资源简介

圆中的范围与最值问题
【考点预测】
涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：
(1) = y b形如 μ x a 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如 t= ax+ by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如m= (x a)2+ (y b)2的最值问题，可转化为曲线上的点到点 (a，b)的距离平方的最值问题
【方法技巧与总结】
解决圆中的范围与最值问题常用的策略：
(1)数形结合
(2)多与圆心联系
(3)参数方程
(4)代数角度转化成函数值域问题
【题型归纳目录】
题型一：斜率型
题型二：直线型
题型三：距离型
题型四：周长面积型
题型五：数量积型
题型六：坐标与角度型
题型七：长度型
题型八：方程中的参数
【典例例题】
题型一：斜率型
例1.(2022· n- 1福建南平·三模)已知P m,n 为圆C： x- 1 2+ y- 1 2= 1上任意一点，则 m+ 1 的最大值为
___________．
例2.(多选题) (2022·山东泰安·三模)已知实数 x，y满足方程 x2+ y2- 4x- 2y+ 4= 0，则下列说法正确的
是 ( )
y 4 yA. x 的最大值为 3 B. x 的最小值为 0
C. x2+ y2的最大值为 5+ 1 D. x+ y的最大值为 3+ 2
例3.(2022·全国·高三专题练习 (理))在正三角形ABC中，M为 BC中点，P为三角形内一动点，且满足
PA= 2PM PA，则 PB 最小值为 ( )
A. 1 B. 64 C.
2
2 D.
3
2
例4.(2022·河南·模拟预测 (文))已知点 P x,y 在圆 x- 1 2+
4- y
y- 1 2= 3上运动，则 x- 3 的最大值为
( )
A. - 6- 30
B. 6+ 30
C. - 6+ 30
D. 6- 30
题型二：直线型
例5.(2022·全国·高三专题练习)已知点P(x,y)是圆 x2+ y2- 6x- 4y+ 12= 0上的动点，则 x+ y的最大值
为 ( )
A. 5+ 2 B. 5- 2 C. 6 D. 5
例6.(2022·全国·高三开学考试 (文))已知点P x,y 是圆C： x- a 2+ y2= 3 a> 0 上的一动点，若圆C
经过点A 1, 2 ，则 y- x的最大值与最小值之和为 ( )
A. 4 B. 2 6
C. - 4 D. - 2 6
例7.(2022·全国·高三专题练习)点P(x,y)是圆 x2+ y2= 12上的动点，则 x+ y的最大值是________．
题型三：距离型
例8.(2022·上海虹口·二模)设 a∈R，k∈R，三条直线 l1：ax- y- 2a+ 5= 0，l2：x+ ay- 3a- 4= 0，l3：y
= kx，则 l1与 l2的交点M到 l3的距离的最大值为_________．
|PA|
例9.(2022·黑龙江·哈九中模拟预测 (文))若平面内两定点A、B间的距离为 2，动点P满足 = 2，则
PB
PA 2+ PB 2
2 的最大值为______．

例10.(2022·全国·高三专题练习)若A，B是⊙O：x2+ y2= 4上两个动点，且OA OB=-2，A，B到直线
l： 3x+ y- 4= 0的距离分别为 d1，d2，则 d1+ d2的最大值是
( )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
例11.(2022·陕西安康·二模 (文))已知直线 l与圆O:x2+ y2= 4交于A x1,y1 ,B x2,y2 两点，且 AB = 2，则
x1+ y1+ 4 + x2+ y2+ 4 的最大值为___________．
例12.(2022·全国·高三专题练习)已知实数 x1,x2,y1,y2满足：x2+ y2= 1，x2+ y21 1 2 2= 1，x1x2+ y1y2= 0，则
x1+ y1- 1 + x2+ y2- 1 的最大值为______．
2 2
例13.(2022·河北石家庄·模拟预测)若点P在曲线 x2+ y2= x + y 上运动，则点P到直线 x+ y+ 2= 0的
距离的最大值为 ( )
A. 2 2
B. 2
C. 2
D. 4
例14.(2022·浙江·模拟预测)在平面直角坐标系中，直线 y= kx+m k≠ 0 与 x轴和 y轴分别交于A，B两
点， AB = 2 2，若CA⊥CB，则当 k，m变化时，点C到点 1,1 的距离的最大值为 ( )
A. 4 2 B. 3 2 C. 2 2 D. 2
例15.(2022 ·浙江 ·高三专题练习)已知点 P -1,0 ，圆 x- 1 2+ y 2= 9上的两个不同的点 A x1,y1 、

B x2,y2 满足AP= λPB λ∈R ，则 4x1+ 3y1- 25 + 4x2+ 3y2- 25 的最大值为 ( )
A. 12 B. 18 C. 60 D. 272
例16.(2022·江西·宁冈中学高三开学考试 (理))已知点P x,y 在圆 x2+ y2= 1上，则 x- 1 2+ y- 1 2
的最大值为 ( )
A. 2 B. 2 2 C. 1 D. 2+ 1
例17.(2022·河北衡水·二模)在平面直角坐标系 xOy中，点A在 x轴上，点B在 y轴上， AB = 2，点C满足
AC⊥BC，则点C到点P 3,1 的距离的最大值为 ( )
A. 3 B. 72 C. 5 D. 4
例18.(2022·全国·高三专题练习)若 x、a、b为任意实数，若 (a+ 1)2+ (b- 2)2= 1，则 (x- a)2+ (lnx- b)2
最小值为 ( )
A. 2 2
B. 9
C. 9- 4 2
D. 2 2- 1

例19.(2022· · ) a 辽宁 东北育才学校二模 已知平面向量 ，b ，c，满足 x∈R, a - xb ≥ a - 1 b 4 ， a = 2,a b

= 4， a - c b- 2c = 6 ，则 a- c 的最小值为 ( )
A. 1 B. 2+ 63 C. 3 D.
6- 2
2
例20.(2022·河南河南·三模 (理))已知M，N为圆C：x2+ y2- 2x- 4y= 0上两点，且 MN = 4，点P在直

线 l：x- y+ 3= 0上，则 PM +PN 的最小值为 ( )
A. 2 2- 2 B. 2 2 C. 2 2+ 2 D. 2 2- 5
|PA|
例21.(2022·全国·高三专题练习)若平面内两定点A，B间的距离为 2，动点P 1满足 2| = 3，则 (|PA|PB| 2
+ |PB|2)的最大值为 ( )
A. 3+ 3 B. 7+ 4 3 C. 8+ 4 3 D. 16+ 8 3
例22.(2022·全国·高三专题练习)已知P是半圆C： 2y- y2 =-x上的点，Q是直线 x- y- 1= 0上的一
点，则 PQ 的最小值为 ( )
A. 3 2 B. 2- 1 C. 22 2 - 1 D.
2
2
例23.(2022·全国·高三专题练习)若M，N分别为圆C1：(x+ 6)2+ (y- 5)2= 4与圆C2：(x- 2)2+ (y- 1)2
= 1上的动点，P为直线 x+ y+ 5= 0上的动点，则 PM + PN 的最小值为 ( )
A. 4 5- 3 B. 6 C. 9 D. 12
例24.(2022·全国·模拟预测 (理))过圆C：(x- 1)2+ y2= 1外一点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别
为A、B，若PA⊥PB，则点P到直线 l:x+ y- 5= 0的距离的最小值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 2 2 D. 3 2
题型四：周长面积型
例25.(2022·全国·高三专题练习)已知点A(2，0)，B(0，-1)，点 P是圆 x2+ (y- 1)2= 1上任意一点，则
△PAB 面积最大值为 ( )
A. 2 B. 4+ 5 C. 1+ 5 D. 2+ 52 2
例26.(2022·河南安阳·模拟预测 (文))已知圆C :(x- 2)2+ (y- 6)2= 4，点M为直线 l:x- y+ 8= 0上一个
动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形CAMB周长的最小值为 ( )
A. 8 B. 6 2 C. 5 2 D. 2+ 4 2
例27.(2022·全国·高三专题练习)已知圆C:(x- 2)2+ (y- 6)2= 4，点M为直线 l:x- y+ 8= 0上一个动点，
过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形CAMB周长取最小值时，四边形CAMB的
外接圆方程为 ( )
A. (x- 7)2+ (y- 1)2= 4 B. (x- 1)2+ (y- 7)2= 4
C. (x- 7)2+ (y- 1)2= 2 D. (x- 1)2+ (y- 7)2= 2
例28.(2022·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系 xOy中，圆C与圆O:x2+ y2= 1外切，且与直线 x-
3y+ 4= 0相切，则圆C的面积的最小值为 ( )
A. π4 B. π C.
π
9 D. 2π
例29.(2022·北京昌平·二模)已知直线 l:ax- y+ 1= 0与圆C :(x- 1)2+ y2= 4相交于两点A,B，当 a变化
时，△ABC的面积的最大值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2
例30.(2022·河南·高三阶段练习 (理))已知直线 l1:mx- y= 0(m∈R)过定点A，直线 l2:x+my+ 4- 2m=
0过定点B， l1与 l2的交点为C，则△ABC面积的最大值为 ( )
A. 10 B. 2 5 C. 5 D. 10
题型五：数量积型
例31.(2022·全国·高三专题练习)已知正方形ABCD的边长为 2，以B为圆心的圆与直线AC相切．若点

P是圆B上的动点，则DB AP的最大值是________．

例32.(2022·辽宁大连·二模)已知A(4,0)，B(0,-6)，点P在曲线 y= 1- 1- x2 上，则PA PB的最小值
为___________．

例33.(2022·全国·高三专题练习)已知半径为 1的圆O上有三个动点A，B，C，且 AB = 2，则AC BC
的最小值为______．
例34.(多选题) (2022·福建龙岩·模拟预测)已知圆P:(x- 5)2+ (y- 2)2= 4，直线 l:y= ax，点M (5,4)，则
( )
A.当 a= 45 时，直线 l与圆P相切
B. 2若直线 l平分圆P的周长，则 a= 5
C. 若直线 l 15+ 33上存在点A，使得∠PAM= 90°，则 a的最大值为 24

D. 44当 a= 2时，N为直线 l上的一个动点，则PN MN 的最小值为 5
例35.(多选题) (2022·湖北武汉·模拟预测)已知圆M：(x- 4)2+ (y- 5)2= 12，直线 l：mx- y- 2m+ 3=
0，直线 l与圆M交于A，C两点，则下列说法正确的是 ( )

A.直线 l恒过定点 (2,3) B. |AC|的最小值为 4

C. MA MC [-12,4] D. ∠AMC 1的取值范围为 当 最小时，其余弦值为 2
例36.(多选题) (2022·湖北·模拟预测)若动直线 l:mx- y+ 4- 4m= 0与圆C :(x- 4)2+ (y- 5)2= 9相交
于A,B两点，则 ( )
A. AB 的最小值为 4 2

B. CA CB的最大值为-7

C. OA OB(O为坐标原点)的最大值为 78

D. AC AB的最大值为 18
2
例37.(2022·全国· y高三专题练习)已知双曲线 x2- 3 = 1的右焦点为F，M (4,3 5)，直线MF与 y轴交于
点 N，点 P为双曲线上一动点，且 yp < 3 5，直线MP与以MN为直径的圆交于点M Q，则 PM
PQ 的最大值为 ( )
A. 48
B. 49
C. 50
D. 42
2 y2
例38.(2022· · x全国 高三专题练习)已知点M为椭圆 27 + 26 = 1上任意一点，A，B是圆 x- 1
2+ y2= 8

上两点，且AB= 4 2，则MA MB的最大值与最小值的和是 ( )
A. 20 B. 12 3 C. 40 D. 48 3
例39.(2022·河南开封·二模 (文))骑行是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱．如
图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆 A(前轮)，圆 D(后轮)的半径均为 3，△ABE，

△BEC,△ECD均是边长为 4的等边三角形，设点P为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，AC

CP达到最大值时点P到地面的距离为 ( )
A. 3 B. 3 32 2
C. 32 + 3 D.
6
2 + 3
题型六：坐标与角度型
例40.( 3x+ y2022·全国·高三专题练习)已知 x，y满足 x2+ y2= 4y- 3，则 的最大值为 ( )
x2+ y2
A. 1 B. 2
C. 3 D. 5
例41.(2022·福建泉州·模拟预测)若圆M : x- cosθ 2+ y- sinθ 2= 1(0≤ θ< 2π)与圆N :x2+ y2- 2x-
4y= 0交于A、B两点，则 tan∠ANB的最大值为 ( )
A. 1 3 4 42 B. 4 C. 5 D. 3

例42.(2022· 全国·高三专题练习)已知 a，b，c是非零平面向量， a = 2， a- b = 1， 2c - b b= 0， b =
c

a c，则 的最大值是_________． a
例43.(2022·全国·高三专题练习 (理))已知圆C :(x- 1)2+ (y+ 2 2)2= 16和两点A 0,-m B 0,m ，若
圆C上存在点P，使得AP⊥BP，则m的最大值为 ( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
2
例44.(多选题) (2022·河北·高三阶段练习)已知圆 C :x2+ y- 12 = 1上两点A、B满足 |AB| ≥ 2，点
M x0,0 满足：|MA| = |MB|，则下列结论中正确的是 ( )
A.当 |AB| = 2 1时，x0= 2 B. 当 x0= 0时，过M点的圆C的最短弦长是 2 3
C. 1- 2线段AB的中点纵坐标最小值是 2
D.过M点作图C的切线且切点为A，B，则 x0的取值范围是 -∞,- 7 2 ∪
7
2 ,+∞
例45.(2022·全国·高三专题练习)已知直线 kx- y+ 2k= 0与直线 x+ ky- 2= 0相交于点P，点A 4,0 ，
O为坐标原点，则 tan∠OAP的最大值为 ( )
A. 2- 3 B. 33 C. 1 D. 3
例46.(2022·北京·北大附中高三开学考试)已知圆 C： x- 2 2+ y- 2 2= r 2 r> 0 和两点M -1,0 ，
N 1,0 ，且圆C上有且只有一个点P满足∠MPN= 90°，则 r的最大值为 ( )
A. 2 2- 1 B. 3 C. 2 2+ 1 D. 5
例47.(2022·全国·二模 (理))动圆M经过坐标原点，且半径为 1，则圆心M的横纵坐标之和的最大值为
( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2
例48.( 2022 · 湖 北 · 房 县 第 一 中 学 模 拟 预 测 ) 已 知 O 为 坐 标 原 点 ，点 A cosα,sinα ，
B cos α+ π3 ,sin α+
π
3 ，以OA,OB为邻边作平行四边形AOBP，Q -2,0 ，则∠PQO的最大值
为 ( )
A. π B. π π π6 4 C. 3 D. 2
例49.(2022 ·江西 ·上饶市第一中学模拟预测 (理 ) ) 已知 P 3,4- 2 2 ，过点 P 作圆 C : x- a 2 +
y- a- 1 2= 1(a为参数，且 a ∈ R)的两条切线分别切圆 C于点 A、B，则 sin∠APB的最大值为
( )
A. 1 B. 1 3 62 C. 2 D. 4
3x+ y
例50.(2022·江苏苏州·高三阶段练习)已知 x，y满足 x2+ y2= 6y- 6，则 的最大值为 ( )
x2+ y2
A. 1 B. 3 C. 1+ 33 D. 1+
6
3
例51.(2022·全国·高三专题练习)已知圆C：x2+ y2= 4，M、N是直线 l：y= x+ 4上的两点，若对线段MN
1
上任意一点P，圆C上均存在两点A、B，使得 cos∠APB= 2 ，则线段MN长度的最大值为 ( )
A. 2 B. 4 C. 4 2 D. 4 3
题型七：长度型
例52.(2022·上海·高三阶段练习)古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何
问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足PA| = λ PB (其中 λ是正常数，且 λ≠ 1)，则P的轨迹是一
个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点M (-1,0)、N (2,1)，P是圆O:x2+ y2= 3上的动
点，则 3 PM + PN 的最小值为____________
例53.(2022·全国·高三专题练习)已知圆C是以点M 2,2 3 和点N 6,-2 3 为直径的圆，点P为圆C上
的动点，若点A 2,0 ，点B 1,1 ，则 2 PA - PB 的最大值为 ( )
A. 26 B. 4+ 2 C. 8+ 5 2 D. 2
例54.(2022·浙江·高三专题练习)已知圆C1: x- 1 2+ y+ 1 2= 1，圆C : x- 4 22 + y- 5 2= 9，点M、N
分别是圆C1、圆C2上的动点，点P为 x轴上的动点，则 PN - PM 的最大值是 ( )
A. 2 5+ 4
B. 9
C. 7
D. 2 5+ 2
例55.(2022·广东·汕头市第一中学高三阶段练习)已知A，B是曲线 x - 1= 4- y- 1 2 上两个不同的
点，C 0,1 ，则 CA + CB 的最大值与最小值的比值是 ( )
A. 3 55 B. 2 C.
6
2 D. 3
例56.(2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测 (理))已知曲线E:x2+ y2= 1，等边三角形ABC的两个顶点A，
B在E上，顶点C在E外，O为坐标原点，则线段OC长的最大值为 ( )
A. 3 B. 2 2 C. 3 D. 2
例57.(2022·河南新乡·三模 (理))已知抛物线 y2= 16x的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C : x- 6 2
+ y- 2 2= 4上，则 PQ + PF 的最小值为 ( )
A. 4 B. 6
C. 8 D. 10
例58.(2022·北京西城·一模)已知点A为圆C :(x-m)2+ (y-m- 1)2= 2上一点，点B(3,0)，当m变化时，
线段AB长度的最小值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2
例59.(2022·河北·石家庄二中模拟预测)已知P为抛物线C :y2= 8x上的动点，Q为直线 l:x- y+ 4= 0上
的动点，过点P作圆E: x- 3 2+ y2= 8的切线，切点为A，则 PQ + PA 的最小值为 ( )
A. 2+ 1 B. 2 2- 1 C. 3 2- 1 D. 3 2- 2
例60.(2022·全国·模拟预测)已知直线 l 过点A 1, 2 ，则直线 l 被圆O：x2+ y2= 12截得的弦长的最小
值为 ( )
A. 3 B. 6 C. 3 3 D. 6 3
例61.(2022·安徽马鞍山·三模 (文))已知P m,n 为抛物线C：y2= 16x上一动点，过C的焦点 F作⊙P：
x-m 2+ y-n 2= 1的切线，切点为A，则线段FA长度的最小值为 ( )
A. 3 B. 15 C. 7 D. 3 7
例62.(2022·全国·高三专题练习 (文))已知圆C1: x- 1 2+ y- 1 2= 1，圆C2: x- 4 2+ y- 5 2= 9，点M ,
N分别是圆C1 圆C2上的动点，点P为 y=-x上的动点，则 PM + PN 的最小值是 ( )
A. 4 B. 61- 4
C. 61+ 4 D. 61- 8
例63.(2022·全国·模拟预测 (理))已知圆C：x2+ y2- 2x- 3= 0，若直线 l：ax- y+ 1- a= 0与圆C相交
于A，B两点，则 AB 的最小值为 ( )
A. 2 2 B. 2 3 C. 3 D. 52
例64.(2022·全国·高三专题练习)如图，P为圆O：x2+ y2= 4外一动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切
点分别为A，B，∠APB= 120°，直线OP与AB相交于点Q，点M (3， 3)，则 |MQ|的最小值为 ( )
A. 3 B. 2
C. 3 32 D.
4 3
3
例65.(2022·全国·高三专题练习)已知直线 l：mx- y- 3m+ 1= 0恒过点P，过点P作直线与圆C：(x-
1)2+ (y- 2)2= 25相交于A，B两点，则 AB 的最小值为 ( )
A. 4 5 B. 2 C. 4 D. 2 5
题型八：方程中的参数
例66.(2022·山东·烟台二中模拟预测)已知过点 1, 3 的动直线 l与圆C：x2+ y2= 16交于A，B两点，过
A，B分别作 C的切线，两切线交于点 N．若动点M cosθ,sinθ 0≤ θ< 2π ，则 MN 的最小值为
( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
例67.(2022·河北·模拟预测)如图，在直角梯形ABCD中，A=B= 90°,AD= 4,AB=BC= 2，点M在以

CD为直径的半圆上，且满足AM =mAB+nAD，则m+n的最大值为 ( )
A. 2 B. 3
C. - 5 D. 10+ 52 4
例68.(2022·全国·高三专题练习 (理))已知O 0,0 ，P 3,1 ，Q 1+ 4cosθ, 3- 4sinθ ，θ∈ 0,2π ，则
△OPQ面积的最大值为 ( )
A. 4 B. 5 C. 5 3 D. 83 3
例69.(2022 ·全国·模拟预测 (文))在 Rt△ABC ∠BAC = π中， 2 ，AB = AC = 2，点M在 △ABC内部，
cos∠AMC=- 35 ，则MB
2-MA2的最小值为______．圆中的范围与最值问题
【考点预测】
涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：
(1)形如 μ= y bx a 的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．
(2)形如 t= ax+ by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．
(3)形如m= (x a)2+ (y b)2的最值问题，可转化为曲线上的点到点 (a，b)的距离平方的最值问题
【方法技巧与总结】
解决圆中的范围与最值问题常用的策略：
(1)数形结合
(2)多与圆心联系
(3)参数方程
(4)代数角度转化成函数值域问题
【题型归纳目录】
题型一：斜率型
题型二：直线型
题型三：距离型
题型四：周长面积型
题型五：数量积型
题型六：坐标与角度型
题型七：长度型
题型八：方程中的参数
【典例例题】
题型一：斜率型
例1.(2022· n- 1福建南平·三模)已知P m,n 为圆C： x- 1 2+ y- 1 2= 1上任意一点，则 m+ 1 的最大值为
___________．
【答案】 33
【解析】
由于 n- 1 n- 1 n- 1m+ 1 = - (- )，故m 1 m+ 1 表示P m,n 和 -1,1 连线的
斜率，设M -1,1 ，如图所示，当MP与圆相切时，n- 1m+ 1 取得最大
值，
设此时MP:y- 1= k(x+ 1)，即 kx- y+ k+ 1= 0，又圆心 1,1 ，半
k- 1+ k+ 1
径为 1，故 = 1，解得 k=± 3，
k2+ 1 3
故 n- 1m+ 1 的最大值为
3
3 ．
故答案为： 33 ．
例2.(多选题) (2022·山东泰安·三模)已知实数 x，y满足方程 x2+ y2- 4x- 2y+ 4= 0，则下列说法正确的
是 ( )
y
A. 4
y
x 的最大值为 3 B. x 的最小值为 0
C. x2+ y2的最大值为 5+ 1 D. x+ y的最大值为 3+ 2
【答案】ABD
【解析】由实数 x，y满足方程 x2+ y2- 4x- 2y+ 4= 0可得点 (x,y)在圆 x- 2 2+ y- 1 2= 1上，作
其图象如下，
y
因为 x 表示点 (x,y)与坐标原点连线的斜率，
2k- 1
设过坐标原点的圆的切线方程为 y= kx，则 = 1，解得：
k2+ 1
k= 0或 k= 43，
∴ yx ∈

0,
4
3 ，∴
y = 4 yx 3， x = 0，A，B正确；max min
x2+ y2表示圆上的点 (x,y)到坐标原点的距离的平方，圆上的点
(x,y)到坐标原点的距离的最大值为 OC + 1，
所以 x2+ y2最大值为 OC + 1 2，又 OC = 22+ 12，
所以 x2+ y2的最大值为 6+ 2 5，C错，
因为 x2+ y2- 4x- 2y+ 4= 0可化为 x- 2 2+ y- 1 2= 1，
故可设 x= 2+ cosθ，y= 1+ sinθ，
所以 x+ y= 2+ cosθ+ 1+ sinθ= 3+ 2sin θ+ π4 ，
所以当 θ= π4 时，即 x= 2+
2 2
2 ,y= 1+ 2 时 x+ y取最大值，最大值为 3+ 2，D对，
故选：ABD．
例3.(2022·全国·高三专题练习 (理))在正三角形ABC中，M为 BC中点，P为三角形内一动点，且满足
PA= 2PM PA，则 PB 最小值为 ( )
A. 1 B. 6 C. 24 2 D.
3
2
【答案】D

【解析】以M为坐标原点，MC,MA正方向为 x,y轴，可建立如图所示平面直角坐标系，
不妨设正三角形ABC的边长为 2，则A 0, 3 ，M 0,0 ，B -1,0 ，
设P x,y ，则PA2= x2+ y- 3 2，PM 2= x2+ y2，
∵PA= 2PM，∴PA2= 4PM 2，
∴ x2+ y- 3 2= 4x2+ 4y2，即 x2+ y2+ 2 33 y- 1= 0；
2
∴P点轨迹为：x2+ y+ 33 =
4
3 y> 0 ，
PA2 4PM 2 4 x2 2= = + y = 4 x
2+ y2 4
PB2 PB2 x+ 1 2+ y2 x2+ y2+
=
2x+ 1 1+ 2x+ 1
=
x2+ y2
4 = 4 ；
1+ 2x+ 1 3 x+ 1
1- 2 3 y 1-
2
3 y- 32
2
当 x=- 1 时，PA = 4，∴ PA2 2 PB = 2；PB
y- 3
当 x≠- 12 时，令 t=
2 1 3
1 ，则 t表示P x,y 与 - , 连线的斜率，x+ 2 22
2
设直线 y- 3 = k x+ 12 2 与圆 x
2+ y+ 33 =
4
3 相切，
k+ 5 3
则圆心到直线距离 d= 3 = 2 33 ，解得：k=-
3 3
4k2+ 4 13
或 k= 3，
∴ t∈ -∞,- 3 3 13 ∪ 3,+∞ ，
则当 t=- 3 3 时，PA
2
取得最小值 313 2 4，∴PB
PA
PB =
3；
min 2
综上所述：PAPB 最小值为
3
2 ．
故选：D．
例4.( 2022 ·河南 ·模拟预测 (文 ) ) 已知点 P x,y 在圆 x- 1 2 +
y- 1 2=
4- y
3上运动，则 x- 3 的最大值为 ( )
A. - 6- 30
B. 6+ 30
C. - 6+ 30
D. 6- 30
【答案】C
4- y
【解析】x- 3 看作圆上的点P x,y 到点A 3,4 的直线的斜率的相反数．
当经过点A 3,4 的直线与上半圆相切时，切线斜率最小，
设切线方程为 y= k x- +
-2k+ 3
3 4，所以圆心到切线的距离等于半径，故 + 2 = 3，解得 k= 6±1 k
4- y
30, 故当 k= 6- 30时，切线斜率最小，此时 x- 3 最大，最大值为-6+ 30，
故选：C
题型二：直线型
例5.(2022·全国·高三专题练习)已知点P(x,y)是圆 x2+ y2- 6x- 4y+ 12= 0上的动点，则 x+ y的最大值
为 ( )
A. 5+ 2 B. 5- 2 C. 6 D. 5
【答案】A
【解析】由 ( - )2+ ( - )2= ，令 x= 3+ cosθx 3 y 2 1 = + ，则 x+ y= 5+ 2sin θ+
π
y 2 sinθ 4 ，
所以当 sin θ+ π4 = 1时，x+ y的最大值为 5+ 2．
故选：A
例6.(2022·全国·高三开学考试 (文))已知点P x,y 是圆C： x- a 2+ y2= 3 a> 0 上的一动点，若圆C
经过点A 1, 2 ，则 y- x的最大值与最小值之和为 ( )
A. 4 B. 2 6
C. - 4 D. - 2 6
【答案】C
【解析】因为圆C： x- a 2+ y2= 3 a> 0 经过点A 1, 2 ，
(1- a)2+ 2= 3．又 a> 0，所以 a= 2，
y- x可看成是直线 y= x+ b在 y轴上的截距．如图所示，
当直线 y= x+ b与圆相切时，纵截距 b取得最大值或最小值，此时
2- 0+ b = 3，解得 b=-2± 6，
2
所以 y- x的最大值为-2+ 6，最小值为-2- 6，故 y- x的最大值与最小值之和为-4．
故选：C．
例7.(2022·全国·高三专题练习)点P(x,y)是圆 x2+ y2= 12上的动点，则 x+ y的最大值是________．
【答案】2 6
【解析】由 (x+ y)2≤ 2(x2+ y2) = 24，则-2 6≤ x+ y≤ 2 6，当且仅当 x= y=± 6时等号成立，
∴ x+ y的最大值是 2 6．
故答案为：2 6．
题型三：距离型
例8.(2022·上海虹口·二模)设 a∈R，k∈R，三条直线 l1：ax- y- 2a+ 5= 0，l2：x+ ay- 3a- 4= 0，l3：y
= kx，则 l1与 l2的交点M到 l3的距离的最大值为_________．
【答案】5+ 2【解析】因为 a× 1+ -1 × a= 0，所以 l1⊥ l2，
而直线 l1：ax- y- 2a+ 5= 0即 a x- 2 - y+ 5= 0过定点A 2,5 ，
l2：x+ ay- 3a- 4= 0即 x- 4+ a y- 3 = 0过定点B 4,3 ，
所以 l1与 l2的交点M在以AB为直径的圆上，
圆方程为 x- 2 x- 4 + y- 5 y- 3 = 0，即 x- 3 2+ y- 4 2= 2，
所以M到 l3的距离的最大值为 3- 0 2+ 4- 0 2+ 2= 5+ 2．
故答案为：5+ 2．
例9.(2022·黑龙江·哈九中模拟预测 (文)) |PA|若平面内两定点A、B间的距离为 2，动点P满足 = 2，则
PB
PA 2+ PB 2
2 的最大值为______．
【答案】18+ 12 2【解析】以经过A,B的直线为 x轴，线段AB
的垂直平分线为 y轴建立直角坐标系，
则A -1,0 ,B 1,
|PA|
0 ，设P x,y ，由 = 2，
PB
x+ 1 2+ y2所以 = 2，两边平方并整理得 x- 3 2+ y2=
x- 1 2+ y2
8，
所以点P的轨迹为以 3,0 为圆心，2 2为半径的圆，
所以 y2= 8- x- 3 2 3- 2 2≤ x≤ 3+ 2 2 ，
PA 2+ PB 2
则有 = x2+ y2+ 1= x22 + 8- x- 3
2+ 1= 6x≤ 18+ 12 2，
PA 2+ PB 2
所以 2 的最大值为 18+ 12 2．
故答案为：18+ 12 2．
例10.(2022·全国·高三专题练习)若A，B是⊙O：x2+ y2= 4上两

个动点，且OA OB=-2，A，B到直线 l： 3x+ y- 4= 0的
距离分别为 d1，d2，则 d1+ d2的最大值是 ( )
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
【答案】D
【解析】圆O的圆心为O 0,0 ，半径为 2．

OA OB= OA OB cos∠AOB= 4cos∠AOB=-2，
cos∠AOB=- 12，
由于∠AOB∈ 0,π ，所以 cos∠AOB= 2π3 ．
设C是AB的中点，则 OC = OB cos π 3 = 1，
设C x,y ，则 x2+ y2= 1，即C的轨迹为单位圆．
0+ 0- 4
原点到直线 l的距离为 2 = 2，
所以圆 x2+ y2= 1上的点到直线 l的距离 2- 1≤ d≤ 2+ 1,1≤ d≤ 3．
所以 d1+ d2= 2d∈ 2,6 ，
所以 d1+ d2的最大值是 6．
故选：D
例11.(2022·陕西安康·二模 (文))已知直线 l与圆O:x2+ y2= 4交于A x1,y1 ,B x2,y2 两点，且 AB = 2，则
x1+ y1+ 4 + x2+ y2+ 4 的最大值为___________．
【答案】8+ x + y + 4 x + y + 4 2 6【解析】 1 1 + 2 2 的几何意义为点A,B到直线 x+ y+ 4= 0的距离
2 2
之和，其最大值是AB的中点M到直线 x+ y+ 4= 0的距离的 2倍．
2
由题可知，△OAB为等边三角形，则 OM = 22- 22 = 3，
∴AB中点M的轨迹是以原点O为圆心， 3为半径的圆，
故点M到直线 x+ y+ 4= 0的最大距离为 4 + 3= 2 2+ 3，
12+ 12
∴ x1+ y1+ 4 + x2+ y2+ 4 的最大值为 2 2 2+ 3 ，
2 2
∴ x1+ y1+ 4 + x2+ y2+ 4 的最大值为 2 2 2+ 3 × 2= 8+ 2 6．
故答案为：8+ 2 6．
例12.(2022·全国·高三专题练习)已知实数 x1,x2,y1,y2满足：x2 2 2 21+ y1 = 1，x2+ y2= 1，x1x2+ y1y2= 0，则
x1+ y1- 1 + x2+ y2- 1 的最大值为______．
2 2
【答案】2 2
x1+ y1- 1 + x2+ y2- 1 【解析】 的值转化为单位圆上的A x1,y1 ,B x2,y2 两点到直线 x+ y- 1= 02 2
的距离之和，
由 x1x2+ y1y2= 0得：∠AOB= 90°，
所以三角形AOB是等腰直角三角形，设M是AB的中点，
则OM⊥AB，且 2 2 OM = 2 OA = 2 ，
则M在以O点为圆心，半径为 22 的圆上，
A，B两点到直线 x+ y- 1= 0的距离之和为AB的
中点M到直线 x+ y- 1= 0的距离的两倍．
0,0 到直线 x+ y- 1= 0的距离为 1 = 2
2 2
，
所以M到直线 x+ y- 1= 0的距离的最大值为 22
+ 22 = 2，
x1+ y - 1 x所以 1 + 2+ y2- 1 的最大值为 2 2．
2 2
故答案为：2 2．
例13.(2022·河北石家庄·模拟预测)若点P在曲线 x2+ y2= x + y 上运动，则点P到直线 x+ y+ 2= 0的
距离的最大值为 ( )
A. 2 2 B. 2 C. 2 D. 4
【答案】A
【解析】由曲线方程为 x2+ y2= x + y 知曲线关于
x,y轴成轴对称，关于原点成中心对称图形，在第一
象限内，方程化为 x2+ y2
2
= x+ y，即 x- 12 +
2
y- 12 =
1
2，在第一象限内，曲线是A
1 , 12 2 为
圆心， 22 为半径的圆在第一象限的圆弧 (含坐标
轴上的点)，实际上整个曲线就是这段圆弧及其关于
坐标轴．原点对称的图形加上原点，
点A到直线 x+ y+ 2= 0的距离为 d=
1 + 12 2 + 2 = 3 2
2 2
，
所以所求最大值为 d+ 22 = 2 2．
故选：A．
例14.(2022·浙江·模拟预测)在平面直角坐标系中，直线 y= kx+m k≠ 0 与 x轴和 y轴分别交于A，B两
点， AB = 2 2，若CA⊥CB，则当 k，m变化时，点C到点 1,1 的距离的最大值为 ( )
A. 4 2 B. 3 2 C. 2 2 D. 2
【答案】B
【解析】由 y= kx+m k≠ 0 得A -m ,0 ,B(0,m) ，k
2
故 由 AB = 2 2得 -m +m2= 8，k

由CA⊥CB得AC BC = 0，设C(x,y) ，则 x+ m ,y (x,y-m) = 0 ，k
m 2即 x+ + y- m
2 2 2
2 =
m + m2 4 ，即点C轨迹为一动圆，2k 4k
设该动圆圆心为 (x ,y ) ，则 x =- m ,y = m
2k 2
，
2
整理得 k=- y ,m= 2y ，代入到 -m +m2= 8中，x k
得：x 2+ y 2= 2 ，即C轨迹的圆心在圆 x 2+ y 2= 2上，
故点 (1，1)与该圆上的点 (-1,-1)的连线的距离加上圆的半径即为点C到点 1,1 的距离的最大值，
最大值为 [1- (-1)]2+[1- (-1)]2+ 2= 3 2 ，
故选：B
例15.(2022 ·浙江 ·高三专题练习)已知点 P -1,0 ，圆 x- 1 2+ y 2= 9上的两个不同的点 A x1,y1 、

B x2,y2 满足AP= λPB λ∈R ，则 4x1+ 3y1- 25 + 4x2+ 3y2- 25 的最大值为 ( )
A. 12 B. 18 C. 60 D. 272
【答案】C

【解析】因AP= λPB λ∈R ，则点A，P，B共线，即过点P的直线AB与圆 x- 1 2+ y2= 9交于不同
的两点A，B，
+ - + + - = 4x1+ 3y1- 25 4x4x 3y 25 4x 3y 25 5 + 2+ 3y2- 25 1 1 2 2 表示点A、B到直线 3x+ 4y42+ 32 42+ 32
- 25= 0的距离和的 5倍，
设弦AB中点M (x , ) 4x1+ 3y1- 25 + 4x2+ 3yy ，则有 2- 25 = 4x0+ 3y0- 25 0 0 2
42+ 32 42+ 32 42+ 32
+ - + + - = 4x + 3y - 25 于是得： 0 0 4x1 3y1 25 4x2 3y2 25 10 ，
42+ 32
圆 x- 1 2+ y2= 9的圆心Q(1,0)，显然点P在此圆内，即过点P的任意直线与圆都相交，

当点M与点P，Q都不重合时，由圆的性质知，PM⊥QM，有PM QM = 0，

当点M与点P，Q之一重合时，PM QM = 0也成立，于是得PM QM = 0，

又PM = (x0+ 1,y0),QM = (x0- 1,y0)，从而得 x2 20+ y0= 1，即点M的轨迹是以原点为圆心的单位圆，
圆 x20+ y20= 1的圆心到直线 3x+ -
|-25|
4y 25= 0的距离 d= = 5，
32+ 42
则圆 x2+ y20 0= 1上的点到直线 3x+ 4y- 25= 0的距离的最大值为 d+ 1= 6，
所以 4x1+ 3y1- 25 + 4x2+ 3y2- 25 的最大值为 60．
故选：C
例16.(2022·江西·宁冈中学高三开学考试 (理))已知点P x,y 在圆 x2+ y2= 1上，则 x- 1 2+ y- 1 2
的最大值为 ( )
A. 2 B. 2 2 C. 1 D. 2+ 1
【答案】D
【解析】 x- 1 2+ y- 1 2 可看作圆上的点 x,y 到定点 1,1 的距离，根据圆的几何性质，其最大值
为 1,1 到圆心 0,0 的距离与圆的半径之和，即 1- 0 2+ 1- 0 2+ 1= 2+ 1．
故选：D．
例17.(2022·河北衡水·二模)在平面直角坐标系 xOy中，点A在 x轴上，点B在 y轴上， AB = 2，点C满足
AC⊥BC，则点C到点P 3,1 的距离的最大值为 ( )
A. 3 B. 72 C. 5 D. 4
【答案】D
【解析】由题意可知点C在以线段AB为直径的圆上，
设AB的中点坐标为M a,b ，有 OM = AM = BM = 1，可得 a2+ b2= 1，
由 MP ≤ OP + 1， OP = 3 2+ 12= 2，
有 CP ≤ MP + 1≤ OP + 1+ 1= 2+ 1+ 1= 4．
当且仅当O，M，P三点共线时取等号．
故选：D
例18.(2022·全国·高三专题练习)若 x、a、b为任意实数，若 (a+ 1)2+ (b- 2)2= 1，则 (x- a)2+ (lnx- b)2
最小值为 ( )
A. 2 2
B. 9
C. 9- 4 2
D. 2 2- 1
【答案】C
【解析】由 (a+ 1)2+ (b- 2)2= 1可得 a,b
在以 -1,2 为圆心，1为半径的圆上，
(x- a)2+ (lnx- b)2表示点 a,b 与点
x,lnx 的距离的平方，
即表示圆 (x+ 1)2+ (y- 2)2= 1上动点到函
数 y= lnx图像上动点距离的平方．
设 m,lnm 为 y= lnx上一点，且在 m,lnm 处的 y= lnx的切线与 m,lnm 和 -1,2 连线垂直，可
得 lnm- 2 1m+ 1 m =-1，
即有 lnm+m2+m= 2，
由 f m = lnm+m2+m在m> 0时递增，且 f 1 = 2，可得m= 1，即切点为 1,0 ，
圆心与切点的距离为 d= (1+ 1)2+ (0- 2)2= 2 2，
由此可得 (x- a)2+ (lnx- b)2的最小值为 (2 2- 1)2= 9- 4 2．
故选：C．

例19.(2022· 1辽宁·东北育才学校二模)已知平面向量 a，b，c，满足 x∈R, a- xb ≥ a- 4 b ， a
= 2,a b
= 4， a- c b- 2c = 6 ，则 a- c 的最小值为 ( )
A. 1 B. 2+ 63 C. 3 D.
6- 2
2
【答案】A
1 【解析】因为 x∈R, a- xb ≥ a- b ， a = 2,a

4 b= 4，
2
所以 4+ x2b2- 8x≥ 4+ 1 b216 - 2,b≠ 0,∴ x
2- 116 b - 8x+ 2≥ 0，

所以 b2x2- 8x+ 2- 1 216 b ≥ 0对任意 x都恒成立，
1 1 2 所以Δ= 64+ 4 |b|
4- 8|b|2≤ 0,∴ |b|2- 8 ≤ 0,∴ 1 |b|22 2 = 8，∴ |b| = 4．
不妨设 a

= (2,0)，b= (m,n),∴ 2m= 4,∴m= 2,又 |b| = 4，∴ 4+n2= 16,∴n=±2 3．

当 b= (2,2 3)，设 c = (x,y)，

所以 a- c = (2- x,-y), b- 2c = (2- 2x,2 3- 2y)，
所以 (2- x) (2- 2x) + (-y) (2 3- 2y) = 6，
2 2
所以 x- 32 + y-
3
2 = 4，
所以 c 对应的点的轨迹是以 3 , 32 2 为圆心，以 2为半径的圆，
所以 a - c = (x- 2)2+ (y- 0)2 可以看成是 (x,y)到 (2,0)的距
离，
2 2
所以 a - c 的最小值为 2- 32 - 2 + 32 - 0 = 2- 1= 1．

当 b= (2,-2 3)时，同理可得 a - c 的最小值为 1．
故选：A
例20.(2022·河南河南·三模 (理))已知M，N为圆C：x2+ y2- 2x- 4y= 0上两点，且 MN = 4，点P在直

线 l：x- y+ 3= 0上，则 PM +PN 的最小值为 ( )
A. 2 2- 2 B. 2 2 C. 2 2+ 2 D. 2 2- 5
【答案】A
【解析】设线段MN的中点为D，
圆C:x2+ y2- 2x- 4y= 0的圆心为C 1,2 ，半径为 5．
2
C到直线MN的距离为 5 2- 42 = 1，
所以 CD = 1，故D点的轨迹是以C为圆心，半径为 1的圆，设D点的轨迹为圆D，
1- 2+ 3
圆D上的点到直线 l的最短距离为 t= - 1= 2- 1．
2

所以 PM +PN = 2PD = 2 PD ≥ 2t= 2 2- 2．
故选：A
例21.( |PA|2022· · 1全国 高三专题练习)若平面内两定点A，B间的距离为 2，动点P满足 | | = 3，则 2 (|PA|
2
PB
+ |PB|2)的最大值为 ( )
A. 3+ 3 B. 7+ 4 3 C. 8+ 4 3 D. 16+ 8 3
【答案】C
【解析】以线段AB的中点为原点，AB所在直线为 x轴，AB的垂直平分线为 y轴，建立平面直角坐标
系．
不妨令A(-1，0)，则B(1，0)，设P(x，y)．
|PA| = (x+ 1)
2+ y2
由 3，则 = 3，化简得：(x- 2)2+ y2| | = 3PB (x- 1)2+ y2
为P的轨迹方程．
|PA|2+ |PB|2 (x+ 1)2+ y2+ (x- 1)2∴ = + y
2
2 2
2 2 = x + y + 1，
其中 x2+ y2可以看作圆 (x- 2)2+ y2= 3上的点 (x，y)到点 (0，0)
的距离的平方，
∴ x2+ y2的最大值为 (2+ 3)2= 7+ 4 3，
∴ 2+ 2+ |PA|
2+ |PB|2
x y 1的最大值为 8+ 4 3，即 2 的最大值为 8+ 4 3．
故选：C．
例22.(2022·全国·高三专题练习)已知P是半圆C： 2y- y2 =-x上的点，Q是直线 x- y- 1= 0上的一
点，则 PQ 的最小值为 ( )
A. 3 22 B. 2- 1 C.
2
2 - 1 D.
2
2
【答案】D
【解析】由 - 2=- -x≥ 02y y x 2 2x2+ y2- 2y= x + (y- 1) = 1(x0
≤ 0)，如图所示，
显然当P运动到坐标原点时， PQ 有最小值，
最小值为原点到直线 x- y- 1= 0的距离，
即 PQ min=
-1 = 22 ，12+ (-1)2
故选：D
例23.(2022·全国·高三专题练习)若M，N分别为圆C1：(x+ 6)2+ (y- 5)2= 4与圆C2：(x- 2)2+ (y- 1)2
= 1上的动点，P为直线 x+ y+ 5= 0上的动点，则 PM + PN 的最小值为 ( )
A. 4 5- 3 B. 6 C. 9 D. 12
【答案】C
【解析】
易得圆C1圆心为 -6,5 半径为 2，圆C2圆心为 2,1 半径为 1，设圆
C3圆心 (a,b)半径为 1，(a,b)与 2,1 关于直线 x+ y+ 5= 0对称，
b- 1
则 a- 2 = 1 a+ 2 b+ 1 ，解得
a=-6
=- ，如图所示，要使 PM +
2 + 2 + 5= 0
b 7
PN 最小，
则 PM + PN = PC1 + PC2 - 2- 1= PC1 + PC3 - 3= C1C3
- 3= 9．
故选：C．
例24.(2022·全国·模拟预测 (理))过圆C：(x- 1)2+ y2= 1外一点P作圆C的两条切线PA、PB，切点分别
为A、B，若PA⊥PB，则点P到直线 l:x+ y- 5= 0的距离的最小值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 2 2 D. 3 2
【答案】B
【解析】∵过圆C： (x- 1)2+ y2= 1外一点P向圆C引两条切线PA,PB，
切点分别为A，B，由PA⊥PB可知，四边形CAPB为边长为 1的正方形，所以 |CP| = 2，
所以P点的轨迹E是以C(1，0)为圆心， 2为半径的圆，
圆心C( , ) |1+ 0- 5|1 0 到直线 l:x+ y- 5= 0的距离 d= = 4 = 2 2，
2 2
所以点P到直线 l:x+ y- 5= 0的最短距离为 d- r= 2 2- 2= 2，
故选：B
题型四：周长面积型
例25.(2022·全国·高三专题练习)已知点A(2，0)，B(0，-1)，点 P是圆 x2+ (y- 1)2= 1上任意一点，则
△PAB 面积最大值为 ( )
A. 2 B. 4+ 5 C. 1+ 5 52 D. 2+ 2
【答案】D
【解析】由已知 AB = 5，
要使△PAB的面积最大，只要点P到直线AB的距离最大．
x + y由于AB的方程为 2 -1 = 1，即 x- 2y- 2= 0，
0- 2- 2
圆心 (0，1)到直线AB的距离为 d= = 4 5
5 5
，
故P到直线AB的距离最大值为 4 55 + 1，
所以△PAB面积的最大值为 12 ×AB× d+ 1 =
1
2 × 5 ×
4 5
5 + 1 = 2+
5
2 ，
故选：D．
例26.(2022·河南安阳·模拟预测 (文))已知圆C :(x- 2)2+ (y- 6)2= 4，点M为直线 l:x- y+ 8= 0上一个
动点，过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则四边形CAMB周长的最小值为 ( )
A. 8 B. 6 2 C. 5 2 D. 2+ 4 2
【答案】A
【解析】圆C:(x- 2)2+ (y- 6)2= 4的圆心坐标为C(2,6)，半径为 2，
因为过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，
所以有MA=MB，MA⊥CA,MB⊥CB，
因此有MA=MB= MC 2-CA2= MC 2- 4，
要想四边形CAMB周长最小，只需MC最小，即当MC⊥ l时，
= 2- 6+ 8 此时MC = 2 2，此时MA=MB= 8- 4= 2，
12+ (-1)2
即最小值为 2× 2+ 2× 2= 8，
故选：A
例27.(2022·全国·高三专题练习)已知圆C:(x- 2)2+ (y- 6)2= 4，点M为直线 l:x- y+ 8= 0上一个动点，
过点M作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则当四边形CAMB周长取最小值时，四边形CAMB的
外接圆方程为 ( )
A. (x- 7)2+ (y- 1)2= 4 B. (x- 1)2+ (y- 7)2= 4
C. (x- 7)2+ (y- 1)2= 2 D. (x- 1)2+ (y- 7)2= 2
【答案】D
【解析】圆C:(x- 2)2+ (y- 6)2= 4的圆心C(2, ) |2- 6+ 8|6 ，半径 r= 2，点C到直线 l的距离 d= =
12+ (-1)2
2 2，
依题意，CA⊥AM，四边形CAMB周长 2|CA|+2|AM | = 4+ 2 CM 2-CA2≥ 4+ 2 d2- 4= 4+
2 (2 2)2- 4= 8，
当且仅当CM⊥ l时取“=”，此时直线CM : + - x- y+ 8= 0x y 8= 0，由 + - = 得点M (0,8)，x y 8 0
四边形CAMB的外接圆圆心为线段CM中点 (1,7)，半径 2，方程为 (x- 1)2+ (y- 7)2= 2．
故选：D
例28.(2022·全国·高三专题练习)在平面直角坐标系 xOy中，圆C与圆O:x2+ y2= 1外切，且与直线 x-
3y+ 4= 0相切，则圆C的面积的最小值为 ( )
A. π π4 B. π C. 9 D. 2π
【答案】A
|4|
【解析】由题可知，(0,0)到直线 x- 3y+ 4= 0的距离为 = 2，又因为圆C与圆O外切，
12+ ( 3)2
所以圆C的直径的最小值为 2- 1= 1，
2
所以圆C的面积的最小值为 π 1 = π2 4．
故选：A．
例29.(2022·北京昌平·二模)已知直线 l:ax- y+ 1= 0与圆C :(x- 1)2+ y2= 4相交于两点A,B，当 a变化
时，△ABC的面积的最大值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2
【答案】C
【解析】因为直线直线 l:ax- y+ 1= 0恒过点 0，1 在圆
内，所以直线与圆相交，
圆C:(x- 1)2+ y2= 4的圆心C 1,0 ,r= 2，所以△ABC的
面积的最大值为：
S= 1 12 CA CB sin∠ACB=
2
2 r sin∠ACB≤
1 r22 =
1
2 × 4
= 2．
故选：C．
例30.(2022·河南·高三阶段练习 (理))已知直线 l1:mx- y= 0(m∈R)过定点A，直线 l2:x+my+ 4- 2m=
0过定点B， l1与 l2的交点为C，则△ABC面积的最大值为 ( )
A. 10 B. 2 5 C. 5 D. 10
【答案】C
【解析】由直线 l1的方程是mx- y= 0得直线 l1过定点A(0,0)，同理直线 l2方程为，x+my+ 4- 2m=
0即 (x+ 4) +m(y- 2) = 0，所以定点B(-4,2)，
又m× 1+ (-1) ×m= 0，所以 l1⊥ l2，即C在以AB为直径的圆上，
AB = (-4)2+ 22= 2 5，由圆的性质知点C到AB的距离最大值等于圆半径，即 12 AB = 5，
所以△ABC面积的最大值为S= 12 × 2 5 × 5= 5．
故选：C．
题型五：数量积型
例31.(2022·全国·高三专题练习)已知正方形ABCD的边长为 2，以B为圆心的圆与直线AC相切．若点

P是圆B上的动点，则DB AP的最大值是________．
【答案】8
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，则A(-2,0)，D(-2,2)，B
(0,0)，易知圆半径为 2，圆方程为 x2+ y2= 2，

设P(x,y)，则DB= (2,-2),AP= (x+ 2,y)，

DB AP= 2(x+ 2) - 2y= 4+ 2(x- y)，
设 x- y= t，则 y= x- t，代入圆方程并整理得 2x2- 2tx+ t2- 2=
0，此方程有实数解，
所以Δ= 4t2- 8(t2- 2)≥ 0，-2≤ t≤ 2，所以 x- y的最大值是 2，

所以DB AP= 4+ 2(x- y)的最大值是 8．
故答案为：8．

例32.(2022·辽宁大连·二模)已知A(4,0)，B(0,-6)，点P在曲线 y= 1- 1- x2 上，则PA PB的最小值
为___________．
【答案】8- 4 5【解析】设P(x,y)，由题意，点P在 x2+ y- 1 2= 1 0≤ y≤ 1 ，
即点P在以 0,1 为圆心，半径为 1的下半圆上，

PA PB= 4- x,-y -x,-6- y = x2- 4x+ y2+ 6y
= x- 2 2+ y+ 3 2 2- 13= x- 2 2+ y+ 3 2 - 13，
其中 2 x- 2 2+ y+ 3 2 表示为点 (2,-3)到点P(x,y)的距离的平方，

当点 (2,-3)到点P(x,y)的距离最小时，PA PB取最小值，
点 (2,-3)到点P(x,y)的最小距离为 0- 2 2+ 1+ 3 2- 1= 2 5- 1，

所以PA PB的最小值为 2 5- 1 2- 13= 8- 4 5．
故答案为：8- 4 5

例33.(2022·全国·高三专题练习)已知半径为 1的圆O上有三个动点A，B，C，且 AB = 2，则AC BC
的最小值为______．
【答案】1- 2【解析】因为 AB = 2，又 |OA| = |OB| = 1，所以 |OA|2+ |OB|2= |AB|2，所以∠AOB=
π
2，
以O为原点，OA,OB所在直线为 x,y轴建立平面直角坐标系：
则A(1,0)，B(0,1)，设C(x,y)，则 x2+ y2= 1，

AC = (x- 1,y)，BC = (x,y- 1)，

所以AC BC = x(x- 1) + y(y- 1) = x2+ y2- x- y=-x- y+ 1，
设-x- y+ 1= t，即 x+ y+ t- 1= 0，
依题意直线 x+ y+ t- 1= 0与圆有交点，
|t- 1|
所以 + ≤ 1，得 1- 2≤ t≤ 1+ 2，1 1

所以AC BC的最小值为 1- 2．
故答案为：1- 2
例34.(多选题) (2022·福建龙岩·模拟预测)已知圆P:(x- 5)2+ (y- 2)2= 4，直线 l:y= ax，点M (5,4)，则
( )
A.当 a= 45 时，直线 l与圆P相切
B. 若直线 l平分圆P 2的周长，则 a= 5
C. 15+ 33若直线 l上存在点A，使得∠PAM= 90°，则 a的最大值为 24

D. a= 2 44当 时，N为直线 l上的一个动点，则PN MN 的最小值为 5
【答案】BCD
【解析】当 a= 45 时，直线 l的方程为 y=
4
5 x，即 4x- 5y= 0，点P(5,2)到直线 l的距离为 d=
4× 5- 5× 2 = 10 4141 ≠ 2，直线 l与圆P不相切，故A错误；42+ 52
若直线 l平分圆P的周长，则P(5,2)在直线 l上，即 2= 5a，解得 a= 25，故B正确；
∵ (5- 5)2+ (4- 2)2= 4，∴M在圆P上，若直线 l上存在点A，使得∠PAM= 90°，则A在以PM为直
径的圆上，又∵PM的中点为 (5,3)，PM= 2，
∴以PM为直径的圆的方程为 (x- 5)2+ (y- 3)2= 1，
5a- 3
则有PM的中点到直线 l的距离 d= ≤ 1，解得 15- 3324 ≤ a≤
15+ 33
24 ，则 a的最大值为a2+ 1
15+ 33
24 ，故C正确；
当 a= 2时，直线 l的方程为 y= 2x，N为直线 l上的一个动点，所以设N (t,2t)，

则PN = (t- 5,2t- 2)，MN = (t- 5,2t- 4)，

PN MN = (t- 5)2+ (2t- 2) (2t- 4) = 5t2- 22t+ 33，对称轴为 t= 115 ，
当 t= 11
11 2
5 时，PN MN 取得最小值，为 5× 5 - 22×
11
5 + 33=
44
5 ，故D正确．
故选：BCD．
例35.(多选题) (2022·湖北武汉·模拟预测)已知圆M：(x- 4)2+ (y- 5)2= 12，直线 l：mx- y- 2m+ 3=
0，直线 l与圆M交于A，C两点，则下列说法正确的是 ( )

A.直线 l恒过定点 (2,3) B. |AC|的最小值为 4

C. MA MC的取值范围为 [-12,4] D. 1当∠AMC最小时，其余弦值为 2
【答案】ABC
【解析】A．直线 l:mx- y- 2m+ 3= 0，即m x- 2 - y- 3 = 0，直线恒过点 2,3 ，故A正确；
B．当定点 2,3 是弦AC的中点时，此时 AC 最短，圆心M 4,5 和定点 2,3 的距离时 2 2，此时
AC = 2 12- 2 2 2= 4，故B正确；
C．当 AC 最小时，∠AMC最小，此时 cos∠AMC= 12+ 12- 16

2× 12 =
1
3，此时MA MC =

MA MC cos∠AMC= 12× 13 = 4，当 AC 是直径时，此时∠AMC最大，∠AMC= π，此时MA MC

= MA MC cos∠AMC= 12× -1 =-12，所以MA MC的取值范围为 [-12,4]，故C正确；
D．根据C可知当∠AMC最小时，其余弦值为 13，故D错误．
故选：ABC
例36.(多选题) (2022·湖北·模拟预测)若动直线 l:mx- y+ 4- 4m= 0与圆C :(x- 4)2+ (y- 5)2= 9相交
于A,B两点，则 ( )
A. AB 的最小值为 4 2

B. CA CB的最大值为-7

C. OA OB(O为坐标原点)的最大值为 78

D. AC AB的最大值为 18
【答案】ABD
【解析】由 l:mx- y+ 4- 4m= 0，可得 y- 4=m x- 4 ，
故直线恒过定点D 4,4 ，又圆C:(x- 4)2+ (y- 5)2= 9，圆心为
C 4,5 ，半径为 3，
由圆的性质可得当CD⊥AB时， AB 取得最小，
此时 CD = 1， AB = 2 9- 1= 4 2，故A正确；
2 2 2 2 2CA + CB - AB 32+ 32- AB 18- AB 2∵ 18- 4 2 cos CA,CB = = 7
2 CA CB 2× 3× 3
= 18 ≤ 18 =- 9，

∴CA CB= CA CB cos CA,CB ≤ 3× 3× - 79 =-7，故B正确；
由 mx- y+ 4- 4m= 0 2 2 2 2 x- 4 2+ - 2= ，可得 1+m x - 8m + 2m+ 8 x+ 16m + 8m+ 8= 0， y 5 9
2
设A x ,y ,B x ,y ，则 x + x = 8m + 2m+ 8
2
,x x = 16m + 8m+ 8 1 1 2 2 1 2 1+m2 1 2 1+ 2 ，m
∴ y1y2= mx1+ 4- 4m mx2+ 4- 4m =m2x1x2+m 4- 4m x1+ x2 + 4- 4m 2
2 2
=m2 16m + 8m+ 8+ 2 +m 4- 4m
8m + 2m+ 8
+ 2 + 4- 4m
2= 16，
1 m 1 m
2
∴OA OB= x1x2+ y1y2= 16m + 8m+ 8 + 16= 8m- 8+ 2 + 2 + 32，1 m 1 m

要使OA OB最大，则 8m- 8
1+ 最大，m2
要求 8m- 8+ 的最大值，不妨令 t=m- 1> 0，(当m- 1≤ 0时
8m- 8 ≤ 0不合题意)
1 m2 1+m2
则 8m- 8 = 8t = 8 ≤ 8+ 2 + = 4 2- 4，1 m 1 t+ 1 2 2+ t+ 2 2+ 2 2t
当且仅当 t= 2t ，即 t= 2取等号，

故OA OB= 8m- 8+ 2 + 32≤ 28+ 4 2，故C错误；1 m

由题可知 AB ≤ 6，

∴AC AB= AC AB cos AC,AB = 12 AB
2≤ 12 × 6
2= 18，故D正确．
故选：ABD．
y2
例37.(2022·全国·高三专题练习)已知双曲线 x2- 3 = 1的右焦点为F，M (4,3 5)，直线MF与 y轴交于
点 N，点 P为双曲线上一动点，且 yp < 3 5，直线MP与以MN为直径的圆交于点M Q，则 PM
PQ 的最大值为 ( )
A. 48 B. 49 C. 50 D. 42
【答案】A
【解析】由双曲线方程知：右焦点F 2,0 ，M 4,3 5 在双曲线
上，
∵直线MF方程为 y= 3 52 x- 2 ，令 x= 0，解得：y=
-3 5，∴N 0,-3 5 ；
∴以MN为直径的圆的圆心为F，且 MF = 7．
连接NQ,NP,PF，

∵Q在以MN为直径的圆上，∴MQ⊥NQ，∴ PQ = PN cos π-∠MPN ，

∴ PM PQ = PM PN cos π-∠MPN =-PM PN =- PF +FM PF +FN =FM 2 -

PF2= 49-PF2；
∵P为双曲线上一点，且 yP < 3 5，∴ PF min= c- a= 2- 1= 1，∴ PM PQ ≤ 49- 1= 48；
故选：A
2 2
例38.(2022· · x y全国 高三专题练习)已知点M为椭圆 27 + 26 = 1上任意一点，A，B是圆 x- 1
2+ y2= 8

上两点，且AB= 4 2，则MA MB的最大值与最小值的和是 ( )
A. 20 B. 12 3 C. 40 D. 48 3
【答案】C
【解析】设圆的圆心为N，易知AB是圆N的一条直径，

因此MA MB= MN +NA MN +NB = MN +NA MN -NA

= 2MN 2- NA = MN 2- 8，

因为点N是椭圆的右焦点，点M在椭圆上，所以 3 3- 1≤ MN ≤ 3 3+ 1，

所以 20- 6 3≤ MN 2- 8≤ 20+ 6 3，即 20- 6 3≤MA MB≤ 20+ 6 3，

所以MA MB的最小值为 20- 6 3，最大值为 20+ 6 3，

又因为 20- 6 3+ 20+ 6 3= 40，所以MA MB的最大值与最小值的和是 40．
故选：C．
例39.(2022·河南开封·二模 (文))骑行是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱．如
图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆 A(前轮)，圆 D(后轮)的半径均为 3，△ABE，

△BEC,△ECD均是边长为 4的等边三角形，设点P为后轮上一点，则在骑行该自行车的过程中，AC

CP达到最大值时点P到地面的距离为 ( )
A. 32 B.
3 3
2
C. 32 + 3 D.
6
2 + 3
【答案】B
【解析】以A为原点建立如图所示平面直角坐标系，
C 6,2 3 ,D 8,0 ，
以D为圆心，半径为 3的圆的方程为 x- 8 2+ y2= 3，
设P 8+ 3cosθ, 3sinθ ,0≤ θ< 2π，

AC CP= 6,2 3 2+ 3cosθ, 3sinθ- 2 3
= 6sinθ+ 6 3cosθ= 12sin θ+ π3 ，

由于 π3 ≤ θ+
π < 7π，所以当 θ+ π = π π3 3 3 2 ,θ= 6 时，AC CP取得最大值，
此时P点的坐标为 8+ 3cos π6 , 3sin
π
6 ，
P点到地面的距离为 3sin π + 3= 3 36 2 ．
故选：B
题型六：坐标与角度型
( · · ) 2+ 2= - 3x+ y例40. 2022全国 高三专题练习 已知 x，y满足 x y 4y 3，则 的最大值为 ( )
x2+ y2
A. 1 B. 2
C. 3 D. 5
【答案】C
【解析】点A x,y 在圆 x2+ y- 2 2= 1上，B 3,1 ，

3x+ y
则 = OA O B

= OB cos∠AOB= 2cos∠AOB，
x2+ y2 OA
如图，当OA与圆相切时，∠AOB取得最小值 π 3x+ y6，所以 ≤ 3，x2+ y2
此时点A 3 32 , 2 ．
故选：C
例41.(2022·福建泉州·模拟预测)若圆M : x- cosθ 2+ y- sinθ 2= 1(0≤ θ< 2π)与圆N :x2+ y2- 2x-
4y= 0交于A、B两点，则 tan∠ANB的最大值为 ( )
A. 1 B. 32 4 C.
4
5 D.
4
3
【答案】D
【解析】x2+ y2- 2x- 4y= 0可化为 x- 1 2+ y- 2 2= 5，
故圆N的圆心为 1,2 ，半径为 5，
由题意可知：AB为圆M与圆N的公共弦，且圆M的半径为 1，
所以 AB ≤ 2且 AB ≤ 2 5，故 AB ≤ 2，
当M的坐标为 1,0 时， AB = 2，
NA2+NB2-AB2 2在△ 10-ABNAB中，cos∠ANB= = ≥
2NA NB 10
3
5，
又∠ANB∈ 0,π ，y= cosx在 x∈ 0,
π
2 上单调递减，
故∠ANB为锐角，且当 cos∠ANB= 35 时，∠ANB最大，
又 y= tanx在 x∈ - π , π2 2 上单调递增，
所以当∠ANB最大时，tan∠ANB取得最大值，且最大值为 43，
故选：D

例42.(2022· 全国·高三专题练习)已知 a，b，c是非零平面向量， a = 2， a- b = 1， 2c- b b= 0， b =

c a c，则 的最大值是_________． a

【答案】 2+ 1【解析】由题，令 a =OA,b=OB，c =OC，则
a

- b = 1 OA-OB = 1 BA = 1，
因为 a = 2，令 a = 2,0 ，根据几何性质，点B在以 2,0 为
圆心，1为半径的圆上，

2c - b b= 0 2c

b= b2，又因为 b = c ，利用数量积

公式展开可得 cos b,c
= 2 2 b,c

= 45 ，
所以点C的轨迹为以 2, 2 或 2,- 2 为圆心，半径为
1的圆，
所以C的横坐标的最大值为 2+ 1，
a

c a c cos=
a ,c
= c
cos a ,c ，即为 c 在 a 上的投影，最大值为 2+ 1．
a a
故答案为： 2+ 1．
例43.(2022·全国·高三专题练习 (理))已知圆C :(x- 1)2+ (y+ 2 2)2= 16和两点A 0,-m B 0,m ，若
圆C上存在点P，使得AP⊥BP，则m的最大值为 ( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】C
【解析】因为两点A 0,-m B 0,m ，点P满足AP⊥BP，故点P的轨迹C1是以A,B为直径的圆 (不
包含A,B)，
故其轨迹方程为 x2+ y2=m2 x≠ 0 ，
又圆C:(x- 1)2+ (y+ 2 2)2= 16上存在点P，故两圆有交点，
又 CC 2 21 = 1 + 2 2 = 3，则 4-m ≤ 3≤ 4+ m ，
解得m∈ 1,7 ，则m的最大值为 7．
故选：C．
2
例44.( 1多选题) (2022·河北·高三阶段练习)已知圆 C :x2+ y- 2 = 1上两点A、B满足 |AB| ≥ 2，点
M x0,0 满足：|MA| = |MB|，则下列结论中正确的是 ( )
A.当 |AB| = 2 1时，x0= 2 B. 当 x0= 0时，过M点的圆C的最短弦长是 2 3
C. AB 1- 2线段 的中点纵坐标最小值是 2
D.过M 7 7点作图C的切线且切点为A，B，则 x0的取值范围是 -∞,- ∪ 2 2 ,+∞
【答案】CD
2
【解析】圆C:x2+ y- 1 = 1的圆心C 0, 12 2 ，半径 r= 1，令圆心
C到直线AB距离为 d，
对于A，令直线AB:x= 2，即 d= 22 2 ，显然有 |AB| = 2 r
2- d2
= 2，
线段AB的垂直平分线平行于 x轴，此时点M不存在，即 x0不存
在，A不正确；
对于B，当 x0= 0 时，点M (0,0)在圆C内，而圆C的直径长为 2，则
过M 点的圆C的最短弦长小于 2，而 2 3> 2，B不正确；
2 2
对于C，令线段AB的中点P(t,s)，则 |PC| = d= r2- 12 |AB| ≤ 1-
1
2 2 =
2
2 ，
2
则 t2+ s- 1 ≤ 1 1
2
，即 s- ≤ 1 ，解得 1 - 2 ≤ s≤ 1 + 22 2 2 2 2 2 2 2 ，当且仅当 t= 0时取等号，
所以 s 1 2min= 2 - 2 ，C正确；
对于D，依题意及切线长定理得：MA⊥AC,MC⊥AB, 12 |AB| |MC| = |MA| |AC|，
解得 x 7 70≤- 2 或 x0≥ 2 ，
所以 x 的取值范围是 -∞,- 7 ∪ 70 2 2 ,+∞ ，D正确．
故选：CD．
例45.(2022·全国·高三专题练习)已知直线 kx- y+ 2k= 0与直线 x+ ky- 2= 0相交于点P，点A 4,0 ，
O为坐标原点，则 tan∠OAP的最大值为 ( )
A. 2- 3 B. 33 C. 1 D. 3
【答案】B
【解析】直线 kx- y+ 2k= 0恒过定点M (-2,0)，直线 x+ ky- 2
= 0恒过定点N (2,0)，
而 k 1+ (-1) k= 0，即直线 kx- y+ 2k= 0与直线 x+ ky- 2

= 0垂直，当P与N不重合时，PM⊥PN，PM PN = 0，

当P与N重合时，PM PN = 0，令点P(x,y)，则PM = (-2- x,

-y)，PN = (2- x,-y)，
于是得 x2+ y2= 4，显然点P与M不重合，因此，点P的轨迹是以
原点为圆心，2为半径的圆 (除点M外)，如图，
观察图形知，射线AP绕点A旋转∠OAP∈ π 0, 2 ，当旋转到与圆O：x
2+ y2= 4相切时，∠OAP最
大，tan∠OAP最大，
因 |OA| = 4，AP 为切线，点P 为切点，|OP | = 2，∠OP A= 90 ，则∠OAP = 30 ，
所以∠OAP最大值为 30 ，(tan∠OAP) = tan30 max = 33 ．
故选：B
例46.(2022·北京·北大附中高三开学考试)已知圆 C： x- 2 2+ y- 2 2= r 2 r> 0 和两点M -1,0 ，
N 1,0 ，且圆C上有且只有一个点P满足∠MPN= 90°，则 r的最大值为 ( )
A. 2 2- 1 B. 3 C. 2 2+ 1 D. 5
【答案】C
【解析】由题设，以MN为直径的圆O：x2+ y2= 1与圆C相切，且C(2,2)在圆O外，
当两圆外切时，|OC| = 2 2= r+ 1，则 r= 2 2- 1；
当两圆内切时，|OC| = 2 2= r- 1，则 r= 2 2+ 1．
所以 r的最大值为 2 2+ 1．
故选：C．
例47.(2022·全国·二模 (理))动圆M经过坐标原点，且半径为 1，则圆心M的横纵坐标之和的最大值为
( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2
【答案】C
【解析】设动圆圆心M (x,y)，半径为 1，动圆M经过坐标原点，可得MO= 1，即 x2+ y2= 1，
x+ y 2= x2+ y2+ 2xy≤ 2 x2+ y2 = 2，当且仅当 x= y= 22 时取等号，即 x+ y≤ 2，
则圆心M的横纵坐标之和的最大值为 2
故选：C
例48.( 2022 · 湖 北 · 房 县 第 一 中 学 模 拟 预 测 ) 已 知 O 为 坐 标 原 点 ，点 A cosα,sinα ，
B cos α+ π3 ,sin α+
π
3 ，以OA,OB为邻边作平行四边形AOBP，Q -2,0 ，则∠PQO的最大值
为 ( )
A. π6 B.
π
4 C.
π D. π3 2
【答案】C
【解析】已知圆O：x2+ y2= 1，A,B是圆O上两动点，所以∠AOB= π3，
所以△AOB为等边三角形，
又 AB = OA = 1，
取AB的中点M，则 OM = 32 ，
所以 OP = 3，所以点P的轨迹方程为：x2+ y2= 3，
当PQ与 x2+ y2= 3相切时，∠PQO最大，此时 sin∠PQO= 32 ，则∠PQO=
π
3．
故选：C．
例49.(2022 ·江西 ·上饶市第一中学模拟预测 (理 ) ) 已知 P 3,4- 2 2 ，过点 P 作圆 C : x- a 2 +
y- a- 1 2= 1(a为参数，且 a ∈ R)的两条切线分别切圆 C于点 A、B，则 sin∠APB的最大值为
( )
A. 1 B. 12 C.
3 D. 62 4
【答案】C
【解析】圆心C a,a+ 1 ，半径为 1，圆心C在直线 y= x+ 1上运动，
设∠ = AC APC θ，则∠APB= 2θ，由圆的几何性质可知 tanθ= = 1 ，
PA PA
所以，sin∠APB= sin2θ= 2sinθcosθ = 2tanθ 2 2
sin2θ+ cos2θ tan2 + = = ，θ 1 tanθ+ 1 1tanθ + PA PA
当直线PC与直线 y= x+ 1垂直时， PC 取最小值，则 PA = PC 2- 1取最小值，
= 3- 4- 2 2 + 1 且 PC min = 2，则 PA min= 22- 1= 3，则 PA ≥ 3，2
由双勾函数的单调性可知，函数 y= x+ 1x 在 3,+∞ 上为增函数，且 y= x+
1
x > 0，
故函数 f x = 2 1 在 3,+∞ 上为减函数，x+ x
故当 PA = 3时，sin∠APB取得最大值 2 3 34 = 2 ．
故选：C．
例50.(2022·江苏苏州· 3x+ y高三阶段练习)已知 x，y满足 x2+ y2= 6y- 6，则 的最大值为 ( )
x2+ y2
A. 1 B. 3 C. 1+ 33 D. 1+
6
3
【答案】D
【解析】求 3x+ y ，取 3x+ y= 3x+ y x2+ y2 max
设P x,y 是圆 x2+ y- 3 2= 3上任一点，过P作 3x+ y= 0的垂线，垂足为T，
3x+ y
则 2 的几何意义为PT的长 PT ， x
2+ y2=
x- 0 2+ y- 0 2 表示 PO ，
3x+ y = PT = sin∠POT，直线 y= kx与圆 x2+ y- 3 2= 3相切
2 x2+ y2 PO
时 k=± 2，
令 tanθ= 2，当 y= 2x与圆相切于第一象限时，sin∠POT取最大值，
此时 sin∠POT= sin 2π - θ = 3 cosθ+ 13 2 2 sinθ=
3
2
1 + 12 3
2 = 12 +
6
3 6
∴ 3x+ y = 1+ 6x2+ y2 max 3
故选：D．
例51.(2022·全国·高三专题练习)已知圆C：x2+ y2= 4，M、N是直线 l：y= x+ 4上的两点，若对线段MN
1
上任意一点P，圆C上均存在两点A、B，使得 cos∠APB= 2 ，则线段MN长度的最大值为 ( )
A. 2 B. 4 C. 4 2 D. 4 3
【答案】C
【解析】如图所示：
圆C：x2+ y2= 4的圆心到直线 l：y= x+ 4的距
离为：
= 4 d = 2 2> 2= r，
12+ -1 2
所以直线与圆相离，
从直线上的点向圆上的点连线成角，
当且仅当两条线均为切线时，∠APB是最大的
角，
不妨设切线为PE，PF，
因为 cos∠APB= 12，
所以∠APB= π3，则∠EPF≥
π
3，
所以 sin∠EPC= 2 ≥ sin π = 1 ，
PC 6 2
解得PC≤ 4，
所以线段MN长度的最大值为 2 42- 2 2 2= 4 2，
故选：C
题型七：长度型
例52.(2022·上海·高三阶段练习)古希腊数学家阿波罗尼斯在他的巨著《圆锥曲线论》中有一个著名的几何
问题：在平面上给定两点A、B，动点P满足PA| = λ PB (其中 λ是正常数，且 λ≠ 1)，则P的轨迹是一
个圆，这个圆称之为“阿波罗尼斯圆”．现已知两定点M (-1,0)、N (2,1)，P是圆O:x2+ y2= 3上的动
点，则 3 PM + PN 的最小值为____________
【答案】 26
【解析】如图，在 x轴上取点S -3,0 ，
∵ OM = OP = 33 ，∠MOP=∠POS，∴△MOP △POS，∴ OP OS
PS = 3 PM ，
∴ 3 PM + PN = PS + PN ≥ SN (当且仅当P为SN与圆O交
点时取等号)，
∴ 3 PM + PN min= SN = -3- 2 2+ 0- 1 2= 26．
故答案为： 26．
例53.(2022·全国·高三专题练习)已知圆C是以点M 2,2 3 和点N 6,-2 3 为直径的圆，点P为圆C上
的动点，若点A 2,0 ，点B 1,1 ，则 2 PA - PB 的最大值为 ( )
A. 26 B. 4+ 2 C. 8+ 5 2 D. 2
【答案】A
【解析】由题设，知：C(4,0)且 |MN | =
(-2 3- 2 3)2+ (6- 2)2= 8，即圆C的半径为 4，
∴圆C：(x- 4)2+ y2= 16，
如上图，坐标系中D(-4,0)则OD= 2AC=CP=
OC= 4，
∴ AC = PC = 1 ，即△APC △PCD，故 PA
CP DC 2 PD
=
1
2，
∴ 2 PA - PB = |PD|-|PB|，在△PBD中
|PD|-|PB| < |BD|，
∴要使 |PD|-|PB|最大，P,B,D共线且最大值为 |BD|的长度．
∴ |BD| = (1+ 4)2+ 1= 26．
故选：A
例54.(2022·浙江·高三专题练习)已知圆C1: x- 1 2+ y+ 1 2= 1，圆C : x- 4 22 + y- 5 2= 9，点M、N
分别是圆C1、圆C2上的动点，点P为 x轴上的动点，则 PN - PM 的最大值是 ( )
A. 2 5+ 4 B. 9 C. 7 D. 2 5+ 2
【答案】B
【解析】圆C1: x- 1 2+ y+ 1 2= 1的圆心为C1 1,-1 ，半径为
1，
圆C2: x- 4 2+ y- 5 2= 9的圆心为C2 4,5 ，半径为 3．
∵ PN - PM max= PN max- PM min，又 PN max= PC2 +
3， PM min= PC1 - 1，
所以， PN - PM max= PC2 + 3 - PC1 - 1 = PC2 -
PC1 + 4．
点C2 4,5 关于 x轴的对称点为C 2 4,-5 ，
PC - PC = PC - PC ≤ C C = 4- 1 22 1 2 1 1 2 + -5+ 1 2
= 5，
所以， PN - PM max= 5+ 4= 9，
故选：B．
例55.(2022·广东·汕头市第一中学高三阶段练习)已知A，B是曲线 x - 1= 4- y- 1 2 上两个不同的
点，C 0,1 ，则 CA + CB 的最大值与最小值的比值是 ( )
A. 3 55 B. 2 C.
6
2 D. 3
【答案】A
【解析】由 x - 1= 4- y- 1 2，得 x - 1 2+ y- 1 2= 4．
因为 x - 1= 4- y- 1 2≥ 0，所以 x≤-1或 x≥ 1．
当 x≤-1时， x+ 1 2+ y- 1 2= 4；当 x≥ 1时， x- 1 2+ y- 1 2= 4．
所以方程 x - 1= 4- y- 1 2 表示的曲线为圆P: x+ 1 2+ y- 1 2= 4的左半部分和圆Q: x- 1 2
+ y- 1 2= 4的右半部分．当A，B分别与图中的M，N重合时， CA + CB 取得最大值，且最大值
为 6；
当A，B为图中E，F，G，H四点中的某两点时， CA + CB 取得最小值，且最小值为 2 5．故 CA +
CB 的最大值与最小值的比值是 6 = 3 5
2 5 5
．
故选：A
例56.(2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测 (理))已知曲线E:x2+ y2= 1，等边三角形ABC的两个顶点A，
B在E上，顶点C在E外，O为坐标原点，则线段OC长的最大值为 ( )
A. 3 B. 2 2 C. 3 D. 2
【答案】D
【解析】设圆心到直线AB的距离为 d
则OC= d+ 3 r2- d2= d+ 3- 3d2 (0< d< r= 1)
令 f(d) = d+ 3- 3d2，f (d) = 1+ -6d (0< d< r= 1)
2 3- 3d2
由 f (d)> 0可得 0< d< 12，所以 f(d)在 0,
1
2 上为增函数
由 f (d)< 0可得 12 < d< 1，所以 f(d)在
1
2，1 上为减函数
2
所以 f(d) = 1max 2 + 3- 3×
1
2 = 2
故选：D
例57.(2022·河南新乡·三模 (理))已知抛物线 y2= 16x的焦点为F，P点在抛物线上，Q点在圆C : x- 6 2
+ y- 2 2= 4上，则 PQ + PF 的最小值为 ( )
A. 4 B. 6
C. 8 D. 10
【答案】C
【解析】如图，过点P向准线作垂线，垂足为A，则 PF = PA ，
当CP垂直于抛物线的准线时， CP + PA 最小，
此时线段CP与圆C的交点为Q，因为准线方程为 x=-4，
C 6,2 ，
半径为 2，所以 PQ + PF 的最小值为 AQ = CA - 2= 10- 2= 8．
故选：C
例58.(2022·北京西城·一模)已知点A为圆C :(x-m)2+ (y-m- 1)2= 2上一点，点B(3,0)，当m变化时，
线段AB长度的最小值为 ( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 2 2
【答案】C
【解析】由圆C:(x-m)2+ (y-m- 1)2= 2，可得圆心C(m,m+ 1)，半径为 r= 2，
则 BC = (m- 3)2+ (m+ 1)2= 2m2- 4m+ 10= 2(m- 1)2+ 8，
当m= 1时， BC 取得最小值，最小值为 BC min= 2 2，
所以线段AB长度的最小值 2 2- r= 2．
故选：C．
例59.(2022·河北·石家庄二中模拟预测)已知P为抛物线C :y2= 8x上的动点，Q为直线 l:x- y+ 4= 0上
的动点，过点P作圆E: x- 3 2+ y2= 8的切线，切点为A，则 PQ + PA 的最小值为 ( )
A. 2+ 1 B. 2 2- 1 C. 3 2- 1 D. 3 2- 2
【答案】C
【解析】设P m,n m≥ 0 ，则n2= 8m，
2
∴ PA = m- 3 2+n2- 8= m2+ 2m+ 1=m+ 1= n + 88 ，
n2
= m-n+ 4

= 8
-n+ 4 2
PQ n - 8n+ 32 min = ，2 2 8 2
2 2
∴ PA + PQ = n + 8 + n - 8n+ 32 = 2+ 1 n
2- 8n+ 32+ 8 2
min 8 ，8 2 8 2
则当n= 4+ = 4 2- 1 时， PA + PQ min min= 3 2- 1，即 PA + PQ 的最小值为 3 2- 1．2 1
故选：C．
例60.(2022·全国·模拟预测)已知直线 l 过点A 1, 2 ，则直线 l 被圆O：x2+ y2= 12截得的弦长的最小
值为 ( )
A. 3 B. 6 C. 3 3 D. 6 3
【答案】B
【解析】依题意可知A 1, 2 在圆内，且 OA = 12+ 2 2= 3，圆O的半径为 2 3．
当OA与直线 l 垂直时，所截得的弦长最短，
即弦长的最小值为 2 2 3 2- 3 2= 6．
故选：B．
例61.(2022·安徽马鞍山·三模 (文))已知P m,n 为抛物线C：y2= 16x上一动点，过C的焦点 F作⊙P：
x-m 2+ y-n 2= 1的切线，切点为A，则线段FA长度的最小值为 ( )
A. 3 B. 15 C. 7 D. 3 7
【答案】B
【解析】由已知F(4,0)，
由切线长公式得 FA = FP 2- 1， FP min= FO = 4，
所以 FA min= 42- 1= 15．
故选：B．
例62.(2022·全国·高三专题练习 (文))已知圆C1: x- 1 2+ y- 1 2= 1，圆C2: x- 4 2+ y- 5 2= 9，点M ,
N分别是圆C1 圆C2上的动点，点P为 y=-x上的动点，则 PM + PN 的最小值是 ( )
A. 4 B. 61- 4
C. 61+ 4 D. 61- 8
【答案】B
【解析】由圆C1,C2的方程可知：圆心C1 1,1 ，C2 4,5 ，半径 r1=
1，r2= 3；
设C3 x,y 与C1关于 y=-x对称，则C3 -1,-1 ，
则圆C3: x+ 1 2+ y+ 1 2= 1与圆C1关于 y=-x对称，
∴当C2,N ,M ,P,C3五点共线时， PM + PN 取得最小值，
∴ PM + PN 2 2min= C2C3 - 1+ 3 = 4+ 1 + 5+ 1
- 4= 61- 4．
故选：B．
例63.(2022·全国·模拟预测 (理))已知圆C：x2+ y2- 2x- 3= 0，若直线 l：ax- y+ 1- a= 0与圆C相交
于A，B两点，则 AB 的最小值为 ( )
A. 2 2 B. 2 3 C. 3 D. 52
【答案】B
【解析】易知直线 ax- y+ 1- a= 0，过定点P(1,1)，
圆的标准方程是 (x- 1)2+ y2= 4，圆心为C(1,0)，半径为 r= 2，
而 CP = 1< 2，所以 AB 2min= 2 r - CP 2= 2 22- 12= 2 3．
故选：B．
例64.(2022·全国·高三专题练习)如图，P为圆O：x2+ y2= 4外一动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切
点分别为A，B，∠APB= 120°，直线OP与AB相交于点Q，点M (3， 3)，则 |MQ|的最小值为 ( )
A. 3 B. 2
C. 3 3 4 32 D. 3
【答案】A
【解析】过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB= 120°，
由圆与切线的平面几何性质知，∠APO= 60°，又 |OA| = 2，则可得 |OP| =
4
3
2
在直角△APO中，AQ⊥OP，由△OAQ △OPA得OQ= OA = 3，
OP
∴Q点的轨迹是以O为圆心， 3为半径的圆，方程为 x2+ y2= 3；
|MQ|的最小值即为 |OM |-r= 9+ 3- 3= 3．
故选：A．
例65.(2022·全国·高三专题练习)已知直线 l：mx- y- 3m+ 1= 0恒过点P，过点P作直线与圆C：(x-
1)2+ (y- 2)2= 25相交于A，B两点，则 AB 的最小值为 ( )
A. 4 5 B. 2 C. 4 D. 2 5
【答案】A
【解析】由m(x- 3) - y+ 1= 0恒过P(3,1)，
又 (3- 1)2+ (1- 2)2= 5< 25，即P在圆C内，
要使 AB 最小，只需圆心C(1,2)与P的连线与该直线垂直，所得弦长最短，
由 |CP| = 5，圆的半径为 5，
所以 AB = 2× 25- 5= 4 5．
故选：A
题型八：方程中的参数
例66.(2022·山东·烟台二中模拟预测)已知过点 1, 3 的动直线 l与圆C：x2+ y2= 16交于A，B两点，过
A，B分别作 C的切线，两切线交于点 N．若动点M cosθ,sinθ 0≤ θ< 2π ，则 MN 的最小值为
( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
【答案】B
【解析】
易得圆心C(0,0)，半径为 4，如图，连接CA,CB，则CA⊥
NA,CB⊥NB，则N ,A,C,B四点在以NC为直径的圆上，
2 2
设N ( y x + yx0,y0)，则该圆的圆心为 x0 0 0 02 , 2 ，半径为 2 ，圆
2 y 2 x2+ y2
的方程为 - xx 02 + y- 02 = 0 04 ，又该圆和圆C的
交点弦即为AB，
2 2 2 2
故AB: x y x + yx2+ y2- x- 0 - y- 0 = 16- 0 02 2 4 ，整理
得 x0x+ y0y= 16，又点 1, 3 在直线AB上，
故 x0+ 3y0= 16，即N点轨迹为 x+ 3y- 16= 0，又M在
圆 x2+ y2= 1上，故 MN 的最小值为
圆心 0,0 到直线 x+ 3y- 16= 0的距离减去半径 1，即 16+ - 1= 7．3 1
故选：B．
例67.(2022·河北·模拟预测)如图，在直角梯形ABCD中，A=B= 90°,AD= 4,AB=BC= 2，点M在以

CD为直径的半圆上，且满足AM =mAB+nAD，则m+n的最大值为 ( )
A. 2 B. 3
C. - 5 D. 10+ 52 4
【答案】D
【解析】
如图，以A为原点建立直角坐标系，设CD中点为E，易得A(0,0),B(2,0),C(2,2),D
(0,4)，则CD中点E 1,3 ，CD= 2 2，
故以CD为直径的圆的方程为 x- 1 2+ y- 3 2= 2，过E作 x轴平行线交 y轴于Q，交半圆于P，则
∠DEQ=∠PEC= 45 ，设∠PEM= θ，

则M (1+ 2cosθ,3+ 2sinθ) -45 < θ< 135 ，又AM = (1+ 2cosθ,3+ 2sinθ) =mAB+nAD
= (2m,0) + 0,4n = 2m,4n ，
故 2m= 1+ 2cosθ,4n= 3+ 2sinθ，则m+n= 1+ 2cosθ2 +
3+ 2sinθ
4 =
5
4 +
10
4 sin(θ+ φ)，其中 sinφ=
2 5
5 ,cosφ=
5
5 ，
显然当 sin θ+ φ 10+ 5 = 1时，m+n取最大值 4 ．
故选：D．
例68.(2022·全国·高三专题练习 (理))已知O 0,0 ，P 3,1 ，Q 1+ 4cosθ, 3- 4sinθ ，θ∈ 0,2π ，则
△OPQ面积的最大值为 ( )
A. 4 B. 5 C. 5 3 D. 83 3
【答案】B
xQ= 1+ 4cosθ【解析】设点Q xQ,yQ ，因为 ，所以 x - 1
2+ y - 3 2= 16，
y = 3- 4sinθ Q Q Q
∴Q点的轨迹是以M 1, 3 为圆心，4为半径的圆，
又直线OP的方程为 lOP：x- 3y= 0， OP = 3 2+ 12= 2，圆心M到直线OP的距离 d=
1- 3 × 3 = 1，所以Q到直线OP的距离最大值为 d+ r= 1+ 4= 5
12+ - 3 2
则△OPQ面积的最大值为S= 12 × 2× 5= 5．
故选：B．
例69.(2022 ·全国·模拟预测 (文))在 Rt△ABC中，∠BAC = π2 ，AB = AC = 2，点M在 △ABC内部，
cos∠AMC=- 35 ，则MB
2-MA2的最小值为______．
【答案】2
2
【解析】因为∠AMC∈ 0,π ，cos∠AMC=- 35，所以 sin∠AMC= 1- -
3 4
5 = 5．
在△AMC中，由正弦定理得： AC∠ = 2R(R为△AMC的外接圆半径)，所以
2
4 = 2R，解得：R=sin AMC
5
5
4．
如图所示：设△AMC的外接圆的圆心为O，建立如图示的坐标系．
2
设E为AC的中点，所以AE=CE= 1，OE= R2-AE2= 5 2 34 - 1 = 4．
x= 525 4 cosθ所以点M的轨迹为：x2+ y2= 16，可写出 5 (θ为参数)．y= 4 sinθ
因为点M在△ABC内部，所以M 54 cosθ,
5
4 sinθ (其中 θ满足-
4 4
5 < cosθ< 5，θ∈ 0,π )．
所以MB2-MA2= 5
2 5 11 2 2 2 cosθ+ 1 + sinθ- - 5 4 4 4 4 cosθ+ 1 +
5 3
4 sinθ- 4
5 2 2= 4 sinθ-
11 - 54 4 sinθ-
3
4
= 7- 5sinθ
因为 θ满足- 45 < cosθ<
4
5，θ∈ 0,π ，所以
3
5 < sinθ≤ 1，
所以当 sinθ= 1时MB2-MA2= 7- 5= 2最小．
故答案为：2

展开更多......

收起↑