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三角恒等变换
两角和与差的余弦（教师用）
知能点全解：
知能点一：两角和与差的余弦公式
，
知能点二：两角和与差的余弦公式的理解与简单应用
例 1：的值是（ B ）
A、 B、 C、 D、
解：
及时演练：
1、在下列式子中正确的有 ⑤ ：
①；②；③；
④；⑤。
2、 。
3、设，若，则 。
知能点三：两角和与差的余弦公式的逆用
例 2：化简
解：原式
及时演练：
1、求下列各式的值
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） 。
2、化简： 。
3、化简：的结果是 。
4、化简： 。
典型例题精析：
题型一：利用两角和与差的余弦公式解决求值与化简问题
例 3：已知且，求
解：∵ ∴ ∵ ∴
又 ∴
则
故
及时演练：
1、已知，是第二象限角，则 。
2、已知，则 。
3、已知，则 ； 。
4、已知，则 ； 。
5、如果，则 。
6、，则的值的个数为 个。
7、（ D ）
A、 B、 C、 D、
8、已知，则 。
9、设，且则 。
10、已知，则 。
11、在中，若，则 。
题型二：利用公式根据三角函数值求角
例 4：已知均为为锐角，且有，求
解：∵ ∴
∵ ∴
∵ ∴
∴
∵ ∴
及时演练：
1、已知均为为钝角，且有，则 。
2、已知均为为锐角，则 。
3、在中，，则 或 。
题型三：综合应用
例 5：是否存在使得函数存在最小值，若存在，求出；若不存在，请说明理由。
解：∵
∴
∵ ∴函数的值域为
当时， 即
及时演练：
1、若则的值为 。
2、函数的最大值为 。
3、函数的值域为 。
1两角和与差的正弦（教师用）
知能点全解：
知能点一：两角和与差的正弦公式推导
因为
即： 这就是两角差的正弦公式
同理可得： 这就是两角和的正弦公式
特别提醒:
要记住两个公式：
知能点二：两角和与差的正弦公式的理解
例 1：对于等式的认识正确的是（ ）
A、对任意的都成立 B、只对取几个特殊值时成立
C、对于任何都不成立 D、有有限个的值使等式成立
解析：因为，只有当且时，才有，即：。所以，答案应是D。
及时演练：
1、已知都是锐角，下列不等式中不成立的是（ D ）
A、 B、 C、 D、
2、下列式子中正确的序号有 ④⑤ 。
①；②；③
④；⑤。
3、对于任何与的大小关系为 。
知能点三：辅助角公式
Ⅰ公式的推导：
令，则，于是有：
其中由，和共同确定
Ⅱ公式的应用
例 2：求函数的最大值
解：
所以函数的最大值为。
及时演练：
1、把下列各式化为的形式，其中
（1） ； （2） 。
（3） ； （4） 。
2、当时，函数的最大值为 ，最小值为 。
3、若，则与的大小关系为 。
4、函数的最大值为 。
5、函数的图像的一条对称轴是（ B ）
A、 B、 C、 D、
典型例题精析：
题型一：利用两角和与差的余弦公式解决求值与化简问题
例 3：已知均在第二象限，求和的值
解：∵均在第二象限
∴，
及时演练：
1、 ； ； 。
2、 ； 。
3、 ； 。
4、已知是第三象限角，则 。
5、已知是第三象限角，则 。
6、已知，则 。
7、若，则 。
8、已知都是锐角，，则 ；
9、已知，则 ； 。
题型二：综合应用
例 4：已知中，有关系式成立，则为（ ）
A、等腰三角形 B、的三角形 C、等腰三角形或的三角形 D、不能确定
解：由得：
则有： ∴
∵ ∴或
即或 故答案选C
例 5：求值
解 ：原式
及时演练：
1、设A，B，C为三内角，且的两根为，则三角形的形状为 等腰三角形 。
2、化简 。
3、函数，若函数的值域是，则实数的值为 或 。
4、已知向量，且，则 。
5、等腰三角形一个底角的正弦和余弦的和是，那么这个三角形的顶角等于 或 。
6、在中，，且，则三角形的形状为 等腰直角三角形 。
7、在中，如果则C角的大小为 。
2两角和与差的正切（教师用）
知能点全解：
知能点一：两角和与差的正切公式推导
由
即：。 同理可得，
其中
知能点二：两角和与差的正切公式的简单应用
例 1：已知且，求
解：∵ ∴
∴ ∴
∵ ∴
及时演练：
1、已知则 。
2、是第四象限角，则 。
3、的值为 。
4、已知，则 ； 。
5、 。
6、已知且，则 ； 。
7、已知，则 ， ， 。
8、已知且，则 ；
知能点三：两角和与差的正切公式的变形及其应用
由
得：；
例 2：求值：。
解：∵
∴
同理，，，
∴原式
及时演练：
1、 。
2、 。
典型例题精析：
题型一：利用两角和与差的正切公式求角
例 3：已知，求的值。
解：∵ ∴
∵ ∴ ∴
又 ∴
∴ 又 ∴
及时演练：
1、若，且都是锐角，则 。
2、已知均为锐角，且，则 。
3、已知均为锐角，且，则 。
题型二：综合应用
例 4：已知是的两内角，且是方程的两个实根，求实数的取值范围。
解：由题意得： ∴或
又∵是方程的两个实根
∴，
∴ 又 ∴
∴
即方程有两个实根都在内，令则有：
解得： ∴的取值范围是。
及时演练：
在中，，则 。
在中， 。
在中，则 。
在中，若，则得形状为 锐角三角形 。
设一元二次方程的两根为，则的取值范围是 。
已知是关于方程的两个实根且，则 。
已知是函数的两个零点，则 。
1二倍角的正弦、余弦、正切（教师用）
知能点全解：
知能点一：二倍角公式推导
Ⅰ二倍角的正弦公式
把中的用代换得：
即：
Ⅱ二倍角的余弦公式
把中的用代换得：
即：
Ⅲ二倍角的正切公式
把中的用代换得：
即：
特别说明：
1、对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：是的二倍角，是的二倍角，是的二倍角，是的二倍角。
2、一般情况下，。
3、当时，的值不存在，这时求的值可利用诱导公式，即
知能点二：二倍角公式的简单应用
例 1：求下列各式的值
（1）； （2）； （3）
答案：（1）；（2）；（3）。
例 2：化简下列各式
； （2）；
解：（1）
（2）
例 3：已知，求的值
解：∵ ∴
∴
及时演练：
1、求下列各式的值
（1） ； （2） ；
（3） ；
（4） 。
2、已知则 ；
3、已知 ；
4、已知，则 ； 。
5、已知则 。
知能点三：二倍角公式的逆向变换及有关变形
Ⅰ升幂公式： ； 。
Ⅱ降幂公式： ； 。
例 4：化简下列各式
（1）已知，则 。
（2）是第三象限角，则 。
解：（1）∵， ∴
∴
（2）∵是第三象限角 ∴
∴
及时演练：
1、若，则 。
2、的值域是 。
3、已知函数，使为正值的的集合为
4、函数的最小正周期为 。
5、函数的最小正周期为 。
6、已知函数，
（1）函数的最小正周期为 ；函数的单调递增区间为 ；
（2）若，则 ； 。
（3）满足，且的的值的集合为 。
（4）函数的图像在上的对称轴方程有 。
7、 。
典型例题精析：
题型一：利用二倍角公式求值、化简
例 5：求值
解：
例 6：化简：
解：原式
及时演练：
1、已知，则 。
2、已知，且，则
3、 。
4、化简 。
5、若化简： 。
6、化简 。
题型二：综合应用
例 7：求函数的最小正周期和最小值，并写出该函数在上的单调递增区间。
解：
故函数的最小正周期是，最小值是-2，单调递增区间为和。
例 8：（1）求证：
（2）已知，求证：
证明：（1）左边
右边
（2）由得：
将代入上式得：
∴ 即
及时演练：
1、已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值为 。
2、在中，，则 。
3、函数的值域为 。
4、已知，则 。
1两角和与差的余弦
知能点全解：
知能点一：两角和与差的余弦公式
，
知能点二：两角和与差的余弦公式的理解与简单应用
例 1：的值是（ ）
A、 B、 C、 D、
及时演练：
1、在下列式子中正确的有 ：
①；②；③；
④；⑤。
2、 。
3、设，若，则 。
知能点三：两角和与差的余弦公式的逆用
例 2：化简
及时演练：
1、求下列各式的值
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） 。
2、化简： 。
3、化简：的结果是 。
4、化简： 。
典型例题精析：
题型一：利用两角和与差的余弦公式解决求值与化简问题
例 3：已知且，求
及时演练：
1、已知，是第二象限角，则 。
2、已知，则 。
3、已知，则 ； 。
4、已知，则 ； 。
5、如果，则 。
6、，则的值的个数为 个。
7、（ ）
A、 B、 C、 D、
8、已知，则 。
9、设，且则 。
10、已知，则 。
11、在中，若，则 。
题型二：利用公式根据三角函数值求角
例 4：已知均为为锐角，且有，求
及时演练：
1、已知均为为钝角，且有，则 。
2、已知均为为锐角，则 。
3、在中，，则 。
题型三：综合应用
例 5：是否存在使得函数存在最小值，若存在，求出；若不存在，请说明理由。
及时演练：
1、若则的值为 。
2、函数的最大值为 。
3、函数的值域为 。
1两角和与差的正弦
知能点全解：
知能点一：两角和与差的正弦公式推导
因为
即： 这就是两角差的正弦公式
同理可得： 这就是两角和的正弦公式
特别提醒:
要记住两个公式：
知能点二：两角和与差的正弦公式的理解
例 1：对于等式的认识正确的是（ ）
A、对任意的都成立 B、只对取几个特殊值时成立
C、对于任何都不成立 D、有无限个的值使等式成立
及时演练：
1、已知都是锐角，下列不等式中不成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、下列式子中正确的序号有 。
①；②；③
④；⑤。
3、对于任何与的大小关系为 。
知能点三：辅助角公式
Ⅰ公式的推导：
令，则，于是有：
其中由，和共同确定
Ⅱ公式的应用
例 2：求函数的最大值
及时演练：
1、把下列各式化为的形式，其中
（1） ； （2） 。
（3） ； （4） 。
2、当时，函数的最大值为 ，最小值为 。
3、若，则与的大小关系为 。
4、函数的最大值为 。
5、函数的图像的一条对称轴是（ ）
A、 B、 C、 D、
典型例题精析：
题型一：利用两角和与差的余弦公式解决求值与化简问题
例 3：已知均在第二象限，求和的值
及时演练：
； ； 。
2、 ； 。
已知是第三象限角，则 。
已知是第三象限角，则 。
已知，则 。
若，则 。
已知都是锐角，，则 ；
已知，则 ； 。
题型二：综合应用
例 4：已知中，有关系式成立，则为（ ）
A、等腰三角形 B、的三角形 C、等腰三角形或的三角形 D、不能确定
例 5：求值
及时演练：
设A，B，C为三内角，且的两根为，则三角形的形状为 。
化简 。
函数，若函数的值域是，则实数的值为 。
已知向量，且，则 。
等腰三角形一个底角的正弦和余弦的和是，那么这个三角形的顶角等于 。
在中，，且，则三角形的形状为 。
在中，如果则C角的大小为 。
1两角和与差的正切
知能点全解：
知能点一：两角和与差的正切公式推导
由
即：。 同理可得，
其中
知能点二：两角和与差的正切公式的简单应用
例 1：已知且，求
及时演练：
已知则 。
是第四象限角，则 。
的值为 。
5、已知，则 ； 。
6 已知且，则 ； 。
7 已知，则 ， ， 。
8 已知且，则 ；
知能点三：两角和与差的正切公式的变形及其应用
由
得：；
例 2：求值：。
及时演练：
。
。
典型例题精析：
题型一：利用两角和与差的正切公式求角
例 3：已知，求的值。
及时演练：
若，且都是锐角，则 。
已知均为锐角，且，则 。
已知均为锐角，且，则 。
题型二：综合应用
例 4：已知是的两内角，且是方程的两个实根，求实数的取值范围。
及时演练：
在中，，则 。
在中， 。
在中，则 。
在中，若，则得形状为 。
设一元二次方程的两根为，则的取值范围是 。
已知是关于方程的两个实根且，则 。
已知是函数的两个零点，则 。
1二倍角的正弦、余弦、正切
知能点全解：
知能点一：二倍角公式推导
Ⅰ二倍角的正弦公式
把中的用代换得：
即：
Ⅱ二倍角的余弦公式
把中的用代换得：
即：
Ⅲ二倍角的正切公式
把中的用代换得：
即：
特别说明：
1、对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：是的二倍角，是的二倍角，是的二倍角，是的二倍角。
2、一般情况下，。
3、当时，的值不存在，这时求的值可利用诱导公式，即
知能点二：二倍角公式的简单应用
例 1：求下列各式的值
（1）； （2）； （3）
例 2：化简下列各式
（1）； （2）；
例 3：已知，求的值
及时演练：
1、求下列各式的值
（1） ； （2） ；
（3） ； （4） 。
2、已知则 ；
3、已知 ；
4、已知，则 ； 。
5、已知则 。
知能点三：二倍角公式的逆向变换及有关变形
Ⅰ升幂公式： ； 。
Ⅱ降幂公式： ； 。
例 4：化简下列各式
已知，则 。
是第三象限角，则 。
及时演练：
若，则 。
的值域是 。
3、已知函数，使为正值的的集合为 。
函数的最小正周期为 。
函数的最小正周期为 。
6、已知函数，
（1）函数的最小正周期为 ；函数的单调递增区间为 ；
（2）若，则 ； 。
（3）满足，且的的值的集合为 。
（4）函数的图像在上的对称轴方程有 。
。
典型例题精析：
题型一：利用二倍角公式求值、化简
例 5：求值
及时演练：
已知，则 。
。
化简 。
若化简：
题型二：综合应用
例 7：求函数的最小正周期和最小值，并写出该函数在上的单调递增区间。
例 8：（1）求证：
（2）已知，求证：
及时演练：
已知等腰三角形底角的余弦值为，则顶角的正弦值为 。
在中，，则 。
函数的值域为 。
已知，则 。
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