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教师姓名 学生姓名 年 级 高三 上课时间
学 科 数学 课题名称 解三角形
知识梳理 1、三角形面积公式 （1） （2） （3） 2、正余弦定理 （1）正弦定理： （2）余弦定理：； （3）变形形式： ①； ② ③ ④ ⑤； 解决的问题类型：①正弦定理已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ②余弦定理已知三边，求各角；已知两角和它们的夹角，求第三边和其他两个角。 3、三角形中常见的结论 （1）在中是的充要条件 （2） 成等差数列 成等差数列，成等比数列为等边三角形 （6）在中， 例题讲解 【例1】在中，分别是的对边长，已知，且，求的大小及的值. 【例2】在中，若，，，则____________. 【例3】在中，已知，试讨论a的值以确定三角形解的个数. 【例4】在△中，角，，的对边分别是，，，且. （1）求角的大小； （2）若，，求和的值. 【例5】（2021上海秋考） 已知在中，、、所对边分别为、、，且，. （1）若，求的面积； （2）若，求的周长. 【例6】已知的三个内角所对边长分别为，记的面积为，若，则内角_________．(结果用反三角函数值表示) 【例7】在中，若，那么一定是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.形状不确定 【例8】（1）设的内角所对的边分别为，若，则的形状为（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 （2），三边对应的高，则是____________三角形 【例9】在中，分别为内角的对边，且 （1）求的大小； （2）求的最大值，并试判断取得最大值时的形状. 【例10】在中，分别表示三个内角的对边，如果，判断三角形的形状 【例11】在中，下列结论：①若，则此三角形为锐角三角形；②若，则此三角形为等腰或直角三角形；③若，则； ④。 其中正确的个数为____________． 【例12】（2019长宁嘉定二模16）对于，若存在，满足，则称为“类三角形”. “类三角形”一定满足( ) （A）有一个内角为； （B）有一个内角为； （C）有一个内角为； （D）有一个内角为. 【变式】如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ） A．和都是锐角三角形 B．和都是钝角三角形 C．是钝角三角形，是锐角三角形 D．是锐角三角形，是钝角三角形 【例13】如图，某大型厂区有三个值班室、、．值班室在值班室的正北方向千米处，值班室在值班室的正东方向千米处． （1）保安甲沿从值班室出发行至点处，此时，求的距离； （2）保安甲沿从值班室出发前往值班室，保安乙沿从值班室出发前往值班室，甲乙同时出发，甲的速度为千米/小时，乙的速度为千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为千米（含千米），试问有多长时间两人不能通话？ 【例14】如图所示，某海岛上一观察哨上午11时测得一轮船在海岛北偏东的C处，12时20分测得船在海岛北偏西的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？ 【例15】某兴趣小组测量电视塔的高度（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆的高度，仰角，． （1）该小组已经测得一组、的值，，，请据此算出的值； （2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问为多少时，最大？ 【变式】如图，、是两个小区所在地，、到一条公路的垂直距离分别为，，两端之间的距离为． （1）某移动公司将在之间找一点，在处建造一个信号塔，使得对、的张角与对、的张角相等，试确定点的位置． （2）环保部门将在之间找一点，在处建造一个垃圾处理厂，使得对、所张角最大，试确定点的位置． 课后作业 1、中，分别为的对边，，则____________. 2、若△的三条边，，满足，则△( )． A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 3、已知△ABC中,b=B=60°,若此三角形有两解,则的取值范围是( ) A． B． C． D． 4、已知三角形三边长是三个连续自然数. （1）且三角形为钝角三角形，求三边长；（2）且最大角是最小角的倍，求三边长. 5、在△ABC中，若，试判断△ABC的形状． 6、在中，角、、所对的边分别为、、，给出四个命题： ① 若，则为等腰三角形； ② 若，则为直角三角形； ③ 若，则为等腰直角三角形； ④ 若，则为正三角形； 以上正确命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围； 8、如图有两条相交直线成角的直路交点是甲、乙两人分别在上，甲的起始位置距离点乙的起始位置距离点后来甲沿的方向乙沿的方向两人同时以的速度步行 求甲乙在起始位置时两人之间的距离； 设后甲乙两人的距离为写出的表达式；当为何值时甲乙两人的距离最短并求出此时两人的最短距离 9、某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经过调研、规划确定，棚改规划用地区域近似为圆面，该圆的内接四边形区域是原棚户区建筑用地，测量可知边界，，． （1）求的长及原棚户区建筑用地的面积； （2）因地理条件限制，边界不能变更，而边界可以调整，为了增加棚户区的建筑用地面积，请在弧上设计一点，使得棚户区改造后的新建筑用地（四边形）的面积最大，并求出这个面积最大值． 10．如图,学校升旗仪式上，主持人站在主席台前沿D处，测得旗杆AB顶部的仰角为俯角最后一排学生C的俯角为最后一排学生C测得旗杆顶部的仰角为旗杆底部与学生在一个水平面上，并且不计学生身高. (1)设米,试用和表示旗杆的高度AB(米)； (2)测得米，若国歌长度约为50秒，国旗班升旗手应以多大的速度匀速升旗才能是国旗到达旗杆顶点时师生的目光刚好停留在B处 教师姓名 学生姓名 年 级 高三 上课时间
学 科 数学 课题名称 解三角形
知识梳理 1、三角形面积公式 （1） （2） （3） 2、正余弦定理 （1）正弦定理： （2）余弦定理：； （3）变形形式： ①； ② ③ ④ ⑤； 解决的问题类型：①正弦定理已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ②余弦定理已知三边，求各角；已知两角和它们的夹角，求第三边和其他两个角。 3、三角形中常见的结论 （1）在中是的充要条件 （2） 成等差数列 成等差数列，成等比数列为等边三角形 （6）在中， 例题讲解 【例1】在中，分别是的对边长，已知，且，求的大小及的值. 【难度】★★ 【答案】（1），；（2） 【解析】解法一：∵又∴ 在中，由余弦定理得，∴ 在中，由正弦定理得，∵， ∴. 解法二：在中，由面积公式得 ∵，∴∴. 【例2】在中，若，，，则____________. 【答案】 【分析】先由正弦定理求出，再由大边对大角，即可得出结果. 【详解】因为在中，，，， 由正弦定理可得：，所以， 又，所以，因此. 故答案为 【点睛】本题主要考查解三角形，熟记正弦定理以及三角形的性质即可，属于基础题型. 【例3】在中，已知，试讨论a的值以确定三角形解的个数. 【分析】当a的值变化时，三角形可能无解、有一个解或两个解，可借助图像分析. 【详解】解：由于三角形的一条边长a不确定，故作出的三角形的图像有以下几种情况： 作图： . 当时，无解【如图（1）】； 当时，有一个解【如图（2）】； 当时，有两个解【如图（3）】； 当时，有一个解【如图（4）、图（5）】. 【点睛】本题考查不确定三角形个数解的问题，关键是结合图像分析，考查学生的理解分析能力，属于易错题. 【例4】在△中，角，，的对边分别是，，，且. （1）求角的大小； （2）若，，求和的值. 【例5】（2021上海秋考） 已知在中，、、所对边分别为、、，且，. （1）若，求的面积； （2）若，求的周长. 【解析】（1）， （2）依题意，正弦定理：， ∴ 代入计算：，则 当B为锐角时， ，∴ 当B为钝角时， ， ，∴ 综上：或 【例6】已知的三个内角所对边长分别为，记的面积为，若，则内角_________．(结果用反三角函数值表示) 【例7】在中，若，那么一定是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.形状不确定 【难度】★★ 【答案】B 【例8】（1）设的内角所对的边分别为，若，则的形状为（　　） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 （2），三边对应的高，则是____________三角形 【例9】在中，分别为内角的对边，且 （1）求的大小； （2）求的最大值，并试判断取得最大值时的形状. 【难度】★★ 【答案】（1）由已知，根据正弦定理得 即，由余弦定理得，故 由（1）得 故当B=30°时，sinB+sinC取得最大值1。因为 ，又，得， 因为， 故 所以是等腰的钝角三角形。 【例10】在中，分别表示三个内角的对边，如果，判断三角形的形状 【难度】★★ 【答案】方法一： 方法二：同方法一可得，由正、余弦定理，即得 【例11】在中，下列结论： ①若，则此三角形为锐角三角形； ②若，则此三角形为等腰或直角三角形； ③若，则； ④。 其中正确的个数为____________． 【例12】（2019长宁嘉定二模16）对于，若存在，满足，则称为“类三角形”. “类三角形”一定满足( ) （A）有一个内角为； （B）有一个内角为； （C）有一个内角为； （D）有一个内角为. 【变式】如果的三个内角的余弦值分别等于的三个内角的正弦值，则（ ） A．和都是锐角三角形 B．和都是钝角三角形 C．是钝角三角形，是锐角三角形 D．是锐角三角形，是钝角三角形 【难度】★★★ 【答案】D 【解析】的三个内角的余弦值均大于0，则是锐角三角形， 若是锐角三角形，由，得， 那么，，矛盾，所以是钝角三角形。故选D。 【例13】如图，某大型厂区有三个值班室、、．值班室在值班室的正北方向千米处，值班室在值班室的正东方向千米处． （1）保安甲沿从值班室出发行至点处，此时，求的距离； （2）保安甲沿从值班室出发前往值班室，保安乙沿从值班室出发前往值班室，甲乙同时出发，甲的速度为千米/小时，乙的速度为千米/小时，若甲乙两人通过对讲机联系，对讲机在厂区内的最大通话距离为千米（含千米），试问有多长时间两人不能通话？ 【例14】如图所示，某海岛上一观察哨上午11时测得一轮船在海岛北偏东的C处，12时20分测得船在海岛北偏西的B处，12时40分轮船到达位于海岛正西方且距海岛5 km的E港口，如果轮船始终匀速直线前进，问船速多少？ 【难度】★★★ 【答案】轮船从到用时80分钟，从到用时20分钟，而船 始终匀速前进， 由此可见：，设，则，由已知得，在中，由正弦定理得： 在中，由正弦定理得： 在中，由余弦定理得： ， 故 ，所以船速. 【例15】某兴趣小组测量电视塔的高度（单位：m），如示意图，垂直放置的标杆的高度，仰角，． （1）该小组已经测得一组、的值，，，请据此算出的值； （2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离（单位：m），使与之差较大，可以提高测量精确度．若电视塔的实际高度为125m，试问为多少时，最大？ 【难度】★★ 【答案】（1）由，，及，得 ，解得． 因此，算出的电视塔的高度是124m． （2）由题设知，得． 由，得，所以 ， 当且仅当，即时，上式取等号． 所以当时，最大． 因为，则，所以当时，最大． 故所求的是m． 【变式】如图，、是两个小区所在地，、到一条公路的垂直距离分别为，，两端之间的距离为． （1）某移动公司将在之间找一点，在处建造一个信号塔，使得对、的张角与对、的张角相等，试确定点的位置． （2）环保部门将在之间找一点，在处建造一个垃圾处理厂，使得对、所张角最大，试确定点的位置． 【难度】★★ 【答案】（1）设，，. 依题意有，. 由，得，解得，故点应选在距点2处. （2）设，，. 依题意有，， 令，由，得，， ，， 当，所张的角为钝角，最大角当，即时取得，故点应选在距点处. 课后作业 1、中，分别为的对边，，则____________. 2、若△的三条边，，满足，则△( )． A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形 C．一定是钝角三角形 D．可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形 3、已知△ABC中,b=B=60°,若此三角形有两解,则的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正弦定理（为的外接圆的半径），做出三角形两解的示意图，得出两解的条件，解之可得的范围. 【详解】做出示意图如下图所示：做于，则， 要使△ABC有两解,则需，因为b=B=60°,所以解得， 故选：B. 【点睛】本题考查三角形的正弦定理的应用：三角形的解的问题，关键在于做出示意图，得出两解所满足的条件，属于基础题. 4、已知三角形三边长是三个连续自然数. （1）且三角形为钝角三角形，求三边长； （2）且最大角是最小角的倍，求三边长. 【答案】（1）三边长为、、；（2）三边长为、、. 【分析】（1）设钝角为，三边长为、、，根据余弦定理和三角形三边关系列不等式组解得的取值范围，可求得正整数的值，进而可得出三角形的三边长； （2）设三边长为、、，最小角为，则最大角为，利用正弦定理可得出，再利用余弦定理可得出，由此可得出关于的等式，求出的值，进而可得出三角形的三边长. 【详解】（1）设钝角为，三边长分别为、、， 则，化简得，， ，，所以三边长分别为、、； （2）设三边长分别为、、，，最小角为，则最大角为， 由正弦定理，即，. 由余弦定理，得. ，解得，所以三边长为、、. 【点睛】本题考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查计算能力，属于中等题. 5、在△ABC中，若，试判断△ABC的形状． 【答案】△ABC为等腰三角形或直角三角形． 【分析】利用正弦定理和切化弦技巧化简，得到，解得或，从而判断△ABC的形状. 【详解】由正弦定理，得， 即 ，． ∴，或． ∵，则或． 故△为等腰三角形或直角三角形． 【点睛】本题考查了正弦定理，切化弦技巧，解三角方程，属于中档题. 6、在中，角、、所对的边分别为、、，给出四个命题： ① 若，则为等腰三角形； ② 若，则为直角三角形； ③ 若，则为等腰直角三角形； ④ 若，则为正三角形； 以上正确命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 7、在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）求角A的大小； （2）若为锐角三角形，求的取值范围； 【答案】（1）；（2）；（3）. 【分析】（1）利用正弦定理可把边角关系转化为，从而可得. （2）先根据锐角三角形可得，再利用三角变换公式可得，从而可求的取值范围； （3）在和中分别用余弦定理可得关于的方程，求解后可得为直角三角形，从而可求的值. 【详解】（1）因为， 由正弦定理可得， 而为三角形内角，故，故即. （2）由（1）可得， 因为为锐角三角形，故，故. 又， 因为，故，故. 【点睛】方法点睛：在解三角形中，如果题设条件是边角的混合关系，那么我们可以利用正弦定理或余弦定理把这种混合关系式转化为边的关系式或角的关系式.另外，在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或角，由它们沟通分散在不同三角形的几何量． 8、如图有两条相交直线成角的直路交点是甲、乙两人分别在上，甲的起始位置距离点乙的起始位置距离点后来甲沿的方向乙沿的方向两人同时以的速度步行 求甲乙在起始位置时两人之间的距离； 设后甲乙两人的距离为写出的表达式；当为何值时甲乙两人的距离最短并求出此时两人的最短距离 【难度】★★★ 【答案】（1）由余弦定理得：，所以甲乙在起始位置时两人之间的距离为 当时，，因此当时，两人的最短距离为2km. 当时，，因此当时，两人的最短距离为4km. 综上，当时，两人的最短距离为2km. 9、某城市的棚户区改造建筑用地平面示意图如图所示，经过调研、规划确定，棚改规划用地区域近似为圆面，该圆的内接四边形区域是原棚户区建筑用地，测量可知边界，，． （1）求的长及原棚户区建筑用地的面积； （2）因地理条件限制，边界不能变更，而边界可以调整，为了增加棚户区的建筑用地面积，请在弧上设计一点，使得棚户区改造后的新建筑用地（四边形）的面积最大，并求出这个面积最大值． 10．如图,学校升旗仪式上，主持人站在主席台前沿D处，测得旗杆AB顶部的仰角为俯角最后一排学生C的俯角为最后一排学生C测得旗杆顶部的仰角为旗杆底部与学生在一个水平面上，并且不计学生身高. (1)设米,试用和表示旗杆的高度AB(米)； (2)测得米，若国歌长度约为50秒，国旗班升旗手应以多大的速度匀速升旗才能是国旗到达旗杆顶点时师生的目光刚好停留在B处 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）在中，由题意可得,则可求，然后利用正弦定理求得，然后在中利用求得答案（2）根据（1）求出旗杆长，根据时间50秒算出速度即可. 【详解】（1）由题意可知，， ，由正弦定理可知, , 在. （2）因为米，所以米， 因为国歌长度约为50秒，所以， 即国旗班升旗手应以米/秒的速度匀速升旗才能是国旗到达旗杆顶点时师生的目光刚好停留在B处. 【点睛】本题主要考查了解三角形的实际应用，此类问题的解决关键是建立数学模型，把实际问题转化成数学问题，属于难题.

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