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直线的斜率与倾斜角
一、知识点
1．直线的倾斜角
倾斜角的范围为0°≤α＜180°.
2．斜率公式
(1)直线l的倾斜角为α≠90°，则斜率k＝tanα，当α＝90°时，直线斜率不存在．一条直线l的倾斜角一定存在，但是斜率k不一定存在.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1≠x2，则l的斜率k＝.
3．倾斜角α与斜率k的关系
(1)当α∈且由0增大到时，k的值由0增大到＋∞.
(2)当α∈时，k也是关于α的单调函数，当α在此区间内由增大到π(α≠π)时，k的值由－∞趋近于0(k≠0)．
二、典型例题
【例1】．直线sinθ x﹣y+1＝0的倾斜角的取值范围是（　　）
A．[0，π） B． C． D．
【解答】：直线sinθ x﹣y+1＝0的斜率k＝sinθ∈[﹣1，1]，
设直线的倾斜角为α，则﹣1≤tanα＜0或0≤tanα≤1，
因为或0．所以直线sinθ x﹣y+1＝0的倾斜角的取值范围是[0，]∪[，π）．
故选：B．
【例2】已知直线l经过点P（1，1），且与线段MN相交，又M（2，―3），N（―3，―2），求直线l的斜率k的取值范围．
【解】:如图所示，直线l相当于绕着点P在直线PM与PN间旋转，l’是过P点且与x轴垂直的直线．
当l从PN位置转到l’位置时，倾斜角增大到90°，而，所以．
又当l从l’位置转到PM位置时，倾斜角大于90°，
由正切函数的性质知，k≤kPM=―4，所以k≤―4．
综上所述，．
三、巩固练习
1. 下列说法中，正确的是（ ）
A．直线的倾斜角为，则此直线的斜率为tan
B．直线的斜率为tan，则此直线的倾斜角为
C．若直线的倾斜角为，则sin＞0
D．任一直线都有倾斜角，但它不一定有斜率
2．过点A(－，)与点B(－，)的直线的倾斜角为(　　)
A．45° B．135° C．45°或135° D．60°
3．若图中直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则(　　)
A．k14．将直线l向右平移4个单位，再向下平移5个单位后仍回到原来的位置，则此直线的斜率为(　　)
A． B． C．－ D．－
5．设直线l过坐标原点，它的倾斜角为α，如果将l绕坐标原点按逆时针方向旋转45°，得到直线l1，那么l1的倾斜角为(　　)
A．α＋45°
B．α－135°
C．135°－α
D．当0°≤α＜135°时，倾斜角为α＋45°；当135°≤α＜180°时，倾斜角为α－135°
6．在等腰三角形MON中，MO＝MN，点O(0，0)，M(－1，3)，点N在x轴的负半轴上，则直线MN的方程为(　　)
A．3x－y－6＝0 B．3x＋y＋6＝0 C．3x－y＋6＝0 D．3x＋y－6＝0
在平面直角坐标系中，正三角形ABC的边BC所在直线的斜率是0，则AC，AB所在直线的斜率之和为 (　　)
A．－2 B．0 C. D．2
8. 直线l经过A（2，1），B（1，m2）（m∈R）两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9. 直线的倾斜角的范围是（ ）
A． B． C． D．
10. 直线x－(a2＋2)y＋1＝0的倾斜角不可能为(　　)
A. 　　　B. 　　　C. 　　　D.
11．(多选题)若两直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，则下列四个命题中错误的是(　　)
A．若α1＜α2，则两直线的斜率：k1＜k2
B．若α1＝α2，则两直线的斜率：k1＝k2
C．若两直线的斜率：k1＜k2，则α1＜α2
D．若两直线的斜率：k1＝k2，则α1＝α2
12．设P为x轴上的一点，A(－3，8)，B(2，14)，若直线PA的斜率kPA是直线PB的斜率kPB的2倍，则点P的坐标为________．
13．若经过点P(1－a，1＋a)和Q(3，2a)的直线的倾斜角为锐角，则实数a的取值范围是________．
14．直线l经过点(－1，0)，倾斜角为150°，若将直线l绕点(－1，0)逆时针旋转60°后，得到直线l′，则直线l′的倾斜角为________，斜率为________．
15．若a∈N，又三点A（a，0），B（0，a+4），C（1，3）共线，求a的值．
已知实数x，y满足2x+y=8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值．
已知函数f(x)＝log2(x＋1)，a>b>c>0，试比较，，的大小．
四、答案与解析
1.【解】:对于A，当=90°时，直线的斜率不存在，所以A错；
对于B，虽然直线的斜率为tan，但只有当∈[0°，180°）时，才是此直线的倾斜角，所以B错；
对于C，当直线平行于x轴时，=0°，而sin0°=0，所以C错．所以应选D．
2.【解】:因为斜率k＝，所以倾斜角为45°．
3．【解】:由题图可知，k1<0，k2>0，k3>0，且l2比l3的倾斜角大，所以k14．【解】:设点P(a，b)是直线l上的任意一点，当直线l按题中要求平移后，点P也做同样的平移，平移后的坐标为(a＋4，b－5)，由题意知，这两点都在直线l上，所以直线l的斜率为k＝ ．
5.【解】:根据题意，画出图形，如图所示．A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过图形可知：
当0°≤α＜135°时，l1的倾斜角为α＋45°；
当135°≤α＜180°时，l1的倾斜角为45°＋α－180°＝α－135°．
6.【解】:因为MO＝MN，所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数，所以kMN＝－kMO＝3，所以直线MN的方程为y－3＝3(x＋1)，即3x－y＋6＝0，选C.
7.B
8.【解】: ，
所以或．选D
9.【解】:由直线，所以直线的斜率为．
设直线的倾斜角为，则．
又因为，即， 所以．
10.【解】:设直线x－(a2＋2)y＋1＝0的倾斜角为θ，θ∈[0，π)，则tan θ＝∈.
又tan ＝，故θ不可能为 .选D
11.【解】:当α1＝30°，α2＝120°，满足α1＜α2，但是两直线的斜率k1＞k2，选项A说法错误；
当α1＝α2＝90°时，直线的斜率不存在，无法满足k1＝k2，选项B说法错误；
若直线的斜率k1＝－1，k2＝1，满足k1＜k2，但是α1＝135°，α2＝45°，不满足α1＜α2，选项C说法错误；
若k1＝k2说明斜率一定存在，则必有α1＝α2，选项D正确．
12.【解】:设P(x，0)，由条件kPA＝2kPB，则，解得x＝－5，故P(－5，0)．
13．【解】:由k＝得a＞1或a＜－2．
14．【解】:如图所示．因为直线l的倾斜角为150°，
所以绕点(－1，0)逆时针旋转60°后，所得直线l′的倾斜角α＝(150°＋60°)－180°＝30°，
斜率k＝tan α＝tan 30°＝．
15．【解】:因为A、B、C三点共线，所以直线AC、BC的斜率相等
所以，解之得：a=±2．
16.【解】:如图所示，由已知，点P（x，y）在线段AB上运动，其中A（2，4），B（3，2），而，其几何意义为直线OP的斜率．由图可知kOB≤kOP≤kOA，而，kOA=2．
故所求的的最大值为2，最小值为．
17.【解】：画出函数的草图如图，可视为过原点直线的斜率．
由图象可知：.

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