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学 科 数学 课题名称 三角不等式， 幂指对的概念，函数概念
知识梳理 1、三角形不等式 如果是实数，则 注：当为复数或向量时结论也成立. 推论1： 推论2：如果是实数,那么,当且仅当时,等号成立. 2、根式的性质 (1)()n＝ a . (2)当n为奇数时＝ a ； 当n为偶数时＝ 3、有理数指数幂 (1)幂的有关概念： ①正分数指数幂：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． ②负分数指数幂：＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． ③0的正分数指数幂等于 0 ,0的负分数指数幂 没有意义 ． (2)有理数指数幂的性质： ①aras＝ ar＋s (a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ ars (a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝ arbr (a>0，b>0，r∈Q)． 4、对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 要点诠释： 对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a>0 且a1， N>0， bR. 5、对数具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即； (2)1的对数为0，即； (3)底的对数等于1，即. 6、两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数， . 7、对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示. 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. 8、对数的运算法则 已知 (1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： (2) 两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； (3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 要点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的. （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： loga(MN)=logaMlogaN， loga(M·N)=logaM·logaN， loga. 9、对数公式 （1）．对数恒等式 （2）．换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有: (1) ，令logaM=b， 则有ab=M， 则有 即， 即，即 还可以得到一个重要的结论: . 10、理解函数的有关概念 （1）函数的定义：在某个变化过程中有两个变量，如果对于在某个实数集合内的每一个确定的值，按照某个对应法则，都有唯一确定的实数值与它对应，那么就是的函数，记作，（），叫做自变量，叫做因变量，的取值范围叫做定义域，和对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 【提示】 据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个.即函数的图像特征：对于任意与轴垂直的直线，与图像最多只有一个交点. 【说明】 如果函数只给出解析式，未指明定义域，那么函数的定义域就是使得解析式有意义的实数的集合. （2）.函数的三要素：函数的定义含有三个要素，即定义域、值域和对应法则． （3）.相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据. （4）.函数的表示法：解析法、图象法、列表法. （5）.函数的定义域、值域： 在函数,中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合{|}叫做函数的值域. （6）函数的定义域包含三种形式： ①自然型：指函数的解析式有意义的自变量的取值范围； ⑴分式的分母不为0，型如: . ⑵偶次根式的被开方数大于或等于0，型如:. ⑶对数的真数大于0，指数或对数的底数大于0且不为1，型如. ⑷三角函数中的正切函数. ⑸零次幂的底数不为0. ②限制型：指命题的条件或人为对自变量的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误； ③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量的实际意义。 11、求复合函数的的定义域 的定义域是指表达式中的取值集合. ⑴已知的定义域为，求的定义域，只需令，解得的集合即为所求。 ⑵已知的定义域为，求的定义域，只需要求在的值域. 12、求函数解析式的常用方法 （1）待定系数法――已知所求函数的类型； （2）代换（配凑）法――已知形如的表达式，求的表达式； （3）方程的思想――已知条件是含有及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组. 13、常见简单函数的值域求法 ①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等），⑤数形结合法（将函数的值域问题转化为具有几何意义的变量，求解其取值关系）等等。 14、分段函数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。 例题讲解 【例题1】已知写出不等式等号成立的所有条件_________ 【例题2】已知 求证：. . 【例题3】求解下列问题. （1）运用三角不等式证明：，，并指出等号取到的充要条件； （2）已知关于x的不等式有实数解，求实数m的取值范围. 【例题4】是一个实数，则能取到的最小值为________. 【例题5】已知函数恒成立． （1）求的取值范围； （2）若的最大值为，当正数、满足时，求的最小值． 【例题6】计算：（1）；（2）. 【例题7】用分数指数幂形式表示下列各式（式中）： （1）；（2）；（3）；（4）。 【例题8】．计算： (1)； (2) (3)。 【例题9】化简下列各式. （1）； （2）；　　（3）. 【例题10】已知，求的值。 【例题11】（1）已知，求的值． 【例题12】将下列指数式与对数式互化： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). 【例题13】求值： 【例题14】表示下列各式 【例题15】已知，求． 【例题16】（1）计算： （2） （3） （4）若，求x的值． 【例题17】如下图（1）（2）（3）（4）四个图象各表示两个变量的对应关系，其中表示是的函数关系的有 ． 【例题18】求下列函数的定义域. (1); (2); 【例题19】已知＝，则函数的定义域是 （ ） A． B． C． D． 【例题20】（1）求函数的定义域． （2）已知函数的定义域是，求函数的定义域． （3）函数的定义域为，求的取值范围． 【例题21】复合函数的定义域问题. 若函数的定义域是, 求函数的定义域; 若函数的定义域是, 求函数的定义域. 若函数的定义域是, 求函数的定义域. 【例题22】下列各组函数是同一函数的是（ ） ①与； ②与； ③与； ④与 A. ① ② B. ① ③ C. ① ④ D. ③ ④ 【例题23】求函数的解析式 1、设，求的解析式. 2、设，求的解析式 3、已知是一次函数，且满足，求的解析式 4、已知，求的解析式.【答案】 5.用长为l的铁丝弯成下部为矩形, 上部为半圆形的框架, 若矩形底边长为, 求此框架围成的面积y与x的函数关系式, 并写出其定义域. 【例题24】设，则的值为（ ）． A．0 　 B．1 C．2 D．3 【例题25】设函数，若，则的取值范围是 ． 【例题26】（1）已知函数的定义域为R，求实数的取值范围； （2）已知函数的值域为R，求实数的取值范围． 【例题27】的值域为，求的取值范围__________. 【例题28】设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为_____． 【例题29】（2018上海高考）设是含数的有限实数集，是定义在上的函数。若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ）。 【变式】（2020年上海高考11题）、设，若存在定义域为的函数满足：①对任意的值为或；②无实数解，则取值范围是__________． 三：课后作业 1、关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_________. 2、若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是________ 3、若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为______. 4、设不等式（常数）的解集是M，设不等式（常数）的解集是N，则（ ） A． B． C． D． 5、垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值，具有社会、经济、生态等几方面的效益，某地街道呈现东西，南北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点，若以互相垂直的两条街道为坐标轴建立平面直角坐标系，现有下述格点，，，，，为垃圾回收点，请确定一个格点（除回收点外）________为垃圾集中回收站，使这6个回收点沿街道到回收站之间路程的和最短 6、已知 ，求证 7、已知 求证：。 8、已知函数，为实数. （1）当时，求不等式的解； （2）若不等式的解为无解，求实数的取值范围. 9、若，则等于（ ） A． B． C． D． 10、（1）化简：； （2）若a＞0，b＞0，化简：. 11、（1）已知2x+2-x=a(a为常数)，求8x+8-x的值.（2）已知x+y=12， xy=9，且x123321
则的值为 ；满足的的值是 ． 23、表示相同函数的一组是（ ） ， （）， ，（） （）， 24、函数的图像与直线（）的交点（ ） 0个 B． 1个 C． 至多1个 D． 至少1个 25、求函数的定义域： （1）已知函数的定义域为，则的定义域是 ． （2）设，则的定义域为 ． （3）若函数的定义域是，则的定义域是 ． 26、若函数的定义域为，则实数的取值范围是_________． 27、若函数对任意都有，则的值 ． 28、若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么解析式为，值域为的“孪生函数”共有______个． 29、已知，（），则 ． 30、定义“符号函数”，则不等式的解集是 ． 31、函数，方程的解集是 ． 32、若函数满足，且，则 ． 33、根据下列条件，求函数的解析式： （1）已知是一次函数，且满足； （2）已知； （3）已知等式对一切实数都成立，且； （4）已知函数满足条件对任意不为零的实数恒成立． 34、已知函数， （1）函数的图像与直线均无公共点，求证：； （2）若且，又时，恒有，求的解析式．教师姓名 学生姓名 年 级 高三 上课时间
学 科 数学 课题名称 三角不等式， 幂指对的概念，函数概念
知识梳理 1、三角形不等式 如果是实数，则 注：当为复数或向量时结论也成立. 推论1： 推论2：如果是实数,那么,当且仅当时,等号成立. 2、根式的性质 (1)()n＝ a . (2)当n为奇数时＝ a ； 当n为偶数时＝ 3、有理数指数幂 (1)幂的有关概念： ①正分数指数幂：＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． ②负分数指数幂：＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)． ③0的正分数指数幂等于 0 ,0的负分数指数幂 没有意义 ． (2)有理数指数幂的性质： ①aras＝ ar＋s (a>0，r，s∈Q)； ②(ar)s＝ ars (a>0，r，s∈Q)； ③(ab)r＝ arbr (a>0，b>0，r∈Q)． 4、对数的概念 如果，那么数b叫做以a为底N的对数，记作:logaN=b.其中a叫做对数的底数，N叫做真数. 要点诠释： 对数式logaN=b中各字母的取值范围是：a>0 且a1， N>0， bR. 5、对数具有下列性质： (1)0和负数没有对数，即； (2)1的对数为0，即； (3)底的对数等于1，即. 6、两种特殊的对数 通常将以10为底的对数叫做常用对数，.以e（e是一个无理数，）为底的对数叫做自然对数， . 7、对数式与指数式的关系 由定义可知:对数就是指数变换而来的，因此对数式与指数式联系密切，且可以互相转化.它们的关系可由下图表示. 由此可见a，b，N三个字母在不同的式子中名称可能发生变化. 8、对数的运算法则 已知 (1) 正因数的积的对数等于同一底数各个因数的对数的和； 推广： (2) 两个正数的商的对数等于被除数的对数减去除数的对数； (3) 正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数； 要点诠释： （1）利用对数的运算法则时，要注意各个字母的取值范围，即等式左右两边的对数都存在时等式才能成立.如：log2(-3)(-5)=log2(-3)+log2(-5)是不成立的，因为虽然log2(-3)(-5)是存在的，但log2(-3)与log2(-5)是不存在的. （2）不能将和、差、积、商、幂的对数与对数的和、差、积、商、幂混淆起来，即下面的等式是错误的： loga(MN)=logaMlogaN， loga(M·N)=logaM·logaN， loga. 9、对数公式 （1）．对数恒等式： （2）．换底公式 同底对数才能运算，底数不同时可考虑进行换底，在a>0， a≠1， M>0的前提下有: (1) ，令logaM=b， 则有ab=M， 则有 即， 即，即 还可以得到一个重要的结论: . 10、理解函数的有关概念 （1）函数的定义：在某个变化过程中有两个变量，如果对于在某个实数集合内的每一个确定的值，按照某个对应法则，都有唯一确定的实数值与它对应，那么就是的函数，记作，（），叫做自变量，叫做因变量，的取值范围叫做定义域，和对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域． 【提示】 据此可知函数图像与轴的垂线至多有一个公共点，但与轴垂线的公共点可能没有，也可能有任意个.即函数的图像特征：对于任意与轴垂直的直线，与图像最多只有一个交点. 【说明】 如果函数只给出解析式，未指明定义域，那么函数的定义域就是使得解析式有意义的实数的集合. （2）.函数的三要素：函数的定义含有三个要素，即定义域、值域和对应法则． （3）.相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据. （4）.函数的表示法：解析法、图象法、列表法. （5）.函数的定义域、值域： 在函数,中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合{|}叫做函数的值域. （6）函数的定义域包含三种形式： ①自然型：指函数的解析式有意义的自变量的取值范围； ⑴分式的分母不为0，型如: . ⑵偶次根式的被开方数大于或等于0，型如:. ⑶对数的真数大于0，指数或对数的底数大于0且不为1，型如. ⑷三角函数中的正切函数. ⑸零次幂的底数不为0. ②限制型：指命题的条件或人为对自变量的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误； ③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量的实际意义。 11、求复合函数的的定义域 的定义域是指表达式中的取值集合. ⑴已知的定义域为，求的定义域，只需令，解得的集合即为所求。 ⑵已知的定义域为，求的定义域，只需要求在的值域. 12、求函数解析式的常用方法 （1）待定系数法――已知所求函数的类型； （2）代换（配凑）法――已知形如的表达式，求的表达式； （3）方程的思想――已知条件是含有及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于及另外一个函数的方程组. 13、常见简单函数的值域求法： ①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法（运用不等式的各种性质）；④函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等），⑤数形结合法（将函数的值域问题转化为具有几何意义的变量，求解其取值关系）等等。 14、.分段函数 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。 例题讲解 【例题1】已知写出不等式等号成立的所有条件_________ 【答案】或 【分析】根据，将证等号成立条件，转化为证等号成立条件求解. 【详解】因为， 所以要证的等号成立条件 ， 只需证的等号成立条件 ， 即的等号成立条件 ， 当时，， 当时，， 所以当且仅当，即或时，取等号， 故答案为：或 【点睛】本题主要考查绝对值三角不等式等号成立的条件，还考查了分析求解问题的能力，属于中档题. 【例题2】已知 求证：. 【分析】利用不等式的性质以及绝对值三角不等式即可证明. 【详解】证明 ，∴， 根据绝对值三角不等式可得. 【例题3】求解下列问题. （1）运用三角不等式证明：，，并指出等号取到的充要条件； （2）已知关于x的不等式有实数解，求实数m的取值范围. 【答案】（1）证明见解析，时等号成立；（2）. 【分析】（1）利用绝对值三角不等式，结合一元二次不等式的解法求解即可； （2）关于x的不等式有实数解，即有实数解，再利用绝对值三角不等式求出的最小值即可. 【详解】（1）因为， 所以， 当时等号成立， 即时等号成立； （2）关于x的不等式有实数解， 即有实数解， 只需即可， 因为， 所以， 即实数m的取值范围是. 【点睛】方法点睛：不等式有解问题与不等式恒成立问题是常考题型，不等式有解问题：有解可以转化为；有解可以转化为. 【例题4】是一个实数，则能取到的最小值为________. 【答案】16 【分析】根据数轴上两点间的距离公式及绝对值的几何意义求解. 【详解】 因为， 所以要使的值最小，x的值取1到8之间（包括1和8）的任意一个数. 要使的值最小，x的值取2到7之间（包括2和7）的任意一个数. ….. 要使的值最小，x的值取4到5之间（包括4和5）的任意一个数. 所以当时，能取到的最小值为16. 故答案为16 【点睛】本题主要考查绝对值的几何意义，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题. 【例题5】已知函数恒成立． （1）求的取值范围； （2）若的最大值为，当正数、满足时，求的最小值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）函数恒成立，即恒成立，设函数，则，利用绝对值不等式的性质求得即可得解； （2）由（1）可得，然后利用基本不等式计算即可求得的最小值． 【详解】（1）函数恒成立， 即恒成立， 设函数，则， 又， 即的最小值为4，所以； （2）由（1）知，正数a，b满足， 所以 ， 当且仅当即时，等号成立， 所以的最小值为． 【点睛】本题考查绝对值不等式的应用，考查基本不等式的应用，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题. 根式 【例题6】计算：（1）；（2）. 【答案】 【解析】对于（1）需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于（2），则应分子、分母同乘以分母的有理化因式. （1） =+- = =||+||-|| =+-（） =2 （2） = = = 【总结升华】 对于多重根式的化简，一般是设法将被开方数化成完全次方，再解答，或者用整体思想来解题.化简分母含有根式的式子时，将分子、分母同乘以分母的有理化因式即可，如本例（2）中，的分子、分母中同乘以. 【例题7】用分数指数幂形式表示下列各式（式中）： （1）；（2）；（3）；（4）。 【答案】；；； 【解析】先将根式写成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质化简即可。 （1） （2）； （3）； （4）解法一：从里向外化为分数指数幂 == = = = 解法二：从外向里化为分数指数幂。 = == = = 【总结升华】此类问题应熟练应用。当所求根式含有多重根号时，要搞清被开方数，由里向外或由外向里，用分数指数幂写出，然后再用性质进行化简。 【例题8】．计算： (1)； (2) (3)。 【答案】3；0；2 【解析】(1)原式=； (2)原式=； (3)原式=-5+6+4--(3-)=2； 【总结升华】（1）运算顺序(能否应用公式)；（2）指数为负先化正；（3）根式化为分数指数幂. 【例题9】化简下列各式. （1）； （2）；　　（3）. 【答案】；；0.09 【解析】（1）即合并同类项的想法，常数与常数进行运算，同一字母的化为该字母的指数运算；（2）对字母运算的理解要求较高，即能够认出分数指数的完全平方关系；（3）具体数字的运算，学会如何简化运算. （1）原式； （2） （3） 【例题10】已知，求的值。 【解析】从已知条件中解出的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果与条件的联系，进而整体代入求值。 ，， ， = = 【总结升华】对于“条件求值”问题一定要弄清已知与未知的联系，然后采用“整体代换”或“化简后代换”方法求值。本题的关键是先求及的值，然后整体代入。 【例题11】（1）已知，求的值． （2）化简 【思路点拨】（1）化简所求表达式，利用已知条件求解即可． （2）利用有理指数幂以及根式运算法则化简求解即可． 【答案】（1）3；（2） 【解析】（1）， ． （2） 【总结升华】本题考查对数运算法则的应用，有理指数幂的运算法则的应用，考查计算能力． 【例题12】将下列指数式与对数式互化： (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). 【解析】运用对数的定义进行互化. (1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6). 【总结升华】对数的定义是对数形式和指数形式互化的依据，而对数形式和指数形式的互化又是解决问题的重要手段. 【例题13】求值： 【答案】35 【解析】. 【总结升华】对数恒等式中要注意格式：①它们是同底的；②指数中含有对数形式；③其值为真数. 【例题14】表示下列各式 【解析】（1）； （2）； （3）； （4）=． 【总结升华】利用对数恒等式、对数性质及其运算性质进行化简是化简对数式的重要途径，因此我们必须准确地把握它们．在运用对数的运算性质时，一要注意真数必须大于零；二要注意积、商、幂的对数运算对应着对数的和、差、积得运算． 【例题15】已知，求． 【答案】 【解析】 解法一：，， 于是． 解法二：，， 于是 解法三：，， ． 解法四：， 又． 令，则， 即 ． 【总结升华】（1）利用换底公式可以把题目中不同底的对数化成同底的对数，进一步应用对数运算的性质． （2）题目中有指数式和对数式时，要注意指数式与对数式的互化，将它们统一成一种形式． （3）解决这类问题要注意隐含条件“”的灵活运用． 【例题16】（1）计算： （2） （3） （4）若，求x的值． 【思路点拨】（1）（2）（3）利用指数与对数的运算法则即可得出； （4）利用对数的运算法则与对数函数的单调性即可得出． 【答案】（1）3；（2）0；（3）3；（4）2 【解析】（1）原式 （2）原式= = （3）原式= （4）∵， ∴， ∴ ∴ ， 解得x=－1或x=2， ∵x＞0， ∴x=2 【例题17】如下图（1）（2）（3）（4）四个图象各表示两个变量的对应关系，其中表示是的函数关系的有 ． 【答案】（2），（3） 【解析】由函数定义可知，任意作一条直线，则与函数的图象至多有一个交点，对于本题而言，当时，直线与函数的图象仅有一个交点，当或时，直线与函数的图象没有交点．从而表示是的函数关系的有（2）（3）． 【例题18】求下列函数的定义域. (1); (2); 解: , 解: , 定义域为. 定义域为. 【例题19】已知＝，则函数的定义域是 （ ） A． B． C． D． 【例题20】（1）求函数的定义域． （2）已知函数的定义域是，求函数的定义域． （3）函数的定义域为，求的取值范围． 解：（1）由函数解析式有意义，得 故函数的定义域是． （2）由 ． ∵ 函数的定义域不可能为空集，∴ 必有，即 此时，，函数的定义域为（）． （3）∵恒成立， 显然不符，∴　，解得 【例题21】复合函数的定义域问题. 若函数的定义域是, 求函数的定义域; 解: , 因此的定义域为. 若函数的定义域是, 求函数的定义域. 解: , 即的定义域为, , 因此的定义域为. 若函数的定义域是, 求函数的定义域. 解: , 由, 得定义域为. 【例题22】下列各组函数是同一函数的是（ ） ①与； ②与； ③与； ④与 A. ① ② B. ① ③ C. ① ④ D. ③ ④ 【答案】B 【解析】 【分析】 运用只有定义域和对应法则完全相同的函数，才是同一函数，对选项一一判断，即可得到所求的结论. 【详解】①与定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数； ②与，对应法则不同，故不是同一个函数； ③，，定义域和对应法则一样，故是同一函数； ④与，定义法则不同，故不是同一函数； 选B. 【点睛】该题考查的是有关同一函数的问题，在解题的过程中，注意把握同一函数的定义，必须保证是三要素完全相同，才是同一函数. 【答案】2 【例题23】求函数的解析式 1、设，求的解析式. 【答案】（） 2、设，求的解析式 【答案】 3、已知是一次函数，且满足，求的解析式 【答案】 4、已知，求的解析式. 【答案】 5.用长为l的铁丝弯成下部为矩形, 上部为半圆形的框架, 若矩形底边长为, 求此框架围成的面积y与x的函数关系式, 并写出其定义域. 【例题24】设，则的值为（ ）． A．0 　 B．1 C．2 D．3 答案：C； 【例题25】设函数，若，则的取值范围是 ． 答案：； 【例题26】（1）已知函数的定义域为R，求实数的取值范围； （2）已知函数的值域为R，求实数的取值范围． 【例题27】的值域为，求的取值范围__________. 【例题28】设函数的定义域为，若所有点构成一个正方形区域，则的值为_____． 【例题29】（2018上海高考）设是含数的有限实数集，是定义在上的函数。若的图像绕原点逆时针旋转后与原图像重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（ ）。 解析：选B，A选项，若，将点依次旋转后可得到函数图像上的一些点， 由图可知，当、、0时，对应了两个y值，不符合函数定义，∴. 同理，结合图像分析B、C、D选项，只有B选项符合函数定义，故选B 【变式】（2020年上海高考11题）、设，若存在定义域为的函数满足：①对任意的值为或；②无实数解，则取值范围是__________． 【答案】 三：课后作业 1、关于的不等式的解集为，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】利用绝对值三角不等式可求得的最小值，由此可求得实数的取值范围. 【详解】由绝对值三角不等式可得， 所以，， 因为关于的不等式的解集为，所以，. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 2、若不等式对一切实数恒成立，则实数的取值范围是________ 【答案】 【分析】由题可知，利用绝对值不等式的性质可以求出 的最大值，进而可求出实数的取值范围. 【详解】解：由于不等式对一切实数恒成立， 则大于等于的最大值，即， ，当 时取等号， 则的最大值为7， 所以实数的取值范围是：. 故答案为：. 【点睛】结论点睛：本题考查含有两个绝对值的函数的最值及恒成立问题，一般利用绝对值的性质或者几何意义进行求解，在恒成立问题中求参数的范围的常用结论如下： 恒成立 ； 恒成立 . 3、若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【分析】利用绝对值三角不等式求出的最小值为3，即得解. 【详解】由题得， 所以的最小值为3， 所以. 故答案为： 【点睛】结论点睛：绝对值三角不等式经常用来求绝对值函数的最值，要理解掌握灵活运用. 4、设不等式（常数）的解集是M，设不等式（常数）的解集是N，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由绝对值三角不等式，可知，从而得到即可得解． 【详解】解：由绝对值三角不等式，可知．
不等式（常数）的解集为N，不等式 （常数）的解集为M，
，
故选：B． 5、垃圾分类可以提高垃圾的资源价值和经济价值，具有社会、经济、生态等几方面的效益，某地街道呈现东西，南北向的网格状，相邻街距都为1，两街道相交的点称为格点，若以互相垂直的两条街道为坐标轴建立平面直角坐标系，现有下述格点，，，，，为垃圾回收点，请确定一个格点（除回收点外）________为垃圾集中回收站，使这6个回收点沿街道到回收站之间路程的和最短 【答案】 【分析】首先表示横轴和纵轴方向的距离和，再根据含绝对值三角不等式求最值. 【详解】设格点的坐标为，则，， 根据含绝对值三角式可知 横轴方向距离和， ， 此时的最小值是14，此时三个等号成立的条件是，所以时，的最小值是， 纵轴方向的距离和， 此时的最小值是9，三个等号成立的条件是 ，即或， 当时，此时格点位置是，是垃圾回收点，舍去，所以，此时格点坐标是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题是具有实际应用背景的习题，本题的关键是正确理解题意，并能转化为横轴距离和纵轴距离，利用含绝对值三角不等式求最值. 6、已知 ，求证 证明 （1） ， ∴ （2） 由（1），（2）得： 7、已知 求证：。 证明 ，∴， 由例1及上式，。 注意： 在推理比较简单时，我们常常将几个不等式连在一起写。但这种写法，只能用于不等号方向相同的不等式。 8、已知函数，为实数. （1）当时，求不等式的解； （2）若不等式的解为无解，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）或. 【分析】（1）当时，，分、、进行讨论即可得解； （2）恒成立，所以，根据绝对值三角不等式，即可得解. 【详解】（1）当时，. 当时，， 由得，，解得； 当时，， 由得，； 当时，， 由得，，解得. 综上，不等式的解为. （2）依题意知，恒成立， ∴. 而， 即， ∴，即或， 解得或. ∴实数的取值范围是或. 【点睛】本题考查了绝对值不等式和绝对值三角不等式，考查了分类讨论解去绝对值解不等式，考查了恒成立思想以及一定的计算能力，属于中档题. 9、若，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用立方和公式化简所求代数式，由可得出，由此可求得结果. 【详解】，， 因此，. 故选：C. 10、（1）化简：； （2）若a＞0，b＞0，化简：. 【答案】（1）；（2）1. 【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可求解. （2）利用指数幂的运算性质即可求解. 【详解】（1）原式. （2）原式. 11、（1）已知2x+2-x=a(a为常数)，求8x+8-x的值. （2）已知x+y=12， xy=9，且x123321
则的值为 ；满足的的值是 ． 23、表示相同函数的一组是（ ） ， （）， ，（） （）， 24、函数的图像与直线（）的交点（ ） 0个 B． 1个 C． 至多1个 D． 至少1个 25、求函数的定义域： （1）已知函数的定义域为，则的定义域是 ． （2）设，则的定义域为 ． （3）若函数的定义域是，则的定义域是 ． 26、若函数的定义域为，则实数的取值范围是_________． 27、若函数对任意都有，则的值 ． 28、若一系列函数的解析式相同，值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“孪生函数”，那么解析式为，值域为的“孪生函数”共有______个． 29、已知，（），则 ． 30、定义“符号函数”，则不等式的解集是 ． 31、函数，方程的解集是 ． 32、若函数满足，且，则 ． 33、根据下列条件，求函数的解析式： （1）已知是一次函数，且满足； （2）已知； （3）已知等式对一切实数都成立，且； （4）已知函数满足条件对任意不为零的实数恒成立． 34、已知函数， （1）函数的图像与直线均无公共点，求证：； （2）若且，又时，恒有，求的解析式．

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