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直线的点斜式方程
一 、知识点
(一)直线的点斜式方程
方程y-y0=k(x-x0)由直线上一定点及其斜率决定，称为直线的点斜式方程，简称点斜式.
要点诠释：
1.点斜式方程的前提是直线的斜率存在.当直线倾斜角为90°时，直线斜率不存在，直线方程为:x=x1；
2.当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1；
3.表示直线去掉一个点P0(x0,y0).
(二)直线的斜截式方程
如果直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0,b)，则可得直线方程：y=kx+b，称为直线的斜截式方程，简称斜截式.直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距.
要点诠释：
1.b为直线l在y轴上截距，截距可以取一切实数，即可以为正数、零、负数；距离必须大于或等于零；
2.斜截式方程可由过点(0，b)的点斜式方程得到；
3.当时，斜截式方程就是一次函数的表示形式.
4.斜截式是点斜式的特殊情况.
二、典型例题
【例1】直线l过点P（1，4）分别交x轴的正方向和y轴正方向于A、B两点．
①当|OA|+|OB|最小时，求l的方程．
②当|PA||PB|最小时，求l的方程．
【解】：①因为直线l过点P（1，4）分别交x轴的正方向和y轴正方向于A、B两点，
所以直线l的斜率k＜0，设直线l的方程为y﹣4＝k(x﹣1)，
则A(,0)，B(0,﹣k+4)，
所以|OA|+|OB|＝(k)+5≥25＝9，
当且仅当k＝﹣2时取等号，所以l的方程为y﹣4＝﹣2(x﹣1)，
即2x+y﹣6＝0．
②由①知|PA||PB|
4()≥48，当且仅当k＝﹣1时取等号，
所以l的方程为y﹣4＝﹣(x﹣1)，即x+y﹣5＝0．
三、巩固练习
1．直线y－2＝－(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为(　　)
A．60°，2 B．120°，2－ C．60°，2－ D．120°，2
2．直线y－b＝2(x－a)在y轴上的截距为(　　)
A．a＋b B．2a－b C．b－2a D．|2a－b|
3．在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与y＝x＋a正确的是(　　)
A　　　　B　　　　　C　　　　D
4．直线y＝kx＋b通过第一、三、四象限，则有 (　　)
A．k>0，b>0 B．k>0，b<0 C．k<0，b>0 D．k<0，b<0
5．直线y＝2x＋1绕着其上一点(3，4)，逆时针旋转90°后得到直线l，则直线l的点斜式方程为(　　)
A．y－4＝2(x－3) B．y－4＝(x－3) C．y－4＝－(x－3) D．y－4＝－2(x－3)
6．(多选题)下列说法正确的有(　　)
A．若直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则(k，b)在第二象限
B．直线y＝ax－3a＋2过定点(3，2)
C．过点(2，－1)斜率为－的点斜式方程为y＋1＝－(x－2)
D．斜率为－2，在y轴截距为3的直线方程为y＝－2x±3
7．在等腰三角形AOB中，|AO|＝|AB|，点O(0，0)，A(1，3)，点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为(　　)
A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3) C．y－3＝3(x－1) D．y－3＝－3(x－1)
8．在y轴上的截距为2，且斜率为－3的直线的斜截式方程为________．
9．一条直线经过点A(2，－)，并且它的倾斜角等于直线y＝x的倾斜角的2倍，则这条直线的点斜式方程是________．
10．若直线l：y＝kx＋2k＋1，那么直线过定点________，若当－3＜x＜3时，直线l上的点都在x轴上方，则实数k的取值范围是________．
11．已知直线y＝x＋k与两坐标轴围成的三角形的面积不小于1，则实数k的取值范围是________．
12．求倾斜角是直线y＝－x＋1的倾斜角的，且分别满足下列条件的直线方程．
(1)经过点(，－1)；
(2)在y轴上的截距是－5．
13．已知直线l：y＝kx＋2k＋1.
(1)求证：直线l恒过一个定点；
(2)当－314．已知直线l过点(1，0)，且与直线y＝(x－1)的夹角为30°，求直线l的方程．
四、答案与解析
1．[解]：由方程y－2＝－(x＋1)得y＝－x＋2－，
所以斜率k＝－，在y轴上的截距为2－，倾斜角为120°．选B.
2．[解]：由y－b＝2(x－a)，得y＝2x－2a＋b，故在y轴上的截距为b－2a．选C。
3．[解]：A中，y＝ax，a＞0，y＝x＋a的图象错误；B中，y＝ax，a＞0，y＝x＋a的图象错误；
D中，y＝ax，a＜0，y＝x＋a的图象错误．选C
4．B
5. [解]：逆时针旋转90°，即与y＝2x＋1垂直，由于y＝2x＋1的斜率为2，则所求直线的斜率为－，
又因过点(3，4)，故直线方程为y－4＝－(x－3)．选C
[解]：A中，直线y＝kx＋b经过第一、二、四象限，则k＜0，b＞0，所以(k，b)在第二象限，正确．
B中，直线可写为y－2＝a(x－3)，所以直线过定点(3，2)，正确．
C中根据点斜式方程知正确．
D中，由斜截式方程得y＝－2x＋3，故D错误．选ABC
[解]：由条件知，直线AO与AB的倾斜角互补，斜率互为相反数，所以kAO＝3，kAB＝－3，
由点斜式方程得y－3＝－3(x－1)．选D
8．[解]：因为直线的斜率为－3．又截距为2，所以由斜截式方程可得y＝－3x＋2．
9．[解]：因为直线y＝x的倾斜角为30°，所以所求直线的倾斜角为60°，即斜率k＝tan 60°＝．
又该直线过点A(2，－)，故所求直线为y－(－)＝(x－2)．
10．[解]：由y＝kx＋2k＋1得y－1＝k(x＋2)，由直线的斜截式方程知，直线过定点(－2，1)．
又设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，
若－3＜x＜3，直线l上的点都在x轴上方，则需满足,
即,解得－≤k≤1．
所以实数k的取值范围是．
11．[解]：令y＝0，则x＝－2k．令x＝0，则y＝k，
则直线与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝|k|·|－2k|＝k2．
由题意知，三角形的面积不小于1，可得k2≥1，
所以k的取值范围是k≥1或k≤－1．
12．[解]：因为直线y＝－x＋1的斜率k＝－，所以其倾斜角α＝120°，
由题意，得所求直线的倾斜角α1＝α＝30°，
故所求直线的斜率k1＝tan 30°＝．
(1)因为所求直线经过点(，－1)，斜率为，
所以所求直线方程是y＋1＝(x－)．
(2)因为所求直线的斜率是，在y轴上的截距为－5，
所以所求直线的方程为y＝x－5．
13．[解]：(1)由y＝kx＋2k＋1，得y－1＝k(x＋2)．
由直线方程的点斜式可知，直线恒过定点(－2,1)．
(2)设函数f(x)＝kx＋2k＋1，显然其图象是一条直线(如图所示)，
若使当－3需满足,即解得－≤k≤1.
所以，实数k的取值范围是－≤k≤1.
14．[解]：因为直线y＝(x－1)的斜率为，所以其倾斜角为60°，且过点(1，0)．
又直线l与直线y＝(x－1)的夹角为30°，且过点(1，0)，由图可知，直线l的倾斜角为30°或90°．
故直线l的方程为x＝1或y＝(x－1)．

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