资源简介

教师姓名 学生姓名 年 级 高三 上课时间
学 科 数学 课题名称 一元二次、分式、绝对值、基本不等式
知识梳理 【基本概念】 1、一元二次不等式的解法 （1）、一元二次不等式的一般形式是： 或。 解一元二次不等式就是求使不等式成立的的范围，可借助一元二次函数图像求解。 （2）、一元二次不等式的解法总结： 借助二次函数的图像可以方便地得出一元二次不等式的解集。 设（当时，可转化为型），记方程的根的判别式为“”，当时方程的两实根为，且，当时方程有两相等实根记为。 则一元二次不等式的解集情况如下表： 类型　 　
注意： 解一元二次不等式的一般步骤： 1°判断的正负； 2°若有根，求出根； 3°写出不等式解集。 2、分式不等式的解法 同解变形法（分式不等式整式不等式一次、二次不等式） ①同解； ②与不等式组同解. 3、绝对值不等式的解法 方法一：应用分类讨论思想去绝对值（最后结果应取各段的并集）； 方法二：应用数形结合思想； 方法三：应用化归思想等价转化. ①最简单的绝对值不等式的同解变形 ；； 或； 或. ②关于绝对值不等式的常见类型有下列的同解变形 ； 或； . （5）含参不等式的解法 求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．” 【注意】 1、解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…” ； 2、按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集； 3、解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论，如果遇到下述情况则一般需要讨论： ①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性； ②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论； ③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析），比较两个根的大小,设根为（或更多）但含参数，要分、、讨论. 4、基本不等式 （1），，当且仅当时等号成立 推广：设都是正数，则 当且仅当时等号成立 注：应用时要广义地理解不等式中的，即只要保持这种结构就可以使用，的内容是可以改变的．俗称套公式 （2）、最值定理:设当且仅当时等号成立。 如积（定值），则和有最小值； 如和（定值），则积有最大值. 即:积定和最小，和定积最大，运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 （3）、凑系数法、凑项法、平方法、换元法（整体化思想）、“1”代换法 口诀：1正，2定，3相等 拓展 （1）基本不等式链——四种均值的关系： 两个正数的平方平均数、算术平均数、几何平均数、调和（倒数）平均数之间的关系是 ，当且仅当时等号成立 （2）糖水不等式：若，则（糖水的浓度问题）； 例题讲解 例1：设关于的不等式：的解集为， 其中。 求不等式的解集。 解： 。 拓展思考：设关于的不等式：的解集为，分别就下列情况求不等式的解集。 （1）；　　　　　　　（2）。 答案：（1）；　　　　（2）。 例2：关于的不等式组的所有整数解组成的集合为， 求实数的取值范围。 解：不等式的解集为， 由题意：满足不等式，则。 又方程的两根分别为， 而，所以不等式的解集， 由只含有一个整数，所以，即。 总结：本例也可以借助二次函数的图像进行求解。在解只含有一个整数时，要利用数轴来说明，可以把抽象的东西变成形象的。数轴在解不等式中的应用要注意加强，可以直观地表示出不等式的解集。 例3：解关于的不等式：。 解：（1）当时，不等式化为：，此时不等式解集为； （2）当时，方程，可化为， 方程两根分别为。 ，二次函数的图像开口向上，， 所以不等式的解集为； ②当时，二次函数的图像开口向下： （ａ）当时，，不等式解集为； （ｂ）当时，，不等式解集为； （ｃ）当，，不等式解集为。 综上知：时，不等式的解集为； 当时，不等式解集为； 时，不等式解集为； 时，不等式解集为； 时不等式解集为。 总结：对于二次项系数含有参数的一元二次不等式问题，在讨论时一定要注意二次函数的开口方向，注意讨论的层次：先注意二次项系数能否为零、再讨论方程的根、联系相应二次函数的图像，不能“乱”。 例4：（1）不等式对一切 实数恒成立，求的范围。 （2）不等式对一切实数恒成立，求 的范围。 解：（1）； （2）。 例5：解下列不等式 （1）； （2）； 例6：已知关于的不等式的解集为． （1）当时，求集合； （2）当时,求实数的范围． 答案：（1）当时， ， （2）， 不成立． 又， 不成立， 综上可得， 例7：含绝对值不等式的解法： （1）；　　　 　（2）； （3）； （4） 解：（1）；2）； （3）；（4） 例8：解下列不等式： （1）， （2） 例9：（1）不等式的解集是________________； （2）不等式的解集是_________________． 例10：（1）若，求的最值； （2）若，求的取值范围； （3）若，则的最小值为________； （4） 若，且，则的最大值为________； （5）若，则的取值范围为_________； （6）若，则的最小值________； （7）已知且，则的最小值为________； （8）若，且，求的取值范围. 例11：已知两正数满足，则的最小值为________. 例12：已知不为轴线角，则函数的最小值为______. 例13：当时，不等式恒成立，则的最大值为______. 例14：设，则的最小值是_______. 例15：经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期．该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题．具体如下： 年存储成本费(元)关于每次订货(单位)的函数关系为，其中为年需求量，为每单位物资的年存储费，为每次订货费． 某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为吨，每吨存储费为元/年，每次订货费为元． (1) 若该化工厂每次订购吨甲醇，求年存储成本费； (2) 每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？ 【备选题1】若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为________． 【备选题2】若使集合中的元素个数最少，则实数的取值范围是_________． 三：课后作业 1、函数的定义域为R, 求实数k的取值范围. 解: 由题意, 函数图像上的点恒在x轴上或在x轴上方, 当时, 函数为, 不合题意; 当时, 函数为二次函数, 故 , 解得; 综上所述, . 【评注】本题需要落实: 一元二次不等式在上恒成立的问题. 12、不等式的解集是________________________. 3、若关于x的不等式有且仅有一解, 则实数____________. 解: 记, 则, 由题意, 有且仅有一个x, 使得, 也即函数图像上只有一个点位于水平线(含)与(含)之间, 其大致图像如右图所示, 即函数的最小值为1, 故, 解得. 4、已知, , 若, , 求实数a, b的值. 解: , 若B是空集, 则显然不合题意, 故令, 则由, 可知, 因此是方程的两根, 由韦达定理: . 【评注】本题需要落实: 一元二次方程与一元二次不等式间的联系. 5、已知关于x的不等式的解集为(其中a,b为常数, a,b为实数且). 求a, b的值; 解不等式(其中c为常数, c为实数). (1)解: 当时, , 以上述集合为解集, 则方程的根为1,b, 代入得. (2)解: 即解, 当时, 不等式的解集为; 当时, 不等式的解集为; 当时, 不等式的解集为. 【评注】本题需要落实: (1)一元二次方程与一元二次不等式间的联系; (2)简单的、含参数的一元二次不等式的解法. 6、解下列不等式 (1); (2); (3); (4). （1）解: 不等式等价于, （2）解: , 或者, 若, 则不等式显然成立; 解得或者. 若, 则不等式等价于, 无解; 若, 则不等式等价于; 综上所述, 不等式的解为或者. （3）解: 原不等式,（4）解设则原不等式化为, , , 解得, , 即. , 解得或且. 7、根据下列条件, 求参数a的取值范围. 关于x的不等式的解集是R, 则实数a的取值范围是___________. 关于x的不等式有解, 则实数a的取值范围是___________. 6、（1）解: 设, 即, , 由图像可知: , 即. （2）解: 设, 即, 由(1)可知: , 即. 【评注】本题需要落实: 不等式恒成立问题. 建议利用函数的图像来解决不等式恒成立问题; 转化为函数最值来解的方法带过即可, 待函数最值复习完成再详细介绍. 8. 已知函数()的值域为, 若关于x的不等式的解 集为区间, 求实数c的值. 解: 由函数的值域为得, 不等式, 其解集为区间可知, 是方程的两根, 故有, 结合, 解得. 9、（1）下列命题中正确的是（ ） (A)的最小值是2 (B)的最大值是 (C)的最大值是 (D)的最小值是 答案：C （2）若函数，在处取最小值，则_______________（凑项） 答案：3 （3）求函数的最小值（换元或拆项） 法一：拆项 法二：换元 答案： 小结： 10、（1）已知，且满足，则的最大值为　　　　　　．（凑系数） 答案： （2）当时，的最大值是_________。（凑系数） 答案：8 （3）（1）设，则的最大值是_________，此时，________（平方法） 2， （4）设，则的最大值是_________，此时，________（凑系数） ，1. （5）、如果正数、满足， （1）求的取值范围是_________ （2）求的取值范围是_________ 答案：（1）（2） 11、（1）已知，，，则的最小值是___________ 答案： （2）已知，，，则的最小值是___________ 答案：9 提示： （3）已知，，则的最小值是__________ 答案：9 12、若，则函数的最小值是___________ 答案：25 13、 已知，，当取到最小值时，________ 答案：，当且时等号成立，即， 14、（1）已知正数，若，求实数的最大值 答案： （2）若为正实数，，求的最大值 答案： 15、设常数，若对一切正实数成立，则的取值范围为 . 答案： 解析：当时，， 由题意知，，解得. 16、在交通拥挤及事故多发地段，为确保交通安全，规定在此地段内，车距是车速（公里／小时）的平方与车身长（米）积的正比例函数，且车距不得小于车身长的一半，现假设车速为50公里／小时的时候，车距恰为车身长．（Ⅰ）试写出关于的分段函数式（其中为常数）；（Ⅱ）问车速多大时，才能使此地段的车流量最大.教师姓名 学生姓名 年 级 高三 上课时间
学 科 数学 课题名称 一元二次、分式、绝对值、基本不等式
知识梳理 【基本概念】 1、一元二次不等式的解法 （1）、一元二次不等式的一般形式是： 或。 解一元二次不等式就是求使不等式成立的的范围，可借助一元二次函数图像求解。 （2）、一元二次不等式的解法总结： 借助二次函数的图像可以方便地得出一元二次不等式的解集。 设（当时，可转化为型），记方程的根的判别式为“”，当时方程的两实根为，且，当时方程有两相等实根记为。 则一元二次不等式的解集情况如下表： 类型　 　
注意： 解一元二次不等式的一般步骤： 1°判断的正负； 2°若有根，求出根； 3°写出不等式解集。 2、分式不等式的解法 同解变形法（分式不等式整式不等式一次、二次不等式） ①同解； ②与不等式组同解. 3、绝对值不等式的解法 方法一：应用分类讨论思想去绝对值（最后结果应取各段的并集）； 方法二：应用数形结合思想； 方法三：应用化归思想等价转化. ①最简单的绝对值不等式的同解变形 ；； 或； 或. ②关于绝对值不等式的常见类型有下列的同解变形 ； 或； . （5）含参不等式的解法 求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．” 【注意】 1、解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是…” ； 2、按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集； 3、解含有参数的不等式要注意对字母参数的讨论，如果遇到下述情况则一般需要讨论： ①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性； ②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论； ③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析），比较两个根的大小,设根为（或更多）但含参数，要分、、讨论. 4、基本不等式 （1），，当且仅当时等号成立 推广：设都是正数，则 当且仅当时等号成立 注：应用时要广义地理解不等式中的，即只要保持这种结构就可以使用，的内容是可以改变的．俗称套公式 （2）、最值定理:设当且仅当时等号成立。 如积（定值），则和有最小值； 如和（定值），则积有最大值. 即:积定和最小，和定积最大，运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等 （3）、凑系数法、凑项法、平方法、换元法（整体化思想）、“1”代换法 口诀：1正，2定，3相等 拓展 （1）基本不等式链——四种均值的关系： 两个正数的平方平均数、算术平均数、几何平均数、调和（倒数）平均数之间的关系是 ，当且仅当时等号成立 （2）糖水不等式：若，则（糖水的浓度问题）； 例题讲解 例1：设关于的不等式：的解集为， 其中。 求不等式的解集。 拓展思考：设关于的不等式：的解集为，分别就下列情况求不等式的解集。 （1）；　　　　　　　（2）。 例2：关于的不等式组的所有整数解组成的集合为， 求实数的取值范围。 例3：解关于的不等式：。 例4：（1）不等式对一切实数恒成立，求的范围。 （2）不等式对一切实数恒成立，求的范围。 例5：解下列不等式 （1）； （2）； 例6：已知关于的不等式的解集为．（1）当时，求集合；（2）当时,求实数的范围． 例7：含绝对值不等式的解法： （1）；　　　（2） （3）； （4） 例8：解下列不等式： （1）， （2） 例9：（1）不等式的解集是________________； （2）不等式的解集是_________________． 例10：（1）若，求的最值________； （2）若，求的取值范围________； （3）若，则的最小值为________； （4） 若，且，则的最大值为________； （5）若，则的取值范围为_________； （6）若，则的最小值________； （7）已知且，则的最小值为________； （8）若，且，求的取值范围________. 例11：已知两正数满足，则的最小值为________. 例12：已知不为轴线角，则函数的最小值为______. 例13：当时，不等式恒成立，则的最大值为______. 例14：设，则的最小值是_______. 例15：经济订货批量模型，是目前大多数工厂、企业等最常采用的订货方式，即某种物资在单位时间的需求量为某常数，经过某段时间后，存储量消耗下降到零，此时开始订货并随即到货，然后开始下一个存储周期．该模型适用于整批间隔进货、不允许缺货的存储问题．具体如下： 年存储成本费(元)关于每次订货(单位)的函数关系为，其中为年需求量，为每单位物资的年存储费，为每次订货费． 某化工厂需用甲醇作为原料，年需求量为吨，每吨存储费为元/年，每次订货费为元． (1) 若该化工厂每次订购吨甲醇，求年存储成本费； (2) 每次需订购多少吨甲醇，可使该化工厂年存储成本费最少？最少费用为多少？ 【备选题1】若关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为________． 【备选题2】若使集合中的元素个数最少，则实数的取值范围是_________． 三：课后作业 1、函数的定义域为R, 求实数k的取值范围. 1 2、不等式的解集是________________________. 3、若关于x的不等式有且仅有一解, 则实数____________. 4、已知, , 若, , 求实数a, b的值. 5、已知关于x的不等式的解集为(其中a,b为常数, a,b为实数且). 求a, b的值; 解不等式(其中c为常数, c为实数). 6、解下列不等式 (1); (2); (3); (4). 7、根据下列条件, 求参数a的取值范围. 关于x的不等式的解集是R, 则实数a的取值范围是___________. 关于x的不等式有解, 则实数a的取值范围是___________. 8. 已知函数()的值域为, 若关于x的不等式的解 集为区间, 求实数c的值. 9、（1）下列命题中正确的是（ ） (A)的最小值是2 (B)的最大值是 (C)的最大值是 (D)的最小值是 （2）若函数，在处取最小值，则_______________（凑项） （3）求函数的最小值（换元或拆项） 10、（1）已知，且满足，则的最大值为　　　　　　．（凑系数） （2）当时，的最大值是_________。（凑系数） （3）（1）设，则的最大值是_________，此时，________（平方法） （4）设，则的最大值是_________，此时，________（凑系数） （5）、如果正数、满足， （1）求的取值范围是_________ （2）求的取值范围是_________ 11、（1）已知，，，则的最小值是___________ （2）已知，，，则的最小值是___________ （3）已知，，则的最小值是__________ 12、若，则函数的最小值是___________ 13、 已知，，当取到最小值时，________ 14、（1）已知正数，若，求实数的最大值 （2）若为正实数，，求的最大值 15、设常数，若对一切正实数成立，则的取值范围为 . 16、在交通拥挤及事故多发地段，为确保交通安全，规定在此地段内，车距是车速（公里／小时）的平方与车身长（米）积的正比例函数，且车距不得小于车身长的一半，现假设车速为50公里／小时的时候，车距恰为车身长．（Ⅰ）试写出关于的分段函数式（其中为常数）；（Ⅱ）问车速多大时，才能使此地段的车流量最大.

展开更多......

收起↑