资源简介

　第1课时　矩形及其性质
命题点 1　矩形的四个角都是直角
1.如图四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形,若∠BAG=20°,则∠DAE等于 (　　)
A.10° B.20° C.30° D.45°
2.如图在矩形ABCD中,对角线AC的垂直平分线EF分别交BC,AD于点E,F,若BE=3,AF=5,则AC的长为 (　　)
A.4 B.4 C.10 D.8
3.(2021安顺)如图在矩形ABCD中,点M在DC上,AM=AB,且BN⊥AM,垂足为N.
(1)求证:△ABN≌△MAD;
(2)若AD=2,AN=4,求四边形BCMN的面积.
命题点 2　矩形的对角线互相平分且相等
4.(2021西藏)如图在矩形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O.E,F分别是AB,AO的中点,且AC=8.则EF的长度为 (　　)
　
A.2 B.4 C.6 D.8
5.如图矩形ABCD的对角线AC,BD交于点O,DE平分∠ADC,交BC于点E,∠BDE=15°,连接OE,求∠COD与∠COE的度数.
命题点 3　直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
6.如图O是矩形ABCD对角线AC的中点,OE∥AB交AD于点E.若OE=3,BC=8,则OB的长为 (　　)
A.4 B.5 C. D.
7.如图在△ABC中,BM⊥AC,垂足为M.N为AB上的一点,D为BC的中点,DN=BC.
(1)求证:CN⊥AB;
(2)若∠A=55°,则∠MDN=　　　　°.
命题点 4　与矩形有关的折叠问题
8.(2021阜新)如图折叠矩形纸片ABCD,使点B的对应点E落在CD边上,GH为折痕,已知AB=6,BC=10.当折痕GH最长时,线段BH的长为　　　　.
9.如图在矩形ABCD中,点E在边CD上,将△BCE沿BE折叠,点C落在AD边上的点F处,过点F作FG∥CD交BE于点G,连接CG.
(1)求证:四边形CEFG是菱形;
(2)若AB=6,AD=10,求四边形CEFG的面积.
　　
10.(2021内江)如图在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,点A在x轴正半轴上,点D在y轴正半轴上.当点A在x轴上运动时,点D也随之在y轴上运动,在这个运动过程中,点C到原点O的最大距离为　　　　.
答案
　第1课时　矩形及其性质
1.B　 ∵四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形,
∴∠EAG=∠DAB=90°.
∴∠EAG-∠DAG=∠DAB-∠DAG,
即∠DAE=∠BAG=20°.
故选B.
2.A　 连接AE,设AC与EF的交点为O,如图.
∵EF是AC的垂直平分线,
∴OA=OC,AE=CE.
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠B=90°,AD∥BC.
∴∠OAF=∠OCE.
在△AOF和△COE中,
∵∠OAF=∠OCE,OA=OC,∠AOF=∠COE,
∴△AOF≌△COE(ASA).
则AF=CE=5.
∴AE=CE=5,BC=BE+CE=3+5=8.
∴AB===4.
∴AC===4.
3.解:(1)证明:在矩形ABCD中,∠D=90°,DC∥AB,
∴∠BAN=∠AMD.
∵BN⊥AM,
∴∠BNA=90°.
在△ABN和△MAD中,
∵∠BAN=∠AMD,∠BNA=∠D,AB=MA,
∴△ABN≌△MAD(AAS).
(2)∵△ABN≌△MAD,∴BN=AD.
∵AD=2,∴BN=2.
又∵AN=4,
在Rt△ABN中,AB===2,
∴S矩形ABCD=2×2=4,S△ABN=S△MAD=×2×4=4,
∴S四边形BCMN=S矩形ABCD-S△ABN-S△MAD=4-8.
4.A　 ∵四边形ABCD是矩形,
∴AC=BD=8,BO=DO=BD,
∴BO=4.
∵E,F分别是AB,AO的中点,
∴EF是△AOB的中位线,
∴EF=BO=2.
故选A.
5.解:因为四边形ABCD是矩形,
所以OA=OB=OC=OD,∠ADC=∠BCD=90°.
因为DE平分∠ADC,所以∠ADE=45°.
所以∠ADB=∠ADE-∠BDE=45°-15°=30°.
所以∠ODC=∠ADC-∠ADB=90°-30°=60°.
所以△OCD是等边三角形.
所以∠COD=∠OCD=60°,OC=CD.
又在Rt△ECD中,∠EDC=45°,
所以CE=CD.所以OC=CE.
又因为∠OCE=∠BCD-∠OCD=90°-60°=30°,
所以在△CEO中,∠COE=(180°-∠OCE)=×(180°-30°)=75°.
6.B　 ∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=90°,AB∥CD,AB=CD.
∵OE∥AB,
∴OE∥CD.
易知OE是△ACD的中位线,
∴CD=2OE=6.
∴AB=6.
在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,
∴AC=10.
∵OB是Rt△ABC斜边上的中线,
∴OB=AC=5.
7. (2)∵BM⊥AC,CN⊥AB,
∴∠BNC=∠BMC=90°.
∵D为BC的中点,
∴DN=BD,DM=CD,
∴∠BND=∠NBD,∠DMC=∠MCD,
∴∠BND+∠DMC=∠ABC+∠ACB=180°-∠A=125°,
则∠AND+∠AMD=360°-125°=235°,
∴∠MDN=360°-∠A-∠AND-∠AMD=70°.
解:(1)证明:∵D为BC的中点,DN=BC,
∴DN=BD=CD,
∴∠DBN=∠BND,∠DNC=∠DCN.
∵∠NBD+∠BNC+∠NCD=180°,
∴2∠BND+2∠CND=180°,
∴∠BND+∠CND=90°,
即∠CNB=90°,
∴CN⊥AB.
(2)70
8.6.8　 由题知,当点E与点D重合时,GH最长.
设BH=x,则CH=10-x,HE=BH=x,
由勾股定理,得HC2+CE2=HE2,
即(10-x)2+62=x2,
解得x=6.8.
故答案为6.8.
9.解:(1)证明:由题意可得△BCE≌△BFE,
∴∠BEC=∠BEF,FE=CE.
∵FG∥CE,
∴∠FGE=∠BEC.
∴∠FGE=∠FEG.
∴FG=FE.
∴FG=CE.
∴四边形CEFG是平行四边形.
又∵CE=FE,
∴四边形CEFG是菱形.
(2)∵在矩形ABCD中,AB=6,AD=10,BC=BF,
∴∠BAF=90°,CD=AB=6,AD=BC=BF=10.
∴AF=8.∴DF=2.
设EF=x,则CE=x,DE=6-x.
∵∠FDE=90°,∴22+(6-x)2=x2,
解得x=,
即CE=.
∴四边形CEFG的面积是CE·DF=×2=.
10.+1　 如图,取AD的中点H,连接CH,OH.
∵在矩形ABCD中,AB=1,BC=2,
∴CD=AB=1,AD=BC=2.
∵H是AD的中点,
∴AH=DH=1,
∴CH===.
∵∠AOD=90°,H是AD的中点,
∴OH=AD=1.
在△OCH中,CO当C,H,O三点共线时,CO=OH+CH,
∴CO长度的最大值为OH+CH=+1.
故答案为+1.第2课时　矩形的判定
　　　　　　 　　　　　　　　　　
命题点 1　有一个角是直角的平行四边形是矩形
1.如图在Rt△ABC中,∠ACB=90°,E,F分别是AC,BC的中点,D是斜边AB上一点,则添加下列条件可以使四边形DECF成为矩形的是 (　　)
A.∠ACD=∠BCD B.AD=BD
C.CD⊥AB D.CD=AC
2.如图在等边三角形ABC中,D是BC边的中点,以AD为边作等边三角形ADE.
(1)求∠CAE的度数;
(2)取AB边的中点F,连接CF,CE,求证:四边形AFCE是矩形.
命题点 2　对角线相等的平行四边形是矩形
3.甲、乙、丙、丁四名同学到木材加工厂参观时,一位木工师傅要他们拿尺子帮忙检测一个窗框是不是矩形,他们各自做了如下检测,检测后,他们都说窗框是矩形,你认为最有说服力的是
(　　)
A.甲量得窗框的两组对边分别相等
B.乙量得窗框的两条对角线相等
C.丙量得窗框的一组邻边相等
D.丁量得窗框的两组对边分别相等且两条对角线也相等
4.如图在 ABCD中,O是BC边的中点,连接DO并延长,交AB的延长线于点E,连接BD,EC.
(1)求证:四边形BECD是平行四边形;
(2)若∠A=50°,则当∠BOD为多少度时,四边形BECD是矩形 请说明理由.
5.如图在△ABC中,AD,BE分别是边BC,AC上的中线,AD与BE交于点O,F,G分别是BO,AO的中点,连接DE,EG,GF,FD.
(1)求证:四边形EDFG是平行四边形;
(2)若AC=BC,求证:四边形EDFG是矩形.
命题点 3　有三个角是直角的四边形是矩形
6.如图在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,D为斜边BC上的一个动点(不与点B与点C重合),过点D分别作DM⊥AB于点M,DN⊥AC于点N,连接MN,则线段MN长的最小值为　　　　.
7.如图在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB的中点,DE,DF分别是△BDC,△ADC的角平分线.求证:四边形FDEC是矩形.
8.如图在平面直角坐标系中,点A(2,n),B(m,n)(m>2),D(p,q)(q求证:四边形ABCD是矩形.
答案
第2课时　矩形的判定
1.B　 添加AD=BD.
∵E,F分别是AC,BC的中点,AD=BD,
∴ED∥BC,DF∥AC.
∴四边形DECF是平行四边形.
又∵∠ACB=90°,
∴ DECF是矩形.
故选B.
2. (1)根据等边三角形三线合一的特点,易求得∠DAC=30°,则∠CAE=∠DAE-∠DAC.
(2)先证明四边形AFCE是平行四边形,然后根据∠FAE=90°,由矩形的定义判定四边形AFCE是矩形.
解:(1)∵△ABC是等边三角形,且D是BC边的中点,
∴AD平分∠BAC,
即∠DAB=∠DAC=∠BAC=30°.
∵△ADE是等边三角形,∴∠DAE=60°.
∴∠CAE=∠DAE-∠DAC=30°.
(2)证明:∵△ABC是等边三角形,F是AB边的中点,∴CF⊥AB.
由(1)知∠CAE=30°,又∠BAC=60°,
∴∠FAE=90°.∴AE∥CF.
∵△ABC是等边三角形,且AD,CF分别是BC,AB边上的中线,∴AD=CF.
又∵AD=AE,∴CF=AE.
∴四边形AFCE是平行四边形.
又∵∠FAE=90°,
∴ AFCE是矩形.
3.D　 A项,两组对边分别相等的四边形是平行四边形,所以本选项错误.B项,对角线相等的四边形也可能是等腰梯形,所以本选项错误.C项,一组邻边相等的四边形也可能是菱形,所以本选项错误.D项,根据矩形的判定,知本选项正确.故选D.
4.解:(1)证明:∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD.
∴∠OEB=∠ODC.
∵O为BC的中点,∴BO=CO.
在△BOE和△COD中,
∵∠OEB=∠ODC,∠BOE=∠COD,BO=CO,
∴△BOE≌△COD(AAS).∴EO=DO.
又∵BO=CO,
∴四边形BECD是平行四边形.
(2)若∠A=50°,则当∠BOD=100°时,四边形BECD是矩形.理由如下:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BCD=∠A=50°.
∵∠BOD=∠BCD+∠ODC,
∴∠ODC=100°-50°=50°=∠BCD.
∴CO=DO.
又∵BO=CO,DO=EO,
∴BO=CO=DO=EO.∴DE=BC.
又∵四边形BECD是平行四边形,
∴四边形BECD是矩形.
5.证明:(1)∵AD,BE分别是边BC,AC上的中线,
∴DE是△ABC的中位线.
∴DE∥AB且DE=AB.
∵F,G分别是BO,AO的中点,
∴FG是△OAB的中位线.
∴FG∥AB且FG=AB.
∴FG∥DE,FG=DE.
∴四边形EDFG是平行四边形.
(2)∵AD,BE分别是边BC,AC上的中线,
∴CD=BC,CE=AC.
又∵AC=BC,
∴CD=CE.
在△ACD和△BCE中,
∵AC=BC,∠C=∠C,CD=CE,
∴△ACD≌△BCE.
∴∠CAD=∠CBE.
∵AC=BC,
∴∠CAB=∠CBA.
∴∠DAB=∠EBA.
∴BO=AO.
∵F,G分别是BO,AO的中点,
∴OF=BO,OG=AO.
∴OF=OG.
∴在 EDFG中,EF=DG.
∴ EDFG是矩形.
6.　 连接AD.
∵DM⊥AB,DN⊥AC,
∴∠AMD=∠AND=90°.
又∵∠BAC=90°,
∴四边形AMDN是矩形.
∴MN=AD.
∵∠BAC=90°,AB=3,AC=4,∴BC=5.
当AD⊥BC时,AD的长最短,
此时△ABC的面积=BC·AD=AB·AC,
∴AD长的最小值==.
∴线段MN长的最小值为.
7.证明:∵∠ACB=90°,D是AB的中点,
∴AD=CD.
∵DF是∠ADC的平分线,
∴DF⊥AC.
∴∠CFD=90°.
同理DE⊥BC,∴∠CED=90°.
又∵∠ACB=90°,
∴四边形FDEC是矩形.
8.证明:∵AB∥CD,∴∠ABD=∠CDB,∠BAC=∠ACD.又∵BE=DE,∴△ABE≌△CDE.
∴AE=CE.∴四边形ABCD为平行四边形.
∴AB=CD=4.
∵点A,B的纵坐标相同,∴AB∥x轴.
又∵AB∥CD,∴AB∥CD∥x轴.
∴m=2+4=6.
∵点B在直线y=x+1上,∴n=4.
∴A(2,4),B(6,4).
∵△AEB的面积是2,
∴ ABCD的面积是8.
又∵CD=4,∴ ABCD的边CD上的高是2.
∵q∵点D在直线y=x+1上,∴p=2.
∴D(2,2).
∵点A,D的横坐标相同,∴AD∥y轴.
又∵CD∥x轴,∴AD⊥CD.
∴ ABCD是矩形.第3课时　矩形的性质与判定的综合应用
命题点 1　矩形的性质与判定的综合应用
1.下列关于矩形的说法中,正确的是 (　　)
A.对角线相等的四边形是矩形
B.对角线互相平分的四边形是矩形
C.矩形的对角线互相垂直且平分
D.矩形的对角线相等且互相平分
2.如图在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OB,若AD=4,∠AOD=60°,则AB的长为 (　　)
A.4 B.2 C.8 D.8
3.如图在△ABC中,AC的垂直平分线与AC,AB分别交于点D,F,BE⊥DF交DF的延长线于点E.已知∠A=30°,BC=2,AF=BF,则四边形BCDE的面积是 (　　)
A.2 B.3 C.4 D.4
4.如图在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,AO=OC,BO=OD,且∠AOB=2∠OAD.
(1)求证:四边形ABCD是矩形;
(2)若∠AOB∶∠ODC=4∶3,求∠ADO的度数.
5.如图在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=3,AC=6,M为斜边AB上的一个动点(不同于点A,B),过点M作MD⊥AC于点D,ME⊥BC于点E.求线段DE长的最小值.
命题点 2　矩形与菱形的简单综合
6.如图O是菱形ABCD对角线的交点,DE∥AC,CE∥BD,连接OE.若AC=12,BD=16,则OE的长为　　　　.
7.将矩形纸片ABCD按所示的方式折叠,得到菱形AECF.若AB=3,则BC的长为　　　　.
8.如图矩形EFGH的顶点E,G分别在菱形ABCD的边AD,BC上,顶点F,H在菱形ABCD的对角线BD上.
(1)求证:BG=DE;
(2)若E为AD的中点,FH=2,求菱形ABCD的周长.
9.如图在 ABCD中,AB=4 cm,BC=6 cm,∠B=60°,G是CD的中点,E是边AD上的动点(点E不与点A,D重合),且点E由点A向点D运动,速度为1 cm/s,EG的延长线与BC的延长线交于点F,连接CE,DF,设点E的运动时间为t s.
(1)求证:无论t为何值,四边形CEDF都是平行四边形.
(2)①当t=　　　　时,四边形CEDF是矩形;
②当t=　　　　时,四边形CEDF是菱形.
10.(探究题)在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,AC,BD相交于点O.若P是CD上任意一点,如①,PE⊥BD于点E,PF⊥AC于点F,则PE和PF之间有怎样的数量关系 请说明理由.
变式一:当P是AD上任意一点时,如图②,猜想PE和PF之间有怎样的数量关系,直接写出结果.
变式二:当P是DC延长线上任意一点时,如图③,猜想PE和PF之间有怎样的数量关系,写出推理过程.
答案
第3课时　矩形的性质与判定的综合应用
1.D
2.A　 ∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OD=OB,OA=OC.
又∵OA=OB,∴AC=BD.
∴四边形ABCD是矩形.∴∠DAB=90°.
∵∠AOD=60°,∴△AOD为等边三角形.
∴∠ADB=60°.∴∠ABD=30°.
在Rt△ABD中,∵AD=4,
∴BD=2AD=8.∴AB==4.
故选A.
3.A　 方法一:∵DE是AC的垂直平分线,AF=BF,∴DF是△ABC的中位线.
∴DF∥BC.∴∠C=∠ADF=90°.
又∵BE⊥DE,∴四边形BCDE是矩形.
∵∠A=30°,∠C=90°,BC=2,
∴AB=4.∴AC===2.
∴CD=.
故四边形BCDE的面积为2×=2.
故选A.
方法二:根据题意可得△BEF与△ADF全等,因此四边形BCDE的面积等于△ABC的面积.
由方法一可知∠C=90°,AC=2,故四边形BCDE的面积为×2×2=2.故选A.
4.解:(1)证明:∵AO=OC,BO=OD,
∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠AOB=∠OAD+∠ADO=2∠OAD,
∴∠OAD=∠ADO,
∴AO=DO,
则AC=BD,
∴四边形ABCD是矩形.
(2)∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,
∴∠ABO=∠ODC.
∵∠AOB∶∠ODC=4∶3,
∴∠AOB∶∠ABO=4∶3,
∴∠BAO∶∠AOB∶∠ABO=3∶4∶3,
∴∠ABO=54°.
又∵∠BAD=90°,
∴∠ADO=90°-54°=36°.
5.解:连接CM,如图.
∵MD⊥AC,ME⊥CB,
∴∠MDC=∠MEC=90°.
又∵∠ACB=90°,∴四边形CDME是矩形,
∴DE=CM.
∵∠ACB=90°,BC=3,AC=6,
∴AB==3.
当CM⊥AB时,CM最短,此时△ABC的面积=AB·CM=BC·AC,
∴CM长的最小值==,
∴线段DE长的最小值为.
6.10
7.　 设AC与EF交于点O.
∵四边形AECF为菱形,
∴∠FCO=∠ECO.
由折叠的性质可知∠ECO=∠BCE.
又∵∠FCO+∠ECO+∠BCE=90°,
∴∠FCO=∠ECO=∠BCE=30°.
∴在Rt△EBC中,EC=2EB.
又EC=AE,AB=AE+EB=3,
∴EB=1,EC=2.∴BC=.
故答案为.
8.解:(1)证明:∵四边形EFGH是矩形,
∴EH=FG,EH∥FG.
∴∠GFH=∠EHF.
∵∠BFG=180°-∠GFH,∠DHE=180°-∠EHF,
∴∠BFG=∠DHE.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC.
∴∠GBF=∠EDH.
又∵GF=EH,∴△BGF≌△DEH.
∴BG=DE.
(2)如图,连接EG.
∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC.
∵E为AD的中点,
∴AE=DE.
∵BG=DE,∴AE=BG.
∴四边形ABGE是平行四边形.
∴AB=EG.
∵四边形EFGH是矩形,
∴EG=FH=2.∴AB=2.
∴菱形ABCD的周长为2×4=8.
9. (2)①如图,过点A作AM⊥BC于点M.
∵∠B=60°,∴∠BAM=90°-∠B=30°,
∴BM=AB=2 cm.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,∠CDA=∠B=60°,DC=AB=4 cm,BC=AD=6 cm,
∴MC=BC-BM=4(cm).
∵四边形CEDF是矩形,
∴∠ECF=90°,∴EC⊥BC,
则AM∥EC,
∴四边形AECM是平行四边形,
∴AE=MC=4 cm,∴t=4.
故答案为4.
②∵四边形CEDF是菱形,
∴CE=DE.
∵∠CDE=60°,∴△CDE是等边三角形,
∴DE=CD=4 cm,
则AE=AD-DE=2(cm),
∴t=2.
故答案为2.
解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BC∥AD,即CF∥ED,∴∠FCD=∠EDG.
∵G是CD的中点,∴CG=DG.
在△FCG和△EDG中,
∵∠FCG=∠EDG,CG=DG,∠CGF=∠DGE,
∴△FCG≌△EDG(ASA),∴FG=EG.
又∵CG=DG,∴四边形CEDF是平行四边形.
(2)①4　②2
10.解:PE+PF=.理由:连接OP,如图①,设点C到BD的距离为h.
在Rt△BCD中,BD===5.
由S△BCD=BD·h=BC·CD,
得h===.
∵四边形ABCD是矩形,∴OC=OD,
由S△COD=S△DOP+S△COP,
得OD·h=OD·PE+OC·PF,
化简得PE+PF=h=.
变式一:PE+PF=.连接OP,如图②,同理可证PE+PF=.
变式二:PE-PF=.
连接OP,BP,如图③.
由S△BPD=S△COD+S四边形BOCP=S△COD+S△COP+S△BOP,
得BD·PE=OD·h+OC·PF+OB·PE.
化简得2PE=h+PF+PE,
即PE-PF=h=.

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