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苏教版（2019）高中数学一轮复习第1讲《集合与复数》（原卷版）
一、【考情分析】（新高考1卷）
年份 考点 题号 题型 分值 难度
2021 集合的运算 1 单选题 5 ★
复数的相关概念和运算 2 单选题 5 ★
2022 集合的运算 1 单选题 5 ★
复数的相关概念和运算 2 单选题 5 ★
二、【知识梳理】
集合 概念 一组对象的全体. 元素特点：互异性、无序性、确定性
关系 子集 个元素集合子集数
真子集
相等
运算 交集
并集
补集
常用数集及 其符号表示 自然数集_____、正整数集_____、整数集_____ 有理数集_____、实数集_______、复数集_____
复数 概 念 虚数单位 规定：；实数可以与它进行四则运算，并且运算时原有的加、乘运算律仍成立。
复数 形如的数叫做复数，叫做复数的实部，叫做复数的虚部。时叫虚数、时叫纯虚数
复数相等
共轭复数 实部相等，虚部互为相反数。即，则
运 算 加减法 ，
乘法 ，
除法
几何意义 复数复平面内的点向量 向量的模叫做复数的模，
三、【真题再现】
1、（2022北京卷）已知全集，集合，则（）
A. B. C. D.
2、（2022全国甲卷理）设全集，集合，则（）
A. B. C. D.
3、（2022全国甲卷文）设集合，则（）
A. B. C. D.
4、（2022全国乙卷理）设全集，集合M满足，则（）
A. B. C. D.
5、（2022全国乙卷文）集合，则（）
A. B. C. D.
6、（2022新高考1卷）若集合，则（）
A. B. C. D.
7、（2022新高考2卷）已知集合，则（）
A. B. C. D.
8、（2022浙江卷）设集合，则（）
A. B. C. D.
9、（2021新高考1卷）设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
10、（2022天津卷）设全集，集合，则（）
A. B. C. D.
11、（2022全国甲卷文）若．则（）
A. B. C. D.
12、（2022全国乙卷理） 已知，且，其中a，b为实数，则（）
A. B. C. D.
13、（2022全国乙卷文）设，其中为实数，则（）
A. B. C. D.
14、（2022上海卷）已知z＝1+i（其中i为虚数单位），则2＝　 　．
15、（2022新高考1卷）若，则（）
A. B. C. 1 D. 2
16、（2022新高考2卷）（）
A. B. C. D.
17、（2022浙江卷）已知（为虚数单位），则（）
A. B. C. D.
18、（2022北京卷）若复数z满足，则（）
A. 1 B. 5 C. 7 D. 25
19、（2022新高考1卷）已知，则（ ）
A. B. C. D.
20、（2022全国乙卷理）若，则（）
A. B. C. D.
21、（2022天津卷）已知是虚数单位，化简的结果为_______．
四、【考点精讲】
考点1 集合的基本概念
【例题1-1】（2021新高考）设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【例题1-2】（2021·江苏苏州市·高三三模）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【变式1-1】（2021·海原县第一中学高三月考）设，，则的元素个数是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【变式1-2】(2018年新课标II理)已知集合，则中元素的个数为 （）
A．9 B．8 C．5 D．4
考点2 集合的基本运算
【例题2-1】（2021·山东青岛市·高三三模）集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【例题2-2】（2021·全国高三其他模拟（理））已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
【变式2-1】（2021·全国高三其他模拟）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式2-2】（2021·山东高三其他模拟）集合，，则的元素个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
考点3 （真）子集的个数
【例题3-1】（2021年广东湛江）已知集合，则的真子集个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【例3-2】（2021·新疆乌鲁木齐市）已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【变式3-1】（2021年广东韶关）已知集合，，则的真子集个数为（ ）
A．个 B． 个 C． 个 D． 个
【变式3-2】已知集合，则满足的集合的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
考点4 韦恩图的运用
【例4-1】（2021·全国高三三模）已知全集为且为的子集，，则（ ）
A． B． C． D．
【例4-2】（多选）（2021·山东济南市·高三二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式4-1】（2021·北京高三其他模拟）已知全集，集合，那么下列等式错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】（2021·全国高三其他模拟）设集合,是全集的两个不同子集，且，则下列关系错误的是（ ）
A． B．
C． D．
考点5 参数问题
【例5-1】（2021·江西高三其他模拟）已知集合，若，则实数（ ）
A． B．2 C． D．
【例5-2】（2021·浙江高三三模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】（2021·全国高三其他模拟）集合，.若，则实数（ ）
A．-4 B．4 C．8 D．-8
【变式5-2】（2021·全国高三其他模拟）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点6 复数的相关概念
【例6-1】（2020江苏卷）已知是虚数单位，则复数的实部是_____.
【例6-2】（2021.八省联考）设为复数，．下列命题中正确的是（）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【变式6-1】（2021·福建高三模拟）已知复数，为z的共轭复数，则＝（）
A． B． C． D．
【变式6-2】（2021浙江卷）已知，，(i为虚数单位)，则（）
A． B．1 C． D．3
考点7 复数的几何意义
【例7-1】（2021全国新高考2卷）复数在复平面内对应的点所在的象限为（）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【例7-2】（2020年新课标Ⅱ理）设复数，满足，，则=__________.
【变式7-1】（2019·全国理）设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（）
A． B． C． D．
【变式7-2】（2020北京卷）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）．
A． B． C． D．
考点8 复数的运算
【例8-1】（2021全国理）已知，则（）
A. B. C. D.
【例8-2】（2020海南卷）=（）
A． B． C． D．
【变式8-1】（2020天津卷）是虚数单位，复数_________．
【变式8-2】（2021全国新高考2卷）在复平面内，复数满足，则（）
A. B. C. D.
【变式8-3】（2021全国理）设，则（）
A． B． C． D．
考点9 复数的三角形式
【例9-1】（2021·广东省高三专题练习）分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式．
（1）4；（2）2
【例9-2】（2021·重庆一中高三模拟）在复平面内，设点A P所对应的复数分别为πi cos(2t﹣)+isin(2t﹣)(i为虚数单位)，则当t由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是___________.
【变式9-1】（2021·福建省福州第一中学高三模拟）在复平面内，复数对应向量(为坐标原点)，设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（）
A．B．C．D．
【变式9-2】（2021·陕西榆林市（理））在复平面内，复数（，）对应向量（O为坐标原点），设，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：，已知，则（）
A． B．4 C． D．16
考点10 复数的最值
【例10-1】（2021·黄梅国际育才高级中学）已知复数满足，则的最大、最小值为__________.
【例10-2】（2021·辽宁大连）如果复数满足，则的最小值为______.
【变式10-1】（2021·河北唐山市·唐山一中高三模拟）已知复数满足，则的最小值是___________.
【变式10-2】（2020·江苏高三月考）对于给定的复数，若满足的复数对应的点的轨迹是圆，则的取值范围是（）
A．B．C．D．苏教版（2019）高中数学一轮复习第1讲《集合与复数》（解析版）
一、【考情分析】（新高考1卷）
年份 考点 题号 题型 分值 难度
2021 集合的运算 1 单选题 5 ★
复数的相关概念和运算 2 单选题 5 ★
2022 集合的运算 1 单选题 5 ★
复数的相关概念和运算 2 单选题 5 ★
二、【知识梳理】
集合 概念 一组对象的全体. 元素特点：互异性、无序性、确定性
关系 子集 个元素集合子集数
真子集
相等
运算 交集
并集
补集
常用数集及 其符号表示 自然数集_____、正整数集_____、整数集_____ 有理数集_____、实数集_______、复数集_____
复数 概 念 虚数单位 规定：；实数可以与它进行四则运算，并且运算时原有的加、乘运算律仍成立。
复数 形如的数叫做复数，叫做复数的实部，叫做复数的虚部。时叫虚数、时叫纯虚数
复数相等
共轭复数 实部相等，虚部互为相反数。即，则
运 算 加减法 ，
乘法 ，
除法
几何意义 复数复平面内的点向量 向量的模叫做复数的模，
三、【真题再现】
1、（2022北京卷）已知全集，集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】利用补集的定义可得正确的选项．
【详解】由补集定义可知：或，即，
故选：D．
2、（2022全国甲卷理）设全集，集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】解方程求出集合B,再由集合的运算即可得解.
【详解】由题意，，所以,
所以.
故选：D.
3、（2022全国甲卷文）设集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为，，所以．
故选：A.
4、（2022全国乙卷理）设全集，集合M满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】先写出集合,然后逐项验证即可
【详解】由题知,对比选项知，正确,错误
故选:
5、（2022全国乙卷文）集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据集合的交集运算即可解出．
【详解】因为，，所以．
故选：A.
6、（2022新高考1卷）若集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：D
7、（2022新高考2卷）已知集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】求出集合后可求.
【详解】，故，
故选：B.
8、（2022浙江卷）设集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】利用并集的定义可得正确的选项.
【详解】，故选：D.
9、（2021新高考1卷）设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】利用交集的定义可求.
【详解】由题设有，
故选：B .
10、（2022天津卷）设全集，集合，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】先求出，再根据交集的定义可求.
【详解】，故，
故选：A.
11、（2022全国甲卷文）若．则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】根据复数代数形式的运算法则，共轭复数的概念以及复数模的计算公式即可求出．
【详解】因为，所以，所以．
故选：D.
12、（2022全国乙卷理） 已知，且，其中a，b为实数，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】先算出,再代入计算,实部与虚部都为零解方程组即可
详解】
由,得,即
故选:
13、（2022全国乙卷文）设，其中为实数，则（）
A. B. C. D.
【答案】A
【分析】根据复数代数形式的运算法则以及复数相等的概念即可解出．
【详解】因为R，，所以，解得：．
故选：A.
14、（2022上海卷）已知z＝1+i（其中i为虚数单位），则2＝　 　．
【分析】直接利用共轭复数的概念得答案．
【解答】解：z＝1+i，则＝1﹣i，所以2＝2﹣2i．
故答案为：2﹣2i．
15、（2022新高考1卷）若，则（）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【分析】利用复数的除法可求，从而可求.
【详解】由题设有，故，故，
故选：D
16、（2022新高考2卷）（）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】利用复数的乘法可求.
【详解】，
故选：D.
17、（2022浙江卷）已知（为虚数单位），则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】利用复数相等的条件可求.
【详解】，而为实数，故，
故选：B.
18、（2022北京卷）若复数z满足，则（）
A. 1 B. 5 C. 7 D. 25
【答案】B
【分析】利用复数四则运算，先求出，再计算复数的模．
【详解】由题意有，故．
故选：B．
19、（2022新高考1卷）已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】利用复数的乘法和共轭复数的定义可求得结果.
【详解】因为，故，故
故选：C.
20、（2022全国乙卷理）若，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【分析】由共轭复数的概念及复数的运算即可得解.
【详解】
故选：C
21、（2022天津卷）已知是虚数单位，化简的结果为_______．
【答案】
【分析】根据复数代数形式的运算法则即可解出．
【详解】．
故答案为：．
四、【考点精讲】
考点1 集合的基本概念
【例题1-1】（2021新高考）设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】利用交集的定义可求.
【详解】由题设有，
故选：B .
【例题1-2】（2021·江苏苏州市·高三三模）设集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}，则C中元素的个数为（）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】直接求出集合C即可.
【详解】集合A={1，2，3}，B={4，5}，C={x+y|x∈A，y∈B}，所以C={5，6，7,8}.
即C中元素的个数为4.故选：B.
【变式1-1】（2021·海原县第一中学高三月考）设，，则的元素个数是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】确定集合中的元素，再得集合，即可得结论．
【详解】由题意，，中有三个元素．故选：B．
【点睛】本题考查集合的概念，确定集合的元素的属性是解题关键．
【变式1-2】(2018年新课标II理)已知集合，则中元素的个数为 （）
A．9 B．8 C．5 D．4
【答案】A
方法二：根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形，如图，易知在圆x2＋y2＝3中有9个整点，即为集合A的元素个数，故选A.
考点2 集合的基本运算
【例题2-1】（2021·山东青岛市·高三三模）集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，为实数集中去掉除1和2以外的所有正整数的实数组成的集合．，
所以．故选：D．
【例题2-2】（2021·全国高三其他模拟（理））已知集合，，则中的元素个数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可得或或或．故中含有个元素．
故选：C．
【变式2-1】（2021·全国高三其他模拟）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为，，
所以.故选：C.
【变式2-2】（2021·山东高三其他模拟）集合，，则的元素个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【解析】直线恒过定点，点在圆内，
所以直线与圆有两个交点，集合有两个元素.故选：B
考点3 （真）子集的个数
【例题3-1】（2021年广东湛江）已知集合，则的真子集个数是（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】C
因为，所以的真子集个数是故选：C．
【例3-2】（2021·新疆乌鲁木齐市）已知集合，则集合的真子集的个数为（ ）
A．3 B．4 C．7 D．8
【答案】A
【解析】圆心到直线的距离为，
即直线与圆相交，直线与圆有2个交点，中元素的个数为2个，
所以集合的真子集的个数为3个，故选：A.
【变式3-1】（2021年广东韶关）已知集合，，则的真子集个数为（ ）
A．个 B． 个 C． 个 D． 个
【答案】B
【解析】因为，，
所以，所以其真子集个数为，故选：B
【变式3-2】已知集合，则满足的集合的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【解析】由题题意可知，满足条件的集合Q有，，，共4个.故选：D．
考点4 韦恩图的运用
【例4-1】（2021·全国高三三模）已知全集为且为的子集，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，全集为，为的子集，且，如图所示，可得.
故选：C．
【例4-2】（多选）（2021·山东济南市·高三二模）图中阴影部分用集合符号可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AD
【解析】由图可知，阴影部分是集合B与集合C的并集，再由集合A求交集，或是集A与B的交集并上集合A与C的交集，所以阴影部分用集合符号可以表示为或，
故选：AD
【变式4-1】（2021·北京高三其他模拟）已知全集，集合，那么下列等式错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】已知全集，集合，，，
，则，.故选：C.
【变式4-2】（2021·全国高三其他模拟）设集合,是全集的两个不同子集，且，则下列关系错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由集合,是全集的两个不同子集，且，
当时，可得，所以A正确；
当时，可得，所以B正确；
由，可得，所以C正确，D不正确.
故选：D.
考点5 参数问题
【例5-1】（2021·江西高三其他模拟）已知集合，若，则实数（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】A
【例5-2】（2021·浙江高三三模）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知，又，
则，解得故选：A
【变式5-1】（2021·全国高三其他模拟）集合，.若，则实数（ ）
A．-4 B．4 C．8 D．-8
【答案】C
【解析】因为集合，所以.又，
，所以4是方程的一个根，即，
解得.当时，，此时，
符合题意，所以.故选:C.
【变式5-2】（2021·全国高三其他模拟）已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，即，解得，则.
因为，所以.因为，所以.
故选:B.
考点6 复数的相关概念
【例6-1】（2020江苏卷）已知是虚数单位，则复数的实部是_____.
【答案】3
【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值.
【详解】∵复数∴∴复数的实部为3.故答案为：3.
【例6-2】（2021.八省联考）设为复数，．下列命题中正确的是（）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】BC
【分析】取特殊值法可判断AD错误，根据复数的运算及复数模的性质可判断BC.
【解析】由复数模的概念可知，不能得到，例如，A错误；
由可得，因为，所以，即，B正确；
因为，，而，所以，所以，C正确；取，显然满足，但，D错误.故选：BC
【变式6-1】（2021·福建高三模拟）已知复数，为z的共轭复数，则＝（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由复数，得到，进而得到，根据复数的除法运算法则，即可求解.
【详解】由题意，复数，可得，则.故选：B.
【变式6-2】（2021浙江卷）已知，，(i为虚数单位)，则（）
A． B．1 C． D．3
【答案】C
【分析】首先计算左侧的结果，然后结合复数相等的充分必要条件即可求得实数的值.
【详解】，
利用复数相等的充分必要条件可得：.故选：C.
考点7 复数的几何意义
【例7-1】（2021全国新高考2卷）复数在复平面内对应的点所在的象限为（）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【分析】利用复数的除法可化简，从而可求对应的点的位置.
【详解】，所以该复数对应的点为，
该点在第一象限，故选：A
【例7-2】（2020年新课标Ⅱ理）设复数，满足，，则=__________.
【答案】
【分析】方法一：令，，根据复数的相等可求得，代入复数模长的公式中即可得到结果.
方法二：设复数所对应的点为,, 根据复数的几何意义及复数的模，判定平行四边形为菱形，，进而根据复数的减法的几何意义用几何方法计算.
【详解】方法一：设，，
，
，又，所以，，
.
故答案为：.
方法二：如图所示，设复数所对应的点为,,
由已知,
∴平行四边形为菱形，且都是正三角形，∴，
∴.
【变式7-1】（2019·全国理）设复数z满足，z在复平面内对应的点为(x，y)，则（）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】则．故选C．
【变式7-2】（2020北京卷）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）．
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意得，.故选：B.
考点8 复数的运算
【例8-1】（2021全国理）已知，则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【分析】由已知得，根据复数除法运算法则，即可求解.
【详解】，.故选：B.
【例8-2】（2020海南卷）=（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接计算出答案即可.
【详解】故选：B
【变式8-1】（2020天津卷）是虚数单位，复数_________．
【答案】
【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.
【详解】.故答案为：.
【变式8-2】（2021全国新高考2卷）在复平面内，复数满足，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【分析】由题意利用复数的运算法则整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可得：.故选：D.
【变式8-3】（2021全国理）设，则（）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.
【详解】设，则，则，
所以，，解得，因此，.故选：C.
考点9 复数的三角形式
【例9-1】（2021·广东省高三专题练习）分别指出下列复数的模和辐角的主值，并将复数表示成代数形式．
（1）4；（2）2
【答案】（1）答案见解析；（2）答案见解析.
【分析】（1）复数4为复数的三角形式，再写出其模和辐角的主值，然后再转化为的形式；（2）先把复数，转化为三角形式，再写出其模和辐角的主值，然后再转化为的形式；
【详解】（1）复数4模r＝4，辐角的主值为θ＝.
.
（2），
复数的模为2，辐角的主值为θ＝，
.
【例9-2】（2021·重庆一中高三模拟）在复平面内，设点A P所对应的复数分别为πi cos(2t﹣)+isin(2t﹣)(i为虚数单位)，则当t由连续变到时，向量所扫过的图形区域的面积是___________.
【答案】
【分析】当时，求得点P的坐标为，当时，点P的坐标为，向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和，即向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积，从而求得向量所扫过的图形区域的面积.
【详解】由题意可得，点P在单位圆上，点A的坐标为(0，π)，如图：当时，点P的坐标为，当时，点P的坐标为，向量所扫过的图形区域的面积是的面积与弓形的面积之和.由于，关于实轴对称，所以的面积等于的面积(因为这两个三角形同底且等高)，故向量所扫过的图形区域的面积是扇形的面积.
因为∠=2×=，所以扇形的面积为等于.故答案为：.
【变式9-1】（2021·福建省福州第一中学高三模拟）在复平面内，复数对应向量(为坐标原点)，设，以射线为始边，为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理导出了复数乘方公式：，则（）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】将复数化为的形式，再利用棣莫弗定理解得答案.
【详解】解：根据复数乘方公式：，得
.故选：D.
【变式9-2】（2021·陕西榆林市（理））在复平面内，复数（，）对应向量（O为坐标原点），设，以射线Ox为始边，OZ为终边旋转的角为，则，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：，，则，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：，已知，则（）
A． B．4 C． D．16
【答案】D
【分析】根据复数乘方公式：，直接求解即可.
【详解】，.故选：D
考点10 复数的最值
【例10-1】（2021·黄梅国际育才高级中学）已知复数满足，则的最大、最小值为__________.
【答案】6，4
【解析】因的几何意义是以原点为圆心,为半径的圆,而的几何意义是圆上的动点与复平面上的定点的距离.所以的最大值是,最小值是
【例10-2】（2021·辽宁大连）如果复数满足，则的最小值为______.
【答案】
【解析】设，由，则，即，
即复数在复平面内的点是以为圆心，以为半径的圆，如图：
，即、两点间的距离，
圆心到点的距离，所以到点的距离的最小值为.
故答案为：
【变式10-1】（2021·河北唐山市·唐山一中高三模拟）已知复数满足，则的最小值是___________.
【答案】
【分析】设，由可得圆的方程，再由的几何意义即原点到圆上的最短距离，即可得解.
【详解】设，，
由可得，故对应点的轨迹为圆心,半径为的圆C，
表示原点到圆C上的最短距离，而原点在圆内，由原点到圆心的距离，
所以原点到圆C上的最短距离为，故答案为：.
【变式10-2】（2020·江苏高三月考）对于给定的复数，若满足的复数对应的点的轨迹是圆，则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】求出圆心坐标和半径，用表示点到1对应的点的距离，由这点到圆心的距离加减半径可得．
【详解】满足的复数对应的点的轨迹是圆，圆心对应的复数是，半径为2，
表示点到1对应的点的距离，又，∴，故选：A．

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