资源简介

《直线的两点式方程和截距式方程》自主学习任务单
一、学习目标
1.掌握直线方程的两点式、截距式形式及特点，并能熟练运用这两种形式求出直线的方程；教~网]
2.知道这两种形式的直线方程的局限性，感受直线方程与直线图象之间的对应关系．
二、学习过程
(一)复习引入
1.直线的点斜式方程是_________________,它表示_______________________的直线．
2.直线的斜截式方程是_________________,它表示_______________________的直线．
　 3.点斜式与斜截式的适用范围是____________________________________________．
4.求经过,两点的直线方程．
(二)问题探究
问题1 若将上题中的两点改为，，其中，，能求出该直线的方程吗？
问题2由直线的点斜式方程得到，对其变形可得到以下几个形式的方程：①；②；　
③； ④．
你认为选择哪个方程作为本节所学的内容“两点式方程”较好？说说你的理由．
(三)建构数学
方程，叫做直线的两点式方程．
问题3 从两点式方程的形式上看，两点式适用求什么样的直线方程？
问题4 若，中，有或，直线有没有两点式方程？如何求直线的方程？
　
问题5 方程的左、右两边各具有怎样的几何意义？它表示什么图形？
问题6 方程和方程表示同一图形吗？
(四)数学运用
例1已知直线经过两点，，其中，求直线的方程．
问题7 题目中所给的条件有何特点？
问题8 可以用几种方法求直线的方程？那种方法更为简捷？
小结 我们把直线与轴交点的横坐标称为直线在轴上的截距，与轴交点的纵坐标称为直线在轴上的截距．方程由直线在两个坐标轴上的非零截距与确定，所以这个方程也叫做直线的截距式方程．
问题9 截距式适用求什么样的直线方程？
问题10 横、纵截距、是距离吗？若不是，可以取哪些数？
例2　已知三角形的顶点是，，(如图)，试求这个三角形三边所在直线的方程．
小结　当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式（或截距式）方程的适用条件，若满足即可考虑用两点式（或截距式）求方程．在斜率存在的情况下，也可以先应用斜率公式求出斜率，再用点斜式写方程．
例3 求过点且在两坐标轴上截距相等的直线的方程．
问题11 直线经过一点且斜率存在时，可以选择那种形式的方程求解？
问题12 能否根据截距相等直接选择截距式求解？若选择截距式，需要注意什么？
小结　题设中涉及直线在两坐标轴上的截距，因此可考虑用截距式，但应注意到截距能否为零，这是应用截距式求直线方程最易出错和疏忽的地方；题设中也涉及到了直线过一点，也可考虑用点斜式，但应注意斜率是否存在．
变式 求过点且在坐标轴上截距互为相反数的直线的方程．
(四)反思总结
1.如何利用直线上的两点写出直线方程？
2.到目前为止，我们学习了几种形式的直线方程？各自适用的范围是什么？
三、效果检测
1.已知直线在轴、轴上的截距分别为和，则直线的截距式方程为______________．
2.过点和的直线在轴上的截距为______________．
3.已知直线经过点，且它在轴上的截距为，则直线的方程为______________．
4.分别写出经过下列两点的直线方程：
(1)，； (2)，； (3) ，； (4) ，．
5.已知三点，，
(1)求直线的方程； 　　　　　　　　　　(2)若三点共线，求实数的值．
6.已知直线.
(1)若直线的斜率等于，求的值；
(2)若直线与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积最大，求此时直线的方程.
《直线的两点式方程和截距式方程》参考答案
(一)复习引入
1.；经过点，斜率为．
2.；经过点，斜率为．
3.直线与轴不垂直．
4.直线的斜率，由点斜式得，即．
(二)问题探究
问题2 式①，表达式太繁；式②这种形式整齐美观，且不含有分式，不受限制条件影响；式③，该式子左右两边均具有几何意义(斜率)，但左式中；式④，题目限制条件为，，给我们提供了暗示分式有意义，该式子左边都是关于，右边都是关于，形式工整，结构优美．
(三)建构数学
问题3两点式适用于求与两坐标轴不垂直的直线方程．
问题4没有两点式方程．当时，直线与轴垂直，直线的方程为；当时，直线与轴垂直，直线的方程为．
问题5表示动点和一个定点的连线的斜率始终等于两定点和连线的斜率.它表示一条直线(不含点)．
问题6不是，后者表示的图形是经过，的直线，而前者是这条直线除去．
问题9截距式方程适用于横、纵截距都存在且都不为（即）的直线．
问题10横、纵截距、不是距离，可以为任意实数．
(四)数学运用
例1因为直线经过两点，，其中，
由直线的两点式方程，得，即．
例2 直线过，两点，由两点式得
，即．这就是直线的方程．
直线在轴上的截距为2，斜率是，
由斜截式得，即，这就是直线的方程．
直线在轴、轴上的截距分别是，由截距式得
，即，这就是直线的方程．
例3解法1设直线在轴与轴上的截距分别为，
①当时，直线经过原点及，所以直线的方程为，
②当，时，可设直线的方程为，由题意得，解得，
所以直线方程为，即，
综上所述，所求直线的方程为或．
解法2根据题意知，直线的斜率存在，故可设所求的直线的方程为，
令，得；令，得，
根据题意得，即，解得或，
当时，直线的方程为，即，
当时，直线的方程为，即，
综上所述，直线的方程是或．
变式解法1设直线在轴与轴上的截距分别为，
①当时，直线经过原点及，此时直线的方程为，即，
②当，时，可设直线的方程为 ，由题意得，解得
故所求直线方程为，即
综上所述，直线的方程是或．
解法2由题意知直线的斜率一定存在．设直线的方程为，
令，得；令，得，
根据题意得，即，解得或，
当时，直线的方程为，即，
当时，直线的方程为，即，
综上所述，直线的方程是或．
三、效果检测
1.
2.过点和的直线方程为，令得．
3.所求直线经过点和，由两点式得，即.
4.(1)；
(2)；
(3)由截距式得，即；
(4)由两点式得，即．
5. (1)直线的方程为，即．
(2)因为三点共线，所以点在直线上，
所以,所以．
6.(1)直线的方程可化为，
　所以直线的斜率为，所以，解得．
　(2)由题意知，所以，
　所以
　所以当时，取得最大值2，此时直线的方程为．
2

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