资源简介

教师姓名 学生姓名 年 级 高三 上课时间
学 科 数学 课题名称 函数的基本性质
知识梳理 一、函数奇偶性的证明（判断） 证明（判断）函数奇偶性的一般步骤 验证函数的定义域是否关于原点对称？否！函数是非奇非偶函数．是！继续考查成立与否？成立，是奇函数；，是偶函数；都成立，是即奇又偶函数；都不成立，是非奇非偶函数． 二、函数奇偶性的应用 关于函数奇偶性的几个重要结论 （1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（函数具有奇偶性的必要不充分条件）． （2）函数是奇函数曲线关于原点对称；函数是偶函数曲线关于轴对称． （3）若的定义域关于原点对称，则是偶函数，是奇函数． （4）若函数的定义域关于原点对称，则可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和． 其中，为偶函数，为奇函数． （5）、是定义域为、的奇函数，那么在上，是奇函数，是偶函数．类似的有：“奇±奇＝奇”，“奇×奇＝偶”，“偶±偶＝偶”，“偶×偶＝偶”，“奇×偶＝偶”． （6）既是奇函数又是偶函数（定义域关于原点对称）． （7）若奇函数在处有定义，则． （8）对于多项式函数 若是奇函数偶次项的系数全为零； 若是偶函数奇次项的系数全为零． 三、函数的单调性 注：①函数的单调区间是函数定义域的子集，在讨论函数的单调性的基础上不要忽略函数定义域的要求； ②一个函数有多个单调递增或递减区间时不能用“”连接；如的单调递减区间时和而不能写成。 单调性证明四部曲 ①任取,属于定义域，且令<；②作差－并变形，一般情况下是变形为几个式子乘积的形式； ③判断－的符号；④得出结论. 复合函数的单调性：同增异减（注：在解决复合函数单调性问题时不可忽略函数的定义域要求） 单调性与奇偶性之间的关系：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反。 单调性的其它等价形式 ①对于任意的，都有，表示单调递增； 对于任意的，都有，表示单调递减. ②对于任意的，都有，表示单调递增； 对于任意的，都有，表示单调递减. ③若是奇函数，且对定义域内的任意（）都有 恒成立，则在定义域内递增； 恒成立，则在定义域内递减. 四、函数的最值 1、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题； 2、闭区间的连续函数必有最值。 例题讲解 【例1】判断函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4）． 【例2】写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： ；（2）；（3）；（4）； （5）；（6） 【分析】先判断定义域是否关于原点对称，再由定义证明奇偶性. 【详解】（1）此函数的定义域为R，，∴此函数为奇函数． （2），∴此函数的定义域为，此函数的定义域不关于原点对称 ∴此函数为非奇非偶函数． （3），∴此函数的定义域为 ∴此函数为偶函数 （4），∴此函数的定义域为 ，∴此函数为偶函数 （5），∴此函数的定义域为 此函数的定义域不关于原点对称 ∴此函数为非奇非偶函数 （6） ，，∴此函数的定义域为 ∴此函数既是奇函数又是偶函数 【例3】（1）已知是上的偶函数，则“”是“”的( ) A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 （2）已知函数为定义在上的函数，则命题“存在，使且”是命题“为非奇非偶函数”的( ) A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 【例4】设（为实常数）．（1）当时，证明：不是奇函数； （2）设是奇函数，求与的值； 【参考答案】 解：（1）举出反例即可．，，， 所以，不是奇函数； （2）是奇函数时，，即对定义域内任意实数成立． 化简整理得，这是关于的恒等式， 所以，所以或 ．经检验都符合题意． 【例5】已知函数对一切，都有．求证：为奇函数． 【例6】设，，若函数是奇函数，则的值为 ． 【参考答案】 解：函数是奇函数，且有意义，故，． 【例7】（1）设是定义在上的函数，当时，， 当为奇函数时，函数的解析式是 ; 当为偶函数时，函数的解析式是 ． 【参考答案】 解：当时，，， 若是奇函数，，则 若是偶函数，，则 （2）已知偶函数与奇函数的定义域均为, 且对任意有, 分别求与的解析式. 解: 任取, 则, 且, 两式相加得, 两式相减得, 综上所述, . (3)已知是奇函数，且.若，则________． 【例8】设函数，则它的最大值与最小值的和为 ． （变式）函数的最大值和最小值分别为，则 ． 【例9】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，其中，若的值域是，则实数的取值范围是_______________. 【例10】设为的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题： ①； ②； ③； ④. 其中能推出函数为增函数的命题为________．(填序号) 【例11】设是定义在上的函数． ①若存在，当时、有成立，则函数在上单调递增； ②若存在，当时，有成立，则函数在上不可能单调递减； ③若存在，对于任意，都有成立，则函数在上单调递增； ④任意，当时，都有成立，则函数在上单调递减． 以上命题正确的序号是（ ） （A）①③ （B）②③ （C）②④ （D）② 【例12】某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题： 已知函数的定义域为，， ① 若当时，都有，则函数是上的奇函数； ② 若当时，都有，则函数是上的增函数. 下列判断正确的是（ ） A. ①和②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①和②都是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 【例13】（1）函数在上单调递增，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D． （2）已知函数是实数集上的增函数，则实数的取值范围为__________． （3）已知定义域为的奇函数，又是减函数，且，求的取值范围． （4）已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，如果对于任意， 恒成立，则实数的取值范围是________. 答案：. 变式：已知函数，、、，且，，，则的值（ ） 一定等于零． 一定大于零． 一定小于零． 正负都有可能． 选自：虹口2017二模15 答案： B （5）若函数与在区间上都是严格减函数，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一次函数及反比例函数的单调性，结合图像变换即可得到实数的取值范围. 【详解】函数的图像关于对称， 所以当，y随x的增大而减小，当，y随x的增大而增大. 要使函数在区间上都是严格减函数， 只需； 要使在区间上都是严格减函数，只需； 故a的范围为. 故选：D 【例14】函数在上单调递增，则实数的取值范围为___________． 【例15】函数的单调递减区间是_____． （变式）是否存在实数，使函数在区间上是增函数？如此存在，说明可能的取值；如果不存在，说明理由． 【例16】已知是定义在上的奇函数，且，若，，有成立； （1）判断在上的单调性，并证明你的结论； （2）解不等式； 【答案】（1）单调递增，证明见解析；（2）. 【分析】（1）由在，上为奇函数，结合时有成立，利用函数的单调性定义可证出在，上为增函数； （2）根据函数的单调性，化原不等式为，解之即得原不等式的解集； 【详解】（1）在，上为增函数，证明如下： 设，，，且， 在中令、， 可得， ，， 又是奇函数，得， ． ，即 故在，上为增函数． （2）是定义在上的增函数， 不等式，即 解之得，，即为原不等式的解集； 【点睛】方法点睛：利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；（3）判断的符号（往往先分解因式，再判断各因式的符号）， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数. 【例17】已知函数． （1）证明：函数在上严格增函数； （2）若存在，使，则称为函数的不动点，已知该函数有且仅有一个不动点，求的值，并求出不动点； （3）若在上恒成立，求取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2），；（3）． 【分析】（1）利用定义法证明在上的单调性； （2）根据已知条件得到方程有且仅有一根，根据求解出的值，从而可求的值； （3）将问题转化为“在上恒成立”，根据对勾函数的单调性求解出的最小值，则的范围可知. 【详解】（1）任取， 所以， 因为，所以， 所以，所以， 所以函数在上严格增函数； （2）因为有且仅有一个不动点，所以方程有且仅有一根， 令，则有且仅有一根， 所以有且仅有一根， 所以且，所以， 此时方程为，即为，所以； （3）因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 所以在上恒成立， 由对勾函数的单调性可知，其在上递减，在上递增， 所以，此时， 所以且， 所以，即. 【例18】函数对任意的m、n∈R，都有，并且时，恒有． (1)求证：在R上是增函数； (2)若，解不等式． 三：课后作业 1、（1） 若函数为偶函数，则________. (2)已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则( 　) A． B． C．1 D．3 (3)已知是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为________． （4）．已知是奇函数，且，若，则___________. （5）已知函数是定义在上的偶函数, 则_______, ________. （6）已知偶函数和奇函数的定义域都是, 它们在上的图像分别是图(1)和(2), 则关于x的不等式的解集是_____________________. （7）设定义域为R的函数与分别是偶函数和奇函数, 则下列结论正确的是答 [ ] A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 是奇函数 2、为奇函数，求 3、已知函数的定义域为集合，集合. 且. （1）求实数的取值范围； （2）求证：函数是奇函数但不是偶函数. 4、若函数是偶函数，则其定义域为___________． 5、函数，其中，若是奇函数，求的值； 6、函数（常数，R）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式__________ 【答案】 【分析】首先根据函数为偶函数得到或，根据值域分类讨论求解即可. 【详解】，定义域为， ， 因为函数为偶函数，所以， 所以，即或. 当时，，值域不是，舍去. 当时，， 所以，则. 故答案为： 7、（1）是上的奇函数，当时，，求时的解析式； （2）设为奇函数，为偶函数，且，求和的解析式． 【答案】（1）；（2）；. 【分析】（1）利用函数的奇偶性求得函数的解析式. （2）利用函数的奇偶性列方程组，解方程组求得和. 【详解】（1）由于是定义在上的奇函数，所以， 当时，，所以. 所以. （2）由于为奇函数，为偶函数，且， 所以，即， 由， 解得；. 8、对于定义在上的函数，考察以下陈述句： ：是上的严格增函数； ：任意，，且当时，都有； ：当时，都有； 关于以上陈述句，下列判断正确的是（ ） A．、都是的充分条件 B．、中仅是的充分条件 C．、中仅是的充分条件 D．、都不是的充分条件 【答案】B 【分析】对于，首先利用赋值法求出函数为奇函数，再利用函数的单调性定义即可判断；对于，由增函数的定义中自变量具有任意性，从而可判断. 【详解】对于，令，则，解得， 令，，则， 所以，所以函数为奇函数， 设，则， 因为，所以， 所以， 所以函数是上的增函数， 故是的充分条件. 对于，当时存在情况，不符合严格单调性的定义， 故不是的充分条件. 故选：B 9、已知函数的定义域为，若对任意的，不等式 恒成立， 则称函数为函数. 已知函数①；②；③；④ 则上述五个函数中，函数的序号为_________ 答案：①③ 10、（1）若函数在上是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、 答案：C （2）若函数在上单调递增，则实数_________ 令，即在递增，，解得. （3）函数在区间上是单调增函数，则的取值范围是________． 解析：令，由单调递增， 故且在上单调递增，则 ． （4）已知函数，在区间是递增函数，则常数的取值范围是 . 答案： （5）已知，若不等式在上恒成立，则实数 的取值范围是　 　． 答案：； 解析：在上单调递增，故，即在上恒成立， 即. 11、（1）已知是定义在上的奇函数，且在上为增函数，若，则不等式的解集为___________ 【答案】 【分析】根据是定义在上的奇函数，且，将不等式，转化为，利用函数在R上是增函数求解. 【详解】因为是定义在上的奇函数，且， 所以， 所以不等式，即为， 因为函数在上为增函数，则在R上是增函数， 所以， 解得， 所以不等式的解集为， 故答案为： （2）定义在上的偶函数在上严格减函数，且，则的取值范围是______ 【答案】 【分析】先根据奇偶性分析得到在上的单调性，然后将函数值关系转化为自变量间的关系，从而求解出的取值范围. 【详解】因为为上的偶函数且在上单调递减，所以在上单调递增， 又因为，所以，解得， 所以的取值范围是， 故答案为：. 12、设，若时，均有成立，则实数的取值集合为_________. 【答案】 【分析】可得时，不等式不恒成立，当，必定是方程的一个正根，由此可求出. 【详解】若，，则，由于的图象开口向上， 则不恒成立， ， 由可解得，而方程的两个实数根异号， 必定是方程的一个正根， 则，，则可解得， 故实数的取值集合为. 故答案为：. 【点睛】本题考查不等式的恒成立问题，解题的关键是先判断，再得出当，必定是方程的一个正根. 13、设，，若存在，使得成立，则正整数的最大值为________ 【答案】 【分析】由题设且上有，所以，使得成立，只需即可，进而求得正整数的最大值. 【详解】由题意知：，使成立， 而当且仅当时等号成立， ∴，而，即， ∴仅需成立即可，有，故正整数的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：结合基本不等式有，即，应用对勾函数的性质求值域，并将存在性问题转化为函数闭区间内有解，只要即可求最值. 14、已知函数． （1）证明：当时，函数是减函数； （2）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由； （3）当，且时，证明：对任意，存在唯一的，使得， 且．教师姓名 学生姓名 年 级 高三 上课时间
学 科 数学 课题名称 函数的基本性质
知识梳理 一、函数奇偶性的证明（判断） 证明（判断）函数奇偶性的一般步骤 验证函数的定义域是否关于原点对称？否！函数是非奇非偶函数．是！继续考查成立与否？成立，是奇函数；，是偶函数；都成立，是即奇又偶函数；都不成立，是非奇非偶函数． 二、函数奇偶性的应用 关于函数奇偶性的几个重要结论 （1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（函数具有奇偶性的必要不充分条件）． （2）函数是奇函数曲线关于原点对称；函数是偶函数曲线关于轴对称． （3）若的定义域关于原点对称，则是偶函数，是奇函数． （4）若函数的定义域关于原点对称，则可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和． 其中，为偶函数，为奇函数． （5）、是定义域为、的奇函数，那么在上，是奇函数，是偶函数．类似的有：“奇±奇＝奇”，“奇×奇＝偶”，“偶±偶＝偶”，“偶×偶＝偶”，“奇×偶＝偶”． （6）既是奇函数又是偶函数（定义域关于原点对称）． （7）若奇函数在处有定义，则． （8）对于多项式函数 若是奇函数偶次项的系数全为零； 若是偶函数奇次项的系数全为零． 三、函数的单调性 注：①函数的单调区间是函数定义域的子集，在讨论函数的单调性的基础上不要忽略函数定义域的要求； ②一个函数有多个单调递增或递减区间时不能用“”连接；如的单调递减区间时和而不能写成。 单调性证明四部曲 ①任取,属于定义域，且令<；②作差－并变形，一般情况下是变形为几个式子乘积的形式； ③判断－的符号；④得出结论. 复合函数的单调性：同增异减（注：在解决复合函数单调性问题时不可忽略函数的定义域要求） 单调性与奇偶性之间的关系：奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反。 单调性的其它等价形式 ①对于任意的，都有，表示单调递增； 对于任意的，都有，表示单调递减. ②对于任意的，都有，表示单调递增； 对于任意的，都有，表示单调递减. ③若是奇函数，且对定义域内的任意（）都有 恒成立，则在定义域内递增； 恒成立，则在定义域内递减. 四、函数的最值 1、求函数的最值问题可以化归为求函数的值域问题； 2、闭区间的连续函数必有最值。 例题讲解 【例1】判断函数的奇偶性： （1）； （2）； （3）； （4）． 【例2】写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性： ； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 【例3】（1）已知是上的偶函数，则“”是“”的( ) A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 （2）已知函数为定义在上的函数，则命题“存在，使且”是命题“为非奇非偶函数”的( ) A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分必要条件 D． 既不充分也不必要条件 【例4】设（为实常数）．（1）当时，证明：不是奇函数； （2）设是奇函数，求与的值； 【例5】已知函数对一切，都有．求证：为奇函数． 【例6】设，，若函数是奇函数，则的值为 ． 【例7】（1）设是定义在上的函数，当时，， 当为奇函数时，函数的解析式是 ; 当为偶函数时，函数的解析式是 ． （2）已知偶函数与奇函数的定义域均为, 且对任意有, 分别求与的解析式. (3)已知是奇函数，且.若，则________． 【例8】设函数，则它的最大值与最小值的和为 ． （变式）函数的最大值和最小值分别为，则 ． 【例9】已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，其中，若的值域是，则实数的取值范围是_______________. 【例10】设为的定义域内的任意两个变量，有以下几个命题： ①； ②； ③； ④. 其中能推出函数为增函数的命题为________．(填序号) 【例11】设是定义在上的函数． ①若存在，当时、有成立，则函数在上单调递增； ②若存在，当时，有成立，则函数在上不可能单调递减； ③若存在，对于任意，都有成立，则函数在上单调递增； ④任意，当时，都有成立，则函数在上单调递减． 以上命题正确的序号是（ ） （A）①③ （B）②③ （C）②④ （D）② 【例12】某位喜欢思考的同学在学习函数的性质时提出了如下两个命题： 已知函数的定义域为，， ① 若当时，都有，则函数是上的奇函数； ② 若当时，都有，则函数是上的增函数. 下列判断正确的是（ ） A. ①和②都是真命题 B. ①是真命题，②是假命题 C. ①和②都是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 【例13】（1）函数在上单调递增，则a的取值范围是(　　) A． B． C． D． （2）已知函数是实数集上的增函数，则实数的取值范围为__________． （3）已知定义域为的奇函数，又是减函数，且，求的取值范围． 已知是定义在上的偶函数，且在上是增函数，如果对于任意， 恒成立，则实数的取值范围是________. . 变式：已知函数，、、，且，，，则的值（ ） 一定等于零． 一定大于零． 一定小于零． 正负都有可能． （5）若函数与在区间上都是严格减函数，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【例14】函数在上单调递增，则实数的取值范围为___________． 【例15】函数的单调递减区间是_____． （变式）是否存在实数，使函数在区间上是增函数？如此存在，说明可能的取值；如果不存在，说明理由． 【例16】已知是定义在上的奇函数，且，若，，有成立；（1）判断在上的单调性，并证明你的结论； （2）解不等式； 【例17】已知函数． （1）证明：函数在上严格增函数； （2）若存在，使，则称为函数的不动点，已知该函数有且仅有一个不动点，求的值，并求出不动点； （3）若在上恒成立，求取值范围． 【例18】函数对任意的m、n∈R，都有，并且时，恒有． (1)求证：在R上是增函数； (2)若，解不等式． 三：课后作业 1、（1） 若函数为偶函数，则________. (2)已知分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且，则( 　) A． B． C．1 D．3 (3)已知是定义在R上的奇函数，当时，，则不等式的解集为________． （4）．已知是奇函数，且，若，则___________. （5）已知函数是定义在上的偶函数, 则_______, ________. （6）已知偶函数和奇函数的定义域都是, 它们在上的图像分别是图(1)和(2), 则关于x的不等式的解集是_____________________. （7）设定义域为R的函数与分别是偶函数和奇函数, 则下列结论正确的是答 [ ] A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 是偶函数 D. 是奇函数 2、为奇函数，求 3、已知函数的定义域为集合，集合. 且. （1）求实数的取值范围； （2）求证：函数是奇函数但不是偶函数. 4、若函数是偶函数，则其定义域为___________． 5、函数，其中，若是奇函数，求的值； 6、函数（常数，R）是偶函数，且它的值域为，则该函数的解析式__________ 7、（1）是上的奇函数，当时，，求时的解析式； （2）设为奇函数，为偶函数，且，求和的解析式． 8、对于定义在上的函数，考察以下陈述句： ：是上的严格增函数； ：任意，，且当时，都有； ：当时，都有； 关于以上陈述句，下列判断正确的是（ ） A．、都是的充分条件 B．、中仅是的充分条件 C．、中仅是的充分条件 D．、都不是的充分条件 9、已知函数的定义域为，若对任意的，不等式 恒成立， 则称函数为函数. 已知函数①；②；③；④ 则上述五个函数中，函数的序号为_________ 10、（1）若函数在上是单调函数，则实数的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、 （2）若函数在上单调递增，则实数_________ （3）函数在区间上是单调增函数，则的取值范围是________． （4）已知函数，在区间是递增函数，则常数的取值范围是 . （5）已知，若不等式在上恒成立，则实数 的取值范围是　 　． 11、（1）已知是定义在上的奇函数，且在上为增函数，若，则不等式的解集为___________ （2）定义在上的偶函数在上严格减函数，且，则的取值范围是______ 12、设，若时，均有成立，则实数的取值集合为_________. 13、设，，若存在，使得成立，则正整数的最大值为________ 14、已知函数． （1）证明：当时，函数是减函数； （2）根据的不同取值，讨论函数的奇偶性，并说明理由； （3）当，且时，证明：对任意，存在唯一的，使得， 且．

展开更多......

收起↑