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根式、指数、对数的概念及运算
一、知识框架
1.根式的概念及性质
(1)概念：称为根式，n称为根指数，a称为被开方数.
(2)性质：()n＝a；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|.
2.分数指数幂
规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
实数指数幂的运算性质：asat＝as＋t，(as)t＝ast，(ab)s＝asbs，其中a>0，b>0，s，t∈R.
4.对数的概念
在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数.
5.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算性质
①loga(MN)＝logaM＋logaN，
②logaMα＝αlogaM，
③loga＝logaM－logaN.
其中，a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R.
(3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
二、真题演练
1.（2019广东普通高中学业水平考试）7．已知a>0，则＝(　　)
A．a B．a C．a D．a1
2. （2021广东普通高中学业水平考试）下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
三、典型例题
考向1 根式运算
1．下列各式正确的是（ ）（填序号）
A． B． C． D．a0＝1
2．若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．7
3．下列等式中成立的个数是（ ）
①（且）；②（为大于的奇数）；③（为大于零的偶数）.
A．个 B．个
C．个 D．个
考向2 指数运算
1．式子的计算结果为（ ）
A． B． C． D．
2．化简结果为（ ）
A．a B．b C． D．
3．______．
考向3 对数运算
1．（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
2．计算：（ ）
A．10 B．1 C．2 D．
3．下列各等式正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．（，，）
四、练习巩固
一、单选题
1．化简的结果是（ ）
A．1－2x B．0
C．2x－1 D．(1－2x)2
2．若a<，则化简的结果是（ ）
A．4a－1 B．1－4a
C．－ D．－
3．有下列四个式子：
① ；
② ；
③ ；
④
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
4．计算：（ ）
A．6 B．7
C．8 D．
5．设，则下列运算中正确的是（ ）.
A． B． C． D．
6．计算的值为（ ）
A． B．π C． D．2
7．下列各式正确的为（ ）
A． B． C． D．
8．计算的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列各式，，分别等于（ ）
A．2，5， B．2，5，35
C．2，3， D．4，3，
11．设且，则下列说法正确的是（ ）
A．，则
B．，则
C．，则
D．
二、填空题
1．计算：(1)()2＝____；　(2)()3＝___；
(3)＝____; (4)＝___；
(5)＝_____ (6) ＝____；
(7)＝____; (8) ＝____.
2．计算：______.
3．计算：___．
4．计算： =____________.
5．计算=________________.
6．计算：__________7．__________．
三、解答题
1．化简求值：
(1);
(2)
2．化简求值：
(1)；
(2).根式、指数、对数的概念及运算
一、知识框架
1.根式的概念及性质
(1)概念：称为根式，n称为根指数，a称为被开方数.
(2)性质：()n＝a；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝|a|.
2.分数指数幂
规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.
3.指数幂的运算性质
实数指数幂的运算性质：asat＝as＋t，(as)t＝ast，(ab)s＝asbs，其中a>0，b>0，s，t∈R.
4.对数的概念
在表达式ab＝N(a>0且a≠1，N∈(0，＋∞))中，当a与N确定之后，只有唯一的b能满足这个式子，此时，幂指数b称为以a为底N的对数，记作b＝logaN，其中a称为对数的底数，N称为对数的真数.
5.对数的性质、运算性质与换底公式
(1)对数的性质：①alogaN＝N；②logaab＝b(a>0，且a≠1).
(2)对数的运算性质
①loga(MN)＝logaM＋logaN，
②logaMα＝αlogaM，
③loga＝logaM－logaN.
其中，a>0且a≠1，M>0，N>0，α∈R.
(3)换底公式：logab＝(a>0，且a≠1，b>0，c>0，且c≠1).
二、真题演练
1.（2019广东普通高中学业水平考试）7．已知a>0，则＝(　　)
A．a B．a C．a D．a
【答案】D
【详解】
＝a，则＝＝a1－＝a.故选D.
10. （2021广东普通高中学业水平考试）下列计算正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】
A,B,
三、典型例题
考向1 根式运算
1．下列各式正确的是（ ）（填序号）
A． B． C． D．a0＝1
【答案】C
【详解】
根据根式的性质可知, ,,,
由指数性质可知当a0＝1成立时，需a≠0，则C正确，A、B、D错．
故选：C
2．若，则的值为（ ）
A． B． C．1 D．7
【答案】C
【详解】
,
故选：C.
3．下列等式中成立的个数是（ ）
①（且）；②（为大于的奇数）；③（为大于零的偶数）.
A．个 B．个
C．个 D．个
【答案】D
【详解】
对于①，当且时，，①对；
对于②，当为大于的奇数时，，②对；
对于③，当为大于零的偶数时，，③对.
故选：D.
考向2 指数运算
1．式子的计算结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
.
故选：D.
2．化简结果为（ ）
A．a B．b C． D．
【答案】A
【详解】
根据实数指数幂的运算公式，可得：
.
故选：A.
3．______．
【答案】
【详解】
故答案为：
考向3 对数运算
1．（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】D
【详解】
解：.
故选：D
2．计算：（ ）
A．10 B．1 C．2 D．
【答案】B
【详解】
.
故选：B
3．下列各等式正确的为（ ）
A．
B．
C．
D．（，，）
【答案】D
【详解】
A：，错误；
B：，错误；
C：当x，y均为负数时，等式右边无意义，错误；
D：且，，，正确.
故选：D
四、练习巩固
一、单选题
1．化简的结果是（ ）
A．1－2x B．0
C．2x－1 D．(1－2x)2
【答案】C
【详解】
∵，则，
∴.
故选：C.
2．若a<，则化简的结果是（ ）
A．4a－1 B．1－4a
C．－ D．－
【答案】B
【详解】
由，可得4a－1<0，
∴．
故选：B.
3．有下列四个式子：
① ；
② ；
③ ；
④
其中正确的个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
① 正确；② ，② 错误；③ ，③ 错误；④ ，若，则，若，则，故④ 错误．
故选：A
4．计算：（ ）
A．6 B．7
C．8 D．
【答案】B
【详解】
解：2+22+1＝7．
故选：B．
5．设，则下列运算中正确的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
根据幂的运算性质可得：
，故A错误；
，故B错误；
，故C错误；
，故D正确.
故选：D.
6．计算的值为（ ）
A． B．π C． D．2
【答案】B
【详解】
原式=.
故选：B
7．下列各式正确的为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
对于A，，A错误；
对于B，，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，D正确.
故选：D.
8．计算的值为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【详解】
解：
故选：D
9．下列运算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
，故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误.
故选：C.
10．下列各式，，分别等于（ ）
A．2，5， B．2，5，35
C．2，3， D．4，3，
【答案】B
【详解】
，，，
故选：B.
11．设且，则下列说法正确的是（ ）
A．，则
B．，则
C．，则
D．
【答案】C
【详解】
对于A，当时，和均无意义，则选项A错误；
对于B，当时，和均无意义，则选项B错误；
对于C，若，则，则选项C正确；
对于D，若时，无意义，则选项D错误；
故选：.
二、填空题
1．计算：
(1)()2＝____；　(2)()3＝___；
(3)＝____; (4)＝___；
(5)＝_____ (6) ＝____；
(7)＝____; (8) ＝____.
【答案】 11 -8 2 ## 3 ##1.5
【详解】
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.
故答案为：11；-8；；2；；3；；
2．计算：______.
【答案】
【详解】
故答案为：
3．计算：___．
【答案】##0.5
【详解】
原式.
故答案为：
4．计算： =____________.
【答案】##
【详解】
解：
故答案为：
5．计算=________________.
【答案】
【详解】
解：由题得，，，
原式=.
故答案为：
6．计算：__________
【答案】1
【详解】
原式＝．
故答案为：1．
7．__________．
【答案】
【详解】
故答案为：-1
三、解答题
1．化简求值：
(1);
(2)
【答案】(1) (2)1
(1)原式= =
==.
(2)原式=
.
2．化简求值：
(1)；
(2).
(1)
(2)

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