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巧用等积转化解决问题
——对一组习题的开发与探索
四川省南江县南江镇第四小学 谢仕富
小学数学西师版五年级上册教科书第五单元中有这样一些题目（如下），分别在第91、96、102页，都是比较同组图形面积一样大吗？并且追问了为什么？这值得我们在教学中去深入探讨。我做了一次尝试。
一、探讨规律，掌握知识
我在教学中引导学生通过计算、观察、比较来回答各组中图形面积一样大吗？学生比较容易就得出了各题中图形的面积是一样大的？这时再追问到底为什么相等？班上学生议论开来：有说得数一样大，如第一组平行四边形；有说占的方格一样多，如第二、三组，很少说它们的底和高相等。我再次引导学生注意观察图形的特征和计算面积必须知道什么？经过小组讨论交流，学生渐渐有了自己的想法，有说各组图形的底和高分别相等，也有说它们的形状却不一样。底和高分别相等这在第一组平行四边形中很明显，教材这也体现了由易到难。通过探讨、归纳总结得出规律：等底（或同底）等高（或同高）的三角形（平行四边形、梯形）面积相等，但是形状不一定相同。
二、强化认知，熟悉区别
等底（或同底）等高（或同高）的三角形（平行四边形、梯形）面积相等。教学质量检测时经常会有一些文字或图形面积的判断题。学生在这方面极易混淆，甚至出现错误。为考验大家理解掌握情况，因而我紧接着设计了一组判断题：
1、两个三角形面积相等，它们的底和高一定相等。 （ × ）
2、同底等高的三角形可画无数个，它们的面积相等。 （ √ ）
3、两个等底等高的三角形，形状和面积都相同。 （ × ）
4、面积相等的两个三角形一定能拼成平行四边形。 （ × ）
5、等底等高的三角形和平行四边形，三角形面积是平行四边形面积的一半。 （ √ ）
6、一个平行四边形可以分成两个等底等高的三角形。 （ √ ）
7、平行四边形的面积是三角形的2倍。 （ × ）
8、等底等高的两个三角形一定能拼成平行四边形。 （ × ）
9、比较下面每一个图形中甲、乙阴影部分的面积大小。
A甲（ ）A乙、 B甲（ ）B乙、 C甲（ ）C乙、 D甲（ ）D乙
通过练习再次引导学生探讨等底等高的图形和它们面积、形状有什么关系？学生小组讨论交流后明白：等底等高的三角形（平行四边形、梯形）可以得出它们面积相等，但是形状不一定相同；面积相等的三角形（平行四边形、梯形）它们的底和高不一定对应相等；面积相等它们形状也不一定相同。当然在推导面积公式时说的完全一样的三角形（梯形）那也就是它们的形状和大小都相同了。
三、巩固知识，学以致用
案例1、学校拟建一个三角形花园，如果建成等边三角形如下左图，则没绕过底座圆形的雕塑，如果建和等边三角形ABC同样大的三角形花园，绕过雕塑则可以怎么建？

问题一提出，学生们议论纷纷，有了前面的经验很快有学生提出建和三角形ABC等底等高的三角形就行。那么可以建多少个这样的三角形？顺势提出第二个问题如上右图，画出和红色三角形面积相等的三角形来，看看谁画得多？记学生动手画一画，学生在画的过程中慢慢得出可以画出无数个这样三角形。并展示了一些学生的杰作。

案例2、计算图形中阴影部分面积

先出示图1和图2两道简单基础题，引导学生观察，学生甲说可以以正方形的边作三角形的底，三角形是钝角三角形，高较难找。学生乙说图1中三角形BCD以BC为底,高是EF，学生丙说图2三角形GFB选底GF好些，高是过B点作GF的垂线，并且和EF一样长。找到了底和高面积计算就不是问题了。我此时抛出画和阴影三角形等底等高的三角形来，学生热情高涨，积极动手画了起来。也拓展学生思维，培养学生求异思维，
接着出示下面图3图4，四边形ABCD、CEFG是正方形，求阴影部分面积。这两图初眼一看，学生就犹如丈二和尚摸不着头脑，学生有疑问了说，我习惯以三角形三条边中的一条边为底，再找这条边上的高，而这两图中三角形的边怎么知道长度呢？并且这高又躲到哪去 了？按常规方法用正方形面积和减去空白部分，可有一个正方形边长不知道？学生露出一脸茫然。这时我引导学生能不能找到和阴影三角形等底等高的三角形？学生在纸写写画画，马上有学生说，图3中连接CF,BD和CF是两个正方形的对角线，它们是平行的，我们前面高都是利用了平行线间距离处处相等。另一学生争相补充，三角形BDF和三角形BDC都可以以BD作底，那它们就同底等高了，面积也就相等了。一位女生抢着说，三角形BDF和三角形BDC三角形面积相等，并且三角形BDC恰好占正方形ABCD的一半，所以阴影部分三角形BDF面积占左边正方形ABCD面积的一半。知道了这一点问题也就迎刃而解了。
另有同学提出不同想法：如果我们把△DHF等面积转换为△BHC，则求解△BDF的面积就相当于求解△BDC的面积，而△BDC的面积刚好是小正方形面积的一半。我们知道直角梯形CEFD的面积＝（CD＋EF）×CE÷2，而直角三角形BEF的面积＝(BC＋CE) ×EF÷2，CD=BC,EF=CE,可见直角梯形CEFD的面积＝直角三角形BEF的面积，都减去的梯形CEFH面积，因此△DHF的面积＝△BHC的面积。所以我们可以确定△BDF的面积＝△BDC的面积＝小正方形面积的一半＝18平方厘米。
那图4呢？这时全班异口同声地说思路方法和图3相同，只是数据不同罢了。
案例3、公园有一块长方形的草坪，长100M，宽80M，现在草坪上建一条2M宽的折线形的道路如下左图，这条道路占去草坪多大面积？
这道题只有道路宽，没有长怎么入手？展开小组讨论，学生很快提出了自己想法，通过等积变化，变曲为直，平移变化成下面右图的形式。这时我还能说什么呢？
通过这次教学，我深信准确解读教材，可以提高课堂训练的有效性、目的性。教学中我们要认真研读、吃透教材，领悟编者意图。一次尝试让智慧在课堂中轻吟浅唱，收到了意想不到的收获。教学实践中积极探索课堂教学，激励学生思维，创设和谐开放的学习氛围，开发学生主体的智慧潜能，把学生看成能动的、极具个性发展、活生生的学习主体。这样就能不断生成智慧，让课堂成学生的智慧之旅。
四川省南江县南江镇第四小学 谢仕富 636600
电话：13551784751

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