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概率一轮复习学案
——奋力争取，静待花开
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【重点讲解】——————————————————————————3
【创新题试做】—————————————————————————13
【参考答案】——————————————————————————27
【课时作业】——————————————————————————41
【参考答案】——————————————————————————47
特别提醒：创新题试做部分是难度极大的试题，
仅针对学有余力的学生，或作为共同探讨问题。
请勿轻易尝试！请勿轻易尝试！请勿轻易尝试！
【重点讲解】
重点1：:随机事件的概率与古典概型
【古典概型的概率公式】
一般地，设试验 是古典概型，样本空间 包含 个样本点，事件 包含其中的 个样本点，则定义事件 的概率 = ，其中 和 分别表示事件 和样本空间 包含的样本点个数。
【例1】（多选）在某社区举办的“环保我参与”有奖问答比赛活动中，甲、乙、丙3个家庭同时回答一道有关环保知识的问题，已知甲家庭回答对这道题的概率是，甲、丙2个家庭都回答错的概率是，乙、丙2个家庭都回答对的概率是，若各家庭回答是否正确互不影响，则下列说法正确的是（ ）
A．乙家庭回答对这道题的概率为 B．丙家庭回答对这道题的概率为
C．有0个家庭回答对的概率为 D．有1个家庭回答对的概率为
【答案】AC
【详解】记“甲家庭回答对这道题”的事件为，“乙家庭回答对这道题”的事件为，
“丙家庭回答对这道题”的事件为，则
且有 ，即
解得 ；所以选项A正确，选项B不正确.
有0个家庭回答对的概率为：
；
所以选项C正确.有1个家庭回答对的概率为：
，所以选项D不正确.
【跟踪训练1】某省在新高考改革方案中规定：每位考生必选语文、数学、英语科，再从物理、历史科中选科，从化学、生物、地理、政治科中选科，甲考生随机选择，最后他选择物理、化学、地理这个组合的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】在物理、历史任选一科只有两种选法；而在化学、生物、地理、政治中任选二科有六种选法；甲考生随机选科的组合共有12种，即
物化生，物化地，物化政，物生地，物生政，物地政，
历化生，历化地，历化政，历生地，历生政，历地政.
满足要求的组合为：物化地共一种；所以甲考生选择物理、化学、地理的概率为 .
重点2：离散型随机变量及其分布列、数学期望、均值与方差
【均值与方差的性质】
① ②
③ ④
【例2】已知样本数据的均值，方差为，则样本数据的均值为__________，方差为__________.
【答案】 11 20
【详解】数据的均值，
样本数据的均值为：；
数据的方差为，
根据任何一组数据同时扩大几倍方差将变为平方倍增长，同时加减一个数方差不变，
样本数据的方差为20.
【跟踪训练2】如果数据、、、的平均值为10，方差为3，则、、、的平均值为______，方差为______.
【答案】 35 27
【详解】解：因为，，，的平均值为10，
所以、、、的平均值，
其方差为．
【例3】某校从学生会宣传部6名成员（其中男生4人，女生2人）中，任选3人参加某省举办的演讲比赛活动.
(1)设所选3人中女生人数为，求的分布列及数学期望；
(2)设“男生甲被选中”为事件，“女生乙被选中”为事件，求和.
【答案】(1)分布列答案见解析；数学期望.(2)，
【解析】（1）宣传部6名成员中有男生4人，女生2人.所以的所有可能取值为0，1，2.则,,所以随机变量的分布列为：
0 1 2
数学期望
（2）根据题意,,,所以
【跟踪训练3】第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会，于2022年2月4日星期五开幕，2月20日星期日闭幕，北京冬季奥运会设7个大项，15个分项，109个小项.北京赛区承办所有的冰上项目；延庆赛区承办雪车、雪橇及高山滑雪项目；张家口赛区的崇礼区承办除雪车、雪橇及高山滑雪之外的所有雪上项目.某国运动队拟派出甲、乙、丙三人去参加自由式滑雪.比赛分为初赛和决赛，其中初赛有两轮，只有两轮都获胜才能进入决赛.已知甲在每轮比赛中获胜的概率均为；乙在第一轮和第二轮比赛中获胜的概率分别为和，丙在第一轮和第二轮获胜的概率分别是和，其中.
(1)甲、乙、丙三人中，谁进入决赛的可能性最大；
(2)若甲、乙、三人中恰有两人进入决赛的概率为，求的值，在此基础上，设进入决赛的人数为，求的分布列及数学期望.
【答案】(1)甲；(2)，的分布列见解析，.
【解析】（1）甲在初赛的两轮中均获胜的概率为：，乙在初赛的两轮中均获胜的概率为：，丙在初赛的两轮中均获胜的概率为：，，，，，甲进入决赛的可能性最大；
（2）由（1）知，，，，若甲、乙、三人中恰有两人进入决赛，则甲和乙、甲和丙、乙和丙进入决赛，，，整理得，解得或，又，；则丙在初赛的两轮中均获胜的概率为，设进入决赛的人数为，则可能的取值为，，，，，，，，的分布列如下：
.
重点3：二项分布、超几何分布与正态分布
【二项分布的均值与方差】
如果 ，那么 ， 。
【超几何分布的均值】
设随机变量 服从超几何分布，则 可以解释为从包含 件次品的 件产品中，不放回地随机抽取 件产品中的次品数。令 ，则 是 件产品的次品率，而 是抽取的 件产品的次品率，则 ，即 = 。
【正态分布的均值与方差】
若 ，则 ， 。
【例4】自疫情以来，与现金支付方式相比，手机支付作为一种更方便快捷并且无接触的支付方式得到了越来越多消费者和商家的青睐．某金融机构为了调查研究“支付方式的选择与年龄是否有关”，从某市市民中随机抽取100名进行调查，得到部分统计数据如下表：
手机支付 现金支付 合计
60岁以下 40 10 50
60岁以上 30 20 50
合计 70 30 100
(1)根据以上数据，判断是否有99%的把握认为支付方式的选择与年龄有关；
(2)将频率视为概率，现从该市60岁以上的市民中用随机抽样的方法每次抽取1人，共抽取3次．记被抽取的3人中选择“现金支付”的人数为X，若每次抽取的结果是相互独立的，求X的分布列，数学期望和方差．
参考公式：，其中．
0.10 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
【答案】(1)没有99%的把握认为支付方式的选择与年龄有关
(2)分布列见解析，，
【解析】(1)解：根据题意可得：的观测值，
所以没有99%的把握认为支付方式的选择与年龄有关；
(2)由题意可知：在60岁以上的市民中抽到1人选择“现金支付”的概率为，
所以，X的所有可能取值为0，1,2，3，
， ，
， ，
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
，．
【跟踪训练4】为普及传染病防治知识，增强学生的疾病防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛（满分100分），竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其它学生不得奖.教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布表.
竞赛成绩
人数 6 12 18 34 16 8 6
(1)从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，求这2名学生恰有一名学生获奖的概率；
(2)若该校所有参赛学生的成绩X近似地服从正态分布，若从所有参赛学生中（参赛学生人数大于10000）随机抽取4名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望.
【答案】(1)(2)的分布列见解析，
【解析】（1）由样本频率分布表可知，样本中获一等奖的6人，获二等奖的8人，获三等奖的16人，共30人，则70人没有获奖，所以从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，这2名学生恰有一名学生获奖的概率为
（2）因为该校所有参赛学生的成绩X近似地服从正态分布，所以，所以，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生成绩在64分以上的概率为，所以随机变量，所以，所以，，，，，所以的分布列为
0 1 2 3 4
所以
【例5】若随机变量，则_______.（附：若随机变量，则，）
【答案】0.84135
【详解】因为，所以.
【跟踪训练5】已知随机变量，若，则的最小值为__________.
【答案】或
【详解】解：因为随机变量，且，所以，
所以，
当且仅当，即、时取等号，所以的最小值为.
重点4：条件概率、事件之间的关系
【条件概率的概念】
一般地，设 ， 为两个随机事件，且 ，我们称 为在事件 发生的条件下，事件 发生的条件概率，简称条件概率。
【条件概率公式】
① 。② ， 表示事件 与 积事件的概率。
【事件之间的关系】
名称 条件 结论 符号表示
包含 关系 若A发生，则B一定发生 事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) B A(或 A B)
相等 关系 若B A且A B 事件A与事件B相等 A＝B
并(和) 事件 A发生或B发生(事件A与事件B至少有一个发生) 事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B(或A＋B)
交(积) 事件 A发生且B发生(事件A与事件B同时发生) 事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B(或AB)
互斥 事件 A∩B为不可能事件 事件A与事件B互斥(或互不相容) A∩B＝
对立 事件 A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件 事件A与事件B互为对立 A∩B＝ ，A∪B＝Ω
独立 事件 在一个随机试验中两个事件A，B是否发生互不影响 事件A与事件B相互独立 P(AB)＝P(A)P(B)
【两个事件相互独立的定义】
对任意两个事件 与 ，如果 成立，则称事件 与事件 相互独立，简称为独立。
【例6】现有张扑克牌（去掉大小王）；每次取一张，取后不放回，则两次都抽到A的概率为____________；在第一次抽到A的条件下，第二次抽到A的概率是____________
【答案】
【详解】由题意，设第一次抽到A的事件为B,第二次抽到A的事件为C,
则.
【跟踪训练6】（多选）现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球，下列说法正确的是（ ）
A．在第一次抽到3号球的条件下，第二次抽到1号球的概率是
B．第二次取到1号球的概率
C．如果第二次取到1号球，则它来自1号口袋的概率最大
D．如果将5个不同小球放入这3个口袋内每个口袋至少放1个，则不同的分配方法有150种
【答案】BCD
【详解】对于A选项，记事件分别表示第一次、第二次取到号球, ,则第一次抽到号球的条件下，第二次抽到号球的概率，故A错误
对于B选项，记事件分别表示第一次、第二次取到号球, , 依题意 两两互斥, 其和为, 并且
应用全概率公式, 有，故B正确；
对于C选项，依题设知, 第二次的球取自口袋的编号与第一次取的球上的号数相同, 则
故在第二次取到1号球的条件下, 它取自编号为 的口袋的概率最大.故C正确
对于D选项，先将5个不同的小球分成1，1，3或2，2，1三份，再放入三个不同的口袋，则不同的分配方法有，故D正确
【例7】抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”，则下列结论中正确的为（ ）
A．与互为对立事件 B．与互斥
C．与相等 D．与互为独立事件
【答案】D
【详解】因为抛掷两枚质地均匀的硬币包含：
第一枚硬币正面朝上第二枚硬币正面朝上；第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上；
第一枚硬币反面朝上第二枚硬币正面朝上；第一枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上，共4种情况.其中事件包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币正面朝上，第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上2种情况，事件包含第一枚硬币正面朝上第二枚硬币反面朝上，第一枚硬币反面朝上第二枚硬币反面朝上2种情况，
所以与不互斥，也不对立，也不相等，且发生互不影响，故D正确.
【跟踪训练7】袋子里装有大小质地都相同的个白球，个黑球，从中不放回地摸球两次，用表示事件“第次摸得白球”， 表示事件“第次摸得白球”，则与是（ ）
A．互斥事件 B．相互独立事件 C．对立事件 D．不相互独立事件
【答案】D
【详解】由题意可知,而表示“第一次摸白球，第二次摸白球”，故,故与不相互独立，同时与可以同时发生，也不对立
【创新题试做】
一、单选题
1．（新高考不考）如图，设D是图中边长分别为1和2的矩形区域，E是D内位于函数y＝（x＞0）图象下方的区域（阴影部分），从D内随机取一个点M，则点M取自E内的概率为
A． B． C． D．
2．（新高考不考）中华人民共和国的国旗是五星红旗，旗面左上方缀着五颗黄色五角星，四颗小星环拱在一颗大星之后，并各有一个角尖正对大星的中心点，象征着中国共产党领导下的革命人民大团结和中国人民对党的衷心拥护.五角星可以通过正五边形连接对角线得到，如图所示，在正五边形ABCDE内部任取一点，则该点取自阴影部分的概率为
A． B． C． D．
二、解答题
3．新冠抗疫期间，某大学应用数学专业的学生希望通过将所学的知识应用新冠抗疫，决定应用数学实验的方式探索新冠的传染和防控.实验设计如下：在不透明的小盒中放有大小质地相同的个黑球和个红球，从中随机取一球，若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则黑球替换该红球重新放回小盒中，此模型可以解释为“安全模型”，即若发现一个新冠患者，则移出将其隔离进行诊治.(注：考虑样本容量足够大和治愈率的可能性，用黑球代替红球)
(1)记在第次时，刚好抽到第二个红球，试用表示恰好第次抽到第二个红球的概率；
(2)数学实验的方式约定：若抽到第个红球则停止抽球，且无论第次是否能够抽到红球或第二个红球，当进行到第次时，即停止抽球；记停止抽球时已抽球总次数为，求的数学期望.(精确到小数点后位)
参考数据：，，
，.
4．在孟德尔遗传理论中，称遗传性状依赖的特定携带者为遗传因子，遗传因子总是成对出现，例如，豌豆携带这样一对遗传因子：使之开红花，使之开白花，两个因子的相互组合可以构成三种不同的遗传性状：为开红花，和一样不加区分为开粉色花，为开白色花，生物在繁衍后代的过程中，后代的每一对遗传因子都包含一个父本的遗传因子和一个母本的遗传因子，而因为生殖细胞是由分裂过程产生的，每一个上一代的遗传因子以的概率传给下一代，而且各代的遗传过程都是相互独立的，可以把第代的遗传设想为第次试验的结果，每一次试验就如同抛一枚均匀的硬币，比如对具有性状的父本来说，如果抛出正面就选择因子，如果抛出反面就选择因子，概率都是，对母本也一样，父本、母本各自随机选择得到的遗传因子再配对形成子代的遗传性状，假设三种遗传性状，（或），在父本和母本中以同样的比例出现，则在随机杂交试验中，遗传因子被选中的概率是，遗传因子被选中的概率是，称、分别为父本和母本中遗传因子和的频率，实际上是父本和母本中两个遗传因子的个数之比，基于以上常识回答以下问题：
（1）如果植物的上代父本、母本的遗传性状都是，后代遗传性状为，（或），的概率分别是多少？
（2）对某一植物，经过实验观察发现遗传性状具有重大缺陷，可人工剔除，从而使得父本和母本中仅有遗传性状为，（或）的个体，在进行第一代杂交实验时，假设遗传因子被选中的概率为，被选中的概率为，其中、为定值且，求杂交所得子代的三种遗传性状，（或），所占的比例，，；
（3）继续对（2）中的植物进行杂交实验，每次杂交前都需要剔除的个体.假设得到的第代总体中3种遗传性状，（或），所占的比例分别为：，，，设第代遗传因子和的频率分别为和，已知有以下公式，，
（ⅰ）证明是等差数列；
（ⅱ）求，，的通项公式，如果这种剔除某种遗传性状的随机杂交实验长期进行下去，会有什么现象发生？
5．口袋中有大小、形状、质地相同的两个白球和三个黑球．现有一抽奖游戏规则如下：抽奖者每次有放回的从口袋中随机取出一个球，最多取球2n＋1(n)次．若取出白球的累计次数达到n＋1时，则终止取球且获奖，其它情况均不获奖．记获奖概率为．
（1）求；
（2）证明：．
6．在合理分配团队合作所得时，我们往往会引入Shapley值来评判一个人在团队中的贡献值.首先，对员工编号（1，2，…，）.我们假定个人单独工作时带来的贡献是，，，考虑到在个人工作的基础上如果分出小组可能会得到更高的效率，记集合的元素为一个小组中成员的编号，例如：集合表示编号为1，2，3，4的员工结为一个小组，并记这个组为.再记为小组合力工作可产生的总贡献，并对编号为的员工引入边界贡献，表示如果员工加入小组中可以为小组带来的贡献值.那么一个员工的Shapley值为其中为其他组员（可以不是所有的其他组员）的一种成组方式，一个员工的Shapley值越大意味着它在整个团队中贡献越大，最后我们将依靠它来评定团队合作下（相当于所有人是一个组）一个人的贡献值.现在有三名淘宝带货主播，，在一次三人联动带货活动（一种直播方式，要求三个人中一个人先直播，然后加入一个人两个人联动，最后再加入一个人三个人联动）中共有50000份订单任务要完成，单独直播能完成10000份，单独直播能完成12500份，单独直播能完成5000份，如果，联动带货可以完成27000份，，联动带货能完成37500份，，联动带货能完成35000份，，，联动带货能完成50000份.现在你作为这次任务的策划，你需要考虑，，三人最终的奖金分配.请回答以下问题：
（1）请你通过语言表述以及适当的数学语言解释Shapley值的合理性；
（2）根据，，三人Shapley值的大小合理地给出奖金分配方案（用百分数表示，精确到小数点后一位）.
7．定义：若数列满足所有的项均由构成且其中有个，有个，则称为“﹣数列”．
（1）为“﹣数列”中的任意三项，则使得的取法有多少种？
（2）为“﹣数列”中的任意三项，则存在多少正整数对使得且的概率为.
8．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X．
（1）求的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，表示“甲药的累计得分为时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则，，，其中，，．假设，．
(i)证明：为等比数列；
(ii)求，并根据的值解释这种试验方案的合理性．
9．新型冠状病毒是一种人传人，而且隐藏至深、不易被人们直觉发现危及人们生命的严重病毒．我们把与这种身带新型冠状病毒（称之为患者）有过密切接触的人群称为密切关联者．已知每位密切关联者通过核酸检测被确诊为阳性后的概率为．一旦被确诊为阳性后即将其隔离．某位患者在隔离之前，每天有 位密切关联者与之接触（而这个人不与其他患者接触），其中被感染的人数为．
（1）求一天内被感染人数的概率的表达式和的数学期望；
（2）该病毒在进入人体后有14天的潜伏期，在这14天内患者无任何症状，则为病毒传播的最佳时间．设每位患者在不知自己患病的情况下的第二天又与位密切关联者接触．从某一名患者被带新型冠状病毒的第1天开始算起，第天新增患者的数学期望记为．
①当，，求的值；
②试分析每位密切关联者佩戴口罩后与患者接触能否降低患病的概率，经大量临床数据验证佩戴口罩后被感染患病的概率满足关系式．当 取得最大值时，计算所对应的和所对应的 值，然后根据计算结果说明佩戴口罩的必要性（取）．
（参考数据：，，， ，，计算结果保留整数）
10．某单位为患病员工集体筛查新型流感病毒，需要去某医院检验血液是否为阳性，现有份血液样本，有以下两种检验方案，方案一：逐份检验，则需要检验k次；方案二：混合检验，将k份血液样本分别取样混合在一起检验一次，若检验结果为阴性，则k份血液样本均为阴性，若检验结果为阳性，为了确定k份血液中的阳性血液样本，则对k份血液样本再逐一检验.逐份检验和混合检验中的每一次检验费用都是元，且k份血液样本混合检验一次需要额外收元的材料费和服务费.假设在接受检验的血液样本中，每份样本是否为阳性是相互独立的，且据统计每份血液样本是阳性的概率为.
（1）若份血液样本采用混合检验方案，需要检验的总次数为X，求X分布列及数学期望；
（2）①若，以检验总费用为决策依据，试说明该单位选择方案二的合理性；
②若，采用方案二总费用的数学期望低于方案一，求k的最大值.
参考数据：，，，，
11．某校数学兴趣小组由水平相当的n位同学组成，他们的学号依次为1，2，3，…，n.辅导老师安排一个挑战数学填空题的活动，活动中有两个固定的题，同学们对这两个题轮流作答，每位同学在四分钟内答对第一题及四分钟内答对第二题的概率都为，每个同学的答题过程都是相互独立的挑战的具体规则如下：
①挑战的同学先做第一题，第一题做对才有机会做第二题；
②挑战按学号由小到大的顺序依次进行，第1号同学开始第1轮挑战；
③若第号同学在四分钟内未答对第一题，则认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战；
④若第号同学在四分钟内答对了第一题，满四分钟后，辅导老师安排该生答第二题，若该生在四分钟内又答对第二题，则认为挑战成功挑战在第轮结束；若该生在四分钟内未答对第二题，则也认为第轮挑战失败，由第号同学继续挑战；
⑤若挑战进行到了第轮，则不管第n号同学答对多少题，下轮不再安排同学挑战.
令随机变量表示n名挑战者在第轮结束.
（1）求随机变量的分布列；
（2）若把挑战规则①去掉，换成规则⑥：挑战的同学先做第一题，若有同学在四分钟内答对了第一题，以后挑战的同学不做第一题，直接从第二题开始作答.
令随机变量表示n名挑战者在第轮结束.
（ⅰ）求随机变量的分布列；
（ⅱ）证明.
12．如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分，其中大学生更是频频使用网络外卖服务.市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况，在某月从该市大学生中随机调查了人，并将这人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表（已知每人每月网络外卖消费金额不超过元）：
消费金额（单位：百元）
频数
由频数分布表可以认为，该市大学生网络外卖消费金额（单位：元）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数（每组数据取区间的中点值，）.现从该市任取名大学生，记其中网络外卖消费金额恰在元至元之间的人数为，求的数学期望；
市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费，特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值元的饭卡，并推出一档“勇闯关，送大奖”的活动.规则是：在某张方格图上标有第格、第格、第格、…、第格共个方格.棋子开始在第格，然后掷一枚均匀的硬币（已知硬币出现正、反面的概率都是，其中），若掷出正面，将棋子向前移动一格（从到），若掷出反面，则将棋子向前移动两格（从到）.重复多次，若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关成功”，并赠送元充值饭卡；若这枚棋子最终停在第格，则认为“闯关失败”，不再获得其他奖励，活动结束.
①设棋子移到第格的概率为，求证：当时，是等比数列；
②若某大学生参与这档“闯关游戏”，试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小，并说明理由.
参考数据：若随机变量服从正态分布，则，，.
13．冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（）和严重急性呼吸综合征（）等较严重疾病.而今年出现在湖北武汉的新型冠状病毒（）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株.人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等.在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡.某医院为筛查冠状病毒，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，则需要检验n次.方式二：混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验.若检验结果为阴性，这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.
（1）若，试求p关于k的函数关系式；
（2）若p与干扰素计量相关，其中（）是不同的正实数，满足且（）都有成立.
（i）求证：数列等比数列；
（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数的期望值更少，求k的最大值
14．现有一批疫苗试剂，拟进入动物试验阶段，将1000只动物平均分成100组，任选一组进行试验．第一轮注射，对该组的每只动物都注射一次，若检验出该组中有9只或10只动物产生抗体，说明疫苗有效，试验终止；否则对没有产生抗体的动物进行第二轮注射，再次检验．如果被二次注射的动物都产生抗体，说明疫苗有效，否则需要改进疫苗．设每只动物是否产生抗体相互独立，两次注射疫苗互不影响，且产生抗体的概率均为．
（1）求该组试验只需第一轮注射的概率（用含的多项式表示）；
（2）记该组动物需要注射次数的数学期望为，求证：．
15．超级细菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧，痉挛，昏迷甚至死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现有n（）份血液样本，每个样本取到的可能性相等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（且）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，则这份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只要检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪几份为阳性，就要对这k份血液再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为次.假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p（）.现取其中k（且）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为.
（1）运用概率统计的知识，若，试求P关于k的函数关系式；
（2）若P与抗生素计量相关，其中，，…，（）是不同的正实数，满足，对任意的（），都有.
（i）证明：为等比数列；
（ii）当时，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值.
参考数据：，，，，，
，，，
【参考答案】
1．C【详解】因为.
所以点M取自E内的概率为.
2．C【详解】∵sin36°cos54°，∴2sin18°cos18°=4cos318°﹣3cos18°，化为：4sin218°+2sin18°﹣1 0，解得sin18°.
如图：不妨设A2E2=1.
根据题意知，△B1A1E2∽△A1A2E2，∴.∴A1E2，
∴S2sin72°.
S2A2B1sin36°.
正五边形A1B1C1D1E1的面积S1，正五边形A2B2C2D2E2的面积为S3，
.
S4sin36°.S3=5sin72°，
∴在正五边形ABCDE内部任取一点，则该点取自阴影部分的概率.
3．（1）；（2）8.6.
【详解】(1)若第（）次是第一次取到红球，第次是第二次取到红球
则对应地有：
则第次取球时个红球都被取出的所有可能情况的概率和为：
利用等比数列求和公式即可得：
(2)由题意可知，的可能取值依次是，，…，，
特别地，当时，对应的
由参考数据可得：
对应的数学期望为：
由参考数据可得：
4．（1），（或），的概率分别是，，；（2），，；（3）（ⅰ）证明见解析；（ⅱ）；；；越来越小，而是子代中所占的比例，也即性状会渐渐消失.
【详解】（1）因为上代父本、母本的遗传性状都是，故子代的遗传性状有：，，，，共4种，故，（或），的概率分别是，，.
（2）由题可得，，，；
（3）由（2）知，，，，
∴，则，∴是公差为1的等差数列：
，其中，∴，，于是，
，，，
对于，越大，越小，所以这种实验长期进行下去，越来越小，而是子代中所占的比例，也即性状会渐渐消失.
5．（1）；（2）见解析
【详解】（1）根据题意，每次取出的球是白球的概率为，取出的球是黑球的概率为，
所以；
（2）证明：累计取出白球次数是的情况有：
前n次取出n次白球，第n +1次取出的是白球，概率为
前n+1次取出n次白球，第n +2次取出的是白球，概率为
前2n﹣1次取出n次白球，第2n次取出的是白球，概率为
前2n次取出n次白球，第2n +1次取出的是白球，概率为
则
因此
则
因为，
所以，因此．
6．(1)见解析；(2) 分得奖金的；分得奖金的；分得奖金的
【详解】解：(1) 由Shapley值的评判标准知：利用边界贡献计算出员工的Shapley值，使员工所得与员工的贡献率相等，相对比较公平，也可以促进员工之间工作的积极性.
(2)由题意知：加入的顺序有种，
①按的顺序：，，
；
②按的顺序：，
，；
③按的顺序：，
，；
④按的顺序：，
，；
⑤按的顺序：，
，；
⑥按的顺序：，
，；
的Shapley值为： ，
的Shapley值为：,
的Shapley值为：；
故分得奖金的；故分得奖金的；
故分得奖金的.
7．（1）16；（2）115.
【详解】解：（1）三个数乘积为有两种情况：“”,“”,其中“”共有：种,
“”共有：种,利用分类计数原理得：
为“﹣数列”中的任意三项,则使得的取法有：种．
（2）与(1)同理,“”共有种,“”共有种,
而在“﹣数列”中任取三项共有种,
根据古典概型有：,再根据组合数的计算公式能得到：
,时,应满足,
,共个,
时,应满足,
视为常数,可解得, ,
根据可知,,,,
根据可知,,（否则）,下设,
则由于为正整数知必为正整数,,,
化简上式关系式可以知道：,
均为偶数,设,则
,由于中必存在偶数,
只需中存在数为的倍数即可,,
．
检验： 符合题意,共有个,
8．（1）见解析；（2）（i）见解析；（ii）.
【详解】（1）由题意可知所有可能的取值为：，，
；；
则的分布列如下：
（2）， ，，
（i）即
整理可得：
是以为首项，为公比的等比数列
（ii）由（i）知：
，，……，
作和可得：
表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理.
9．（1），；（2）①233280；②（人）；（人）；必要性见解析．
【详解】（1）根据题意，因为任何一个与患者密切接触的关联者，被感染（患病）的概率均为，又每天有位密切关联者与一患者接触，设事件：被病毒感染的人群，
随机变量的取值为：0，1，2，…，．显然事件服从二项分布，
即，显然．
（2）①根据题意，最初患者自己被感染，即第1天人数为1，
第2天被感染人数增至为：；
第3天被感染人数增至为：，…，
显然第天被感染人数增至为：，第天被感染人数增至为：，
于是根据题意中均值定义，第天新增加人数的数学期望，
即，于是．
②根据题意函数，求导得：，
当且仅当时，，此时单调递增；当时，，
即单调递减，于是．
此时，，于是（人），
（人）．
经过计算得知，戴口罩情况下患者与密切接触的关联者接触被感染的人数为16人，
而不戴口罩的情况下患者与密切接触的关联者接触被感染的人数为6480人，
即远大于，于是戴口罩是非常必要的．
10．（1）分布列见解析，；（2）①答案见解析；②11.
【详解】（1）X的可能值为1和，，，
所以随机变量X的分布列为：
X 1
P
所以.
（2）①设方案总费用为Y，方案一总费用为Z，则，
所以方案二总费用的数学期望为：，
又，所以，
又方案一的总费用为，所以，
当时，，，又，
所以，所以该单位选择方案二合理.
②由①知方案二总费用的数学期望
，
当时，，
又方案一的总费用为，令得：，
所以，即，即，所以，
设，所以，
令得，得，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，
，
，
，
，
，
，
所以k的最大值为11.
11．（1）分布列见解析；（2）（ⅰ）分布列见解析；（ⅱ）证明见解析.
【详解】（1），，
因此的分布列为
1 2 3 4
P
（2）（ⅰ）时，第k人必答对第二题，
若前面人都没有一人答对第一题，其概率为，
若前面人有一人答对第一题，其概率为，
故.当时，
若前面人都没有一人答对第一题，其概率为，
若前面人有一人答对第一题，其概率为，故.
的分布列为：
1 2 3 …
P …
（ⅱ）.
法1：，
故，求得，
故，
∴，①
，②
②①，.
故.
法2：令，
则，
因此：.
又，
故.
12．；①证明见解析；②闯关成功的概率大于闯关失败的概率，理由见解析.
【详解】解：
，因为服从正态分布，所以.
所以，所以的数学期望为.
①棋子开始在第格为必然事件，.
第一次掷硬币出现正面，棋子移到第格，其概率为，即.
棋子移到第格的情况是下列两种，而且也只有两种：
棋子先到第格，又掷出反面，其概率为；
棋子先到第格，又掷出正面，其概率为，
所以，即，且，
所以当时，数列是首项，公比为的等比数列.
②由①知，，，，，
以上各式相加，得，
所以.
所以闯关成功的概率为，
闯关失败的概率为.
，
所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率.
13．（1），（，且）；（2）（i）证明见解析；（ii）4.
【详解】（1）由已知，，，得，的所有可能取值为1，，
∴，.∴.
若，则，所以，∴，
∴.∴p关于k的函数关系式为，（，且）.
（2）（i）∵证明：当时，，∴，所以，
令，则，∵，∴下面证明对任意的正整数n，.
①当，2时，显然成立；
②假设对任意的时，，下面证明时，；
由题意，得，
∴，
∴，，
∴，所以.
∴或（负值舍去）.∴成立.
∴由①②可知，对任意的正整数n，，所以，所以为等比数列.
（ii）解：由（i）知，，，
∴，得，∴.
设（），，∴当时，，则在上单调递减；
又，，所以，，，所以，
，，∴；，.∴.∴k的最大值为4.
14．（1）；（2）证明见解析．
【详解】（1）平均每组人，设第一轮注射有Y只动物产生抗体，则，
所以，
所以该组试验只需第一轮注射的概率为．
（2）由（1）得，，
所以
，
设，则，又，
所以
，因为，所以，
又
，因为，所以，所以．
15．（1）（且）；（2）（i）证明见解析；（ii）8.
【详解】（1）当进行逐份检验时，；
当进行混合检验时，，
则
∵，∴ 则，即（且）.
（2）（i）当时，有
则猜想： 下面用数学归纳法进行证明：
①当时，满足②假设当时，
则当时，
设（且），则
∴
∴
∴
整理可得： ∴或（舍去）
由①②可得：对一切都成立.即为等比数列.
（ii）依题可知：
由（1）可知：
∴
令（），则
所以在上单调递增，在上单调递减
∵，
则k的最大值为8.
【课时作业】
一、单选题
1．我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是
A． B． C． D．
2．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（ ）
A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立
C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立
3．一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是(　　)
A． B． C． D．
二、填空题
4．若随机变量，且，则________．
5．已知随机变量，且，则（）的最小值为______.
三、解答题
6．已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24，16，16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人，进行睡眠时间的调查.
（I）应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人？
（II）若抽出的7人中有4人睡眠不足，3人睡眠充足，现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.
（i）用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数，求随机变量X的分布列与数学期望；
（ii）设A为事件“抽取的3人中，既有睡眠充足的员工，也有睡眠不足的员工”，求事件A发生的概率.
7．为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）.根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布.
（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在之外的零件数，求及X的数学期望；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.
（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性；
（ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
经计算得，，其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，.
用样本平均数作为μ的估计值，用样本标准差s作为σ的估计值，利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除之外的数据，用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）.
附：若随机变量Z服从正态分布，则，，.
8．2019年“非洲猪瘟”过后，全国生猪价格逐步上涨，某大型养猪企业，欲将达到养殖周期的生猪全部出售，根据去年的销售记录，得到销售生猪的重量的频率分布直方图（如图所示）.
（1）根据去年生猪重量的频率分布直方图，估计今年生猪出栏（达到养殖周期）时，生猪重量达不到270斤的概率（以频率代替概率）；
（2）若假设该企业今年达到养殖周期的生猪出栏量为5000头，生猪市场价格是8元/斤，试估计该企业本养殖周期的销售收入是多少万元；
（3）若从本养殖周期的生猪中，任意选两头生猪，其重量达到270斤及以上的生猪数为随机变量，试求随机变量的分布列及方差.
9．甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为，
（1）求甲连胜四场的概率；
（2）求需要进行第五场比赛的概率；
（3）求丙最终获胜的概率.
10．一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，．
（1）已知，求；
（2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，；
（3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义
【参考答案】
1．C【详解】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法，故概率为，选C.
2．B【详解】 ，
3．B【详解】设与中至少有一个不闭合的事件为与至少有一个不闭合的事件为，则，所以灯亮的概率为 ， 故选B.
4．0.74【详解】．
5．或4.5
【详解】由正态分布的对称性可知：，解得：，
因为，所以，由基本不等式得：
，
当且仅当，即时等号成立，所以不等式的最小值为
6．（Ⅰ）从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）答案见解析；（ii）．
【解析】（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2，
由于采用分层抽样的方法从中抽取7人，
因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人，2人，2人．
（Ⅱ）（i）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3．
P（X=k）=（k=0，1，2，3）．
所以，随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
随机变量X的数学期望．
（ii）设事件B为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有1人，睡眠不足的员工有2人”；
事件C为“抽取的3人中，睡眠充足的员工有2人，睡眠不足的员工有1人”，
则A=B∪C，且B与C互斥，
由（i）知，P(B)=P(X=2)，P(C)=P(X=1)，故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=．
所以，事件A发生的概率为．
7．（1），（2）（ⅰ）见详解；（ⅱ）需要. ,
【详解】（1）抽取的一个零件的尺寸在之内的概率为0.9974，
从而零件的尺寸在之外的概率为0.0026，故.
因此.的数学期望为.
（2）（i）如果生产状态正常，一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026，
一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在之外的零件
概率只有0.0408，发生的概率很小.
因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程
可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，可见上述监控生产过程的方法是合理的.
（ii）由，得的估计值为，的估计值为，
由样本数据可以看出有一个零件的尺寸在之外，
因此需对当天的生产过程进行检查.剔除之外的数据，
剩下数据的平均数为，因此的估计值为.
，剔除之外的数据，
剩下数据的样本方差为，
因此的估计值为.
8．(1)0.25 (2)1222.4万元(3)见解析
【详解】（1）估计生猪重量达不到270斤的概率为.
（2）生猪重量的平均数为（斤）.
所以估计该企业本养殖周期的销售收入是（万元）.
（3）由（1）可得随机选一头生猪，其重量达到270斤及以上的概率为，
由题意可得随机变量的所有可能取值为，则，
∴，，，
∴随机变量的分布列为
Y 0 1 2
P
∴随机变量的方差．
9．（1）；（2）；（3）.
【详解】（1）记事件甲连胜四场，则；
（2）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，
则四局内结束比赛的概率为，
所以，需要进行第五场比赛的概率为；
（3）记事件为甲输，事件为乙输，事件为丙输，
记事件甲赢，记事件丙赢，则甲赢的基本事件包括：、、、
、、、、，
所以，甲赢的概率为.
由对称性可知，乙赢的概率和甲赢的概率相等，
所以丙赢的概率为.
10．（1）1；（2）见解析；（3）见解析.
【详解】（1）.
（2）设，
因为，故，
若，则，故.，
因为，，故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
若，因为在为增函数且，
而当时，因为在上为减函数，故，
故为的一个最小正实根，
若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根，
综上，若，则.若，则，故.
此时，，
故有两个不同零点，且，
且时，；时，；
故在，上为增函数，在上为减函数，
而，故，又，故在存在一个零点，且.
所以为的一个最小正实根，此时，
故当时，.
（3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1

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