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11.3　多边形及其内角和
11.3.1　多边形
学习目标
1.了解多边形及其有关概念，准确理解正多边形的定义.(难点)
2.区别凸多边形与凹多边形.(重点)
自主学习
学习任务一　三角形的有关概念
什么是三角形？三角形的顶点？三角形的边？三角形的角？(如图1)
(
图
1
)
学习任务二　探究多边形及其有关概念
(请看教材第19页图11.3-1)
1.你能仿照三角形的定义给出多边形的定义吗？
2.多边形的边、顶点、内角和外角.(请看教材第19页图11.3-3和图11.3-4)
3.多边形的对角线.(请看教材第20页图11.3-5)
4.凸多边形与凹多边形.(请看教材第20页图11.3-6)
5.正多边形.(请看教材第20页图11.3-7)
合作探究
1.下列图形中，不是凸多边形的是(　　)
　 A 　　　 B　　　　　C　　　　　D
2.下列图形中，∠1是外角的是(　　)
　 A 　　 　B C　 D
3.探究题.
要求：小组讨论，归纳出多边形对角线的规律，从中体会从特殊到一般的几何图形探究方法.
(1)如图2 ，从四边形的一个顶点出发，可以引　　　　条对角线，它将四边形分成　　　　个三角形.
　　　　
图2　　　　　　　 图3 图4　　　　　　图5
(2)如图3，从五边形的一个顶点出发，可以引　　　　条对角线，它将五边形分成　　　　个三角形.
(3)如图4，从六边形的一个顶点出发，可以引　　　　条对角线，它将六边形分成　　　　个三角形.
(4)如图5，从n边形的一个顶点出发，可以引　　　　条对角线，它将n边形分成　　　　个三角形.
规律总结：①从n边形的一个顶点出发，可以引　　　　条对角线，将n边形分成　　　　个三角形.
②n边形共有　　　　条对角线.
证明： 　　 　　
　　　　　　 .
当堂达标
1.对于如图6所示的多边形，下列说法不正确的是(　　)
A.多边形ABCDE是五边形，∠1，∠2，∠3是它的三个外角
(
图
6
)B.该多边形是五边形，表示为五边形ABCDE，∠1，∠2，∠3是它的三个角
C.该多边形是五边形，它的内角是∠A，∠B，∠BCD，∠CDE，∠AED；∠1，∠2，∠3是它的三个外角
D.五边形ABCDE是凸五边形，∠1，∠2，∠3是它的三个外角
2.下列说法错误的是(　　)
A.正多边形的各条边都相等 B.正多边形的各个角都相等
C.各角都相等的多边形不一定是正多边形　D.各条边都相等的多边形一定是正多边形
3.若从一个多边形的一个顶点出发，最多可以引10条对角线，则它是(　　)
A.十三边形 B.十二边形 C.十一边形 D.十边形
4.若一个多边形共有十四条对角线，则它是(　　)
A.六边形 B.七边形 C.八边形 D.九边形
5.已知一个多边形的对角线条数正好等于它的边数的2倍，则这个多边形的边数是(　　)
A.6 B.7 C.8 D.10
6.若过n边形的一个顶点有2m条对角线，m边形没有对角线，k边形有k条对角线，则(n-k)·
m＝　　　　.
反思感悟
我的收获：
　　　 　　　 　
　　　 　　　 　
我的易错点：
　 　　 　　　　　
　 　　 　　　　　
参考答案
当堂达标
1.B　2.D　3.A　4.B　5.B
6.12　解析：∵ k边形有k条对角线，
∴ ＝k，∴ k＝5或k＝0(舍去).
∵ m边形没有对角线，∴ ＝0.
∴ m＝3或m＝0(舍去).
∵ 过n边形的一个顶点有2m条对角线，
∴ n-3＝2m，∴ n＝9.
∴ (n-k)m＝(9-5)×3＝12.
11.3.2　多边形的内角和
第1课时
学习目标
1.经历验证四边形的内角和、多边形的内角和公式的形成过程.(难点)
2.会应用多边形的内角和公式进行简单的计算和说理.(重难点)
3.通过将多边形问题转化为三角形问题解决，体验从特殊到一般的认识问题的方法，学会把多边形转化成三角形的转化思想，提升探索与归纳的能力.(难点)
自主学习
学习任务一　探究四边形内角和
方法1：用量角器量出四个角的度数，然后把四个角加起来，发现内角和是　　　　.
(
图
1
)方法2：把两个三角形纸板拼在一起构成四边形，发现两个三角形内角和相加是　　　　(如图1).在四边形ABCD中，连接对角线AC，则四边形ABCD被分成△ABC和△ACD两个三角形.
由此可得∠DAB+∠B+∠BCD+ ∠D＝　　　，即四边形内角和等于　　　.
学习任务二　探究n边形内角和
通过分割成三角形，转化为利用三角形内角和求出.
1.通过思考探究完成下表：
名称 图形 由一个顶点可引对角线的条数 由一个顶点所引出的对角线分成三角形的个数 内角和
四边形 　　　　 　　　　 　　　　
五边形 　　　　 　　　　 　　　　
六边形 　　　　 　　　　 　　　　
… … … … …
n边形 　　　　 　　　　 　　　　
2.你能归纳出n边形的对角线条数公式吗？ n边形的对角线条数等于　　　　.
3.n可以是1或吗？
学习任务三　继续探索多边形的内角和
方法1.(如图2)证明：　　 　　.
方法2.(如图3)证明：　　 　　.
方法3.(如图4)证明：　　 　　.
　　
　　图2　 　　 　图3　 　图4
注意：由方法1得n边形的内角和为　　　　；
由方法2得n边形的内角和为　　　　.
合作探究
例1　如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角是什么关系？
解：　 　　　.
结论：　 　　　.
例2　已知五边形ABCDE是正五边形，求正五边形ABCDE每一个内角的度数.
解：　 　　　.
结论：　 　　　.
当堂达标
1.完成下面表格：
多边形的边数 3 4 5 6 … n
分成的三角形个数 …
多边形的内角和 …
多边形对角线条数 …
2.下列说法：①四边形中四个内角可以都是锐角；②四边形中四个内角可以都是钝角；③四边形中四个内角可以都是直角；④四边形中四个内角可以有两个锐角；⑤四边形中四个内角最多可以有两个锐角.其中正确的是　　　　(填序号).
3.已知一个多边形的边数恰好是从一个顶点所画的对角线的条数的2倍，则此多边形为　　　　.
(
图
5
)4.如图5，分别以三角形和四边形的各顶点为圆心画半径为1的圆，且圆与圆之间两两不相交.把三角形与各圆重叠部分面积之和记为S3，四边形与各圆重叠部分面积之和记为S4，那么S3和S4分别是　　　　.(结果保留π)
5.若一个多边形的内角和为1 080°，则这个多边形的边数是(　　)
A.9 B.8 C.7 D.6
6.将一个n边形变成n+1边形，则内角和(　　)
A.减少180° B.增加90° C.增加180° D.增加360°
7.下列角度中，不能成为多边形内角和的是(　　)
A.1 320° B.540° C.900° D.1 260°
反思感悟
我的收获：
　　 　　
我的易错点：
　　 　　
参考答案
当堂达标
1.
多边形的边数 3 4 5 6 … n
分成的三角形个数 1 2 3 4 … n-2
多边形的内角和 180° 360° 540° 720° … (n-2)×180°
多边形对角线条数 0 2 5 9 …
2.③④　3.六边形
4.S3＝，S4＝π　解析：根据题意，可得出重叠的每一部分是半径为1的扇形，圆心角之和是多边形的内角和，根据圆形的面积公式进行计算即可. S3＝πr2×＝π×12×＝；S4＝πr2＝π×12＝π.
5.B　6.C　7.A
11.3.2　多边形的内角和
第2课时
学习目标
1.掌握多边形的外角和为360°，并灵活运用外角和与内角和进行简单的计算.(重难点)
2.通过对“多边形外角和”的探究，培养分析问题、解决问题的能力.(难点)
自主学习
学习任务一　复习三角形的外角和
我们知道，三角形的内角和是180°，三角形的外角和是360°.得出三角形的外角和是360°有多种方法，如图1，你能说说怎样由外角与相邻内角互补的关系得出这个结论吗？
证明：　　 　　
　　 　　.
　　
图1　　　　 　图2
学习任务二　探究六边形等多边形的外角和
1.如图2，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和.六边形的外角和等于多少？
已知∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF在各个顶点处的外角，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值.
分析：看到外角问题我们马上就会联想到平角，这样我们就得到六边形的6个外角加上各自相邻的内角的总和为　　　　.由于六边形的内角和为　　　　，这样就可求得∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6＝　　　　.
解：　 　　　
　　 　　.
2.讨论：n边形的外角和等于多少度？仿照上面的方法试一试.
要求：类比求三角形、六边形的外角和的方法，你能求出n边形的外角和吗？(n为不小于3的正整数)
学生分析：　 　　　.
结论：　 　　　.
注意：　 　　　.
合作探究
例1　已知一个多边形的每一个内角均为150°，求这个多边形的边数.
要求：用两种方法求解.
方法1：解：设这个多边形的边数为n.
　　 　　
　　 　　
　　 　　.
方法2：(提示：利用外角和求解)
　　 　　
　 　　　.
例2　若一个多边形的内角和是外角和的2倍，求这个多边形的边数.
解：　　 　　.
结论：　 　　　.
当堂达标
1.判断：
(1)当多边形的边数增加时，它的内角和也随着增加.(　　)
(2)当多边形的边数增加时，它的外角和也随着增加.(　　)
(3)三角形的外角和与五边形的外角和相等.(　　)
(4)从n边形的一个顶点出发，可以引出(n-2)条对角线，得到(n-2)个三角形.(　　)
(5)四边形的四个内角至少有一个角不小于直角.(　　)
2.若一个多边形的各内角都相等，则一个内角与一个外角的度数之比不可能是(　　)
A.2∶1 B.1∶1 C.5∶2 D.5∶4
3.随着多边形的边数n的增加，它的外角和(　　)
A.增加 B.减小 C.不变 D.不定
4.若多边形的外角和等于内角和，则它的边数是(　　)
A.3 B.4 C.5 D.7
5.如图3，正五边形ABCDE中，对角线AC与BE相交于点F，则∠AFE＝　　　　度.
(
图
3
)6.n边形的每一个内角都相等，它的一个外角与一个内角的比是2∶7，求这个n边形的边数.
7.一个多边形的内角和是外角和的3倍，求这个多边形的边数.
8.一个正多边形，它的一个外角等于与它相邻内角的，求这个正多边形的边数.
课后提升
如图4是一个五角星.
　　　
图4　　　　　　　图5
(1)计算：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数.
(2)当BE向上移动至过点A时，如图5，五个角的和(即∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E)有无变化？说明你的理由.
反思感悟
我的收获：
　　 　　
　　 　　
我的易错点：
　 　　　
　 　　　
参考答案
当堂达标
1.(1)√　(2)×　(3)√　(4)×　(5)√
2.D　3.C　4.B
5.72　解析：∵ 五边形ABCDE是正五边形，
∴ ∠EAB＝∠ABC＝＝108°.
∵ BA＝BC，∴ ∠BAC＝∠BCA＝36°.
同理∠ABE＝36°，
∴ ∠AFE＝∠ABF+∠BAF＝36°+36°＝72°.
6.解：设这个n边形的一个外角为2x°，则其一个内角为7x°.
由题意知2x+7x＝180，解得x＝20，2x＝40，
∴ 这个n边形的边数为360°÷40°＝9.
7.解：设这个多边形的边数为n.
由题意得(n-2)·180°＝3×360°，解得n＝8.
∴ 这个多边形的边数为8.
8.解：设这个正多边形的一个外角为x°，则其一个内角为4x°.
由题意得x+4x＝180，解得x＝36.
∴ 360°÷36°＝10，∴ 这个正多边形的边数为10.
课后提升
解：(1)如图6，AC与BE相交于点H，AD与BE相交于点G，
∵ ∠AHG是△HCE的一个外角，
图6
∴ ∠AHG＝∠C+∠E.
∵ ∠AGH是△GBD的一个外角，
∴ ∠AGH＝∠B+∠D.
∵ ∠A+∠AHG+∠AGH＝180°，
∴ ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°.
(2)不变，∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°.
理由：如图7，由三角形的外角性质，知∠BAC＝∠E+∠C，∠EAD＝∠B+∠D.
∵ ∠BAC+∠CAD+∠DAE＝180°，∴ ∠CAD+∠B+ ∠C+ ∠D+∠E＝180°.
图7

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