资源简介

11.2　与三角形有关的角
11.2.1　三角形的内角
学习目标
1.学会利用拼合的方法探究三角形的内角和，并证明.(重点)
2.掌握三角形内角和定理并利用它求角的问题.(难点)
3.掌握直角三角形的两个锐角互余，能利用有两个角互余的三角形是直角三角形，对三角形形状进行判定.(重点)
自主学习
学习任务一　三角形内角和定理
1.在三角形硬纸片上标出三个内角的编码.
2.如图1，把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出∠BCD的度数，可得到∠A+∠B+∠ACB＝180°.
　
图1
3.剪下∠A，按照图2所示拼在一起，从而可得到∠A+∠B+∠ACB＝180°.
　
图2 图3
4.把∠B和∠C剪下按照图3所示拼在一起，用量角器量一量∠MAN的度数，会得到什么结果？
结论：
三角形三个内角的和等于　　　　.
5.如果我们不用剪、拼办法，可不可以用推理的方法来证明上面的结论呢？
已知：△ABC，证明∠A+∠B+∠C＝180°，你有几种方法？
(1)结合图4，作出辅助线，写出你的推理过程.(填理由)
图4
(2)结合图5，作出辅助线，写出你的推理过程.(不填理由)
图5
(3)结合图6，作出辅助线，写出你的推理过程.(不填理由)
图6
结论：三角形内角和定理：　　　.
学习任务二　直角三角形的性质与判定
1.直角三角形两个锐角　　　　；直角三角形可以用符号　　　　表示，直角三角形ABC可以写成　　　　.
如图7所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，
那么∠A+∠B＝　　　　.
2.有　　　　　　　　　　的三角形是直角三角形.
如图7所示，在△ABC中，如果　　　　，那么△ABC是直角三角形.
图7
结论：直角三角形的性质：　　　　. 直角三角形的判定：　　　　.
合作探究
小组合作探究下列问题：
1.如图8，在△ABC中，∠BAC＝40°，∠B＝75°，AD是△ABC的角平分线，求∠ADB的度数.
图8 　　
2.如图9是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？
图9 　　
3.如图10所示，∠C＝∠D＝90°，AD，BC相交于点E. ∠CAE与∠DBE有什么关系？
图10　 　
当堂达标
1.如图11是一块三角形木板的残余部分，量得∠A＝100°，∠B＝40°，这块三角形木板另外一个角∠C的度数是(　　)
A.30° B.40° C.50° D.60°
2.在△ABC中，已知∠A＝4∠B＝104°，则∠C的度数是(　　)
(
图
11
)A.50° B.45° C.40° D.30°
3.如图12，若CD平分含30°角的三角尺的∠ACB，则∠1等于(　　)
A.110° B.105° C.100° D.95°
　
图12　　　　　　　　图13 图14
4.如图13，已知岛P位于岛Q的正西方，由岛P，Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上，则从R处测P，Q两处的视角∠R的度数是　　　　.
5.如图14，在直角三角形ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A＝35°，则∠BCD的度数为　　　　.
6.如图15，在△ABC中，AE是角平分线，且∠B＝52°，∠C＝78°，求∠AEB的度数.
图15 　
7.如图16，点E是△ABC中AC边上的一点，过E作ED⊥AB，垂足为D.若∠1＝∠2，则△ABC是直角三角形吗？为什么？
图16 　
课后提升
(1)如图17①，∠1+∠2与∠B+∠C有什么关系？为什么？
(2)把图17①中△ABC沿DE折叠，得到图17②，填空：∠1+∠2　　　　∠B+∠C(填“>”“<”“＝”)，当∠A＝40°时，∠B+∠C+∠1+∠2＝　　　　.
(3)图17③是由图17①的△ABC沿DE折叠得到的，如果∠A＝30°，则x°+y°＝360°-(∠B+∠C+∠1+∠2)＝360°-　　　　＝　　　　，猜想∠BDA+∠CEA与∠A的关系为　　　　.
　　
　 ①　　　　　　 　②　　　　　　③
图17
反思感悟
我的收获：
　　 　　　　 　　
　　 　　　　 　　
我的易错点：
　　 　　 　　 　　
　　 　　 　　 　　
参考答案
当堂达标
1.B　2.A　3.B　4.75°　5.35°
6.解：在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C＝180°，∠B＝ 52°，∠C＝78°，∴ ∠BAC＝50°.
∵ AE是∠BAC的平分线，
∴ ∠EAC＝∠BAC＝25°.
∵ ∠AEB是△AEC的外角，
∴ ∠AEB＝∠EAC+∠C＝103°.
7.解：△ABC是直角三角形.
理由：∵ ED⊥AB，
∴ ∠ADE＝90°，△ADE是直角三角形，
∴ ∠1+∠A＝90°.
又∵ ∠1＝∠2，∴ ∠2+∠A＝90°，
∴ △ABC是直角三角形.
课后提升
解：(1)∠1+∠2＝∠B+∠C.
理由：在△ADE和△ABC中，
由三角形内角和定理，得∠1+∠2+∠A＝180°，∠B+∠C+∠A＝180°，
所以∠1+∠2＝∠B+∠C.
(2)由折叠知识及(1)得∠1+∠2＝∠B+∠C.
当∠A＝40°时，∠B+∠C＝∠1+∠2＝180°-∠A＝140°，
所以∠B+∠C+∠1+∠2＝280°.
答案：280°
(3)由(2)得当∠A＝30°时，∠B+∠C＝∠1+∠2＝180°-30°＝150°，
所以∠B+∠C+∠1+∠2＝300°，
所以x°+y°＝360°-300°＝60°.猜想∠BDA+∠CEA＝2∠A.
答案：300°　60°　∠BDA+∠CEA＝2∠A
11.2.2　三角形的外角
学习目标
1.了解三角形外角的概念，理解三角形外角的性质，初步学会数学说理.(重点)
2.学会运用三角形内角和定理及外角的性质解决角的度数的相关问题.(难点)
自主学习
学习任务一　三角形的外角概念
1.三角形的内角和定理是：　　　　.
2.如图1，把△ABC的一边BC延长到D，得∠ACD，则∠ACD叫做三角形的　　　　　　　　，由此可以知道　　　　　　　　　　　　_组成的角叫三角形的外角.
　　
图1　　　　　　　　　　图2
3.思考：
(1)在△ABC中，除了∠ACD外，还有哪些外角？请在图2中分别标出来；
(2)以点C为顶点的外角有　　个，所以，△ABC共有　　个外角，每一个顶点处的两个外角关系是　　　　；
(3)外角∠ACD与内角∠ACB的关系是：互为　　　　角.
学习任务二　三角形外角的性质
1.如图3，在△ABC中，∠A＝70°，∠B＝60°，∠ACD是△ABC的一个外角.能由内角∠A，∠B求出外角∠ACD吗？如果能，外角∠ACD与内角∠A，∠B有什么关系？
图3
2.任意一个三角形的外角与它的内角有怎样的关系？能用一句话概述你的发现吗？
3.你能证明你发现的结论吗？
已知：如图4，∠ACD是△ABC的外角.
求证：　　　　　　　　.
(
图
4
)证明：
合作探究
小组合作探究下列问题：
如图5，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？你能用语言叙述本例的结论吗？
图5
　当堂达标
1.计算：
　　 　
∠1＝　　　　　　　 　∠2＝　　　　
　 　　
∠3＝　　　　　　　 　∠4＝　　　　　
　 　
∠5＝　　　　　　 　　∠6＝　　　　
2.如图6，在△ABC中，若O为其内部一点，则∠BOC　　　　∠A(填“>”“<”或“＝”).
　 　　
图6 　　　 　图7　 　图8 图9
3.如图7，若AB∥CD，∠D＝∠E＝35°，则∠B的度数为(　　)
A.60° B.65° C.70° D.75°
4.如图8，若AB∥CD，∠1＝110°，∠ECD＝70°，则∠E的大小是　　　　.
5.如图9，直线AB，CD被BC所截，若AB∥CD，∠1＝45°，∠2＝35°，则∠3＝　　　　.
6.如图10，AD是△ABC的外角∠CAE的平分线，∠B＝30°，∠DAE＝50°，试求：
(1)∠D的度数；
(
图
10
)(2)∠ACD的度数.
　 　
7.如图11，在△ABC中，D是BC边上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC＝81°，求∠DAC的度数.
图11　 　
课后提升
问题引入：
(1)如图12①，在△ABC中，点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，若∠A＝α，则∠BOC
＝　　　　(用α表示)；如图12②，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，则∠BOC＝　　　　(用α表示).
拓展研究：
(2)如图12③，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝ ∠ECB，∠A＝α，猜想∠BOC＝　　　　(用α表示)，并说明理由.
(3)BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝ ∠ECB，∠A＝α，请猜想∠BOC＝　　　　.
　①　　 　　②　　 　 　　③
图12
反思感悟
我的收获：
　　 　　
　　 　　
我的易错点：
　　 　　
　　 　　
参考答案
当堂达标
1.75°　140°　130°　60°　30°　60°
2.>　3.C　4.40°　5.80°
6.解：(1)∵ ∠DAE＝∠B+∠D，
∴ ∠D＝∠DAE-∠B＝50°-30°＝20°.
(2)∵ AD平分∠CAE，
∴ ∠CAE＝2∠DAE＝100°，∴ ∠BAC＝80°，
∴ ∠ACD＝∠B+∠BAC＝110°.
7.解：设∠1＝x，则∠1＝∠2＝x.
∵ ∠3＝∠1+∠2，∴ ∠3＝∠4＝2x.
∴ ∠BAC＝180°-∠2-∠4＝180°-x-2x＝81°，
解得x＝33°，∴ ∠DAC＝81°-33°＝48°.
课后提升
解：(1)如图12①，在△ABC中，
∵ 点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点，
∴ ∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB.
∵ ∠A＝α，
∴ ∠BOC＝180°-(∠ABC+∠ACB)
＝180°-(180°-∠A)
＝180°-(180°-α)
＝180°-90°+α
＝90°+α.
如图12②，∵ ∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝ ∠ACB，∠A＝α，
∴ ∠BOC＝180°-(∠ABC+∠ACB)
＝180°-(180°-∠A)
＝180°-(180°-α)
＝180°-60°+α
＝120°+α.
答案：90°+α　120°+α
(2)理由：如图12③，∵ ∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，
∴ ∠BOC＝180°-(∠DBC+∠ECB)
＝180°-［360°-(∠ABC+∠ACB)］
＝180°-［360-(180°-∠A)］
＝180°-(180°+α)
＝180°-60°-α
＝120°-α.
答案：120°-α
(3)∵ ∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，
∴ ∠BOC＝180°-(∠DBC+∠ECB)
＝180°-［360°-(∠ABC+∠ACB)］
＝180°-［360°-(180°-∠A)］
＝180°-(180°+α)
＝×180°-α
＝.
答案：

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