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12.3　角的平分线的性质
第1课时
学习目标
1.掌握作已知角的平分线的方法.
2.经历角的平分线的性质的发现过程，初步掌握角的平分线的性质定理.能运用角的平分线的性质定理解决简单的几何问题.
3.体会通过动手操作感知和运用推理论证获取规律的方法.
自主学习
学习任务一　回顾知识
1.角的平分线的定义：　 　 　　.
2.你能作出已知角的平分线吗？
学习任务二　角的平分线的作法
1.如图1是一个平分角的仪器，其中AB＝AD，BC＝DC.将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，AE就是这个角的平分线.你能说明它的道理吗？
答：在△ABC和△ADC中，
(
图
1
)
所以△ABC≌△ADC(　　　).
所以　　　　，
即射线AC就是∠DAB的平分线.
2.作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB.
(
图
2
)求作：∠AOB的平分线.
作法：(如图2)
(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点M，N.
(2)分别以点M，N为圆心，　　　　的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C.
(3)画射线OC.射线OC即为所求.
3.议一议：
(1)在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？为什么？
(2)第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？
学生讨论结果总结：
(1)　　 　　
　　 　　；
(2)　 　　　
　　 　　　.
学习任务三　角的平分线的性质
操作测量：
(1)在已经画好的角的平分线上任取一点P.(如图3)
(2)在三个不同的位置取点P，分别过点P作PD⊥OA，PE ⊥OB，点D，E为垂足.　　　
图3
(3)测量PD和PE的长，观察PD与PE的数量关系.
(4)将三次数据填入下表：观察测量结果，猜想线段PD与PE的大小关系，归纳角的平分线的性质.
次数 PD PE
第一次
第二次
第三次
角的平分线的性质：　　 　　　　 　　.
合作探究
证明命题：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
题设：一个点在一个角的平分线上.
结论：　　 　　.
已知：(如图4)OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E.
求证：　　　　.
(
图
4
)证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB，
∴ ∠PDO＝∠PEO＝90°.
在△POD和△POE中，
∴ 　　 　　.
∴ 　　 　　.
总结：1.角的平分线的性质：　　 　　　　 　　　　 　　.
2.用数学语言表述角的平分线的性质：
如图4，∵ OC是∠AOB的平分线，点P是 OC上的一点，PE⊥OB，PD⊥OA，
∴ 　　　　(　　 　　).
3.角的平分线的性质的作用是什么？
　　 　　
　　 　　
　　 　　
　　 　　.
4.解后思考：由角的平分线的性质的证明过程，你能概括出证明几何命题的一般步骤吗？
(1)　　 　　；
(2)　　 　　；
(3)　 　　　.
当堂达标
1.如图5，在Rt△ABC中，CF是斜边AB上的高，∠ABC的平分线BD交CF于点G，DE⊥AB于点E，则下列结论：①∠A＝∠BCF，②CD＝DE，③∠A＝∠DBA，④BC＝BE.
(
图
5
)其中正确的有　　　　.
2.∠AOB的平分线上有一点M，M到OA的距离是1.5 cm，则M到OB的距
离为　　　　.
3.如图6，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠ABC的平分线BD交AC于点D，AD＝3，BC＝10，则△DBC的面积是　　　　.
(
图
6
)4.如图7，∠1＝∠2，AE⊥OB于点E，BD⊥OA于点D，交点为C.求证：AC＝BC.
　　图7　　　　
5.如图8，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，PE∥AB，交BC于点E，PF∥AC，交BC于点F.求证：点D到PE和PF的距离相等.
　图8 　　　
课后提升
如图9，已知：AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC的延长线于点F.求证：DE＝DF.
　　　　图9　　 　　
反思感悟
我的收获：
　 　　　
　 　　　
我的易错点：
　　 　　
　　 　　
参考答案
当堂达标
1.①②④　2.1.5 cm　3.15
4.证明：∵ AE⊥OB，BD⊥OA，
∴ ∠ADC＝∠BEC＝90°.
∵ ∠1＝∠2，∴ CD＝CE.
在△ACD和△BCE中，
∴ △ACD≌△BCE(ASA)，∴ AC＝BC.
5.证明：∵ AD是∠BAC角平分线，
∴ ∠BAD＝∠CAD.
又∵ PE∥AB，PF∥AC，
∴ ∠EPD＝∠BAD，∠FPD＝∠CAD，
∴ ∠EPD＝∠FPD.
∴ 点D到PE和PF的距离相等.
课后提升
证明：连接AD(图略)，在△ABD和△ACD中，
∴ △ABD≌△ACD(SSS)，
∴ ∠BAD＝∠CAD.
∵ DE⊥AB，DF⊥AC，∴ DE＝DF.
12.3　角的平分线的性质
第2课时
学习目标
1.掌握角平分线的判定定理，了解角平分线性质及判定在生活、生产中的应用，并能用这些方法解决简单的数学问题.
2.经历探究角平分线判定的过程，发展合情推理能力和演绎推理能力，进一步发展推理证明意识和能力.
自主学习
学习任务一　回顾知识
1.角的平分线的性质定理的内容是什么？其中题设和结论是什么？
2.角的平分线的性质的作用是证明什么？
3.填空：如图1，
图1
∵ OC平分∠AOB，AC⊥OA，CB ⊥OB，
∴ 　　　(角的平分线的性质定理).
学习任务二　探究角的平分线的判定
把角的平分线的性质的题设和结论交换后得出什么命题？它是否正确？如何证明？
题设、结论交换后，题设：　 　　　；
结论：　 　　　.
证明上面的猜想.
已知：如图1，CA⊥OA于点A，BC⊥OB于点B，AC＝BC.
求证：　 　　　.
证明：∵ CA⊥OA，BC⊥OB，
∴ ∠A＝∠B＝90°.
在Rt△AOC和Rt△BOC中，
∴ Rt△AOC≌Rt△BOC(　　　　 ).
∴ 　　　　　　　　　，
即OC平分∠AOB.
归纳角的平分线的判定：　 　　　　　 　　.
用数学语言表示为(如图1)：
∵ 　　 　　，
∴ OC平分∠AOB.
学习任务三　角的平分线的判定的运用
如图2所示，要在S区建一个集贸市场，使它到公路、铁路的距离相等，且离公路与铁路交叉处500 m(图中比例尺为1∶20 000).
图2
(1)集贸市场建于何处，和本节学的角的平分线的性质有关吗？用哪一个定理可以解决这个问题？
(2)比例尺为1∶20 000是什么意思？
(3)按下列步骤作图找出集贸市场P点：
第一步：用尺规作图法作出　　　　　　　　　 OP.
第二步：在射线OP上截取　　　　　　，确定C点，C点就是集贸市场所建地.
合作探究
如图3，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P.
求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
图3
分析：点P到AB，BC，CA的垂线段PD，PE，PF的长就是P点到三边的距离，要证点P到三边AB，BC，CA的距离相等，即要证　　　　.而BM，CN分别是∠ABC，∠ACB的平分线，根据角的平分线的性质和等式的传递性可以解决这个问题.
证明：如图3，过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为D，E，F.
∵ BM是△ABC的角平分线，点P在BM上，
∴ PD＝PE(　　　　　　　　　　　　).
同理，PE＝PF.
∴ 　　 　　，
即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
当堂达标
1.如图4，已知AC⊥BC，点E在AB上，AE＝AC，DE⊥AB，则下列结论不成立的是(　　)
A.AD平分∠BAC B.∠BAC＝∠BDE
C.DC＝DE D.∠ADE＝∠BDE
　　　　
图4　　　　　　　　图5　
2.如图5，PD＝PE，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，则下列结论中错误的是(　　)
A.∠DOP＝∠EOP B.OD＝OE
C.∠DPO＝∠EPO D.PD＝OD
3.如图6，在直线MN上找到点P，使点P到∠AOB两边的距离相等，符合条件的有(　　)
A.0个 B.1个
(
图
6
)C.2个 D.3个
4.如图7，已知BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D，
BD＝CD.求证：AD平分∠BAC.
　
　　　　图7 　　
5.已知：如图8，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，且CD，BE相交于点O.
求证：(1)当∠1＝∠2时，OB＝OC；
(2)当OB＝OC时，∠1＝∠2.
　　图8 　　　
课后提升
如图9，已知∠A＝∠B＝90°，∠BCD，∠ADC的平分线交AB于点E.
求证：(1)AE＝BE；
(2)∠DEC＝90°.
　
　　图9 　
反思感悟
我的收获：
　 　　　　　 　　　 　　　
我的易错点：
　 　　　　 　　 　　 　　　
参考答案
当堂达标
1.D　2.D　3.B
4.证明：在△BDF和△CDE中，
∴ △BDF≌△CDE，∴ DF＝DE.
∴ 点D在∠BAC的平分线上，∴ AD平分∠BAC.
5.证明：(1)∵ ∠1＝∠2，OE⊥AC，OD⊥AB，
∴ OE＝OD.
在△OEC和△ODB中，
∴ △OEC≌△ODB(ASA)，
∴ OB＝OC.
(2)∵ OE⊥AC，OD⊥AB，
∴ ∠OEC＝∠ODB＝90°.
在△OEC和△ODB中，
∴ △OEC≌△ODB(AAS)，
∴ OE＝OD.
∴ 点O在∠CAB的平分线上，
∴ ∠1＝∠2.
课后提升
证明：(1)过点E作EF⊥DC于点F(图略).
∵ 点E是∠BCD，∠ADC的平分线的交点，
又∵ DA⊥AB，CB⊥AB，EF⊥DC，
∴ AE＝EF，BE＝EF，即AE＝BE.
(2)∵ ∠A＝∠B＝90°，∴ AD∥BC.
∴ ∠ADC+∠BCD＝180°.
又∵ ∠EDC＝∠ADC，∠ECD＝∠BCD，
∴ ∠EDC+∠ECD＝90°.
∴ ∠DEC＝180°-(∠EDC+∠ECD)＝90°.

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