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专题五-平面向量
平面向量的概念及线性运算
【考题】：平面向量的基本概念；向量的线性运算；共线向量定理的应用
一、 平面向量的基本概念
名称 定义 表示方法 注意事项
向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量或； 模或 平面向量是自由向量
零向量 长度等于0的向量，方向是任意的 记作 零向量的方向是任意的
单位向量 长度等于1个单位的向量 常用表示 非零向量的单位向量是
平行向量 方向相同或相反的非零向量 与共线可记为 与任一向量平行或共线
共线向量 平行向量又叫共线向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为
【基础例题】
1.给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；
③若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中真命题的序号是________．
【解析】　①错误，两个向量相等，不一定有相同的起点和终点；②错误，若b＝0；
③正确；④错误，|a|＝|b|且a∥b是a＝b的必要不充分条件；⑤错误，当λ＝μ＝0.
2.判断下列四个命题：
①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】　只有④正确．
3.对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
故前者是后者的充分不必要条件．
二、向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
4.在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设＝a，＝b，则向量等于(　　)
A.a＋b B．－a－b
C．－a＋b D.a－b
【解析】　＝＝(＋)＝＝－a＋b，故选C.
5.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于(　　)
A.－ B.－
C.＋ D.＋
＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－. 故选A.
三、共线向量定理的应用
共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得.
共线向量定理的主要应用：
(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线．
(2)证明三点共线：若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线．
(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
8.已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．
若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
证明　(1)若m＋n＝1，则＝m＋(1－m)＝＋m(－)，
∴－＝m(－)，即＝m，∴与共线．
又∵与有公共点B，则A，P，B三点共线．
【拔高巩固1】
1．下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知向量共线，则实数x的值是（ ）
A．1 B． C．6 D．
3．已知△ABC的重心为O，则向量（ ）
A． B．
C． D．
4．将向量向右平移2个单位，再向下平移4个单位，所得向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，若，则下列说法正确的是（ ）
A．是的外心 B．是的内心
C．是的重心. D．是的垂心
6．已知点为所在平面内一点，满足，，，则______．
7．如图，在直角梯形中，，且，则___________.
8．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为______．
跟踪训练
1．D 2．C 3．C
【详解】设分别是的中点，由于是三角形的重心，
所以.故选：C
4．C 5．D
【详解】∵，∴，∴，∴，
同理由，得到，∴点是的三条高的交点.故选：D
6．7 解：如图建立平面直角坐标系，设，，，由，所以，所以，，
由，所以，所以，又
所以，解得或，因为，所以
故答案为：
7．3 根据题意，，而，
则有，
若，则，，故；故答案为：3．
【点睛】平面向量的化简求解，常用的方法有：（1）基底法；（2）坐标法；（3）特取法.
8．
【详解】由题设知：上单位向量为，而在上的投影为，∵，
∴，故在上的投影向量的坐标为.故答案为：
平面向量的基本定理及坐标表示
【考向】：平面向量基本定理的应用；平面向量的坐标运算；向量共线（平行）的坐标表示
一、平面向量基本定理的应用
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
【基础例题】
1.如图，已知△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a和b表示向量，； (2)若＝λ，求实数λ的值．
解　(1)由题意知，A是BC的中点，且＝，由平行四边形法则，
得＋＝2，所以＝2－＝2a－b，＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.
(2)由题意知，∥，故设＝x.因为＝－＝(2a－b)－λa
＝(2－λ)a－b，＝2a－b.所以(2－λ)a－b＝x.
因为a与b不共线，由平面向量基本定理，得解得故λ＝.
2.在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则t的值为________．
【解析】　∵＝＋，∴3＝2＋，即2－2＝－，∴2＝，
即P为AB的一个三等分点，如图所示．∵A，M，Q三点共线，∴＝x＋(1－x)
＝＋(x－1)，而＝－，∴＝＋.
又＝－＝－＋，由已知＝t，可得＋＝t，
又，不共线，∴解得t＝.
3.如图所示，在中，，，与相交于点，设，.
（1）试用向量，表示；
【解析】（1）由，，三点共线，可设，
由，，三点共线，可设，
∴，解得，，∴.
二、 平面向量的坐标运算
1．向量坐标的求法
（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2－x1，y2－y1）.
2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a＋b=（x2+x1，y2+y1），a－b=（x1－x2，y1－y2），λa=（λx1，λy1），
|a|=，|a＋b|=.
3．平面向量共线的坐标表示
设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b x1y2－x2y1=0.
4．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
4.已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为(　　)
A．(2,0) B．(－3,6)
C．(6,2) D．(－2,0)
【解析】　设N(x，y)，则(x－5，y＋6)＝(－3,6)，∴x＝2，y＝0.
5.线段AB的端点为A(x,5)，B(－2，y)，直线AB上的点C(1,1)，使||＝2||，则x＋y＝________.
【解析】　由已知得＝(1－x，－4)，2＝2(3,1－y)．由||＝2||，可得＝±2，
则当＝2时，有解得此时x＋y＝－2；
当＝－2时，有解得此时x＋y＝6.综上，x＋y＝－2或6.
6.已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则P点的坐标为(　　)
A．(－8,1) B.
C. D．(8，－1)
【解析】　设P(x，y)，则＝(x－3，y＋2)．而＝(－8,1)＝，
∴解得∴P.故选B.
三、向量共线（平行）的坐标表示
1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为 ()，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量．
2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若，，则的充要条件是”解题比较方便．
3．三点共线问题．A，B，C三点共线等价于与共线．
7.已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,1)，c＝(－5,1)，若(a＋kb)∥c，则实数k的值为(　　)
A．－ B. C．2 D.
【解析】　因为a＝(2，－1)，b＝(1,1)，所以a＋kb＝(2＋k，－1＋k)，
又c＝(－5,1)，由(a＋kb)∥c得(2＋k)×1＝－5×(k－1)，解得k＝，故选B.
8.已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是________．
【解析】　＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2)．
∵A，B，C三点共线，∴，共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
9.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与3a－b平行，则实数x的值是__________________．
【解析】　∵a＝(1,1)，b＝(2，x)，∴a＋b＝(3，x＋1)，3a－b＝(1,3－x)，
∵a＋b与3a－b平行，∴3(3－x)－(x＋1)＝0，解得x＝2.
【拔高巩固2】
1．已知点，则向量（ ）
A． B． C． D．
2．设x∈R，向量＝（x，1），＝（1，﹣2），且∥，则|+|＝（ ）
A． B． C． D．5
3．中，点M为AC上的点，且，若，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．
4．已知向量，若和共线，则实数 ___________．
5．已知向量，若，则___________.
6．已知向量，，，则______．
7．已知向量，，且，则___________
1．A 2．A
解：根据题意，向量＝（x，1），＝（1，﹣2），若∥，则﹣2x＝1，解可得x＝﹣，
则＝（﹣，1），故+＝（，﹣1），则|+|＝＝，故选：A．
3．A
【详解】因为，
所以，，
若，则，，．故选：．
4．
【详解】由和共线，知：，解得，故答案为：
5．
解：向量，∴，解得.
故答案为：
6．
解：因为，，所以
因为，所以，则．故答案为：
7．
因为，，，所以，，，
则，，故答案为：.
平面向量数量积及向量的应用
【考向】：平面向量数量积的运算；平面向量数量积的应用；平面向量的模及其应用
一、平面向量数量积的运算
1．平面向量数量积的概念
（1）数量积的概念
已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作,即，其中θ是与的夹角.
【注】零向量与任一向量的数量积为0.
（2）投影的概念
设非零向量与的夹角是θ，则()叫做向量在方向上(在方向上)的投影.
如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度.
（3）数量积的几何意义
由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积.
2．平面向量数量积的运算律
已知向量和实数,则
①交换律：；
②数乘结合律：；
③分配律：.
【巧学妙记】平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式；二是坐标公式.
【基础例题】
1.已知a＝(x,1)，b＝(－2,4)，若(a＋b)⊥b，则x等于(　　)
A．8 B．10 C．11 D．12
【解析】　∵a＝(x,1)，b＝(－2,4)，∴a＋b＝(x－2,5)，又(a＋b)⊥b，
∴(x－2)×(－2)＋20＝0，∴x＝12.
2.已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)等于(　　)
A．4 B．3 C．2 D．0
【解析】　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.
∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.
3.若单位向量，的夹角为，则 =（ ）
A．2 B． C． D．1
【解析】单位向量，的夹角为， .故选：B.
二、平面向量数量积的应用
设非零向量，是与的夹角.
（1）数量积：.
（2）模：.
（3）夹角： .
（4）垂直与平行：；a∥b a·b=±|a||b|.
【注】当与同向时,；
当与反向时,.
（5）性质：|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)
【巧学妙记】确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角；
数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角；
数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.
4.在等腰直角中，是斜边的中点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】在等腰直角中，，由于是的中点，
所以，且，
所以.故选：B
5.设D，E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点，且BC＝2，则·等于(　　)
A. B.
C. D.
||＝||＝2，〈，〉＝60°，∵D，E是边BC的两个三等分点，
∴·＝·＝·
＝||2＋·＋||2＝×4＋×2×2×＋×4＝.
6.在中，，，则______.
【解析】因为，，
所以，
则.故答案为：6
三、平面向量的模及其应用
求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式，或坐标公式的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解．
7.在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝6，D是AB上一点，且·＝－5，则||等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】　如图所示，
设＝k，所以＝－＝k－，所以·＝·(k－)
＝k2－·＝25k－5×6×＝25k－15＝－5，解得k＝，所以||＝||＝3.
8.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(，)，则|2a－b|等于(　　)
A．2 B.
C. D．2
【解析】　根据题意，|a－b|＝＝，则(a－b)2＝a2＋b2－2a·b ＝5－2a·b＝5，
可得a·b＝0，结合|a|＝1，|b|＝2，可得(2a－b)2＝4a2＋b2－4a·b＝4＋4＝8，则＝2，故选A.
9.若向量满足：则
A．2 B． C．1 D．
【解析】由题意易知：即，，即.
故选B.
四、平面向量的综合应用
常见的向量表示形式：
(1)重心．若点G是的重心，则或 (其中P为平面内任意一点)．反之，若，则点G是的重心．
(2)垂心．若H是的垂心，则.反之，若，则点H是的垂心．
(3)内心．若点I是的内心，则.反之，若，则点I是的内心
(4)外心．若点O是的外心，则或.
反之，若，则点O是的外心.
10.已知向量，，且与的夹角为，则在方向上的投影为 .
【解析】因为向量，，且与的夹角为所以，
11.已知|a|＝1，|b|＝2，|a－2b|＝，则向量a，b的夹角为(用弧度表示)________．
【解析】　因为|a|＝1，|b|＝2，|a－2b|＝，所以|a－2b|＝＝，
解得cos〈a，b〉＝－，又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.
【拔高巩固3】
1．已知向量、满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．若对于一些横纵坐标均为整数的向量，它们的模相同，但坐标不同，则称这些向量为“等模整向量”，例如向量，即为“等模整向量”，那么模为的“等模整向量”有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．12个
3．已知夹角为则（ ）
A． B．2 C． D．4
4．已知单位向量，的夹角为120°，设．则||＝（ ）
A． B． C． D．
5．在矩形ABCD中，，，点P在CD上，，点Q在BP上，，则（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．已知向量，，且与垂直，则______．
7．已知单位向量满足，则___________.
8．已知向量，，设，.
（1）求的值；
（2）求夹角的大小.
1．A【详解】由已知可得，所以，.故选：A.
2．D
【详解】因为 所以模为的等模整向量有
，，，
，，，
，，，
所以模为的等模整向量共有12个.故选：
3．C解：，则．
4．A由单位向量的夹角为120°，且，
得＝．
5．D
建立如下图的坐标系，在矩形ABCD中，AB =4，，又点P在CD上，，由已知得，
点Q在BP上，过点Q作于点E，又 ，所以，即，
所以，，，所以，所以，
所以.故选：D.
6．
，，，
与垂直，，解得.故答案为：.
7．
是单位向量，，
，，则，
，即.故答案为：.
8．（1）；（2）.
（1），
；
（2）由题意得：，，，
，
，
，
，又，.
正、余弦定理及其解三角形
【考向】：利用正、余弦定理解三角形；三角形形状的判断；面积、周长、范围问题
一、 利用正、余弦定理解三角形
1．正弦定理
在中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即.正弦定理对任意三角形都成立．
2．常见变形
（1）
（2）
（3）
（4）正弦定理的推广：，其中为的外接圆的半径.
3．余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即
4．余弦定理的推论
从余弦定理，可以得到它的推论：
.
【巧学妙记】
（1）三角形的内角和定理：在中，，其变式有：，等． （2）三角形中的三角函数关系： ； ； ； .
【基础例题】
1.中，角所对的边分别为．若，则边 。
【解析】，即，解得或（舍去）．
2.在中，，，，则的外接圆面积为 。
【解析】因为在中，，，所以，
又，设三角形外接圆半径为，则，因此的外接圆面积为.
3.已知的三个内角所对边长分别是，若，则角的大小为 。
【解析】由正弦定理得，化简得，故.
二、三角形形状以及解的个数的判断
（1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
（2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论．
【基础例题】
4.在中，已知，则该的形状为 。
【解析】化为，
，，
至少有一个是锐角，，
或，或,所以是等腰三角形或直角三角形.
5.已知三内角、、的对边分别是、、，若，且，则的形状为 。
【解析】由正弦定理得，即，
所以，.又，由余弦定理得,所以,所以，所以为等腰直角三角形.
三、 面积、周长、范围的问题
求三角形面积的方法
①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．
②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
7.在中，，是边上的一点.
（1）若，求的长；
（2）若，求周长的取值范围.
【解析】（1）在中，AD＝1，，
所以＝cos∠DAC＝1×2×cos∠DAC＝3,
所以cos∠DAC＝.
由余弦定理得＝12＋1－2×2×1×＝7，
所以CD＝.
（2）在中，由正弦定理得，
，
.
，故周长的取值范围为 .
8.在中，角的对边分别为，且．
（1）求角；
（2）若，求面积的最大值．
【解析】（1）由已知和正弦定理得，
，
，解得．
（2）由余弦定理得：，即，
整理得：．
∵（当且仅当取等号），∴，即，
，故面积的最大值为．
四、 解三角形的实际应用
1．测量中的术语
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
（3）方向角
相对于某一正方向的水平角.
①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；
②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；
（4）坡角与坡度
①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；
②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
【拔高巩固】
1．若在中，角的对边分别为，则（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
2．若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则B的解的个数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．不确定
3．我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则___________.
4．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
5．已知内角，，的对边分别为，，，那么当___________时，满足条件“，的有两个.(仅写出一个的具体数值即可)
6．△ABC中，b=4，a=4cosC+csinB，则△ABC面积的最大值为___________.
7．在平面四边形中，，，.
（1）若△的面积为，求；
（2）若，，求.
8．在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.
（1）求角C；
（2）若，求的面积.
跟踪训练
1．由正弦定理可得，∴．∵，∴．
∵，∴为锐角．∴．选：A．
2．由正弦定理知，，即 ，解得，
又，由三角函数性质知角B由两个解，当角B为锐角时，满足，即存在；当角B为钝角时，，
则满足，即存在；故有两个解.故选：A
3．由题意可得，大正方形的边长为：，则其面积为：，
小正方形的面积：，从而.故答案为：25.
4．由题意，，所以，
所以，解得（负值舍去）.
故答案为：.
5．由正弦定理得，所以
若满足条件的有两个，则且所以；故答案为：（内任一数）
6．△ABC中，b=4，a=4cosC+csinB，整理得：a=bcosC+csinB，利用正弦定理：sinA=sinBcosC+sinCsinB，故sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC=sinBcosC+sinCsinB，
可得，且由，所以sinB=cosB，故tanB=1，
由于0所以，所以=4+4，
故答案为：4+4.
7．（1）在△中，，，
∴，可得，
在△中，由余弦定理得，
.
（2）设，则，
在中，，易知：，
在△中，，
由正弦定理得，即，
，可得，即.
8．（1）；（2）.
（1）因为，，所以，
由余弦定理得，因为C为三角形内角，所以.
（2）因为，，所以.
故，
由正弦定理得，所以，解得.
故的面积.
【提升拔高】
平面向量的概念
1．下列说法不正确的是(　　)
A．向量的模是一个非负实数
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同
D　[根据向量的有关概念易判断，D项错误．]
2．下面几个命题：
①若a＝b，则|a|＝|b|；
②若|a|＝0，则a＝0；
③若|a|＝|b|，则a＝b；
④若向量a，b满足则a＝b.
其中正确命题的个数是(　　)
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
B　[①正确．②错误．|a|＝0，则a＝0.③错误．a与b的方向不一定相同．④错误．a与b的方向有可能相反．]
3．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．
①③④　[相等向量一定是共线向量；两个向量的模相等，方向不一定相同或相反，故应填①③④.]
【提升拔高】
向量的加法运算
1．下列等式不正确的是(　　)
①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②＋＝0；
③＝＋＋.
A．②③　　　B．②　　　C．①　　　D．③
B　[②错误，＋＝0，①③正确．]
2．已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a＋b的方向(　　)
A．与向量a方向相同　　　 B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同 D．与向量b方向相反
A　[因为a∥b，且|a|＞|b|＞0，由三角形法则知向量a＋b与a同向．]
3．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示(　　)
A．向东北方向航行2 km
B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km
D．向东北方向航行(1＋)km
B　[＝a表示“向东航行1 km，＝b表示“向北航行 km”，根据三角形法则，
∴＝a＋b，∵tan A＝，∴A＝60°，且＝＝2，
∴a＋b表示向北偏东30°方向航行2 km.]
4.如图，在平行四边形ABCD中，＋＝________，＋＝________，＋＝________.
　　(或)　[利用三角形法则和平行四边形法则求解．]
5.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于________．
2　[正六边形ABCDEF中，＝，＝，∴＋＋＝＋＋＝＋＋＝，∵||＝1，∴||＝2.]
6．如图所示，试用几何法分别作出向量＋，＋.
[解]　以BA，BC为邻边作 ABCE，根据平行四边形法则，可知就是＋.以CB，CA为邻边作 ACBF，根据平行四边形法则，可知就是＋.
7．若a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中：
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.
正确结论的序号是(　　)
A．①⑤ B．②④⑤
C．③⑤ D．①③⑤
D　[a＝＋＋＋＝0，b为任一非零向量，∴a∥b，即①对；0＋b＝b，即②错，③对；④中|0＋b|＝|b|＝|0|＋|b|，即④错，⑤对．故选D.]
8．若在△ABC中，AB＝AC＝1，|＋|＝，则△ABC的形状是(　　)
A．正三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
D　[设线段BC的中点为O，由平行四边形法则和平行四边形对角线互相平分可知
|＋|＝2||，又|＋|＝，故||＝，又BO＝CO＝，
所以△ABO和△ACO都是等腰直角三角形，所以△ABC是等腰直角三角形．
【提升拔高】
向量的减法运算
1．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(　　)
A.－＝0　　　　 B.－＝
C.－＝ D.＋＝0
C　[因为四边形ABCD是平行四边形，所以＝，－＝0，
－＝＋＝，－＝，
＋＝＋＝0，故只有C错误．]
2．在△ABC中，＝a，＝b，则等于(　　)
A．a＋b B．－a＋(－b)
C．a－b D．b－a
B　[如图，∵＝＋＝a＋b，
∴＝－＝－a－b.]
3．已知非零向量a与b同向，则a－b(　　)
A．必定与a同向
B．必定与b同向
C．必定与a是平行向量
D．与b不可能是平行向量
C　[a－b必定与a是平行向量．]
4．下列各式中不能化简为的是(　　)
A．(－)－ B.－(＋)
C．－(＋)－(＋) D．－－＋
D　[选项A中，(－)－＝＋＋＝＋＋＝；选项B中，－(＋)＝－0=；选项C中，－(＋)－(＋)＝－－－－＝＋＋＋＝(＋＋)＋＝.]
5．若a，b为非零向量，则下列命题错误的是(　　)
A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同
B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反
C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则|a|＝|b|
D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同
C　[当a，b方向相同时，有|a|＋|b|＝|a＋b|，||a|－|b||＝|a－b|；当a，b方向相反时，有|a|＋|b|＝|a－b|，||a|－|b||＝|a＋b|，故A，B，D均正确．]
6．如图，在△ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则－＋＝________.
0　[因为D是边BC的中点，所以－＋＝＋－＝－＝0.]
7．如图所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________.(用a，b，c表示)
a－b＋c　[由题意，在平行四边形ABCD中，因为＝a，＝b，所以＝－＝a－b，所以＝＝a－b，所以＝＋＝a－b＋c.]
【提升拔高】
向量的数乘运算
1.等于(　　)
A．2a－b　　　　　　　 B．2b－a
C．b－a D．a－b
B　[原式＝(a＋4b－4a＋2b)＝(－3a＋6b)＝－a＋2b＝2b－a.]
2．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为(　　)
①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n.
A．①④ B．①②
C．①③ D．③④
B　[①正确．②正确．③错误．由ma＝mb得m(a－b)＝0，当m＝0时也成立，推不出a＝b.④错误．由ma＝na得(m－n)a＝0，当a＝0时也成立，推不出m＝n.]
3．在四边形ABCD中，若＝3a，＝－5a，且||＝||，则四边形ABCD是(　　)
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．非等腰梯形
C　[由条件可知＝－，∴AB∥CD，又因为||＝||，所以四边形为等腰梯形．]
4．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A.－ B.－
C.＋ D.＋
A　[如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A.]
5．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是(　　)
①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；
②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；
③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；
④已知梯形ABCD，其中＝a，＝b.
A．①②　　B．①③ C．②　　D．③④
A　[对于①，可解得a＝e，b＝－e，故a与b共线；对于②，由于λ≠μ，故λ，μ不全为0，不妨设λ≠0，则由λa－μb＝0得a＝b，故a与b共线；对于③，当x＝y＝0时，a与b不一定共线；对于④，梯形中没有条件AB∥CD，可能AC∥BD，故a与b不一定共线．]
6．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.
－　[由题意可以设a＋λb＝λ1(－b＋3a)＝3λ1a－λ1b，因为a与b不共线，
所以有解得即λ＝－.]
7．如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝λ－μ的最大值是________．
3　[，共线，则＝k(0≤k≤1)，又B是CD的中点，则＝2－，＝2k－k，又＝λ＋μ，∴∴λ－μ＝3k≤3，故最大值为3.]
【提升拔高】
向量的数量积
1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·a＋a·b等于(　　)
A.　　　B.　　　C．1＋　　　D．2
B　[a·a＋a·b＝|a|2＋|a||b|cos 60°＝1＋＝.]
2．已知单位向量a，b的夹角为，那么|a＋2b|＝(　　)
A．2 B. C．2 D．4
B　[|a|＝|b|＝1，|a＋2b|2＝a2＋4a·b＋4b2
＝1＋4×1×1×＋4×1＝7，∴|a＋2b|＝.]
3．若向量a，b，c，满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　)
A．4 B．3 C．2 D．0
D　[∵a∥b，a⊥c，∴b⊥c，∴a·c＝0，b·c＝0，
c·(a＋2b)＝a·c＋2b·c＝0＋0＝0.]
4．已知平面向量a，b是非零向量，|a|＝2，a⊥(a＋2b)，则向量b在向量a方向上的投影为(　　)
A．1 B．－1 C．2 D．－2
B　[因为a⊥(a＋2b)，所以a·(a＋2b)＝a2＋2a·b＝|a|2＋2a·b＝4＋2a·b＝0，
所以a·b＝－2，所以向量b在向量a方向上的投影为＝＝－1.]
5．已知非零向量a，b满足2|a|＝3|b|，|a－2b|＝|a＋b|，则a与b的夹角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
C　[|a－2b|＝|a＋b| (a－2b)2＝(a＋b)2 a·b＝b2 cos〈a，b〉＝＝＝.]
6．已知|a|＝3，|b|＝5，且a与b的夹角θ为45°，则向量a在向量b上的投影为________．
　[由已知得向量a在向量b上的投影|a|cos θ＝3×＝.]
7．已知向量|a|＝，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝________.
5　[|a|2＝5，|a＋b|＝5，∴|a＋b|2＝50，即|a|2＋|b|2＋2a·b＝50，∴5＋|b|2＋20＝50，∴|b|＝5，故答案为5.]
8．若a，b均为非零向量，且(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为________．
　[由题知(a－2b)·a＝0，(b－2a)·b＝0，即|a|2－2b·a＝|a|2－2|a||b|cos θ＝0，
|b|2－2b·a＝|b|2－2|a||b|cos θ＝0，故|a|2＝|b|2，即|a|＝|b|，所以|a|2－2|a||a|cos θ＝0，故cos θ＝，因为 0≤θ≤π，故θ＝.]
9．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.
(1)求|b|；
(2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值．
[解]　(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，
即a2－b2＝，即|a|2－|b|2＝，所以|b|2＝|a|2－＝1－＝，故|b|＝.
(2)因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1.
又因为a·(a＋2b)＝|a|2＋2a·b＝1－＝，所以cos θ＝＝，
又θ∈[0，π]，故θ＝.
10．已知平面向量a，b都是单位向量，若b⊥(2a－b)，则a与b的夹角等于(　　)
A. B. C. D.
C　[设向量a，b的夹角为θ，
∵b⊥(2a－b)，∴b·(2a－b)＝2a·b－b2＝2×1×1×cos θ－12＝0，
解得cos θ＝，又θ∈[0，π]，∴θ＝，即a与b的夹角为，故选C.]
11．已知|a|＝2，|b|＝1，(2a－3b)·(2a＋b)＝9.
(1)求a与b之间的夹角θ；
(2)求向量a在a＋b上的投影．
[解]　(1)(2a－3b)·(2a＋b)＝4a2－4a·b－3b2＝9，即16－4a·b－3＝9，
∴a·b＝1，∴cos θ＝＝.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝.
(2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝7，即|a＋b|＝.设a与a＋b的夹角为α，
则向量a在a＋b上的投影为|a|cos α＝|a|×＝
＝＝＝.
【提升拔高】
平面向量基本定理
1．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为(　　)
A．0,0　　　　　　　 B．1,1
C．3,0 D．3,4
D　[因为e1与e2不共线，所以解方程组得x＝3，y＝4.]
2．已知e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量中，不能作为一组基底的是(　　)
A．{e1＋e2，e1－e2} B．{3e1－2e2,4e2－6e1}
C．{e1＋2e2，e2＋2e1} D．{e2，e1＋e2}
B　[∵4e2－6e1＝－2(3e1－2e2)，∴3e1－2e2与4e2－6e1共线，∴它们不能作为一组基底，作为基底的两向量一定不共线．故应选B.]
3．在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，设＝a，＝b，则可用基底a，b表示为(　　)
A.(a＋b)　　　　　 B.a＋b
C.a＋b D.(a＋b)
C　[因为＝2，所以＝.
所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b.]
4．在△ABC中，＝，EF∥BC，EF交AC于F，设＝a，＝b，则等于(　　)
A．－a＋b　　　　　 B．a－b
C.a－b D.a＋b
A　[∵＝，∴＝－.又∵EF∥BC，∴＝＝(－)，
∴＝＋＝－＋(－)＝－＝－a＋b.]
5．设点D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则(　　)
A.＝－＋ B.＝－
C.＝－ D.＝－＋
D　[如图，D为中点，O为靠近A的三等分点，＝＋＝－＋＝－＋×(＋)＝－＋＋＝－＋.]
6．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝________.
a－b　[由a＝e1＋2e2①，b＝－e1＋e2②，由①＋②得e2＝a＋b，代入①可求得e1＝a－b，所以e1＋e2＝a－b.]
7．若向量a＝4e1＋2e2与b＝ke1＋e2共线，其中e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，则k的值为________．
2　[∵向量a与b共线，∴存在实数λ，使得b＝λa，
即ke1＋e2＝λ(4e1＋2e2)＝4λe1＋2λe2.∵e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，∴∴k＝2.]
【提升拔高】
平面向量加、减运算的坐标表示
1．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，则＝(　　)
A．(－2，－2) B．(2,2)
C．(1,1) D．(－1，－1)
A　[＝－＝(－2，－2)．故选A.]
2．如图，在 ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝________.
(－3，－5)　[＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，
＝＋＝－＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)．]
3．已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A(2,1)，B(1,3)，则点C的坐标为________．
(－1,2)　[设C的坐标为(x，y)，则由已知得＝，所以(x，y)＝(－1,2)．]
【提升拔高】
平面向量数乘运算的坐标表示
1．若向量a＝(－1，x)与b＝(－x,2)共线且方向相同，则x的值为(　　)
A.　　　　　　　　　 B．－
C．2 D．－2
A　[由a∥b得－x2＋2＝0，得x＝±.当x＝－时，a与b方向相反．]
2．已知a＝(sin α，1)，b＝(cos α，2)，若b∥a，则tan α＝(　　)
A. B．2
C．－ D．－2
A　[∵b∥a，∴2sin α－cos α＝0，即tan α＝.]
3．已知向量a＝(2,1)，b＝(3,4)，c＝(k,2)．若(3a－b)∥c，则实数k的值为(　　)
A．－8 B．－6
C．－1 D．6
B　[由题意得3a－b＝(3，－1)，因为(3a－b)∥c，所以6＋k＝0，k＝－6.故选B.]
4．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，且a∥b，则锐角θ等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．75°
B　[由a∥b，可得(1－sin θ)(1＋sin θ)－＝0，即cos θ＝±，而θ是锐角，故θ＝45°.]
5．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3,1)，且与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________.
　[由题意得，点B的坐标为(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)，则＝(4,6)．
又与a＝(1，λ)共线，则4λ－6＝0，解得λ＝.]
6．若三点A(1，－3)，B，C(x,1)共线，则x＝________.
9　[∵＝，＝(x－1,4)，∥，∴7×4－×(x－1)＝0，∴x＝9.]
7．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．
或　[由b∥a，可设b＝λa＝(－2λ，3λ)．设B(x，y)，则＝(x－1，y－2)＝b.
由
又B点在坐标轴上，则1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
所以B或.]
8．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)求a＋3b的坐标；
(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？
[解]　(1)因为a＝(1,0)，b＝(2,1)，所以a＋3b＝(1,0)＋(6,3)＝(7,3)．
(2)ka－b＝(k－2，－1)，a＋3b＝(7,3)，因为ka－b与a＋3b平行，
所以3(k－2)＋7＝0，解得k＝－，所以ka－b＝，a＋3b＝(7,3)，
即k＝－时，ka－b与a＋3b平行，方向相反．
9．已知向量a＝(1,2)，a－b＝(4,5)，c＝(x,3)，若∥c，则x＝(　　)
A．－1　　　B．－2　　　C．－3　　　D．－4
C　[向量a＝(1,2)，a－b＝(4,5)，c＝(x,3)，
则b＝a－(a－b)＝(1,2)－(4,5)＝(－3，－3)，
∴(2a＋b)＝2(1,2)＋(－3，－3)＝(－1,1)，∵(2a＋b)∥c，∴－3－x＝0，∴x＝－3，故选C.]
10．向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋b与a－2b平行，则m等于(　　)
A．－2 B．2
C. D．－
D　[∵ma＋b＝(2m－1,3m＋2)，a－2b＝(4，－1)，∴－(2m－1)＝4(3m＋2) m＝－，选D.]
【提升拔高】
平面向量数量积的坐标表示
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(3，－4)，则a在b上的投影为(　　)
A.　　　　B．－　　　　C．1　　　　D．－1
D　[向量a＝(1,2)，b＝(3，－4)，则a在b上的投影为：＝＝－1，故选D.]
2．已知平面向量a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,0)，且(a＋c)⊥(a－b)，则m＝(　　)
A．3＋ B．3－
C．3± D．－3±
C　[∵a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,0)，∴a＋c＝(1＋m，m)，a－b＝(－1，m－5)，
∵(a＋c)⊥(a－b)，∴－1－m＋m(m－5)＝m2－6m－1＝0，解得：m＝3±.]
3．a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b等于(　　)
A．23 B．57 C．63 D．83
D　[因为|a|2＝(－4)2＋32＝25，a·b＝(－4)×5＋3×6＝－2，
所以3|a|2－4a·b＝3×25－4×(－2)＝83.]
4．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2,1)，a＋3b＝(5,4)，则sin θ等于(　　)
A. B. C. D.
A　[设b＝(x，y)，则a＋3b＝(2＋3x,1＋3y)＝(5,4)，
所以解得即b＝(1,1)，所以cos θ＝＝，
所以sin θ＝＝.]
5．已知向量a＝(1，－1)，b＝(1,2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，则c等于(　　)
A．(2,1) B．(1,0)
C. D．(0，－1)
A　[设向量c＝(x，y)，则c＋b＝(x＋1，y＋2)，c－a＝(x－1，y＋1)，
因为(c＋b)⊥a，所以(c＋b)·a＝x＋1－(y＋2)＝x－y－1＝0，
因为(c－a)∥b，所以＝，即2x－y－3＝0.
由解得所以c＝(2,1)．]
6．已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，若|a＋b|＝|a－b|，则x＝________.
－1或2　[已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，因为|a＋b|＝|a－b|，两边平方得到a·b＝0，根据向量的坐标运算公式得x2－x－2＝0，解得x＝－1或2.]
7．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，则k的值为________．
19　[ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)．又ka＋b与a－3b垂直，故(ka＋b)·(a－3b)＝0，
即(k－3)·10＋(2k＋2)·(－4)＝0，得k＝19.]
8．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是(　　)
A．λ＞1　　　　　　　　 B．λ＜1
C．λ＜－1 D．λ＜－1或－1＜λ＜1
D　[由题意可得：a·b＝λ－1＜0，解得：λ＜1，且a与b的夹角不能为180°，即≠，∴λ≠－1，据此可得λ的取值范围是λ＜－1或－1＜λ＜1.]
【提升拔高】
余弦定理
1．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于(　　)
A．30°　　　　B．60°　　　　C．120°　　　　D．150°
B　[由题意知，(b＋c)2－a2＝b2＋c2＋2bc－a2＝3bc，
∴b2＋c2－a2＝bc，∴cos A＝＝，∴A＝60°.]
2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
C　[由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝82＋72－2×8×7×＝9，所以c＝3，故a最大，所以最大角的余弦值为cos A＝＝＝－.]
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC(　　)
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形
C　[由>0得－cos C>0，所以cos C<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形．]
4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　)
A. B．8－4 C．1 D.
A　[由 (a＋b)2－c2＝4，得a2＋b2－c2＋2ab＝4，由余弦定理得a2＋b2－c2＝2abcos C＝2abcos 60°＝ab，则ab＋2ab＝4，∴ab＝.]
5．锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是(　　)
A．1C.C　[若a为最大边，则b2＋c2－a2>0，即a2<5，∴a<，若c为最大边，则a2＋b2>c2，即a2>3，∴a>，故6．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.
0　[∵b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋c2－2accos 120°＝a2＋c2＋ac，
∴a2＋c2＋ac－b2＝0.]
7．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________.
1　[∵c2＝a2＋b2－2abcos C，∴()2＝a2＋12－2a×1×cos ，∴a2＋a－2＝0，即(a＋2)(a－1)＝0，∴a＝1或a＝－2(舍去)．∴a＝1.]
8．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________.
4　[因为b＋c＝7，所以c＝7－b.由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accos B，
即b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×，解得b＝4.]
9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.
[解]　在△ABC中，∵A＋C＝2B，A＋B＋C＝180°，∴B＝60°.
由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－2ac－2accos B
＝82－2×15－2×15×＝19.∴b＝.
10．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos (A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长．
[解]　(1)∵cos C＝cos [π－(A＋B)]＝－cos (A＋B)＝－，且C∈(0，π)，
∴C＝.
(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，
∴∴AB2＝b2＋a2－2abcos 120°＝(a＋b)2－ab＝10，∴AB＝.
【提升拔高】
正弦定理(1)
1．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为(　　)
A.＋1　　　　　　　　 B．2＋1
C．2 D．2＋2
C　[由已知及正弦定理，得＝，∴b＝＝＝2.]
2．在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则B等于(　　)
A．45°或135° B．135°
C．45° D．以上答案都不对
C　[∵sin B＝＝＝，∴B＝45°或135°.
但当B＝135°时，不符合题意，∴B＝45°，故选C.]
3．在△ABC中，A>B，则下列不等式中不一定正确的是(　　)
A．sin A>sin B B．cos AC．sin 2A>sin 2B　　 D．cos 2AC　[A>B a>b sin A>sin B，A正确．由于在(0，π)上，y＝cos x单调递减，
∴cos A∵sin A>sin B>0，∴sin2 A>sin2 B，∴cos 2A4．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c等于(　　)
A．4∶1∶1 B．2∶1∶1
C.∶1∶1 D.∶1∶1
D　[∵A＋B＋C＝180°，A∶B∶C＝4∶1∶1，∴A＝120°，B＝30°，C＝30°.
由正弦定理的变形公式得a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C＝sin 120°∶sin 30°∶sin 30°＝∶∶＝∶1∶1.]
5．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
B　[∵a＝bsin A，∴＝sin A＝，∴sin B＝1，
又∵B∈(0，π)，∴B＝，即△ABC为直角三角形．]
6．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________.
　[由三角形内角和定理知：A＝75°，由边角关系知B所对的边b为最小边，由正弦定理＝得b＝＝＝.]
7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________.
1　[在△ABC中，∵sin B＝，0又∵B＋C<π，C＝，∴B＝，∴A＝π－－＝π.∵＝，∴b＝＝1.]
8．在△ABC中，AB＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________.
2　[由正弦定理可知＝，即＝，解得AC＝2.]
【提升拔高】
正弦定理(2)
1．在△ABC中，若＝，则C的值为(　　)
A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90°
B　[由正弦定理得，＝＝，则cos C＝sin C，即C＝45°，故选B.]
2．在△ABC中，b＋c＝＋1，C＝45°，B＝30°，则(　　)
A．b＝1，c＝ B．b＝，c＝1
C．b＝，c＝1＋ D．b＝1＋，c＝
A　[∵＝＝＝＝2，∴b＝1，c＝.]
3．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝(　　)
A. B. C. D．1
B　[在△ABC中，由正弦定理＝，得sin B＝＝＝.]
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝bsin A，则sin B＝(　　)
A. B. C. D．－
B　[由正弦定理得a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，
所以sin A＝sin Bsin A，故sin B＝.]
5．在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于(　　)
A. B. C. D．2
B　[由a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C得＝2R＝＝＝.]
6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是 (填序号)．
①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；
②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；
③a＝15，b＝2，A＝90°，无解；
④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解．
④　[①中a＝bsin A，有一解；②中csin Bb，有一解；④中a>b且A＝120°，有一解．综上，④正确．]
7．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于 .
2　[在△ABC中，根据正弦定理，得＝，所以＝，解得sin B＝1.因为B∈(0°，120°)，所以B＝90°，所以C＝30°，所以△ABC的面积S△ABC＝·AC·BC·sin C＝2.]
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝ .
　[在△ABC中由cos A＝，cos C＝，可得sin A＝，sin C＝，sin B＝sin(A＋C)＝sin Acos C＋cos Asin C＝，由正弦定理得b＝＝.]
9．在△ABC中，求证：＝.
[证明]　因为＝＝＝2R，
所以左边＝
＝＝＝＝右边．
所以等式成立．
10．在△ABC中，已知c＝10，＝＝，求a，b及△ABC的内切圆半径．
[解]　由正弦定理知＝，∴＝.即sin Acos A＝sin Bcos B，
∴sin 2A＝sin 2B.又∵a≠b且A，B∈(0，π)，∴2A＝π－2B，即A＋B＝.
∴△ABC是直角三角形且C＝，
由得a＝6，b＝8.∴内切圆的半径为r＝＝＝2.专题五-平面向量
平面向量的概念及线性运算
【考题】：平面向量的基本概念；向量的线性运算；共线向量定理的应用
一、 平面向量的基本概念
名称 定义 表示方法 注意事项
向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的长度(或模) 向量或； 模或 平面向量是自由向量
零向量 长度等于0的向量，方向是任意的 记作 零向量的方向是任意的
单位向量 长度等于1个单位的向量 常用表示 非零向量的单位向量是
平行向量 方向相同或相反的非零向量 与共线可记为 与任一向量平行或共线
共线向量 平行向量又叫共线向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为
【基础例题】
1.给出下列命题：
①若两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；
②若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；
③若A，B，C，D是不共线的四点，且＝，则ABCD为平行四边形；
④a＝b的充要条件是|a|＝|b|且a∥b；
⑤已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线．
其中真命题的序号是________．
2.判断下列四个命题：
①若a∥b，则a＝b；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若|a|＝|b|，则a∥b；④若a＝b，则|a|＝|b|.其中正确的个数是(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
3.对于非零向量a，b，“a＋2b＝0”是“a∥b”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 交换律： a＋b＝b＋a； 结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 |λ a|＝|λ||a|，当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ<0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μ a)＝(λμ)a； (λ＋μ)a＝λa＋μa； λ(a＋b)＝λa＋λb
4.在平行四边形ABCD中，点E为CD的中点，BE与AC的交点为F，设＝a，＝b，则向量等于(　　)
A.a＋b B．－a－b
C．－a＋b D.a－b
【解析】　＝＝(＋)＝＝－a＋b，故选C.
5.在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则等于(　　)
A.－ B.－
C.＋ D.＋
三、共线向量定理的应用
共线向量定理
向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得.
共线向量定理的主要应用：
(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a=λb，则a与b共线．
(2)证明三点共线：若存在实数λ，使，则A，B，C三点共线．
(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．
8.已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)．
若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；
证明　(1)若m＋n＝1，则＝m＋(1－m)＝＋m(－)，
∴－＝m(－)，即＝m，∴与共线．
又∵与有公共点B，则A，P，B三点共线．
【拔高巩固1】
1．下列命题正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．已知向量共线，则实数x的值是（ ）
A．1 B． C．6 D．
3．已知△ABC的重心为O，则向量（ ）
A． B．
C． D．
4．将向量向右平移2个单位，再向下平移4个单位，所得向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，若，则下列说法正确的是（ ）
A．是的外心 B．是的内心
C．是的重心. D．是的垂心
6．已知点为所在平面内一点，满足，，，则______．
7．如图，在直角梯形中，，且，则___________.
8．已知向量，，则在上的投影向量的坐标为______．
平面向量的基本定理及坐标表示
【考向】：平面向量基本定理的应用；平面向量的坐标运算；向量共线（平行）的坐标表示
一、平面向量基本定理的应用
如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.
【基础例题】
1.如图，已知△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设＝a，＝b.
(1)用a和b表示向量，； (2)若＝λ，求实数λ的值．
解　(1)由题意知，A是BC的中点，且＝，由平行四边形法则，
得＋＝2，所以＝2－＝2a－b，＝－＝(2a－b)－b＝2a－b.
(2)由题意知，∥，故设＝x.因为＝－＝(2a－b)－λa
＝(2－λ)a－b，＝2a－b.所以(2－λ)a－b＝x.
因为a与b不共线，由平面向量基本定理，得解得故λ＝.
2.在△ABC中，点P是AB上一点，且＝＋，Q是BC的中点，AQ与CP的交点为M，又＝t，则t的值为________．
3.如图所示，在中，，，与相交于点，设，.
（1）试用向量，表示；
【解析】（1）由，，三点共线，可设，
由，，三点共线，可设，
∴，解得，，∴.
二、 平面向量的坐标运算
1．向量坐标的求法
（1）若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则=（x2－x1，y2－y1）.
2．向量加法、减法、数乘向量及向量的模
设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a＋b=（x2+x1，y2+y1），a－b=（x1－x2，y1－y2），λa=（λx1，λy1），
|a|=，|a＋b|=.
3．平面向量共线的坐标表示
设a=（x1，y1），b=（x2，y2），则a∥b x1y2－x2y1=0.
4．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作=a，=b，则∠AOB=θ（0°≤θ≤180°）叫做向量a与b的夹角.如果向量a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.
4.已知点M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，则点N的坐标为(　　)
A．(2,0) B．(－3,6)
C．(6,2) D．(－2,0)
5.线段AB的端点为A(x,5)，B(－2，y)，直线AB上的点C(1,1)，使||＝2||，则x＋y＝________.
【解析】　由已知得＝(1－x，－4)，2＝2(3,1－y)．由||＝2||，可得＝±2，
则当＝2时，有解得此时x＋y＝－2；
当＝－2时，有解得此时x＋y＝6.综上，x＋y＝－2或6.
6.已知M(3，－2)，N(－5，－1)，且＝，则P点的坐标为(　　)
A．(－8,1) B.
C. D．(8，－1)
三、向量共线（平行）的坐标表示
1．利用两向量共线的条件求向量坐标．一般地，在求与一个已知向量共线的向量时，可设所求向量为 ()，然后结合其他条件列出关于的方程，求出的值后代入即可得到所求的向量．
2．利用两向量共线求参数．如果已知两向量共线，求某些参数的取值时，则利用“若，，则的充要条件是”解题比较方便．
3．三点共线问题．A，B，C三点共线等价于与共线．
7.已知平面向量a＝(2，－1)，b＝(1,1)，c＝(－5,1)，若(a＋kb)∥c，则实数k的值为(　　)
A．－ B. C．2 D.
【解析】　因为a＝(2，－1)，b＝(1,1)，所以a＋kb＝(2＋k，－1＋k)，
又c＝(－5,1)，由(a＋kb)∥c得(2＋k)×1＝－5×(k－1)，解得k＝，故选B.
8.已知向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(－k,10)，且A，B，C三点共线，则实数k的值是________．
【解析】　＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2)．
∵A，B，C三点共线，∴，共线，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－.
9.已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b与3a－b平行，则实数x的值是__________________．
【拔高巩固2】
1．已知点，则向量（ ）
A． B． C． D．
2．设x∈R，向量＝（x，1），＝（1，﹣2），且∥，则|+|＝（ ）
A． B． C． D．5
3．中，点M为AC上的点，且，若，则的值是（ ）
A． B． C．1 D．
4．已知向量，若和共线，则实数 ___________．
5．已知向量，若，则___________.
6．已知向量，，，则______．
7．已知向量，，且，则___________
平面向量数量积及向量的应用
【考向】：平面向量数量积的运算；平面向量数量积的应用；平面向量的模及其应用
一、平面向量数量积的运算
1．平面向量数量积的概念
（1）数量积的概念
已知两个非零向量，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作,即，其中θ是与的夹角.
【注】零向量与任一向量的数量积为0.
（2）投影的概念
设非零向量与的夹角是θ，则()叫做向量在方向上(在方向上)的投影.
如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量与的夹角为锐角、钝角、直角时向量在方向上的投影的情形，其中，它的意义是，向量在向量方向上的投影长是向量的长度.
（3）数量积的几何意义
由向量投影的定义，我们可以得到的几何意义：数量积等于的长度与在方向上的投影的乘积.
2．平面向量数量积的运算律
已知向量和实数,则
①交换律：；
②数乘结合律：；
③分配律：.
【巧学妙记】平面向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式；二是坐标公式.
【基础例题】
1.已知a＝(x,1)，b＝(－2,4)，若(a＋b)⊥b，则x等于(　　)
A．8 B．10 C．11 D．12
【解析】　∵a＝(x,1)，b＝(－2,4)，∴a＋b＝(x－2,5)，又(a＋b)⊥b，
∴(x－2)×(－2)＋20＝0，∴x＝12.
2.已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)等于(　　)
A．4 B．3 C．2 D．0
【解析】　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.
∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.
3.若单位向量，的夹角为，则 =（ ）
A．2 B． C． D．1
二、平面向量数量积的应用
设非零向量，是与的夹角.
（1）数量积：.
（2）模：.
（3）夹角： .
（4）垂直与平行：；a∥b a·b=±|a||b|.
【注】当与同向时,；
当与反向时,.
（5）性质：|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)
【巧学妙记】确定夹角的范围：数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角；
数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角；
数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.
4.在等腰直角中，是斜边的中点，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】在等腰直角中，，由于是的中点，
所以，且，
所以.故选：B
5.设D，E为正三角形ABC中BC边上的两个三等分点，且BC＝2，则·等于(　　)
A. B.
C. D.
||＝||＝2，〈，〉＝60°，∵D，E是边BC的两个三等分点，
∴·＝·＝·
＝||2＋·＋||2＝×4＋×2×2×＋×4＝.
6.在中，，，则______.
三、平面向量的模及其应用
求向量的模．解决此类问题应注意模的计算公式，或坐标公式的应用，另外也可以运用向量数量积的运算公式列方程求解．
7.在△ABC中，∠BAC＝60°，AB＝5，AC＝6，D是AB上一点，且·＝－5，则||等于(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【解析】　如图所示，
设＝k，所以＝－＝k－，所以·＝·(k－)
＝k2－·＝25k－5×6×＝25k－15＝－5，解得k＝，所以||＝||＝3.
8.已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝(，)，则|2a－b|等于(　　)
A．2 B.
C. D．2
9.若向量满足：则
A．2 B． C．1 D．
四、平面向量的综合应用
常见的向量表示形式：
(1)重心．若点G是的重心，则或 (其中P为平面内任意一点)．反之，若，则点G是的重心．
(2)垂心．若H是的垂心，则.反之，若，则点H是的垂心．
(3)内心．若点I是的内心，则.反之，若，则点I是的内心
(4)外心．若点O是的外心，则或.
反之，若，则点O是的外心.
10.已知向量，，且与的夹角为，则在方向上的投影为 .
【解析】因为向量，，且与的夹角为所以，
11.已知|a|＝1，|b|＝2，|a－2b|＝，则向量a，b的夹角为(用弧度表示)________．
【解析】　因为|a|＝1，|b|＝2，|a－2b|＝，所以|a－2b|＝＝，
解得cos〈a，b〉＝－，又因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.
【拔高巩固3】
1．已知向量、满足，且，则（ ）
A． B． C． D．
2．若对于一些横纵坐标均为整数的向量，它们的模相同，但坐标不同，则称这些向量为“等模整向量”，例如向量，即为“等模整向量”，那么模为的“等模整向量”有（ ）
A．4个 B．6个 C．8个 D．12个
3．已知夹角为则（ ）
A． B．2 C． D．4
4．已知单位向量，的夹角为120°，设．则||＝（ ）
A． B． C． D．
5．在矩形ABCD中，，，点P在CD上，，点Q在BP上，，则（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6．已知向量，，且与垂直，则______．
7．已知单位向量满足，则___________.
8．已知向量，，设，.
（1）求的值；
（2）求夹角的大小.
正、余弦定理及其解三角形
【考向】：利用正、余弦定理解三角形；三角形形状的判断；面积、周长、范围问题
一、 利用正、余弦定理解三角形
1．正弦定理
在中，若角A，B，C对应的三边分别是a，b，c，则各边和它所对角的正弦的比相等，即.正弦定理对任意三角形都成立．
2．常见变形
（1）
（2）
（3）
（4）正弦定理的推广：，其中为的外接圆的半径.
3．余弦定理
三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍，即
4．余弦定理的推论
从余弦定理，可以得到它的推论：
.
【巧学妙记】
（1）三角形的内角和定理：在中，，其变式有：，等． （2）三角形中的三角函数关系： ； ； ； .
【基础例题】
1.中，角所对的边分别为．若，则边 。
【解析】，即，解得或（舍去）．
2.在中，，，，则的外接圆面积为 。
【解析】因为在中，，，所以，
又，设三角形外接圆半径为，则，因此的外接圆面积为.
3.已知的三个内角所对边长分别是，若，则角的大小为 。
二、三角形形状以及解的个数的判断
（1）“角化边”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.
（2）“边化角”：利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角恒等变换，得出内角间的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用这个结论．
【基础例题】
4.在中，已知，则该的形状为 。
【解析】化为，
，，
至少有一个是锐角，，
或，或,所以是等腰三角形或直角三角形.
5.已知三内角、、的对边分别是、、，若，且，则的形状为 。
三、 面积、周长、范围的问题
求三角形面积的方法
①若三角形中已知一个角(角的大小，或该角的正、余弦值)，结合题意求夹这个角的两边或该两边之积，套公式求解．
②若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，套公式求面积，总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
7.在中，，是边上的一点.
（1）若，求的长；
（2）若，求周长的取值范围.
【解析】（1）在中，AD＝1，，
所以＝cos∠DAC＝1×2×cos∠DAC＝3,
所以cos∠DAC＝.
由余弦定理得＝12＋1－2×2×1×＝7，
所以CD＝.
（2）在中，由正弦定理得，
，
.
，故周长的取值范围为 .
8.在中，角的对边分别为，且．
（1）求角；
（2）若，求面积的最大值．
四、 解三角形的实际应用
1．测量中的术语
（1）仰角和俯角
在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
（2）方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
（3）方向角
相对于某一正方向的水平角.
①北偏东α，即由指北方向顺时针旋转α到达目标方向(如图③)；
②北偏西α，即由指北方向逆时针旋转α到达目标方向；
（4）坡角与坡度
①坡角：坡面与水平面所成的二面角的度数(如图④，角θ为坡角)；
②坡度：坡面的铅直高度与水平长度之比(如图④，i为坡度)．坡度又称为坡比．
【拔高巩固】
1．若在中，角的对边分别为，则（ ）
A． B． C．或 D．以上都不对
2．若的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，则B的解的个数是（ ）
A．2 B．1 C．0 D．不确定
3．我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则___________.
4．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
5．已知内角，，的对边分别为，，，那么当___________时，满足条件“，的有两个.(仅写出一个的具体数值即可)
6．△ABC中，b=4，a=4cosC+csinB，则△ABC面积的最大值为___________.
7．在平面四边形中，，，.
（1）若△的面积为，求；
（2）若，，求.
8．在中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，.
（1）求角C；
（2）若，求的面积.
【提升拔高】
平面向量的概念
1．下列说法不正确的是(　　)
A．向量的模是一个非负实数
B．任何一个非零向量都可以平行移动
C．长度不相等而方向相反的两个向量一定是共线向量
D．两个有共同起点且共线的向量终点也必相同
2．下面几个命题：
①若a＝b，则|a|＝|b|；
②若|a|＝0，则a＝0；
③若|a|＝|b|，则a＝b；
④若向量a，b满足则a＝b.
其中正确命题的个数是(　　)
A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3
3．给出下列四个条件：①a＝b；②|a|＝|b|；③a与b方向相反；④|a|＝0或|b|＝0.其中能使a∥b成立的条件是________(填序号)．
【提升拔高】
向量的加法运算
1．下列等式不正确的是(　　)
①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；②＋＝0；
③＝＋＋.
A．②③　　　B．②　　　C．①　　　D．③
2．已知向量a∥b，且|a|＞|b|＞0，则向量a＋b的方向(　　)
A．与向量a方向相同　　　 B．与向量a方向相反
C．与向量b方向相同 D．与向量b方向相反
3．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量a＋b表示(　　)
A．向东北方向航行2 km
B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km
D．向东北方向航行(1＋)km
4.如图，在平行四边形ABCD中，＋＝________，＋＝________，＋＝________.
5.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|＋＋|等于________．
6．如图所示，试用几何法分别作出向量＋，＋.
7．若a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中：
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|＜|a|＋|b|；⑤|a＋b|＝|a|＋|b|.
正确结论的序号是(　　)
A．①⑤ B．②④⑤
C．③⑤ D．①③⑤
8．若在△ABC中，AB＝AC＝1，|＋|＝，则△ABC的形状是(　　)
A．正三角形 B．锐角三角形
C．斜三角形 D．等腰直角三角形
【提升拔高】
向量的减法运算
1．在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是(　　)
A.－＝0　　　　 B.－＝
C.－＝ D.＋＝0
2．在△ABC中，＝a，＝b，则等于(　　)
A．a＋b B．－a＋(－b)
C．a－b D．b－a
3．已知非零向量a与b同向，则a－b(　　)
A．必定与a同向
B．必定与b同向
C．必定与a是平行向量
D．与b不可能是平行向量
4．下列各式中不能化简为的是(　　)
A．(－)－ B.－(＋)
C．－(＋)－(＋) D．－－＋
5．若a，b为非零向量，则下列命题错误的是(　　)
A．若|a|＋|b|＝|a＋b|，则a与b方向相同
B．若|a|＋|b|＝|a－b|，则a与b方向相反
C．若|a|＋|b|＝|a－b|，则|a|＝|b|
D．若||a|－|b||＝|a－b|，则a与b方向相同
6．如图，在△ABC中，若D是边BC的中点，E是边AB上一点，则－＋＝________.
7．如图所示，已知O为平行四边形ABCD内一点，＝a，＝b，＝c，则＝________.(用a，b，c表示)
【提升拔高】
向量的数乘运算
1.等于(　　)
A．2a－b　　　　　　　 B．2b－a
C．b－a D．a－b
2．已知m，n是实数，a，b是向量，则下列命题中正确的为(　　)
①m(a－b)＝ma－mb；②(m－n)a＝ma－na；③若ma＝mb，则a＝b；④若ma＝na，则m＝n.
A．①④ B．①②
C．①③ D．③④
3．在四边形ABCD中，若＝3a，＝－5a，且||＝||，则四边形ABCD是(　　)
A．平行四边形 B．菱形
C．等腰梯形 D．非等腰梯形
4．(2018·全国卷Ⅰ)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)
A.－ B.－
C.＋ D.＋
5．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是(　　)
①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；
②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；
③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；
④已知梯形ABCD，其中＝a，＝b.
A．①②　　B．①③ C．②　　D．③④
6．已知a与b是两个不共线的向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.
7．如图，在△ABC中，延长CB到D，使BD＝BC，当点E在线段AD上移动时，若＝λ＋μ，则t＝λ－μ的最大值是________．
【提升拔高】
向量的数量积
1．若向量a，b满足|a|＝|b|＝1，a与b的夹角为60°，则a·a＋a·b等于(　　)
A.　　　B.　　　C．1＋　　　D．2
2．已知单位向量a，b的夹角为，那么|a＋2b|＝(　　)
A．2 B. C．2 D．4
3．若向量a，b，c，满足a∥b且a⊥c，则c·(a＋2b)＝(　　)
A．4 B．3 C．2 D．0
4．已知平面向量a，b是非零向量，|a|＝2，a⊥(a＋2b)，则向量b在向量a方向上的投影为(　　)
A．1 B．－1 C．2 D．－2
5．已知非零向量a，b满足2|a|＝3|b|，|a－2b|＝|a＋b|，则a与b的夹角的余弦值为(　　)
A. B. C. D.
6．已知|a|＝3，|b|＝5，且a与b的夹角θ为45°，则向量a在向量b上的投影为________．
7．已知向量|a|＝，a·b＝10，|a＋b|＝5，则|b|＝________.
8．若a，b均为非零向量，且(a－2b)⊥a，(b－2a)⊥b，则a，b的夹角为________．
9．已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝.
(1)求|b|；
(2)当a·b＝－时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值．
10．已知平面向量a，b都是单位向量，若b⊥(2a－b)，则a与b的夹角等于(　　)
A. B. C. D.
11．已知|a|＝2，|b|＝1，(2a－3b)·(2a＋b)＝9.
(1)求a与b之间的夹角θ；
(2)求向量a在a＋b上的投影．
【提升拔高】
平面向量基本定理
1．设向量e1与e2不共线，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，则实数x，y的值分别为(　　)
A．0,0　　　　　　　 B．1,1
C．3,0 D．3,4
2．已知e1、e2是表示平面内所有向量的一组基底，则下列四个向量中，不能作为一组基底的是(　　)
A．{e1＋e2，e1－e2} B．{3e1－2e2,4e2－6e1}
C．{e1＋2e2，e2＋2e1} D．{e2，e1＋e2}
3．在△ABC中，点D在BC边上，且＝2，设＝a，＝b，则可用基底a，b表示为(　　)
A.(a＋b)　　　　　 B.a＋b
C.a＋b D.(a＋b)
4．在△ABC中，＝，EF∥BC，EF交AC于F，设＝a，＝b，则等于(　　)
A．－a＋b　　　　　 B．a－b
C.a－b D.a＋b
5．设点D为△ABC中BC边上的中点，O为AD边上靠近点A的三等分点，则(　　)
A.＝－＋ B.＝－
C.＝－ D.＝－＋
6．设e1，e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为以a，b为基向量的线性组合，即e1＋e2＝________.
7．若向量a＝4e1＋2e2与b＝ke1＋e2共线，其中e1，e2是同一平面内两个不共线的向量，则k的值为________．
【提升拔高】
平面向量加、减运算的坐标表示
1．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，则＝(　　)
A．(－2，－2) B．(2,2)
C．(1,1) D．(－1，－1)
2．如图，在 ABCD中，AC为一条对角线，若＝(2,4)，＝(1,3)，则＝________.
3．已知平行四边形OABC，其中O为坐标原点，若A(2,1)，B(1,3)，则点C的坐标为________．
【提升拔高】
平面向量数乘运算的坐标表示
1．若向量a＝(－1，x)与b＝(－x,2)共线且方向相同，则x的值为(　　)
A.　　　　　　　　　 B．－
C．2 D．－2
2．已知a＝(sin α，1)，b＝(cos α，2)，若b∥a，则tan α＝(　　)
A. B．2
C．－ D．－2
3．已知向量a＝(2,1)，b＝(3,4)，c＝(k,2)．若(3a－b)∥c，则实数k的值为(　　)
A．－8 B．－6
C．－1 D．6
4．已知向量a＝(1－sin θ，1)，b＝，且a∥b，则锐角θ等于(　　)
A．30° B．45°
C．60° D．75°
5．已知点A(1，－2)，若线段AB的中点坐标为(3,1)，且与向量a＝(1，λ)共线，则λ＝________.
6．若三点A(1，－3)，B，C(x,1)共线，则x＝________.
7．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起点为A(1,2)，终点B在坐标轴上，则点B的坐标为________．
8．已知a＝(1,0)，b＝(2,1)．
(1)求a＋3b的坐标；
(2)当k为何实数时，ka－b与a＋3b平行，平行时它们是同向还是反向？
9．已知向量a＝(1,2)，a－b＝(4,5)，c＝(x,3)，若∥c，则x＝(　　)
A．－1　　　B．－2　　　C．－3　　　D．－4
10．向量a＝(2,3)，b＝(－1,2)，若ma＋b与a－2b平行，则m等于(　　)
A．－2 B．2
C. D．－
【提升拔高】
平面向量数量积的坐标表示
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(3，－4)，则a在b上的投影为(　　)
A.　　　　B．－　　　　C．1　　　　D．－1
2．已知平面向量a＝(1，m)，b＝(2,5)，c＝(m,0)，且(a＋c)⊥(a－b)，则m＝(　　)
A．3＋ B．3－
C．3± D．－3±
3．a＝(－4,3)，b＝(5,6)，则3|a|2－4a·b等于(　　)
A．23 B．57 C．63 D．83
4．设向量a与b的夹角为θ，a＝(2,1)，a＋3b＝(5,4)，则sin θ等于(　　)
A. B. C. D.
5．已知向量a＝(1，－1)，b＝(1,2)，向量c满足(c＋b)⊥a，(c－a)∥b，则c等于(　　)
A．(2,1) B．(1,0)
C. D．(0，－1)
6．已知向量a＝(－1，x)，b＝(x＋2，x)，若|a＋b|＝|a－b|，则x＝________.
7．已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，若ka＋b与a－3b垂直，则k的值为________．
8．已知a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，a与b的夹角为钝角，则λ的取值范围是(　　)
A．λ＞1　　　　　　　　 B．λ＜1
C．λ＜－1 D．λ＜－1或－1＜λ＜1
【提升拔高】
余弦定理
1．在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于(　　)
A．30°　　　　B．60°　　　　C．120°　　　　D．150°
2．在△ABC中，若a＝8，b＝7，cos C＝，则最大角的余弦值是(　　)
A．－ B．－ C．－ D．－
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若>0，则△ABC(　　)
A．一定是锐角三角形 B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形 D．是锐角或直角三角形
4．若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为(　　)
A. B．8－4 C．1 D.
5．锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是(　　)
A．1C.6．已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.
7．在△ABC中，若b＝1，c＝，C＝，则a＝________.
8．在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cos B＝－，则b＝________.
9．在△ABC中，A＋C＝2B，a＋c＝8，ac＝15，求b.
10．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos (A＋B)＝1.
(1)求角C的度数；
(2)求AB的长．
【提升拔高】
正弦定理(1)
1．在△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，则边b的值为(　　)
A.＋1　　　　　　　　 B．2＋1
C．2 D．2＋2
2．在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，则B等于(　　)
A．45°或135° B．135°
C．45° D．以上答案都不对
3．在△ABC中，A>B，则下列不等式中不一定正确的是(　　)
A．sin A>sin B B．cos AC．sin 2A>sin 2B　　 D．cos 2A4．在△ABC中，A∶B∶C＝4∶1∶1，则a∶b∶c等于(　　)
A．4∶1∶1 B．2∶1∶1
C.∶1∶1 D.∶1∶1
5．在△ABC中，a＝bsin A，则△ABC一定是(　　)
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．等腰三角形
6．在△ABC中，B＝45°，C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________.
7．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，C＝，则b＝________.
8．在△ABC中，AB＝，∠A＝75°，∠B＝45°，则AC＝________.
【提升拔高】
正弦定理(2)
1．在△ABC中，若＝，则C的值为(　　)
A．30°　　　B．45°　　　C．60°　　　D．90°
2．在△ABC中，b＋c＝＋1，C＝45°，B＝30°，则(　　)
A．b＝1，c＝ B．b＝，c＝1
C．b＝，c＝1＋ D．b＝1＋，c＝
3．在△ABC中，a＝3，b＝5，sin A＝，则sin B＝(　　)
A. B. C. D．1
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且a＝bsin A，则sin B＝(　　)
A. B. C. D．－
5．在△ABC中，A＝60°，a＝，则等于(　　)
A. B. C. D．2
6．下列条件判断三角形解的情况，正确的是 (填序号)．
①a＝8，b＝16，A＝30°，有两解；
②b＝18，c＝20，B＝60°，有一解；
③a＝15，b＝2，A＝90°，无解；
④a＝40，b＝30，A＝120°，有一解．
7．在△ABC中，A＝60°，AC＝4，BC＝2，则△ABC的面积等于 .
8．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cos A＝，cos C＝，a＝1，则b＝ .
9．在△ABC中，求证：＝.
10．在△ABC中，已知c＝10，＝＝，求a，b及△ABC的内切圆半径．

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