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点到直线的距离与平行线间的距离
一、知识点
1.点到直线的距离公式
点到直线的距离为.
要点诠释：
（1）使用点到直线的距离公式的前提条件是：把直线方程先化为一般式方程；
（2）此公式常用于求三角形的高、两平行线间的距离及下一章中直线与圆的位置关系的判断等.
2.两平行线间的距离
直线与直线的距离为.
要点诠释：
(1)两条平行线间的距离，可以看作在其中一条直线上任取一点，这个点到另一条直线的距离，此点一般可以取直线上的特殊点，也可以看作是两条直线上各取一点，这两点间的最短距离；
(2)利用两条平行直线间的距离公式时，一定先将两直线方程化为一般形式，且两条直线中x，y的系数分别是相同的以后，才能使用此公式.
二、典型例题
【例1】．已知直线l1:x+3y-3m2=0和直线l2:2x+y-m2-5m=0相交于点P（m∈R）．
（1）用m表示直线l1与l2的交点P的坐标；
（2）当m为何值时，点P到直线x+y+3=0的距离最短？并求出最短距离．
【解析】：（1）解方程组，得x=3m，y=m2-m，
所以直线l1与l2的交点P的坐标为．
设点P到直线x+y+3=0的距离为d，
.
所以当m=―1时，即P点坐标为（―3，2）时，点P到直线x+y+3=0的距离最短，最短距离为．
【例2】．两条互相平行的直线分别过点A（6，2）和B（―3，―1），并且各自绕着A、B旋转，如果两条平行直线间的距离为d．
（1）求d的变化范围；
（2）当d取最大值时，求两条直线的方程．
【解析】：（1）①当两条直线的斜率不存在时，即两直线分别为x=6和x=－3，则它们之间的距离为9．
②当两条直线的斜率存在时，设这两条直线方程为l11：y―2=k(x―6)，l2：y+1=k(x+3)，即l1：kx―y―6k+2=0，l2：kx―y+3k―1=0．
所以，即(81―d2)k2―54k+9―d2=0．
因为k∈R，且d≠0，d＞0，∴Δ=542―4(81―d2)(9―d2)≥0，即且d≠9．
综合①②可知，所求的d的变化范围为．
（2）由右图可知，当d取最大值时，两直线垂直于AB．而，
所以所求的直线的斜率为―3．
故所求的直线方程分别为y―2=―3(x―6)和y+1=―3(x+3)，即3x+y―20=0和3x+y+10=0．
三、巩固练习
1．动点P在直线x＋y－4＝0上，O为原点，则|OP|的最小值为(　　)
A．　　 B．2　 C．　 D．2
2．两条平行直线6x-4y+5=0与的距离是(　　)
A． B． C． D．
3．(2020·全国Ⅲ卷)点(0，－1)到直线y＝k(x＋1)距离的最大值为(　　)
A．1 B． C． D．2
4．(多选题)已知直线l经过点(3，4)，且点A(－2，2)，B(4，－2)到直线l的距离相等，则直线l的方程可能为(　　)
A．2x＋3y－18＝0 B．2x－y－2＝0 C．x＋2y＋2＝0 D．2x－3y＋6＝0
5．斜率为1的直线与两直线2x+y―1=0和x+2y―2=0分别交于A、B两点，则线段AB的中点坐标满足方程（ ）．
A．x―y+1=0 B．x+y―1=0 C．x―2y+3=0 D．x―2y―3=0
6．(多选题)两条平行线分别经过点A(6，2)，B(－3，－1)，下列可能是这两条平行线间的距离的是(　　)
A．4　　B．7　　C．9　　D．11
7．(2009全国卷Ⅰ)若直线m被两平行线l1:x-y+1=0与l2:x-y+3=0所截得的线段的长为，则m的倾斜角可以是（ ）
① ② ③ ④ ⑤
其中正确答案的序号是 ．（写出所有正确答案的序号）
8.已知m，n，a，b∈R，且满足3m+4n＝6，3a+4b＝1，则的最小值为（　　）
A． B． C．1 D．
9．过点A(2,1)的所有直线中，距离原点最远的直线方程为______________．
10.与直线l1：3x＋2y－6＝0和直线l2：6x＋4y－3＝0等距离的直线方程是 ．
11.点到直线的距离的最小值为_______.
12.过点P（1，2）的直线l与两点A（2，3），B（4，﹣5）的距离相等，则直线l的方程为　　．
13.过点P(3,0)有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x－y－2＝0与l2：x＋y＋3＝0之间的线段恰被点P平分，则直线l的方程为________．
14.已知直线l的斜率为－，且直线l经过直线kx－y＋2k＋5＝0所过的定点P．
(1)求直线l的方程；
(2)若直线m平行于直线l，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．
15.证明：等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于定值．
l1，l2是分别经过A(1,1)，B(0，－1)两点的两条平行直线，
(1)当l1，l2间的距离最大时，求直线l1的方程；
(2)当l1，l2间的距离为1时，求l2的方程．
四、答案与解析
1．【解】：设原点O到直线x＋y－4＝0的距离为d，由点到直线距离的性质知d＝|OP|min，
因此，|OP|min＝，故选B．
2．【解】：由6x-4y+5=0，得，
由，得3x-2y=0，
则两条平行直线的距离是．故选：D．
【解】：直线y＝k(x＋1)过定点(-1,0),当过(-1,0)与(0,-1)的直线垂直于y＝k(x＋1)时距离最大，故选：B.
【解】：当直线l的斜率不存在时，显然不满足题意．当直线l的斜率存在时，
设直线l的方程为y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0．
由已知得，所以k＝2或k＝－，
所以直线l的方程为2x－y－2＝0或2x＋3y－18＝0．故选AB.
5．【解】：特殊值代入，设斜率为1的直线为y=x，则它与2x+y―1=0的交点为，
与x+2y―2=0的交点为，代入得B．
6．【解】：当两直线的斜率不存在时，两直线方程分别为x＝6，x＝－3，则d＝9．
当两直线的斜率存在时，设两直线方程分别为y－2＝k(x－6)与y＋1＝k(x＋3)，
即kx－y＋2－6k＝0，kx－y＋3k－1＝0，
所以d＝．可得(81－d2)k2－54k＋9－d2＝0．
当81－d2＝0，即d＝9时，k＝－，所以d＝9成立．
当d≠9时，由k∈R，可得Δ＝(－54)2－4(81－d2)(9－d2)≥0，
即d4－90d2≤0，所以0＜d≤3且d≠9．
综上所述，d∈(0，3]．故应选ABC．
【解】：如下图
正确答案①或⑤
8.【解】：此题可理解为点A（m，n）与点B（a，b）分别在直线l1：3x+4y＝6与直线l2：3x+4y＝1上，求A、B两点间的距离的最小值，
因为l1∥l2，所以．故选：C．
9.【解】：2x＋y－5＝0
10.【解】：点P(2m,m2)到直线x+y+7=0的距离．故选：D．
11.【解】：l2：6x＋4y－3＝0化为3x＋2y－＝0，所以l1与l2平行，
设与l1，l2等距离的直线l的方程为3x＋2y＋c＝0，则|c＋6|＝|c＋|，解得c＝－，
所以l的方程为12x＋8y－15＝0.
12．【解】：当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝1，不成立；
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y﹣2＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+2＝0，
因为直线l与两点A（2，3），B（4，﹣5）的距离相等，
所以，解得k＝﹣4或k，
所以直线l的方程为﹣4x﹣y+4+2＝0或x﹣y，整理，得：4x+y﹣6＝0或3x+2y﹣7＝0．
故答案为：4x+y﹣6＝0或3x+2y﹣7＝0．
13．【解】：设直线l与l1，l2的交点分别为A，B，设A(x1，y1)，则B(6－x1，－y1)．
由题意得，解得，即A.
直线l的方程为，即8x－y－24＝0.]
14.【解】：(1)kx－y＋2k＋5＝0，即k(x＋2)＋(5－y)＝0，所以过定点P(－2，5)，
又直线l的斜率为－．因此其方程为y－5＝－(x＋2)，即l：3x＋4y－14＝0．
(2)设直线m：y＝－x＋b，则3＝ b＝－或．
所以直线m为y＝－x－，或y＝－x＋．
15．【解】:设出点P的坐标，由点P到直线y=x的距离公式求出PM的长，PN的长为点P的横坐标．
证明：设△ABC是边长为2a的等边三角形，以BC边所在直线为x轴，过BC边的中点O且垂直于BC的直线为y轴，建立如右图所示的直角坐标系，则点，B（―a，0），C（a，0），
直线AB的方程为，
直线AC的方程为，
直线BC的方程为y=0．
设P（x0，y0）是△ABC内任意一点，
则点P到AB的距离，点P到BC的距离|PE|=|y0|，
点P到AC的距离．
因为点P在直线AB，AC的下方，且在BC的上方，
所以|PD|+|PE|+|PF|=+=（定值）．
因此，等边三角形内任意一点到三边的距离之和等于定值．
16.【解】:(1)当两条平行直线与A，B两点连线垂直时，两条平行直线间的距离最大．
又kAB＝＝2，所以两条平行直线的斜率为-，
所以直线l1的方程是y－1＝(x－1)，即x＋2y－3＝0.
(2)当l1⊥x轴时，l1方程为x＝1，l2方程为x＝0，l1与l2间距离为1，满足题意．
当l1不垂直于x轴时，设l1斜率为k，则l1，l2方程分别为y－1＝k(x－1)，y＋1＝kx，
所以l1与l2间距离为d＝＝1，解得k＝.所以l2方程为y＝x－1，
综上所述，l2方程为x＝0或3x－4y－4＝0.

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