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2.2 基本不等式
学案
一、学习目标
1.掌握基本不等式及其结构特点.
2.能用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.
二、知识归纳
1.基本不等式：，，有，当且仅当时，等号成立. 称为基本不等式，其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数.
2.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
三、习题检测
1.若，，且，则的最小值是( )
A.2 B. C. D.
2.已知函数，则函数的最小值等于( )
A. B. C.5 D.9
3.已知，，且，则xy的最大值是( )
A. B.4 C. D.8
4.若正数x，y满足，当取得最小值时，的值为( )
A. B.2 C. D.5
5.已知，，若不等式恒成立，则m的最大值等于( )
A.10 B.9 C.8 D.7
6.某地为了加快推进垃圾分类工作，新建了一个垃圾处理厂，每月最少要处理300吨垃圾，最多要处理600吨垃圾，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似表示为，为使每吨的平均处理成本最低，则该厂每月的处理量应为( )
A.300吨 B.400吨 C.500吨 D.600吨
7.（多选）已知两个不等正数a，b满足，则下列说法正确的是( )
A. B. C. D.
8.（多选）下列结论正确的是( )
A.当时，
B.当时，的最小值是2
C.当时，的最小值为5
D.当，时，
9.某气象学院用32万元买了一台天文观测仪，已知这台观测仪从启动的第一天即连续使用，使用n天的维修保养费为元，使用它直至“报废最合算”（所谓“报废最合算”是指使用这台仪器的平均每天耗资最少），一共使用了_________天.
10.若正数a，b满足，则______，________.
11.设，，，则的最小值为________.
12.某建筑公司用8000万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少12层，每层建筑面积为4000平方米的楼房.经初步估计得知，若将楼房建为层，则每平方米的平均建筑费用（单位：元）.为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？每平方米的平均综合费用的最小值是多少
（注：平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用=）
13.已知正数a，b满足.
（1）若，，求的值；
（2）求的最大值.
答案以及解析
1.答案：C
解析：因为，，所以，当且仅当时等号成立，故最小值为.故选C.
2.答案：C
解析：因为，所以，
当且仅当，即时，等号成立.故选C.
3.答案：C
解析：由题意得，，
当且仅当，即，时等号成立，所以xy的最大值是.故选C.
4.答案：B
解析：，，，，
，
当且仅当，即时等号成立，此时.故选B.
5.答案：B
解析：因为，，，所以.
又因为，当且仅当时等号成立，所以，故m的最大值为9.故选B.
6.答案：B
解析：设每吨的平均处理成本为s元，
由题意可得，其中.
由基本不等式可得，
当且仅当，即时，每吨的平均处理成本最低.故选B.
7.答案：ACD
解析：对于A，因为a，b为两个不等正数，所以，可得，故A正确；
对于B，因为，所以由选项A可知，，故B不正确；
对于C，因为，所以由A可知C正确；
对于D，因为，所以由选项A可知，，故D正确.故选ACD.
8.答案：AD
解析：在A中，当时，，，当且仅当时取等号，结论正确；
在B中，，当且仅当时取等号，而，故等号取不到，因此当时，的最小值不是2，结论错误；
在C中，因为，所以，则
，即时取等号，结论错误；显然D正确.故选AD.
9.答案：400
解析：设一共使用了n天，则使用n天的平均耗资为，
当且仅当，即时，等号成立，故一共使用了400天.
10.答案：1；
解析：因为，
，当且仅当且，即，时，等号成立，所以，.
11.答案：
解析：由，，得，所以，当且仅当，即，时，等号成立，所以，故所求的最小值为.
12.解析：设楼房每平方米的平均综合费用为y元.
依题意得.
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以当时，y取得最小值5000.
所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为20层，每平方米的平均综合费用的最小值为5000元.
13.解析：（1）由，可得，则.
（2）由（1）得，，
则
，
当且仅当中，即时，等号成立.

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