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直线的一般式方程
一．知识点
(一)、直线方程的一般式
方程Ax+By+C=0(其中A、B不全为零)叫做直线方程的一般式．
要点诠释：
1．当B≠0时，方程可变形为，它表示过点，斜率为的直线．
当B=0，A≠0时，方程可变形为Ax+C=0，即，它表示一条与x轴垂直的直线．
2．在平面直角坐标系中，一个关于x、y的二元一次方程对应着唯一的一条直线，反过来，一条直线可以对应着无数个关于x、y的一次方程．
(二)、直线方程的五种形式的比较
名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围
点斜式 y―y1=k(x―x1) （x1，y1）是直线上一定点，k是斜率 不垂直于x轴
斜截式 y=kx+b k是斜率，b是直线在y轴上的截距 不垂直于x轴
两点式 （x1，y1），（x2，y2）是直线上两定点 不垂直于x轴和y轴
截距式 a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距 不垂直于x轴和y轴，且不过原点
一般式 Ax+By+C=0（A2+B2≠0） A、B、C为系数 任何位置的直线
(三)巧设直线方程的方法
(1)已知一点坐标，可采用点斜式设直线方程，但要注意讨论直线斜率不存在的情况；
(2)已知两点，则可采用两点式设直线方程，但要注意讨论分母为零的情况；
(3)当题目涉及直线在x轴、y轴上的截距时，可采用截距式设直线方程，但要注意莫遗漏直线在x轴、y轴上的截距为0的情况；
(4)已知直线的斜率或倾斜角，考虑利用点斜式或斜截式设直线方程．
[注意]：
(1)当已知直线经过点(a，0)，且斜率不为0时，可将直线方程设为x＝my＋a；
(2)当已知直线经过点(0，a)，且斜率存在时，可将直线方程设为y＝kx＋a；
(3)当直线过原点，且斜率存在时，可将直线方程设为y＝kx.
二、典型例题
【例1】.直线l过点(1，2)和第一、二、四象限，若直线l的横截距与纵截距之和为6，求直线l的方程．
【解】：(1)因为直线过点P′(1，0)，所以m2－2m－3＝2m－6．解得m＝3或m＝1．
又因为m＝3时，直线l的方程为y＝0，不符合题意，所以m＝1．
(2)由斜率为1，得,解得m＝．
(3)直线过定点P(－1，－1)，则－(m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝2m－6，解得m＝或m＝－2．
【例2】.已知△ABC中，∠ABC＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，求点P到AC、BC的距离乘积的最
大值．
【解答】：因为∠ABC＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，依题意，作图如下：
BC在x轴上，B点与原点O重合，点A（0，b）在y轴正半轴上，
依题意知，b，
设点P（0，m）（0＜m），
因为直线AC的方程为1，即x+3y﹣30，
所以点P（0，m）到直线x+3y﹣30的距离（即点P（0，m）到AC的距离）
d|m|（m），
又点P（0，m）到BC的距离为m，
所以点P到AC、BC的距离乘积f（m）＝m （m） （当且仅当m时取“＝”）．
所以点P到AC、BC的距离乘积的最大值为．
三、巩固练习
1．将直线化成一般式方程为(　　)
A．y＝－x＋4 B．y＝－(x－3) C．4x＋3y－12＝0 D．4x＋3y＝12
2．直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角为45°，则m的值为 (　　)
A．－2 B．2 C．－3 D．3
3．下列直线中，斜率为－，且不经过第一象限的是(　　)
A．3x＋4y＋7＝0 B．4x＋3y＋7＝0 C．4x＋3y－42＝0 D．3x＋4y－42＝0
4．如果A·B＞0且B·C＜0，那么直线Ax＋By＋C＝0不经过(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
5．一条光线从点A处射到点B(0，1)后被y轴反射，则反射光线所在直线的方程为(　　)
A．y＝2x＋1 B．y＝－2x＋1 C．y＝x－ D．y＝－x－
6.直线l1：ax－y＋b＝0，l2：bx－y＋a＝0(a≠0，b≠0，a≠b)在同一坐标系中的图形大致是 (　　)
7．(多选题)关于直线l：x－y－1＝0，下列说法正确的有(　　)
A．过点(，－2) B．斜率为 C．倾斜角为60° D．在y轴上的截距为1
8．直线l：mx＋(2m－1)y－6＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积为3，则m的值为(　　)
A．2　　B．－　　C．3　　D．2或－
9．已知直线l的斜率是直线2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y轴上的截距是直线2x－3y＋12＝0在y轴上的截距的2倍，则直线l的方程为________．
10．已知直线l的倾斜角为α，sin α＝，且这条直线l经过点P(3，5)，则直线l的一般式方程为________．
11．设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2且|PA|＝|PB|，若直线PA的斜率为，那么直线PB的斜率为________．
12．已知直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，且A－2B＋3C＝0，则直线的方程是________．
13．设直线l的方程为(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根据下列条件分别求m的值．
(1)在x轴上的截距为1；
(2)斜率为1；
(3)经过定点P(－1，－1)．
14.已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.
(1)求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限；
(2)为使直线不经过第二象限，求a的取值范围．
15．一河流同侧有两个村庄A、B，两村庄计划在河上共建一水电站供两村使用，已知A、B两村到河边的垂直距离分别为300 m和700 m，且两村相距500 m，问：水电站建于何处送电到两村的电线用料最省？
三、答案与解析
1．【解】：直线化成一般式方程为4x＋3y－12＝0．选C
2. D
3．【解】：将一般式化为斜截式，斜率为－的有B，C两项．又y＝－x＋14过点(0，14)，
即直线过第一象限，所以只有B项正确．选B
【解】：由A·B＞0且B·C＜0，可得直线Ax＋By＋C＝0的斜率为－＜0，直线在y轴上的截距－＞0，
故直线不经过第三象限，故选C．
5．【解】：由光的反射定律可得，点A关于y轴的对称点M在反射光线所在的直线上．
再由点B(0，1)也在反射光线所在的直线上，用两点式可求得反射光线所在的直线方程为，
即y＝－2x＋1．选B
C
7．【解】：对于A，将(，－2)代入l：x－y－1＝0，可知不满足方程，故A不正确；
对于B，由x－y－1＝0，可得y＝x－1，所以k＝，故B正确；
对于C，由k＝，即tan α＝，可得直线倾斜角为60°，故C正确；
对于D，由x－y－1＝0，可得y＝x－1，直线在y轴上的截距为－1，故D不正确．选BC
【解】：在mx＋(2m－1)y－6＝0中，令x＝0，得y＝，令y＝0，得x＝，
即交点分别为，，
据题意：，解得m＝2或m＝－．选D
9．【解】：因为＝3＝，所以k＝12．
10．【解】：由2x－3y＋12＝0知，斜率为，在y轴上截距为4．根据题意，直线l的斜率为，
在y轴上截距为8，所以直线l的方程为x－3y＋24＝0．
11．【解】：因为sin α＝，所以cos α＝±＝±，所以直线l的斜率为k＝tan α＝±，
又因为直线l经过点P(3，5)，所以直线l的方程为y－5＝(x－3)或y－5＝－(x－3)，
所以直线l的一般式方程为3x－4y＋11＝0或3x＋4y－29＝0．
12．【解】：设直线l的横截距为a，由题意可得纵截距为6－a，所以直线l的方程为，
因为点(1，2)在直线l上，所以，解得a＝2或a＝3．
当a＝2时，直线的方程为2x＋y－4＝0，直线经过第一、二、四象限；
当a＝3时，直线的方程为x＋y－3＝0，直线经过第一、二、四象限．
综上所述，所求直线方程为2x＋y－4＝0或x＋y－3＝0．
13.【解析】：(1)证明　将直线l的方程整理为y－＝a(x－)，
所以l的斜率为a，且过定点A(，)．而点A(，)在第一象限，故l过第一象限．
所以不论a为何值，直线l总经过第一象限．
(2)解：直线OA的斜率为k＝.
因为l不经过第二象限，所以所以a≥3.
14.【解析】：因为直线Ax＋By＋C＝0的斜率为5，所以B≠0，且－＝5，即A＝－5B，
又A－2B＋3C＝0，所以－5B－2B＋3C＝0，即C＝B．
此时直线的方程化为－5Bx＋By＋B＝0．即－5x＋y＋＝0，
故所求直线的方程为15x－3y－7＝0．
15．【解析】：如图，以河流所在直线为x轴，y轴通过点A，建立直角坐标系，
则点A(0，300)，B(x，700)，设B点在y轴上的射影为H，则x＝|BH|＝＝300，故点B(300，700)，设点A关于x轴的对称点A′(0，－300)，则直线A′B的斜率k＝，
直线A′B的方程为y＝x－300．令y＝0得x＝90，得点P(90，0)，
故水电站建在河边P(90，0)处电线用料最省．

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