棱柱外接球的表面积为[endnoteRef:6]___________.
（直棱柱外接球，中下） [6: 【答案】
【解析】
【分析】因为是正三棱柱，所以外接球球心O在上下底面中心O1O2连线的中点，即外接球的半径R=OA1，计算即得.
【详解】
如图，取BC的中点M，连结A1M，AM，因为是正三棱柱，所以球心O在上下底面中心O1O2连线的中点，即外接球的半径R=OA1，
又因为与平面所成的角为，所以AA1与平面所成的角为，
又因为是正三棱柱，所以∠AA1M=45°，所以，
所以
所以外接球面积为.
故答案为：.
]
（2022年江苏如皋一调J40，填空4）在三棱锥中，已知是边长为的正三角形，平面，、分别是、的中点，若异面直线、所成角的余弦值为，则的长为______，三棱锥的外接球表面积为[endnoteRef:7]______．
（线线角反求长度，中下；直棱锥外接球，中下；） [7: 【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，设，利用空间向量法求出的值，可求得线段的长，设三棱锥的外接球球心为，根据已知条件建立关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，可得出球心的坐标，求出球的半径，利用球体的表面积公式可求得结果.
【详解】连接，则，又因为平面，以点为坐标原点，
、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，
设，则、、、、、，
，，
由已知可得，解得，
因此，，则点，
设三棱锥的外接球球心为，
由，即，解得，
所以，三棱锥的外接球半径为，
因此，该三棱锥外接球的表面积为.
故答案为：；.
]
（2022年河北衡水中学J15，填空4）将两个一模一样的正三棱锥共底面倒扣在一起，已知正三棱锥的侧棱长为2，若该组合体有外接球，则正三棱锥的底面边长为[endnoteRef:8]_________，该组合体的外接球的体积为_______．
（正棱锥外接球，中下） [8: 【答案】
【分析】连接交底面于点，点就是该组合体的外接球的球心，根据等边三角形性质计算，，得到答案.
【详解】如图，连接交底面于点，则点就是该组合体的外接球的球心.
设三棱锥的底面边长为，则，得，所以，，所以.
故答案为：；.
]
（2022年湖北四校联考J17，填空4）已知三棱锥中，，则点到平面的距离为______，该三棱锥的外接球的体积为[endnoteRef:9]_____．
（等体积法求距离，易；直棱锥外接球，中下；） [9: 【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】取的中点，连接和，得到，，设到平面的距离为，根据，即可求得点到平面的距离，再结合球的截面圆的性质，求得外接球的半径，利用体积公式，即可求解.
【详解】如图所示，因为，可得，
又因为，所以平面，
由，可得，
取的中点，连接和，
在直角中，可得，且，
设到平面的距离为，
又由，即，
解得，即点到平面的距离为.
在中，，
设△ABC外接圆的圆心为，半径为，可得外接圆的直径为，
可得，即,
设外接球的球心为，半径为，因为平面，且，可得
在直角中，可得，可得，
所以外接球的体积为.
故答案为：；.
]
（2022年广东梅州二模J20，填空3）已知正四棱台的上、下底面的顶点都在一个半径为的球面上，上、下底面正方形的外接圆半径分别为和，则此正四棱台的体积为[endnoteRef:10]___________.
（台体外接球，中下） [10: 【答案】
【解析】
【分析】分析可知，正四棱台的外接球球心在等腰梯形所在平面内，作出梯形及其外接圆，求出梯形的高以及正四棱台的上、下底面面积，利用台体的体积公式可求得结果.
【详解】在正四棱台中，
由正四棱台的几何性质可知，该四棱台的外接球球心在等腰梯形所在平面内，
由题设，设，，设球心为，如下图所示：
连接、，因为，则为等腰梯形的外接圆的一条直径，
且点为的中点，由题意可得，所以，为等边三角形，
所以，正四棱台的高为，
正方形的边长为，其面积为，
正方形的边长为，其面积为，
因此，正四棱台.
故答案为：.
]
（2022年山东猜想J54）在四面体ABCD中，是边长为2的等边三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，平面平面BC，则四面体ABCD的外接球的表面积为[endnoteRef:11]__________．
（外心法求外接球，中下） [11: 【答案】
【解析】
【分析】由面面垂直得线面垂直，从而可证得两两垂直，以为棱构造正方体，正方体外接球就是四面体的外接球，由此得球半径，得球表面积．
【详解】因为是以为斜边的等腰直角三角形，所以，
又因为平面平面，平面平面，平面，
所以平面，平面，，所以，
所以，于是，即两两垂直，
以为棱构造正方体，正方体的外接球就是四面体的外接球，
可得四面体的外接球半径，
所以表面积为
故答案为：．
【点睛】方法点睛：本题考查求球的表面积，解题关键是求得球的半径，方法是由已知垂直证得两两垂直，然后经它们为棱构造正方体，由正方体的外接球就是四面体的外接球可得球半径．
]
（2022年河北联考J42，填空3）已知四边形中，，，三角形沿折起，使得二面角为120°，则此空间四边形外接球的表面积为[endnoteRef:12]______.
（外心法求外接球，中下） [12: 【答案】
【分析】根据题意，过点M、N做平面和平面的垂线，交点为该图形的外接球的球心O，结合球的截面的性质，求解求得半径，利用表面积公式，即可求解.
【详解】如图所示，三角形的外心为的中点M，等边三角形的外心为N，
分别过点M、N做平面和平面的垂线，交点为该图形的外接球的球心O，
因为，为的中点，所以，
根据重心的性质，可得，
因为二面角为，，可得，所以，
又因为，所以，
所以外接球的表面积为.
故答案为：
]
（2022年湖南三湘名校J45，填空4）如图，在四棱锥中，底面为正方形，为正三角形，且，，则该四棱锥的外接球的半径为_[endnoteRef:13]__________.
（外心法求外接球，中下） [13: 【答案】6
【分析】根据球的截面性质确定球心的位置，解三角形求出球的半径.
【详解】作中点中点，连接，
设外心为，正方形中心为，球心为，
延长，交于点，
易知，，，
因为，所以，
在中，由余弦定理可知，
，
所以，所以，
因为，所以，所以，，
所以，即，
又，所以外接球半径.
故答案为：6.
]
（2022年湖北黄冈中学J14）圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱底面直径为8，则该圆柱的体积为[endnoteRef:14]_____
（圆柱外接球，易） [14: 【答案】
【解析】
【分析】由球体积求得球半径，再由球的截面性质求得圆柱的高，从而得圆柱体积．
【详解】球的半径为，，解得，圆柱的高为：．可得．
故答案为：．
]
（2022年福建漳州J20，填空4）在平行四边形中，，，，点E在边上，且.将沿折起后得到四棱锥，则该四棱锥的体积最大值为____________；该四棱锥的体积最大时，其外接球的表面积为[endnoteRef:15]____________
（体积最值分析，中下；外心法求外接球，中下；） [15: 【答案】 ①. 96 ②.
【解析】
【分析】（1）判断出面CDE⊥面时体积最大，分别求出底面积和高，即可求出四棱锥的体积；
（2）找到球心的位置，求出半径，即可求出表面积.
【详解】如图示，平行四边形中，，所以.
因为，所以为等边三角形.所以,所以四边形为等腰梯形，所以.
要使四棱锥的体积最大，只需高最大，此时面CDE⊥面，高为，
所以该四棱锥的体积最大值为.
设等腰梯形的外心为O1，O1到AD的距离为d，由可得：，解得：，所以.
由球的截面的性质可知：过等腰梯形的外心为O1作直线a⊥面，过等边三角形的中心为O2作直线b⊥面，则a、b的交点O即为外接球的球心.
所以半径，
所以外接球的表面积为.
故答案为：①96；②
【点睛】多面体的外接球问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：
(1)公式法；(2) 多面体几何性质法；(3)补形法；(4)寻求轴截面圆半径法；(5)确定球心位置法．
]
内切球：
（2022年广东广州三模J14，填空4）讲一个半径为5的水晶球放在如图所示的工艺架上，支架是由三根金属杆PA PB PC组成，它们两两成60°角.则水晶球的球心到支架P的距离是[endnoteRef:16]________.
（内切球，中下） [16: 【答案】5
【解析】
【分析】由题意画出示意图，O为球心，利用所给数据，求出DA，PD，OD，利用cos60°=cos30°cos∠CPD解出PO即可.
详解】解：设PO=x，作OD⊥平面BPA，连接AD，DB，则PA=，
DA=，PD=，
OD=，
cos60°=cos30°cos∠CPD，
，1=，
，所以x=，
故答案为：5.
【点睛】
本题考查直线与球相切的有关问题，考查学生逻辑思维能力，空间想象能力，是中档题.关键是利用含有直二面角的三面角三余弦定理cos∠APC=cos∠APDcos∠CPD计算求解.
]
（2022年湖北重点联考J54，填空4）如图，某化学实验室的一个模型是一个正八面体（由两个相同的正四棱锥组成，且各棱长都相等）若该正八面体的表面积为，则该正八面体外接球的体积为___________；若在该正八面体内放一个球，则该球半径的最大值为[endnoteRef:17]___________.
（内切球，中下） [17: 【答案】
【分析】由已知求得正八面体的棱长为，进而求得，即知外接球的半径，进而求得体积；若球O在正八面体内，则球O半径的最大值为O到平面的距离，证得平面，再利用相似可知，即可求得半径.
【详解】如图，记该八面体为，O为正方形的中心，则平面
设，则，解得.
在正方形中，，则
在直角中，知，即正八面体外接球的半径为
故该正八面体外接球的体积为.
若球O在正八面体内，则球O半径的最大值为O到平面的距离.
取的中点E，连接，，则，
又，，平面
过O作于H，又，，所以平面，
又，，则，
则该球半径的最大值为.
故答案为：，
]
（2022年广东韶关二模J06，填空4）将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=2，则四面体ABCD的外接球的半径为______，四面体ABCD的内切球与外接球的球心距为 [endnoteRef:18] 。
（内切球，中档） [18: ，；
]
（2022年山东烟台三模J07，填空4）某学校开展手工艺品展示活动，小明同学用塑料制作了如图所示的手工艺品，其外部为一个底面边长为6的正三棱柱，内部为一个球，球的表面与三棱柱的各面均相切，则该内切球的表面积为___________，三棱柱的顶点到球的表面的最短距离为[endnoteRef:19]_________.
（内切球，中档）
[19: 【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】过侧棱的中点作正三棱柱的截面，即可得到球心为的中心，在正中求出内切圆的半径即内切球的半径，从而求出球的表面积，再求出三棱柱的顶点到球心的距离，即可求出球面上的点到顶点的距离的最小值；
【详解】解：依题意如图过侧棱的中点作正三棱柱的截面，则球心为的中心，
因为，所以内切圆的半径，
即内切球的半径，所以内切球的表面积，
又正三棱柱的高，
所以，所以，
所以到球面上的点的距离最小值为；
故答案为：；
]
（2022年山东名校联盟J55，填空4）已知等边的边长为2，将其绕着BC边旋转角度，使点A旋转到位置．记四面体的内切球半径和外接球半径依次为r，R，当四面体的表面积最大时，_[endnoteRef:20]___，______．
（内切球，中档） [20: 【答案】 ①. ②. ##
【解析】
【分析】先判断出当时四面体的表面积最大，即可求得；先求出表面积，再得到的中点O为四面体的外接球球心，即可求得，再求出四面体的体积，由即可求得，即可求解.
【详解】
易得的面积为定值，又，显然当时，此时面积最大，
即四面体的表面积最大，此时；
当四面体的表面积最大时，易知四面体的表面积最大值为，设的中点为O，
易知，∴，即O为四面体的外接球球心，∴四面体的外接球半径，
∵，且，∴，∴，由，平面，
，可得平面，∴四面体的体积为，
又，∴，解得，
∴.
故答案为：；．
]
球截面：
（2022年湖北孝感J47，填空3）一个与球心距离为的平面截球所得的圆周长为，则球的表面积为_[endnoteRef:21]__________.
（球截面，易） [21: 【答案】36π
【分析】先求得截面圆的半径r，再根据球心到截面的距离为，然后求得球的半径即可.
【详解】因为截面圆的周长为，
所以截面圆的半径为：,
又因为球心到截面的距离为，
所以球的半径为：，
所以球的表面积为，
故答案为：36π
]
（2022年江苏南京金陵中学J08）边长为3的正方形的四个顶点都在球上，与对角线的夹角为45°，则球的体积为____[endnoteRef:22]__.
（球截面，中下） [22: 【13题答案】
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件结合球的截面小圆性质求出球O的半径，再利用球的体积公式计算作答.
【详解】因边长为3的正方形的四个顶点都在球上，则正方形的外接圆是球O的截面小圆，其半径为，
令正方形的外接圆圆心为，由球面的截面小圆性质知是直角三角形，且有，
而与对角线的夹角为45°，即是等腰直角三角形，球O半径，
所以球的体积为.
故答案为：
【点睛】关键点睛：涉及求球的表面积、体积问题，利用球的截面小圆性质是解决问题的关键.
]
（2022年山东J53，填空3）已知在正四面体中，，记以PA为直径的球为球O，则平面ABC截球O所得截面的面积为[endnoteRef:23]______．（球截面，中下） [23: 【答案】##
【解析】
【分析】取BC的中点D，过点P作平面ABC于点E，利用正四面体及球的性质可知平面ABC截球O所得截面的直径为AE，然后通过计算即得.
【详解】如图，取BC的中点D，连接AD，过点P作平面ABC于点E，
由正四面体的特征可知，
点E为AD上靠近点D的三等分点．
因为PA为球O的直径，平面ABC，，
所以平面ABC截球O所得截面的直径为AE．
因为，所以，
故平面ABC截以PA为直径的球所得截面面积为．
故答案为：.
]
（2022年湖南名校联考J48，填空3）某同学在参加魔方实践课时，制作了一个工艺品，如图所示，该工艺品可以看成是一个球被一个棱长为的正方体的六个面所截后剩余的部分（球心与正方体的中心重合），若其中一个截面圆的周长为，则该球的半径是[endnoteRef:24]__________．
（球截面，中下） [24: 【答案】6
【分析】设球心为O，作出过球心的截面图如图所示，然后根据已知条件结合球的性质求解即可
【详解】设球心为O，作出过球心的截面图如图所示，则，
由截面圆的周长为，得，∴，
球的半径是．
故答案为：6
]
（2022年江苏盐城J64，填空4）《缀术》是中国南北朝时期的一部算经，汇集了祖冲之和祖暅父子的数学研究成果.《缀术》中提出的“缘幂势既同，则积不容异”被称为祖暅原理，其意思是：如果两等高的几何体在同高处被截得的两截面面积均相等，那么这两个几何体的体积相等，该原理常应用于计算某些几何体的体积.如图，某个西晋越窑卧足杯的上下底为互相平行的圆面，侧面为球面的一部分，上底直径为，下底直径为，上下底面间的距离为，则该卧足杯侧面所在的球面的半径是[endnoteRef:25]_______；卧足杯的容积是________（杯的厚度忽略不计）.
（球截面，中下） [25: 【答案】 ① ②.
【解析】
【分析】设球体的半径为，，得到，解出，求出球体半径；由祖暅原理知，碗的体积等于下图右边中间高为的圆柱体积减去一个圆台，分别求出圆柱和圆台的容积，作差即可求解.
【详解】如下图：设球体的半径为，，由得，
，解得，所以；
由祖暅原理知，碗的体积等于下图右边中间高为的圆柱体积减去一个圆台，
设圆台上表面半径为，则，下表面半径为，所以，，.
故答案为：；.
]
（2022年江苏徐州J52，填空4）已知，，，是半径为的球面上四点，，分别为的中点，，，则以为直径的球的最小表面积为_______________；若，，，不共面，则四面体的体积的最大值为_[endnoteRef:26]____________．
（球截面，最值分析，中下；） [26: 【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】①利用圆的垂径定理，可求得，，再利用三角形三边关系定理可求得的取值范围，即可求得以为直径的球的最小表面积②过作，连接，四边形为平行四边形，则，求得和的最大值即可求解
【详解】设球心为O，∴，
分别取中点，知
，
∴以为直径的球的最小表面积为
过作，连接，四边形为平行四边形，
设，设到平面距离
∴
∵，也为到平面的距离，
∴
故答案为：；．
]
（2022年河北J47，填空4）四面体ABCD的顶点A，B，C，D在同一个球面上，．若该球的表面积为．则四面体ABCD体积的最大值为[endnoteRef:27]______．
（球截面，最值分析，中下；） [27: 【答案】
【分析】先由球的表面积为，求得球的半径，进而求得三棱锥的高，然后由四面体的高最大为求解.
【详解】因为球的表面积为，
所以，
解得球的半径，
因为，
所以ABC的高为，
记四面体ABCD外接球球心为O，
则三棱锥的高为，
所以四面体ABCD体积的最大值为．
故答案为：
]
（2022年福建厦门双十中学J28，填空3）已知是球的球面上的四点，为球的直径，球的表面积为，且，，则直线与平面所成角的正弦值是[endnoteRef:28]___________.
（球截面，线面角，中档） [28: 【答案】##
【解析】
【分析】取AC中点，延长至E，使，根据给定条件证明平面ABC，经推理计算作答.
【详解】依题意，是中点，取AC中点，延长至E，使，连接，如图，
则有，且四边形是平行四边形，，
因，则是平面截球O所得截面小圆的圆心，于是得平面，平面，
因此，是直线与平面所成角，
由球的表面积为得球半径，而，则，而，
从而得，，中，，，
所以直线与平面所成角的正弦值是.
故答案为：
]
（2022年江苏J67，填空4）已知空间四边形的各边长及对角线的长度均为平面平面点在上，且过点作四边形外接球的截面﹐则截面面积最大值与最小值之比为[endnoteRef:29]________.
（外心法求外接球，球截面最值分析，中档） [29: 【答案】
【解析】
【分析】取中点为连接，球心在平面的投影为外心，
在上，作于依题意可证由面面垂直的性质得到平面，求出、，从而求出外接球的半径，再连接，即可得到三点共线，从而求出截面面积最大值与最小值，从而得解；
【详解】解：由题知和为等边三角形，取中点为连接，
则
由平面平面平面平面
故平面，，
易知球心在平面的投影为的外心，
上，作于，
易得
则在中，，
所以外接球半径，连接
因为
所以三点共线，所以
当截面过球心时截面面积最大为，
当为截面圆圆心时截面面积最小，此时截面圆半径为，面积为，所以截面面积最大值与最小值之比为是.
故答案为：
]

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