资源简介

1.2 有理数
1.2.1 有理数
学习目标
1.掌握有理数的概念，会对有理数按一定标准进行分类，培养分类能力.(重点)
2.了解分类标准与分类结果的相关性，初步了解“集合”的意义.(重点)
3.体会分类是数学上常用的处理问题的方法.(难点)
自主学习
学习任务一 体会有理数的分类
1.像1，2，3，…这样的数叫做 .
2.数0叫做 .
3.像-1，-2，-3，…这样的数叫做 .
4.像，，，0.1，5.32，…这样的数叫做 .
5.像-0.5，-，-，-，-150.25，…这样的数叫做 .
6. 、 、 统称为整数.
7. 、 统称为分数.
8. 、 统称为有理数.
学习任务二 有理数的分类
合作探究
把下列各数填在相应的括号里：
-7，，2 015，0，-，+8.4，-5％，-0.010 3，-0..
(1)整数集合：{ …}；
(2)负数集合：{ …}；
(3)非负数集合：{ …}；
(4)负分数集合：{ …}；
(5)有理数集合：{ …}.
当堂达标
1.下列说法正确的有( )
①0是最小的整数；②一个有理数，不是正数，就是负数；③有理数包括整数、零、分数；④若a是正数，则-a是负数；⑤自然数一定是正数；⑥整数包括正整数和负整数；⑦非正数就是负数和0.
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
2.给出一个数-107.987及下列判断：①这个数不是分数，也不是整数；②这个数是负数也是分数；③这个数不是有理数；④这个数是一个负小数，也是负分数.其中判断正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.在-1.2，，0，-π，7.010 010 001…(每两个1之间0的个数逐次增加)中，有理数共有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
4.定义：A＝{b，c，a}，B＝{c}，A∪B＝{a，b，c}.若M＝{-1}，N＝{0，1，-1}，则M∪N＝{ }.
5.下列各数：-3，6，-0.5，0.2，-，0，19，-72，12%，其中正数有 个，负数有 个，整数有 个，分数有 个.
6.下列四个数中，是正整数的是( )
A.-1 B.0 C. D.1
7.请按要求填出相应的2个有理数：
(1)既是正数也是分数： ；
(2)既不是负数也不是分数： ；
(3)既不是分数也不是非负数： .
8.把下列各数分别填入相应的大括号内：
-7，3.5，-3.141 592 6，π，0，，0.03，-3，-0. ，10，-.
自然数集合：{ …}；
整数集合：{ …}；
正分数集合：{ …}；
非正数集合：{ …}；
有理数集合：{ …}.
课后提升
1.把几个数用大括号括起来，中间用逗号断开，如{1，2，3}，{-2，7，8，19}，我们称之为集合，称其中的数为集合的元素.如果一个集合满足：当有理数a是集合的元素时，有理数8-a也必是这个集合的元素，这样的集合我们称为“好的集合”.
(1)请你判断集合{1，2}，{1，4，7}是不是“好的集合”；
(2)请你写出满足条件的两个“好的集合”.
2.如图1所示，图中的阴影部分表示什么数 你能写出3个符合要求的数吗 图1
反思感悟
我的收获：
　　 　　
我的易错点：
　　 　　
参考答案
当堂达标
1.C 2.B 3.C 4.0，1，-1 5.4 4 5 4 6.D
7.(1)， (2)2，3 (3)-10，-8(答案不唯一，符合条件即可)
8.解：自然数集合：{0，10，…}；整数集合：{-7，0，10，-，…}；正分数集合：{3.5，，0.03，…}；非正数集合：{-7，-3.141 592 6，0，-3，-0.，-，…}；有理数集合：{-7，3.5，-3.141 592 6，0，，0.03，-3，-0.，10，-，…}.
课后提升
1.解：(1)集合{1，2}不是“好的集合”，这是因为8-1＝7，8-2＝6，6，7都不是{1，2}中的数，所以{1，2}不是“好的集合”.{1，4，7}是“好的集合”，这是因为8-1＝7，8-4＝4，8-7＝1，而1，4，7都是{1，4，7}中的数，所以{1，4，7}是“好的集合”.
(2)答案不唯一.集合{4}，{3，4，5}，{2，6}，{1，2，4，6，7}，{0，8}等都是“好的集合”.
2.解：表示比10小的正整数，如3、4、5,5、6、7，7、8、9等.(答案不唯一)
1.2.2 数　轴
学习目标
1.掌握数轴的概念，理解数轴上的点和有理数的关系.(重点)
2.会正确地画出数轴，利用数轴上的点表示有理数.(重点)
3.领会类比、数形结合的重要思想方法.(重、难点)
自主学习
学习任务一 画图描述位置
1.阅读教材第7页中的问题，思考以下问题，并画图表示.
(1)马路用什么几何图形代表
(2)汽车站牌起什么作用
(3)你是怎么确定问题中各物体的位置的
2.图1中是我们经常见到的温度计，你们会读出显示的温度吗
℃ ℃ ℃
图1
3.根据已有的生活经验，请找出一支温度计在外观上具有哪些不可缺少的特征
4.我们看到温度计上有好多数：正整数、负整数、零，而这些数都是有理数.大家想想能不能把所有的有理数都放在温度计上呢
学习任务二 观察温度计
阅读教材第8页的思考，观察温度计的结构，想一想温度计与上面所画的直线有什么共同点
学习任务三 画数轴
阅读教材第8页，思考如下问题.
1.数轴的三要素是 、 、 .
2.(1)画数轴的步骤是什么
(2)原点起什么作用
(3)你是怎样理解选取适当的长度为单位长度的
3.归纳：一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的 边，与原点的距离是 个单位长度；表示数-a的点在原点的 边，与原点的距离是 个单位长度.
学习任务四 用数轴上的点表示数
画出数轴，并用数轴上的点表示下列各数.
2，-1.5，0，3.5，-4.
合作探究
1.通过观察数轴，你发现了什么
.
2.你能利用数轴比较有理数的大小吗
.
3.比较下列各组数的大小，并用“＜”把它们连接起来.
(1)3，-5，0；(2)-1.5，0，-4，1.2.
当堂达标
1.数轴上与原点的距离是5的点有 个，表示的数是 .
2.若数轴上表示-1和3的两点分别是点A和点B，则点A和点B之间的距离是( )
A.-4 B.-2 C.2 D.4
3.在数轴上点A表示-4，如果把原点O向正方向移动1个单位长度，那么在新数轴上点A表示的数是( )
A.-5 B.-4 C.-3 D.-2
4.下列数轴的画法正确的是( )
A. B.
C. D.
5.已知三个数a，b，c，其中a>0，b>0，a>b，c<0，则这三个数在数轴上表示的位置可能是( )
A. B.
C. D.
6.在数轴上，表示-3的点在原点 侧，距原点的距离是 ，表示-4的点在原点 侧，距原点的距离是 ，所以表示-4的点位于表示-3的点的 侧.
7.在数轴上，一动点先向左移动2个单位长度到达点B，再向右移动5个单位长度到达点C，若点C表示的数为1，则点A表示的数为( )
A.7 B.3 C.-3 D.-2
8.大于-4而不大于3的整数有 个，它们分别是 .
9.如图2所示，点A表示的数是-4，请回答下列问题：
(1)在数轴上标出原点O；
(2)指出点B所表示的数；
(3)在数轴上找出一点C，使它与点B的距离为2个单位长度，点C表示什么数
图2
10.借助数轴，回答下列问题.
(1)从-1到1有3个整数，分别是 ；
(2)从-2到2有5个整数，分别是 ；
(3)从-3到3有 个整数，分别是 ；
(4)从-200到200有 个整数；
(5)从-n到n(n为正整数)有 个整数.
课后提升
操作探究：已知在纸面上有一数轴(如图3所示).
操作一：
(1)折叠纸面，使1表示的点与-1表示的点重合，则-3表示的点与 表示的点重合.
操作二：
(2)折叠纸面，使-1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：
①5表示的点与 表示的点重合.
②若数轴上A，B两点之间的距离为11(A在B的左侧)，且A，B两点经折叠后重合，求A，B两点表示的数分别是多少
图3
反思感悟
我的收获：
　　 　　
我的易错点：
　　 　　
参考答案
当堂达标
1.2 ±5 2.D 3.A 4.C 5.B
6.左 3 左 4 左
7.D 8.7 -3，-2，-1，0，1，2，3
9.解：(1)如图4所示.
图4
(2)4. (3)2或6.
10.(1)-1，0，1 (2)-2，-1，0，1，2 (3)7 -3，-2，-1，0，1，2，3 (4)401 (5)(2n+1)
课后提升
解：(1)∵ 1与-1重合，∴ 折痕点为原点，∴ -3表示的点与3表示的点重合.故答案为3.
(2)①∵ 表示-1的点与表示3的点重合，∴ 可确定对称点是表示1的点，∴ 5表示的点与-3表示的点重合.故答案为-3.
②由题意可得，A，B两点距离对称点的距离为11÷2＝5.5.∵ 对称点是表示1的点，∴ A，B两点表示的数分别是-4.5，6.5.故答案为-4.5，6.5.
1.2.3 相反数
学习目标
1.借助数轴理解相反数的意义，懂得数轴上表示相反数的两个点关于原点对称，会求有理数的相反数.(重点)
2.经历概念的生成、应用，体会相反数的意义，简化数的符号，学习观察、归纳、概括的策略与方法.(重点)
3.通过师生、生生合作学习，促进交流，激发兴趣.(难点)
自主学习
学习任务一 体会互为相反数的两个数的异同
1.请把下列四个数分成两类，再说说你这样分的理由.
5，-2，-5，2.
.
2.2和-2，5和-5，在形式上的不同点为 .
学习任务二 相反数的概念
像5和-5，2和-2这样，只有 叫做互为相反数.
一般地，a和 互为相反数.特别地，0的相反数是 .
学习任务三 双重符号的化简
因为a的相反数是-a，那么
(1)+2的相反数为 ，即 ；
(2)-的相反数为 ，即 ；
(3)-2的相反数为 ，即 .
合作探究
1.你能利用相反数的概念，得出多重符号的化简规律吗
2.设a表示一个数，-a一定是负数吗
当堂达标
1.(2019·山东威海中考)-3的相反数是( )
A.-3 B.3 C. D.-
2.(江苏南通期中)下列各组数中，互为相反数的是( )
A.3与 B.+9与+(-9) C.-0.5与-(+0.5) D.2与-(-2)
3.下列判断正确的是( )
A.符号不同的两个数互为相反数 B.互为相反数的两个数一定是一正一负
C.相反数等于本身的数只有零 D.互为相反数的两个数一定不相等
4.一个数在数轴上的对应点与它的相反数在数轴上的对应点的距离是5个单位长度，那么这个数是( )
A.5或-5 B.或- C.5或- D.-5或
5.在如图1所示的数轴上标出2，-4.5，0与它们的相反数.
图1
6.化简下列各数：
(1)-(-16)；(2)-(+20)；(3)+(+50)；
(4)- ；(5)+(-6.09)；(6)-[-(+3)]；
(7)+[-(-1)]；(8)- .
7.填空：
(1)如果a＝-13，那么-a＝ ；
(2)如果-a＝-5.4，那么a＝ ；
(3)-(-5)的相反数是 ；- 的相反数是 .
(4)若a是负数，则-a是 数；若-a是负数，则a是 数.
8.数轴上点A表示的数为-5，点B，C所表示的数互为相反数，且点B到点A的距离为4，求B，C两点对应的数分别是什么
课后提升
1.已知-[-(-a)]＝2，求a的相反数.
2.已知有理数a，b所对应的点在数轴上的位置如图2所示.
(1)在数轴上表示出a，b相反数的位置.
(2)若有理数b对应的点与其相反数对应的点相距30个单位长度，求b的值.
图2
反思感悟
我的收获：
　　 　　
我的易错点：
　　 　　
参考答案
当堂达标
1.B 2.B 3.C 4.B
5.解：如图1所示.
图1
6.解：(1)-(-16)＝16；(2)-(+20)＝-20；
(3)+(+50)＝50；(4)- ＝3；
(5)+(-6.09)＝-6.09；(6)-[-(+3)]＝3；
(7)+[-(-1)]＝1；(8)- ＝-.
7.(1)13 (2)5.4 (3)-5， (4)正 正
8.点B对应的数为-1或-9，
点C对应的数为1或9.
课后提升
1.解：∵ -[-(-a)]＝2，∴ -a＝2，∴ a＝-2.
2.解：(1)如图2所示.
图2
(2)由题意得-b-b＝30，
解得b＝-15.
∴ b表示的数为-15.
1.2.4 绝对值
学习目标
1.会求一个数的绝对值，能利用数轴及绝对值的知识，比较两个有理数的大小.(重点)
2.经历绝对值概念的形成，初步体会数形结合的思想方法，丰富解决问题的策略.(重点)
3.渗透数形结合等思想方法，培养概括能力.(难点)
自主学习
学习任务一 绝对值的概念
1.上节课我们学习了相反数，请画一条数轴，并标出表示6，-2，0及它们的相反数的点.
2.大家设想一下，如果在你刚才所画数轴上表示+6和-6的两点处各有一只蚂蚁以相同的速度向原点爬去，会是谁先爬到呢 讨论一下，答案是 .原因是 .
3.+6与-6互为相反数，只有 不同，但表示它们的点到 是相等的.
4.在数轴上，一个数所对应的点到原点的距离叫做该数的 ，如+2的绝对值等于2，记作｜+2｜＝2.
学习任务二 绝对值的性质
阅读教材第11页.填表：
数a a的相反数-a a的绝对值｜a｜
205
1 000
0
-
-1 000
并归纳：由绝对值的定义知：
(1)如果a>0，那么|a|＝ ；即一个正数的绝对值是 ；
(2)如果a＜0，那么｜a｜＝ ；即一个负数的绝对值是 ；
(3)如果a＝0，那么|a|＝ ；即零的绝对值是 .
所以，非负数的绝对值等于它本身；非正数的绝对值等于它的相反数.
学习任务三 有理数的大小比较
在如图1所示数轴上标出表示-1.5，-3，-1，-5的点.
图1
(1)它们的绝对值分别是 ， ， ， ，这四个数的大小你一定知道.
(2)-1.5，-3，-1，-5呢 试填在下边横线上：
> > > .
规律总结：
几个负数比较大小时，绝对值大的反而小.
合作探究
1.结合图1，思考对于正数、0和负数这三类数，它们之间有什么样的大小关系 两个负数之间如何比较大小
2.比较有理数的大小还有什么方法
当堂达标
1. -的绝对值是( )
A.-5 B. C.5 D.-
2.数1，0，-，-2中最大的是 ( )
A.1 B.0 C. - D. -2
3.(19-20·天津耀华中学月考)下列各组数中，相等的一组是( )
A.-2和-(-2) B.-|-2|和-(-2)
C.2和|-2| D.-2和|-2|
4.下列选项中，比-2 ℃低的温度是( )
A.-3 ℃ B.-1 ℃ C.0 ℃ D.1 ℃
5.在0，-1，2，-3这四个数中，绝对值最小的是( )
A.0 B.-1 C.2 D.-3
6.绝对值最小的有理数是 ，绝对值等于它本身的数是 ，绝对值等于它的相反数的数是 .
7. 的相反数是( )
A. B.- C.3 D.-3
8.下列说法正确的是( )
A.如果a＝b，那么a＝|b| B.如果|a|＝|b|，那么a＝b
C.如果a>|b|，那么a>b D.如果a>b，那么|a|>|b|
9.如果｜a｜＝4，那么a等于 .
10.(1)绝对值小于6的整数有 个，它们分别是 .
(2)绝对值大于3且小于6的整数是 .
11.已知｜a｜＝5，|b|＝3，且a>0，b>0，求a+b的值.
12.已知｜a-2｜+|b-3|＝0，求a，b的值.
课后提升
1.已知a，b的关系是a<0，b>0且|b|>|a|，请在数轴上表示出数a，b的大致位置.
2.在数轴上，有两个点到原点的距离分别是2和3，问这两点之间的距离是多少 说明理由.
反思感悟
我的收获：
　　 　　
我的易错点：
　　 　　
参考答案
当堂达标
1.B 2.A 3.C 4.A 5.A 6.0 非负数 非正数
7.B 8.C 9.±4
10.(1)11 -5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，3，4，5
(2)4，5，-4，-5
11.8 12.a＝2，b＝3.
课后提升
1.解：如图4所示.
图4
2.解：因为两个点到原点的距离分别是2和3，
所以这两个点表示的数分别为2或-2，3或-3，
所以可分为两种情况：
①两点位于原点同侧，这两点表示的数分别为2，3或-2，-3，所以它们之间的距离为1.
②两点位于原点两侧，这两点表示的数分别为2，-3或-2，3，所以它们之间的距离为5.
所以两点之间的距离为1或5.

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