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第4章第4讲第1课时 开普勒定律和万有引力定律
课前复习
一、开普勒行星运动定律
1．定律内容
(1)开普勒第一定律：所有行星绕太阳运动的轨道都是（ ），太阳处在椭圆的一个（ ）上。
(2)开普勒第二定律：对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的（ ）相等。
(3)开普勒第三定律：所有行星轨道的（ ）的三次方跟它的（ ）的二次方的比都相等，即（ ）。
2．适用条件：适用于宇宙中一切环绕同一中心天体的运动。
二、万有引力定律及应用
1．内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的（ ）成正比，与它们之间距离r的（ ）成反比。
2．公式：F＝（ ），其中G叫作引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其值由卡文迪什通过扭秤实验测得。
3．适用条件：适用于两个（ ）或均匀球体；r为两质点或均匀球体球心间的距离。
三、判断题
1．只有天体之间才存在万有引力。(　　)
2．行星在椭圆轨道上的运行速率是变化的，离太阳越远，运行速率越小。(　　)
3．人造地球卫星绕地球运动，其轨道平面一定过地心。(　　)
课堂讲解
考点一、开普勒三定律的理解与应用　　
1．微元法解读开普勒第二定律：行星在近日点、远日点时的速度方向与两点连线垂直，若行星在近日点、远日点到太阳的距离分别为a、b，取足够短的时间Δt，则行星在Δt时间内的运动可看作匀速直线运动，由Sa＝Sb知va·Δt·a＝vb·Δt·b，可得va＝。行星到太阳的距离越大，行星的速率越小，反之越大。
2．行星绕太阳的运动通常按匀速圆周运动处理。
3．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动。
4．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，故该定律只能用在同一中心天体的两星体之间。
例1、(2017·全国卷Ⅱ)(多选)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0。若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中(　　)
A．从P到M所用的时间等于
B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大
C．从P到Q阶段，速率逐渐变小
D．从M到N阶段，万有引力对它先做负功后做正功
变式1、(人教版必修第二册·P58·T4节选)地球的公转轨道接近圆，但彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆，如图所示，天文学家哈雷成功预言哈雷彗星的回归，哈雷彗星最近出现的时间是1986年，预测下次飞近地球将在2061年左右。请根据开普勒行星运动定律估算哈雷彗星轨道的半长轴是地球公转半径的多少倍。
考点二、万有引力定律的理解及简单应用
1．万有引力与重力的关系
地球对物体的万有引力F可分解为：重力mg、提供物体随地球自转的向心力F向。
(1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。
(2)在两极上：G＝mg0。
(3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。
越靠近南、北两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，通常可认为万有引力近似等于重力，即＝mg。
2．星球上空的重力加速度g′
设星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度为g′，则mg′＝，得g′＝，所以＝。
3．万有引力的“两点理解”和“两个推论”
(1)两点理解
①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力。
②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力。
(2)两个推论
①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0。
②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的球体其他部分物质的万有引力，等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G。
万有引力定律的表达式F＝G适用于计算质点或匀质球体间的万有引力。当物体间的作用力不符合万有引力公式的适用条件时，可以把物体分成若干部分，求出两物体每部分之间的万有引力，然后求它们的合力。
例2、(2020·全国卷Ⅰ)火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为(　　)
A．0.2 B．0.4
C．2.0 D．2.5
变式2、(2021·山东高考)从“玉兔”登月到“祝融”探火，我国星际探测事业实现了由地月系到行星际的跨越。已知火星质量约为月球的9倍，半径约为月球的2倍，“祝融”火星车的质量约为“玉兔”月球车的2倍。在着陆前，“祝融”和“玉兔”都会经历一个由着陆平台支撑的悬停过程。悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力大小之比为(　　)
A．9∶1 B．9∶2
C．36∶1 D．72∶1
（教材必修二P54页第3题）大麦哲伦云和小麦哲伦云是银河系外离地球最近的星系（很遗憾，在北半球看不见）。大麦哲伦云的质量为太阳质量的1010倍，即2.0×1040 kg，小麦哲伦云的质量为太阳质量的109倍，两者相距5×104光年，求它们之间的引力。
变式3、（教材必修二P71页B组第3题）有一质量为m、半径为R、密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m′的质点。现从m中挖去半径为21R的球体，如图7-1所示，则剩余部分对m′的万有引力F 为多少？
课后巩固
1、关于万有引力公式F＝G，以下说法中正确的是(　　)
A．公式只适用于星球之间的引力计算，不适用于质量较小的物体
B．当两物体间的距离趋近于0时，万有引力趋近于无穷大
C．两物体间的万有引力也遵从牛顿第三定律
D．公式中引力常量G的值是牛顿规定的
2、（教材必修二P48页第1题）地球公转轨道的半径在天文学上常用来作为长度单位，叫作天文单位，用来量度太阳系内天体与太阳的距离。（这只是个粗略的说法。在天文学中，“天文单位”有严格的定义，用符号AU表示。）已知火星公转的轨道半径是1.5 AU，根据开普勒第三定律，火星公转的周期是多少个地球日？
3、地球质量大约是月球质量的81倍，一个飞行器在地球与月球之间。当地球对它的引力
和月球对它的引力大小相等时，该飞行器距地心的距离与距月心的距离之比为多少？
4、（2020·全国卷）火星的质量约为地球质量的，半径约为地球半径的，则同一物体在火星表面与在地球表面受到的引力的比值约为（　　）
A．0.2 B．0.4 C．2.0 D．2.5
5、理论上已经证明：质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。现假设地球是一半径为R、质量分布均匀的实心球体，O为球心，以O为原点建立坐标轴Ox，如图所示。一个质量一定的质点(假设它能够在地球内部移动)在x轴上各位置受到的引力大小用F表示，则F随x的变化关系图像正确的是(　　)
6、(2021·全国甲卷)2021年2月，执行我国火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105 s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105 m。已知火星半径约为3.4×106 m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7 m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为(　　)
A．6×105 m B．6×106 m
C．6×107 m D．6×108 m
本节课反馈（学生意见和建议反馈本节课掌握情况）：
参考答案
课前复习
椭圆 焦点 面积 半长轴 公转周期 ＝k
乘积 二次方 G 质点
判断题 1.×　2.√　3.√
课堂讲解
例1、答案 CD
解析 由开普勒第二定律可知，相等时间内，太阳与海王星连线扫过的面积都相等，A错误；由机械能守恒定律知，从Q到N阶段，除万有引力做功之外，没有其他的力对海王星做功，故机械能守恒，B错误；从P到Q阶段，万有引力做负功，动能转化成海王星的势能，所以动能减小，速率逐渐变小，C正确；从M到N阶段，万有引力与速度的夹角先是钝角后是锐角，即万有引力对它先做负功后做正功，D正确。
变式1、答案　17.8
解析　设地球绕太阳公转的轨道半径为R0，周期为T0，哈雷彗星绕太阳公转的轨道半长轴为a，周期为T，由题意可知T＝2061年－1986年＝75年，根据开普勒第三定律＝k，有＝，则＝≈17.8。
答案 B
解析 　设该物体质量为m，则在火星表面有F火＝G，在地球表面有F地＝G，由题意知＝，＝。联立以上各式可得＝·＝×＝0.4，故B正确。
变式2、答案　B
解析　悬停时，“祝融”与“玉兔”所受着陆平台的作用力等于各自所受的万有引力，根据F＝G，可得＝××2＝9×2×＝，故选B。
答案 1.19×1028N
解析 根据万有引力定律得=1.19×1028N。
变式3、答案
解析 球体没有被挖时，对m'的万有引力为；
被挖出的半径为R的小球，其质量为m，对m’的万有引力
所以剩余部分对m’的万有引力为F=F1-F2=-=.
课后巩固
1、答案　C
解析　万有引力公式F＝G适用于质点或均匀球体间引力的计算，当两物体间距离趋近于0时，两个物体就不能看作质点，故F＝G已不再适用，所以不能说万有引力趋近于无穷大，故A、B错误；两物体间的万有引力也遵从牛顿第三定律，C正确；G的值是卡文迪什通过扭秤实验测得的，D错误。
答案 671天
解析 行星绕太阳的运动按圆轨道处理，根据开普勒第三定有
即所以；所以天。
答案 9
解析：当地球对它的引力和月球对它的引力大小相等时，，化简可得，。
4、答案 B
解析 设物体质量为m，则在火星表面有 ；在地球表面有
由题意知有，；故联立以上公式可得
故选B。
5、答案　A
解析　根据题意，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，当质点在地球的内部离球心x处时，受到地球的万有引力即为半径等于x的同心球体对质点的万有引力，所以F＝G＝Gx，其中ρ为地球的密度，m为质点的质量；当质点在地球球面或球面以外，离球心x处时，地球可以看成质量集中于球心的质点，对质点的万有引力F＝G，其中M为地球的质量。综上所述，当x6、答案　C
解析　设沿火星表面运动的卫星的绕行周期为T0，则有G＝mR，在火星表面处有＝mg，联立可得T0＝2π ；设“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最近距离为d1，最远距离为d2，则停泊轨道的半长轴为a＝，由开普勒第三定律可知＝，由以上各式联立，可得d2＝2－d1－2R≈6×107 m，故C正确。

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