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直线的两点式与截距式方程
一、知识点
(一)直线的两点式方程
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线方程为，称为直线的两点式方程，简称两点式.
要点诠释：
1.这个方程由直线上两点确定；
2.当直线没有斜率(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时，不能用两点式求方程；
3.直线方程的表示与P1(x1,y1),P2(x2,y2)选择的顺序无关.
4．与整式形式(y-y1)(x2-x1)=(y2-y1)(x-x1)不等价，要避免讨论，可直接假设两点式的整式形式．
(二)直线的截距式方程
若直线l在x轴、y轴上的截距分别为a,b()，则过AB两点的直线方程为，这个方程称为直线的截距式方程.
要点诠释：
1.截距式的条件是，不能表示过原点的直线以及与坐标轴平行的直线；
2.当直线在x轴、y轴上的截距相等或具有倍数关系时，一般要分截距为零和不为零两种情况求解，当出现截距之和或横截距大于纵截距时，此时横、纵截距均不为零，可直接用待定系数法求解．
二、巩固练习
1．已知点A(1，1)，B(3，5)，若点C(―2，y)在直线AB上，则y的值是(　　)
A．―5 B．2.5 C．5 D．―2.5
2．过点P(1，3)，且与x、y轴正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是(　　)
A．3x＋y－6＝0 B．x＋3y－10＝0 C．3x－y＝0 D．x－3y＋8＝0
3．已知两点A(3，0)，B(0，4)，动点P(x，y)在线段AB上运动，则xy(　　)
A．无最小值，且无最大值 B．无最小值，但有最大值
C．有最小值，但无最大值 D．有最小值，且有最大值
4．(多选题)下列说法正确的是(　　)
A．不经过原点的直线都可以表示为
B．若直线与两轴交点分别为A、B且AB的中点为(4，1)，则直线l的方程为
C．过点(1，1)且在两轴上截距相等的直线方程为y＝x或x＋y＝2
D．直线3x－2y＝4的截距式方程为
5．直线(a－1)y=(3a+2)x－1不通过第二象限，那么a的取值范围是（ ）．
A．a＞1 B．a＜0或a≥1 C．－1＜a＜2 D．a≥1
6.直线在y轴上的截距是 (　　)
A．|b| B．－b2 C．b2 D．±b
7.直线与在同一坐标系中的图象可能是 (　　)
8．已知A(3，0)，B(0，4)，动点P(x0，y0)在线段AB上移动，则4x0＋3y0的值为________．
9．过点(0，3)，且在两坐标轴上截距之和等于5的直线方程是________．
10．经过点P(3,2)，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为________．
11．若A(2，5)，B(4，1)，则直线AB的方程为________；设点P(x，y)在线段AB上，则xy的最大值为________．
12．已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a＝________.
13．求过点（4，―3）且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线l的方程。
过点P(4,1)作直线l分别交x轴，y轴正半轴于A，B两点，O为坐标原点．
(1)当△AOB面积最小时，求直线l的方程；
(2)当|OA|＋|OB|取最小值时，求直线l的方程．
15．已知直线l过点P(4，1)．
(1)若直线l过点Q(－1，6)，求直线l的方程；
(2)若直线l在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍，求直线l的方程．
答案与解析
1．【解析】：点A(1，1)，B(3，5)，直线AB的方程为：y－1＝(x－1)，即2x―y―1＝0，点C(―2，y)在直线AB上，得―4―y―1＝0，解得y＝―5．选A
2．【解析】：设方程为，所以，所以
故所求的直线方程为：3x＋y－6＝0．选A
3．【解析】：线段AB的方程为(0≤x≤3)，所以y＝4，所以xy＝4x＝－＋3．
所以当x＝时，xy取最大值3；当x＝0或x＝3时，xy取最小值0．选D
4.【解析】：A中，与坐标轴垂直的直线也不能用截距式表示，故A错；B中，AB的中点为(4，1)，
那么A(8，0)，B(0，2)的直线方程为，故B对；C中过原点时，直线为y＝x，不过原点时直线为
x＋y＝2，故C对；D中，方程3x－2y＝4可化为，故D对．选BCD
5．【解析】:截距均不为零时，由原式可得，依题意>0且<0；若直线垂直于x轴，即a=1时，方程为，不通过第二象限，所以a≥1．选D
6.B
7.B
8．【解析】：AB所在直线方程为，则，即4x0＋3y0＝12．
9．【解析】：因为过点(0，3)，所以直线在y轴上的截距为3，又截距之和为5，即在x轴上的截距为2，
由截距式方程得即3x＋2y－6＝0．
10．【解析】：设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，
所以l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.
若a≠0，则设l的方程为，
因为l过点(3,2)，所以，所以a＝5，所以l的方程为x＋y－5＝0，
综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.
11.【解析】：由两点式得，整理为2x＋y－9＝0．
又P(x，y)在AB上，所以x＞0，y＞0，所以xy＝(2x)·y≤＝＝，所以xy的最大值为．
12.【解析】：由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，
所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝＋，
当a＝时，四边形的面积最小，故实数a的值为.
13．【解析】：解法一：设直线在x轴、y轴上的截距分别为a、b。
（1）当a≠0，b≠0时，设的方程为。
因为点（4，－3）在直线上，所以。
若a=b，则a=b=1，直线方程为x+y=1。
若a=―b，则a=7，b=―7，此时直线方程为x―y=7。
（2）当a=b=0时，直线过原点，且过点（4，―3），所以直线的方程为3x+4y=0。
综上知，所求直线方程为x+y―1=0或x―y―7=0或3x+4y=0。
解法二：设直线的方程为y+3=k(x―4)，
令x=0，得y=―4k―3；令y=0，得。
又因为直线在两坐标轴上的截距的绝对值相等。所以|-4k-3|=||，
解得k=1或k=－1或。
所以所求的直线方程为x―y―7=0或x+y―1=0或3x+4y=0。
14．【解析】：设直线l：(a＞0，b＞0)，
因为直线l经过点P(4,1)，所.
(1)＝1≥2，所以ab≥16，当且仅当a＝8，b＝2时等号成立，
所以当a＝8，b＝2时，△AOB的面积最小，
此时直线l的方程为，即x＋4y－8＝0.
(2)因为，a＞0，b＞0，
所以|OA|＋|OB|＝a＋b＝(a＋b)·＝5＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝6，b＝3时等号成立，
所以当|OA|＋|OB|取最小值时，直线l的方程为，即x＋2y－6＝0.
15.【解析】：(1)l过点P(4，1)，Q(－1，6)．由两点式可得，整理得x＋y－5＝0，
(2)当在两轴上的截距均为0时，l的方程为y＝x，即x－4y＝0．
当直线l在两轴上的截距均不为零时，根据条件可设为，
把(4，1)代入，解得a＝．所以l的方程为2x＋y－9＝0．
综上可知，直线l的方程为2x＋y－9＝0或x－4y＝0.

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