资源简介

2.1 等式性质与不等式性质
学案
一、学习目标
1.理解不等式的概念，能用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.
2.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，并能运用这些性质解决有关问题.
3.理解两实数大小关系的基本事实，初步学会用作差法比较两实数的大小.
二、知识归纳
1.两实数大小关系的基本事实：；；.
即要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小.
2.由两实数大小关系的基本事实，得到一个重要不等式：，当且仅当时，等号成立.
3.等式的性质：
性质1 如果，那么；
性质2 如果，，那么；
性质3 如果，那么；
性质4 如果，那么；
性质5 如果，，那么.
4.不等式的性质：
性质1 如果，那么；如果，那么. 即.
性质2 如果，，那么. 即，.
性质3 如果，那么.
性质4 如果，，那么；如果，，那么.
性质5 如果，，那么.
性质6 如果，，那么.
性质7 如果，那么.
三、习题检测
1.完成一项装修工程，请木工每人需付工资500元，请瓦工每人需付工资400元，现有工人工资预算20000元，设木工请x人，瓦工请y人，则x，y应满足的关系式是( )
A. B.
C. D.
2.已知，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.已知，，，则M与N的大小关系为( )
A. B. C. D.
4.下列说法正确的有( )
①若，则；
②，，则；
③若，，则；
④若，，则.
A.①④ B.②③ C.③④ D.①②
5.已知，则与的大小关系为( )
A. B.
C. D.
6.已知a，b为非零实数，且，则下列不等式成立的是( )
A. B. C. D.
7.（多选）已知实数a，b，c满足且，则下列不等式一定成立的是( )
A. B.
C. D.
8.（多选）下列命题属于真命题的是( )
A.若，则
B.若，则有
C.若，，则有
D.若，，，且n为奇数，则有
9.学生小李家中有经济困难，为帮助小李解决开学费用问题，小李所在班级学生（小李除外）决定承担这笔费用若每人承担12元，则多出84元；若每人承担10元，则不够；若每人承担11元，又多出40元以上该班共有x人，这笔开学费用共y元，则上述问题中的数量关系可表示为_________________.
10.已知，则与的大小关系是__________.
11.已知不等式：①；②；③.若且，则其中正确的不等式的个数是______________.
12.先后两次购买同一种物品，可采取两种不同的方式，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买该物品所花的钱数一定.甲、乙二人先后两次结伴购买同一种物品，其中甲在两次购物时均采用第一种方式，乙在两次购物时均采用第二种方式.已知第一次购物时该物品的单价为，第二次购物时该物品的单价为.甲两次购物的平均价格记为，乙两次购物的平均价格记为.
（1）求，的表达式（用，表示）；
（2）通过比较，的大小，说明哪种购物方式比较划算.
答案以及解析
1.答案：D
解析：根据题意可知，即.故选D.
2.答案：D
解析：因为，，所以，，，所以.故选D.
3.答案：C
解析：，
所以，即，故选C.
4.答案：C
解析：对于①，取，，则，①错误；
对于②，取，，则，②错误；
对于③，，，，，，③正确；
对于④，由，两边同乘，得，，，④正确.故选C.
5.答案：C
解析：法一：令，则，排除A、B；令，则，排除D.故选C.
法二：，，，，.故选C.
6.答案：C
解析：对于A，可举反例，如，但，故A不成立；
对于B，，而ab的符号不确定，故B不一定成立；
对于C，因为，，且，所以，即，故C成立；
对于D，要使成立，即成立，需与ab异号，而，ab的符号都不确定，故D不成立.故选C.
7.答案：ABC
解析：因为且，所以，，所以，故A一定成立；
又，所以，故B一定成立；
又，，所以，故C一定成立；
当时，，当时，有，故D不一定成立.故选ABC.
8.答案：ACD
解析：对于A， ，，.，，故A是真命题；
对于B，，，当时，，；当时，，，故B是假命题；
对于C，，，又，，即，故C是真命题；
对于D，，，，为奇数，，，故D是真命题.故选ACD.
9.答案：
解析：由题意可得，即.
10.答案：
解析：，
，，，，.
11.答案：2
解析：因为且，所以.①化简得，显然正确；②显然正确；③化简得，显然不正确.故正确的不等式是①②，共2个.
故答案为2.
12.解析：（1）设甲两次购物时购物量均为m，则两次购物总费用为，
购物总量为2m，平均价格为.
设乙两次购物时所花钱数均为n，则两次购物总费用为2n，购物总量为，
平均价格为.
综上，，.
（2），
，
.
由此可知，第二种购物方式比较划算.

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