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学 科 数学 课题名称 三角比及三角恒等式
知识梳理 1.角的概念的推广 （1）正角，负角和零角.用旋转的观点定义角，并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角， （2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角. （3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含角在内）的集合为. 2.弧度制：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做１弧度的角．用“弧度”作为单位来度量 角的单位制称为弧度制． 角度制与弧度制换算关系：弧度 ，， (2) 常见特殊角的角度数与弧度数对照表： 角度数弧度数
3.扇形弧长与面积：记扇形的半径为r，圆心角为α弧度，弧长为l，面积为s，则有 由定义，在弧度制中，半径为，弧度数为的弧长. 在弧度制中，半径为，弧度数为的扇形面积. 4.单位圆：单位圆泛指半径为１个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以 原点为圆心、以１为半径的圆为单位圆． 5.正弦、余弦、正切及余切的定义：在平面直角坐标系中，将角α的顶点与坐标原点o 重合，始边与x轴的正半轴重合，在角α的终边上任取异于原点的一点p（x，y），就有 ；；；； 6. 三角函数在各个象限的符号：必须熟悉每个三角函数在各象限的符号 任意角的正弦、余弦、正切、余切 （1）平方关系： （2）商数关系：；； （3）倒数关系：； 注意： “同角”的概念与角的表达形式无关，如： ，. 2）上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立. 3）由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号. 8. 诱导公式 第一组： 第二组： 第三组： 第四组： 第五组： 第六组： 诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是“奇变偶不变，符号看象限”．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化． 【析】①以上诱导公式都是当取使等式两边都有意义的任意值； ②以上诱导公式的正负号的确定；将看成锐角时，等号左边的角的三角比的正负，决定了等号的正负号； ③利用以上五组诱导公式可将任意角的三角比转化成锐角或零角的三角比，转化的一般途径是：负角正角内的角锐角或零角，以上的转化途径不唯一。 9. 两角和与差的三角函数 ； 。 10.二倍角公式 ；； 。 半角公式 ；；（） 积化和差公式 和差化积公式 辅助角公式：， 其中， (通常取)由，确定, 称上述公式为辅助角公式，角为辅助角． 运用公式时注意的问题：在运用公式时，因为常常只记住的取值由确定，所以当为正时就可能出现在一、三象限，而为负时可能出现在第二、四象限，这给求解某闭区间上的取值范围、取最值时的集合等问题时造成了困惑． 要解决此类困惑还是得从公式的推导过程来看，因为是由，得到，所以实际上与的取值确定了为第几象限角，很容易发现当点落在第几象限时，为第几象限角． 例题讲解 【例1】判断下列命题的真假，并说明理由． (1)若，则是第一象限的角； (2)第一象限的角都是锐角； (3)若是第一象限的角，则也必是第一象限的角； (4)弧度的角与的角是终边相同的角； (5)终边在轴上的角的集合为； (6)终边在轴上方的角的集合为. 【难度】★ 【答案】(1)假命题 (2)假命题(3)假命题(4)真命题(5)真命题(6)真命题 【例2】下列四个命题：①若，则是第二象限角或第三象限角；②且 是为第三象限角的充要条件；③若，则角和角的终边相同；④若，则.其中真命题有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【难度】★★ 【答案】A 【例3】高境镇要修建一个扇形绿化区域，其周长为，所在圆的半径为，扇形的圆心角的弧度数为，. （1）求绿化区域面积关于的函数关系式，并指出的取值范围； （2）所在圆的半径为取何值时，才能使绿化区域的面积最大，并求出此最大值. 【答案】（1），（2）当时，最大为 【例4】已知（），求，的值． 【难度】★★ 【解析】由于三角函数的值不确定，所以需要对角的范围进行讨论，并逐一求解． 解：因为，所以， （1）当b=0时，角的终边在轴上， 若角的终边在轴的非负半轴上时， ，不存在． 若角的终边在轴的非正半轴上时， ，不存在． （2）当，且时，则角为象限角， 若为第一或第二象限时，． 若为第一或第二象限时，． 特别提示：本题易错解为： 因为， 所以（1）当为第一象限角时，； （2）当为第二象限角时，； （3）当为第三象限角时，； （4）当为第四象限角时，． 其错误的原因在于没有重视条件，认为为正值，同时也时，角的终边在轴上，此时不存在，所以在解答讨论时，应注意条件的限制，如函数本身对答角的范围要求，在各个象限的符号等． 【例5】若，证明： （1）； （2）. 【难度】★★★ 【答案】（1）如图，在平面直角坐标系中作出角，角的正弦线和余弦线. 由，为直角三角形，且，，. 在中，，∴. （2）如图，，分别为角的正弦线和正切线.连结. 由，显然有. ，， ， ∴. . 【例6】（1）已知已知，，求、的值 已知，，求、的值 已知，，求、的值 （4）已知求下列各式的值 （1），（2），（3） 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）； ； 【难度】★★ 【解析】解法一：运用方程思想， 解法二：将两边平方得到：，，，，，（这里强调符号看象限）， ，． 解法三：当时，，可推出， ，，， 由 得 由 得：，． （4）【难度】★★ 【解析】分析一：据，首先确定所在的象限，再由所在的象限和同角间的三角函数关系来确定sin与cos的值，最后代入即可． 解析一：由知角为第一或三象限 当为第一象限时，由有，， 所以（1）=， （2）=， （3）=4=1． 当为第三象限时，由tan=2，有sin=， 所以（1）=， （2）=， （3）=4=1． 综上有（1）=－1， （2）=， （3）=1． 分析二：要注意到分式的分子与分母均是关于，与的一次齐式，其中第（3）问要将分母看成是1=，所以可以将分子分母同时除以，显然，然后整体代入的值即可． 解法二：（1）=， （2）=， （3）= =． 点评：这是一组在已知的条件下，求关于、的齐次式的问题，解这类问题有两个方法，一是直接求出和的值，再代入求解，如本题解法一，但这种方法较繁琐二是将所求式转化为只含的代数式，再代入求解，但应用此法时要注意两点：（1）一定是关于和的齐次式（或能化为齐次式）的三角函数式；（2）因为，可用（）除之，这样可以将所求式化为关于的表达式，从而可以整体代入的值进行求解． 【例7】已知， 求cos2(π－α)＋sin·cos ＋2sin2(α－π)的值 【难度】★★ 【答案】 【例8】若， 求：的值． 【难度】★★ 分析：由已知条件首先求出的值，再将所求式化简，可由“奇变偶不变，符号看象限”一步法化简，或直接运用诱导公式“负化正，大化小”化简，最后代值即可． 解法一：由有． 解法二：原式= 【例9】已知，试确定使等式成立的角的集合． 【难度】★★ 【答案】 解：∵ ===． 又∵，∴， 即得或， 所以，角的集合为：或． 【例10】（1）已知，求的值． 【难度】★★ 【答案】 令，则. 原式 （2）已知，，，求：、. 【难度】★★ 【答案】； 【解析】∵，∴， 又∵，， ∴， （3）已知，且，求的值. 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 （4）已知且、、均为钝角，求角的值. 【难度】★★★ 【答案】 【解析】 由已知， ①2+②2 【例11】在非直角中，求证： 【难度】★★ 【答案】证明：, 【例12】证明下列恒等式： （1）； （2）. 【分析】（1）利用二倍角降幂公式结合诱导公式可证得等式成立； （2）利用二倍角余弦公式结合弦化切的思想化简可证得等式成立. 【详解】（1）； （2） 【点睛】本题考查利用二倍角的正弦和余弦公式证明恒等式，在利用二倍角余弦公式时有升幂与降幂两种书写形式：升幂：；. 降幂：；. 考查计算能力，属于中等题. 【例13】（1）已知，求的值； （2）已知，求：的值． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2） 【解析】（2）∵ ，∴ ． 于是，原式． 【例14】（1）若cos xcos y＋sin xsin y＝，sin 2x＋sin 2y＝，则sin(x＋y)＝ 【答案】； 【解析】因为cos xcos y＋sin xsin y＝，所以cos＝，因为sin 2x＋sin 2y＝， 所以2sincos＝，所以2sin·＝，所以sin(x＋y)＝； （2）已知cos·cos＝，θ∈，则sin θ＋cos θ的值是________． 【答案】－； 【解析】cos·cos＝sincos＝sin＝cos 2θ＝. 所以cos 2θ＝，因为θ∈，所以2θ∈， 所以sin 2θ＝－，且sin θ＋cos θ<0，所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋sin 2θ＝1－＝. 所以sin θ＋cos θ＝－； 7、下列四个关系式中错误的个数__________. ①； ②； ③； ④. 【提示】根据三角函数和差化积公式，可直接判断①②③，对于④先将转化为，再根据三角函数的和差化积公式，化成积的形式，即可判断是否正确. 【答案】3个 【解析】由和差化积公式，可知： 对于①，，故①正确； 对于②，，故②错误； 对于③，，故③错误； 对于④， ，故④错误. 故答案为3个. 【例15】若多项式可化成的形式，其中，求k及的值. 【难度】★★★ 【答案】 【例16】已知. （1）求； （2）若，求； （3）求. 【答案】（1）；（2）；（3）, 【分析】（1）将和分别求平方后求和,即可求解； （2）整理方程组可得到,由,可解得,进一步求得代入求解即可； （3）先利用二倍角公式,可得,再利用和差化积公式和二倍角公式求解即可 【详解】（1）由题,, , 则 , 则 （2）由（1）可得,当时,即 则,所以, 即,则,所以 所以, 故 因为 ,所以 （3）由（1）可得, 则 因为 当时,, 则, 所以, 当时, , 则, 所以 , , 综上,, 【点睛】本题考查同角的平方关系,考查和角公式与倍角公式的应用,考查和差化积公式的应用,考查运算能力 三：课后作业 1、如果是第三象限角，则的终边一定不在第_________象限. 【答案】二 【分析】根据是第三象限角，求得的范围，分别令，，可判断终边所在象限，即可得答案. 【详解】由题意得：， 所以， 当时，，则的终边在第一象限； 当时，，则的终边在第三象限； 当时，，则的终边在第四象限， 所以的终边一定不在第二象限，故答案为：二 2、如果弓形的弧所对的圆心角为，弓形的弦长为4 cm，则弓形的面积是：（ ） A．（） cm2 B．（ ）cm2 C．（）cm2 D．（） cm2 【难度】★ 【答案】C 3、一扇形的周长为20 cm.当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积． 【难度】★★ 【答案】设扇形的半径为r，弧长为l，则 l＋2r＝20，即l＝20－2r(0学 科 数学 课题名称 三角比及三角恒等式
知识梳理 1.角的概念的推广 （1）正角，负角和零角.用旋转的观点定义角，并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角， （2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角. （3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含角在内）的集合为. 2.弧度制：弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做１弧度的角．用“弧度”作为单位来度量 角的单位制称为弧度制． 角度制与弧度制换算关系：弧度 ，， (2) 常见特殊角的角度数与弧度数对照表： 角度数弧度数
3.扇形弧长与面积：记扇形的半径为r，圆心角为α弧度，弧长为l，面积为s，则有 由定义，在弧度制中，半径为，弧度数为的弧长. 在弧度制中，半径为，弧度数为的扇形面积. 4.单位圆：单位圆泛指半径为１个单位的圆．本章中，在平面直角坐标系中，特指出以 原点为圆心、以１为半径的圆为单位圆． 5.正弦、余弦、正切及余切的定义：在平面直角坐标系中，将角α的顶点与坐标原点o 重合，始边与x轴的正半轴重合，在角α的终边上任取异于原点的一点p（x，y），就有 ；；；； 6. 三角函数在各个象限的符号：必须熟悉每个三角函数在各象限的符号 任意角的正弦、余弦、正切、余切 （1）平方关系： （2）商数关系：；； （3）倒数关系：； 注意： “同角”的概念与角的表达形式无关，如： ，. 2）上述关系（公式）都必须在定义域允许的范围内成立. 3）由一个角的任一三角函数值可求出这个角的其余各三角函数值，且因为利用“平方关系”公式，最终需求平方根，会出现两解，因此应尽可能少用,若使用时,要注意讨论符号. 8. 诱导公式 第一组： 第二组： 第三组： 第四组： 第五组： 第六组： 诱导公式可概括为k·±α(k∈Z)的各三角函数值的化简公式．记忆规律是“奇变偶不变，符号看象限”．其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化． 【析】①以上诱导公式都是当取使等式两边都有意义的任意值； ②以上诱导公式的正负号的确定；将看成锐角时，等号左边的角的三角比的正负，决定了等号的正负号； ③利用以上五组诱导公式可将任意角的三角比转化成锐角或零角的三角比，转化的一般途径是：负角正角内的角锐角或零角，以上的转化途径不唯一。 9. 两角和与差的三角函数 ； 。 10.二倍角公式 ；； 。 半角公式 ；；（） 积化和差公式 和差化积公式 辅助角公式：， 其中， (通常取)由，确定, 称上述公式为辅助角公式，角为辅助角． 运用公式时注意的问题：在运用公式时，因为常常只记住的取值由确定，所以当为正时就可能出现在一、三象限，而为负时可能出现在第二、四象限，这给求解某闭区间上的取值范围、取最值时的集合等问题时造成了困惑． 要解决此类困惑还是得从公式的推导过程来看，因为是由，得到，所以实际上与的取值确定了为第几象限角，很容易发现当点落在第几象限时，为第几象限角． 例题讲解 【例1】判断下列命题的真假，并说明理由． (1)若，则是第一象限的角； (2)第一象限的角都是锐角； (3)若是第一象限的角，则也必是第一象限的角； (4)弧度的角与的角是终边相同的角； (5)终边在轴上的角的集合为； (6)终边在轴上方的角的集合为. 【例2】下列四个命题：①若，则是第二象限角或第三象限角；②且 是为第三象限角的充要条件；③若，则角和角的终边相同；④若，则.其中真命题有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例3】高境镇要修建一个扇形绿化区域，其周长为，所在圆的半径为，扇形的圆心角的弧度数为，. （1）求绿化区域面积关于的函数关系式，并指出的取值范围； （2）所在圆的半径为取何值时，才能使绿化区域的面积最大，并求出此最大值. 【例4】已知（），求，的值． 【例5】若，证明：（1）；（2）. 【例6】（1）已知已知，，求、的值 已知，，求、的值 已知，，求、的值 已知求下列各式的值 ， ， 【例7】已知， 求cos2(π－α)＋sin·cos ＋2sin2(α－π)的值 【例8】若，求：的值． 【例9】已知，试确定使等式成立的角的集合． 【例10】（1）已知，求的值． 已知，，，求：、. （3）已知，且，求的值. （4）已知且、、均为钝角，求角的值. 【例11】在非直角中，求证： 【例12】证明下列恒等式： （1）； （2）. 【例13】（1）已知，求的值； （2）已知，求：的值． 【例14】（1）若cos xcos y＋sin xsin y＝，sin 2x＋sin 2y＝，则sin(x＋y)＝ （2）已知cos·cos＝，θ∈，则sin θ＋cos θ的值是________． 【例15】若多项式可化成的形式，其中，求k及的值. 【例16】已知. （1）求； （2）若，求； （3）求. 三：课后作业 1、如果是第三象限角，则的终边一定不在第_________象限. 2、如果弓形的弧所对的圆心角为，弓形的弦长为4 cm，则弓形的面积是：（ ） A．（） cm2 B．（ ）cm2 C．（）cm2 D．（） cm2 3、一扇形的周长为20 cm.当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积． 4、如果满足条件　，则所在象限是________． 5、已知是方程的两个根，求和的值． 6、已知，求（1）；（2）的值． 7、在平面直角坐标系中，为坐标原点，为单位圆上一点，以原点为顶点，轴正半轴为始边，为终边的角为，若将绕点顺时针旋转至，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 8、在直角坐标系中，O为坐标原点，角和的终边为OA和OB，OA过点 M，OA与OB关于直线对称，则角的的集合是 ； ． 9、（1）已知都是第一象限的角，则“”是“”的（　　） A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件． （2）已知都是第一象限的角，则“”是“”的（　　） A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件． （3）已知，则“”是“”的（　　） A、充分不必要条件；B、必要不充分条件；C、充要条件；D、既不充分又不必要条件． 10、已知角是第三象限角，. （1）求的值； （2）求的值. 11、已知锐角满足，求 12、已知为锐角，证明：的充要条件是 13、若函数的最小值为1，则 ． 14、已知 求：（1）的值 （2）的值 （3）的值． 15、已知，求：和的值. ． 16、下列四个命题中假命题是（ ） A.存在这样的，使得 B.不存在无穷多个，使得 C.对于任意的， D.不存在这样的，使得 17、已知，则的取值范围是__________. 18、如图，以为始边作角与，它们的终边分别与单位圆相交于点、，已知点的坐标为．（1）求的值；（2）若，求的值． 19、若,求的值 20、已知cos α－cos β＝，sin α－sin β＝－， （1）求sin(α＋β)的值；（2）求cos(α＋β)的值； 21、下列四个关系式中错误的个数__________. ①； ②； ③； ④.

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