资源简介

12.2　三角形全等的判定
第1课时
学习目标
1.熟练掌握“边边边”条件证明三角形全等.
2.通过画、量、观察、比较和猜想等过程，探索、归纳两个三角形全等的条件，并在具体应用中感悟.
3.通过探索活动，培养合作交流的意识和大胆猜想、乐于探究的良好品质以及发现问题的能力.
自主学习
学习任务一　回忆探究过的全等三角形
如图1，已知△ABC≌ △A′B′C′，找出其中相等的边与角.
图1
图中相等的边有：　 　
　　 　　　　　
相等的角有：　　 　 　
学习任务二　探究三角形全等的条件
活动一：只有一组对应边相等或一组对应角相等时两个三角形是否全等？
请同学们动手操作，最后以组为单位展示结果并交流补充.
结果展示：　　 　　
结论：　 　　　
活动二：给出两个条件时(一边一内角、两内角、两边)，两个三角形是否全等？
思考：每种情况下作出的三角形一定全等吗？分别按下列条件画一画.
(1)三角形的一个内角为30°，一条边长为3 cm.
(2)三角形的两个内角分别为30°和50°.
(3)三角形的两条边长分别为4 cm，6 cm.
结果展示：
结论：　　 　　
活动三：已知一个三角形的三条边长分别为6 cm， 8 cm，10 cm.你能画出这个三角形吗？把你画的三角形剪下来与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？
(1)作图方法：　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(2)发现：　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(3)结论：　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
学习任务三　“边边边”的运用
1.在如图2所示的三角形钢架中，AB＝AC，AD是连接点A与BC中点D的支架.
求证：△ABD≌△ACD.
证明：　　 　　　　　　　　　　　
(
图
2
)　　 　　　　　　　　　　　
2.已知：如图3，AD＝BC，AC＝BD.求证：∠A＝∠B.
证明：　　 　　　　　　　　　　　
　 　　　　　　　　　　　
注意：(1)三角形全等书写的三个步骤：
(
图
3
)①　　　　　　　　　　　　　　　　；
②　　　　　　　　　　　　　　　　；
③　　　　　　　　　　　　　　　　.
(2)已知条件包括两部分：一是已知中给出的，二是　　 　　　　 　　.
合作探究
尺规作图，已知：∠AOB(如图4).求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB，并说明∠A′O′B′＝∠AOB的理由.
图4
作法：(1)　 　　　
(2)　　 　　
(3)　 　　　
(4)　 　　　
(5)　　 　　
理由：　　 　　
当堂达标
1.如图5，在△ABC中，AB＝AC，EB＝EC，则由“SSS”可以直接判定(　　)
A.△ABD≌△ACD
B.△ABE≌△ACE
(
图
5
)C.△BDE≌△CDE
D.以上答案都不对
　　　
　　2.如图6，线段AD与BC交于点O，且AC＝BD，AD＝BC，则下面的结论中不正确的是(　　)
A.△ABC≌△BAD
B.∠CAB＝∠DBA
(
图
6
)C.OB＝OC
D.∠C＝∠D
3.在△ABC与△A′B′C′中，A′B′＝AB，C′A′＝CA，B′C′＝BC，∠A＝50°，∠B＝30°，则∠C′＝　　　　.
4.如图7，已知AM＝AN，BM＝BN.
求证：△AMB≌△ANB.
证明：在△AMB和△ANB中，
(
图
7
)
∴ 　　　　≌　　　　(　　).
5.如图8，点C是线段BE的中点，AB＝DE，AC＝DC，△ABC和△DEC全等吗？请说明理由.
　　　　图8　　　　
6.如图9，已知点G，E在线段BC上，BG＝CE，AB＝DC，AE＝DG.求证：∠B＝∠C.
　图9　 　　
课后提升
如图10，已知AB＝DC，AE＝BF，CE＝DF，∠A＝60°.
(1)求∠FBD的度数.
(2)求证：CE∥DF.
　图10
反思感悟
我的收获：
　　 　　
　　 　　
我的易错点：
　 　　　
　 　　　
参考答案
当堂达标
1.B　2.C　3.100°
4.AN　已知　BM　AB　AB　△AMB　△ANB　SSS
5.解：全等.
理由：∵ 点C是线段BE的中点，∴ BC＝EC.
在△ABC和△DEC中，
∴ △ABC≌△DEC(SSS).
6.证明：∵ BG＝CE，∴ BG+GE＝CE+GE，
∴ BE＝CG.
在△ABE和△DCG中，
∴ △ABE≌△DCG(SSS)，∴ ∠B＝∠C.
课后提升
(1)解：∵ AB＝DC，∴ AB+BC＝DC+BC，∴ AC＝BD.
在△AEC和△BFD中，
∴ △AEC≌△BFD(SSS)，∴ ∠A＝∠FBD.
又∵ ∠A＝60°，∴ ∠FBD＝60°.
(2)证明：∵ △AEC≌△BFD，∴ ∠ECA＝∠FDB，
∴ CE∥DF.
12.2　三角形全等的判定
第2课时
学习目标
1.知道“边角边”条件的内容，会用“边角边”证明两个三角形全等.(重点)
2.通过做一做、画一画等过程探究、归纳两个三角形全等的条件：SAS.
3.在具体应用上，通过练习，感悟几何题的分析证明过程.
自主学习
学习任务一　回顾知识
1.怎样的两个三角形是全等三角形？
2.全等三角形的性质有哪些？
学习任务二　探究三角形全等的条件
1.组织学生做游戏(找朋友)，游戏规则：发放图1中的各类卡片若干张，利用全等三角形的概念找到与自己手中的三角形卡片全等的卡片，即为朋友.
　　　
图1
朋友的共同点是什么？
2.如图2①，已知△ABC，画△A′B′C′，使A′B′＝AB，A′C′＝AC，∠A′＝∠A.
　　　　
①　　　　　 　　　②　
图2
画法：(1)画∠DA′E＝∠A；
(2)在射线A′D上截取A′B′＝AB，在射线A′E上截取A′C′＝AC；
(3)连接B′C′.如图2②，△A′B′C′即为所求.
把画好的△A′B′C′剪下来放在△ABC上，观察这两个三角形是否全等.
SAS：　 　　　
强调：　 　　　
学习任务三　SAS的运用
如图3，有一池塘，要测池塘两端A，B之间的距离，可先在平地上取一个点C，从点C不经过池塘可以直接到达点A和B.连接AC并延长到点D，使CD＝CA.连接BC并延长到点E，使CE＝CB，连接DE，那么量出DE的长就是A，B之间的距离.为什么？
图3
解：　 　　　
　　 　　
　　 　　
　　 　　
合作探究
教材第39页思考.
我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗？为什么？
如图4，把一长一短的两根细木棍的一端固定在一起，使长木棍的另一端与射线BC的端点B重合，固定住长木棍，转动短木棍，其另一端落在射线BC上的C点或D点，形成△OBC或△OBD.这个实验说明了什么？
图4
师生分析：图4中的△OBD和△OBC满足两边和其中一边的对角分别相等，即OB＝OB，OC＝OD，∠B＝∠B，但△OBD与△OBC不全等.
这说明：　 　　　
已知：如图5，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，求证：△ABD≌ △ACE.
图5
证明：　 　　　
　 　　　
当堂达标
1.下列条件中，能使△ABC≌△DEF的条件是(　　)
A.AB＝DE，∠A＝∠D，BC＝EF
B.AB＝DF，∠B＝∠E，BC＝EF
C.AB＝EF，∠A＝∠D，AC＝DF
D.BC＝EF，∠C＝∠F，AC＝DF
2.(2019·四川南充中考)如图6，点O是线段AB的中点，OD∥BC且OD＝BC.
(1)求证：△AOD≌△OBC.
(2)若∠ADO＝35°，求∠DOC的度数.
　图6　
3.如图7，已知∠ABC＝∠DEF，BE＝CF，要证明△ABC≌△DEF，若以“SAS”为依据，还要添加的条件是　　　　，写出证明过程.
　　图7　　　
4.如图8，已知AB＝AD，AC＝AE，∠1＝∠2.求证：∠ADE＝∠B.
　　图8　　
5.如图9，D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，点F在DE的延长线上，且EF＝DE.
求证：(1)BD＝FC.
(2)AB∥CF.
图9 　
课后提升
两个大小不同的等腰直角三角尺如图10①所示放置，图10②是由它抽象出的几何图形，点B，C，E在同一条直线上，连接DC，AE与DC相交于点F.
(1)请找出图10②中的全等三角形，并给予证明(说明：结论中不得含有未标识的字母)；
(2)证明：DC⊥BE.
　　①　　　　　②
　　　图10
反思感悟
我的收获：
　 　　　
　 　　　
我的易错点：
　 　　　
　 　　　
参考答案
当堂达标
1.D
2.(1)证明：∵ 点O是线段AB的中点，∴ AO＝BO.
∵ OD∥BC，∴ ∠AOD＝∠OBC，
在△AOD和△OBC中，∴ △AOD≌△OBC(SAS).
(2)解：∵ △AOD≌△OBC，∴ ∠ADO＝∠OCB＝35°.
∵ OD∥BC，∴ ∠DOC＝∠OCB＝35°.
3.解：AB＝DE.
证明：∵ BE＝CF，∴ BE+EC＝CF+EC，∴ BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，∴ △ABC≌△DEF(SAS).
4.证明：∵ ∠1＝∠2，∴ ∠1+∠DAC＝∠2+∠DAC，∴ ∠BAC＝∠DAE.
在△ABC和△ADE中，
∴ △ABC≌△ADE(SAS)，∴ ∠ADE＝∠B.
5.证明：(1)∵ E是AC的中点，∴ AE＝CE.
在△ADE和△CFE中，
∴ △ADE≌△CFE(SAS).∴ AD＝CF.
∵ D为AB的中点，∴ AD＝BD.∴ BD＝FC.
(2)由(1)知△ADE≌△CFE，∴ ∠A＝∠ECF，∴ AB∥CF.
课后提升
(1)解：△ABE≌△ACD.
∵ △ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴ AB＝AC，AE＝AD，∠BAC＝∠EAD＝90°.
∴ ∠BAC+∠EAC＝∠DAE+∠EAC.∴ ∠BAE＝∠CAD.
在△ABE和△ACD中，∴ △ABE≌△ACD(SAS).
(2)证明：∵ △ABE≌△ACD，∴ ∠AEB＝∠ADC.
∵ ∠ADC+∠AFD＝90°，∴ ∠AEB+∠AFD＝90°.
∵ ∠AFD＝∠CFE，∴ ∠AEB+∠CFE＝90°，
∴ ∠FCE＝90°，∴ DC⊥BE.
12.2　三角形全等的判定
第3课时
学习目标
1.掌握“角边角”“角角边”定理的内容，能初步应用“角边角”“角角边”定理判定两个三角形全等.
2.经历探究三角形全等条件的活动，体验用操作、归纳的方法得出数学结论的过程，培养发现问题、解决问题的能力.
3.通过探究三角形全等条件的活动，培养敢于面对困难、克服困难的信心.
自主学习
学习任务一　回顾知识
1.三角形中已知三个元素，有哪几种情况？
2.到目前为止，可以作为判定两个三角形全等的方法有几种？各是什么？
3.AAA能判断两个三角形全等吗？
学习任务二　探究三角形全等的条件ASA
1.三角形中已知两角一边有几种可能？
(1)两角和它们的夹边；(2)　　 　　.
2.三角形的两个内角分别是60°和80°，它们的夹边为4 cm，你能画一个三角形同时满足这些条件吗？
将你画的三角形剪下来，与同伴比较，观察它们是不是全等，你能得出什么规律？
得到的规律：　　 　　.
3.我们刚才作的三角形是一个特殊三角形，随意画一个△ABC，能不能作一个△A′B′C′，使∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，AB＝A′B′呢？
按下列步骤完成作图：(如图1)
　
图1
(1)先用量角器量出∠A与∠B的度数，再用直尺量出边AB的长；
(2)画线段A′B′，使A′B′＝AB；
(3)分别以A′，B′为顶点，A′B′为一边作∠DA′B′，∠EB′A′，使∠DA′B′＝∠CAB，∠EB′A′＝∠CBA.
(4)射线A′D与B′E交于一点，记为C′，即得到△A′B′C′.
将△A′B′C′剪下来，放在△ABC上，发现了什么？
发现的现象：　 　 　　.
总结：　　 　　.
学习任务三　探究三角形全等的条件AAS
思考：在一个三角形中两角确定，第三个角一定确定.我们是否可以不作图，用“ASA”推出“两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等”呢？
如图2，在△ABC和△DEF中，∠A＝∠D，∠B＝ ∠E，BC＝EF，△ABC与△DEF全等吗？能利用角边角条件证明你的结论吗？
图2
证明：
总结：
合作探究
1.如图3，点D在AB上，点E在AC上，AB＝AC，∠B＝∠C.
图3
求证：AD＝AE.
分析：AD和AE分别在△ADC和△AEB中，所以要证AD＝AE，只需证明　　　　
≌　　　　.
证明：
2.如图4，AB⊥BC，AD⊥DC，∠1＝∠2，求证：AB＝AD.
图4
分析：要证明边相等，先证明两个三角形全等，即证明　　　　≌　　　　.
证明：
当堂达标
1.如图5，下列条件中，不能证明△ABC≌△DCB的是(　　)
A.AB＝DC，AC＝DB
B.AB＝DC，∠ABC＝∠DCB
C.BO＝CO，∠A＝∠D
D.AB＝DC，OA＝OD
　　　
图5　　　　　　 　图6
2.如图6，AD∥BC，∠B＝∠D，则　　　　≌　　　　，理由是　　　　.
3.如图7，线段AC与BD交于点O，且OA＝OC，若利用ASA证明△OAB ≌△OCD，则可添加的条件是　　　　；
若利用AAS证明△OAB≌△OCD，可添加的条件是　　　　　　　　.
图7
4.如图8，AB平分∠CAD，∠1＝∠2.求证：△AEC≌△AED.
　　图8 　　　
5.如图9，AB∥CD，AE∥DF，BF＝CE，AE＝5，求DF的长.
　图9　　　
课后提升
1.如图10，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，点D，C，E在同一直线上，且AD⊥DE于点D，BE⊥DE于点E.求证：△ADC≌△CEB.
　图10　　
2.在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，分别过点B，C向经过点A的直线EF作垂线，垂足为点E，F.
　　　　　　
图11　　　　　　　　图12　　　　　　　　图13
(1)如图11，当EF与斜边BC不相交时，请探究EF，BE，CF之间的数量关系；
(2)如图12，当EF与斜边BC这样相交时，其他条件不变，请探究EF，BE，CF之间的数量关系；
(3)如图13，当EF与斜边BC这样相交时，其他条件不变，猜想EF，BE，CF之间的数量关系.
　　　
反思感悟
我的收获：
　 　　　
　 　　　
我的易错点：
　　 　　
　　 　　
参考答案
当堂达标
1.D　2.△ABC　△CDA　角角边(AAS)
3.∠A＝∠C或AB∥CD　∠B＝∠D或AB∥CD
4.证明：∵ AB平分∠CAD，∴ ∠CAE＝∠DAE.
∵ ∠1＝∠2，∠1+∠AEC＝∠2+∠AED，
∴ ∠AEC＝∠AED.
在△AEC和△AED中，
∴ △AEC≌△AED(ASA).
5.解：∵ BF＝CE，∴ BF-EF＝CE-EF，
∴ BE＝CF.
∵ AE∥DF，∴ ∠AEF＝∠DFE.
∵ ∠AEB+∠AEF＝∠DFC+∠DFE，
∴ ∠AEB＝∠DFC.
∵ AB∥CD，∴ ∠B＝∠C.
在△ABE和△DCF中，
∴ △ABE≌△DCF(ASA)，∴ AE＝DF.
∵ AE＝5，∴ DF＝5.
课后提升
1.证明：∵ △ABC是等腰直角三角形，
∴ ∠ACB＝90°，AC＝CB.
∴ ∠ACD+∠BCE＝90°.
又∵ AD⊥DC，∴ ∠ADC＝90°，
∴ ∠ACD+∠DAC＝90°，∴ ∠ECB＝∠DAC.
∵ BE⊥DE，∴ ∠CEB＝90°.
在△ADC和△CEB中，
∴ △ADC≌△CEB(AAS).
2.解：(1)∵ BE⊥EA，CF⊥AF，
∴ ∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°，
∴ ∠EAB+∠FAC＝90°，∠EBA+∠EAB＝90°，
∴ ∠FAC＝∠EBA.
在△ABE和△CAF中，
∴ △BEA≌△AFC(AAS)，
∴ EA＝FC，BE＝AF，
∴ EF＝EA+AF＝BE+CF.
(2)∵ BE⊥EA，CF⊥AF，
∴ ∠BAC＝∠BEA＝∠CFE＝90°，
∴ ∠EAB+∠CAF＝90°，∠ABE+∠EAB＝90°，
∴ ∠CAF＝∠ABE.
又∵ AB＝AC，∴ △BEA≌△AFC(AAS).
∴ BE＝AF，EA＝FC.
∵ EF＝AF-AE，∴ EF＝BE-CF.
(3)EF＝CF-BE.
理由：∵ BE⊥EA，CF⊥AF，
∴ ∠BAC＝∠BEA＝∠CFA＝90°，
∴ ∠EAB+∠CAF＝90°，∠ABE+∠EAB＝90°，
∴ ∠CAF＝∠ABE.
又∵ AB＝AC，∴ △BEA≌△AFC(AAS).
∴ EA＝FC，BE＝AF.
∵ EF＝EA-AF，∴ EF＝CF-BE.
12.2　三角形全等的判定
第4课时
学习目标
1.探索并掌握两个直角三角形全等的条件“HL”，并能应用它证明两个直角三角形全等.(重、难点)
2.经历作图、比较、证明等探究过程，提高分析、作图、归纳、表达、逻辑推理等能力，并通过对知识方法的总结，培养反思的习惯，培养理性思维.(难点)
3.培养应用意识.
自主学习
学习任务一　回顾知识
1.判定两个三角形全等的方法有哪些？
2.(出示投影)舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量长度.(如图1)
图1
(1)你能帮他想个办法吗？
方法1：　　 　　.
方法2：　 　　　.
(2)如果他只带了一个卷尺，没有带量角器，能完成这个任务吗？
学习任务二　通过作图探究两个直角三角形是否全等
1.作图：如图2①，任意画出一个Rt△ABC，∠C＝90°.再画一个Rt△A′B′C′，使得∠C′＝90°，B′C′＝BC，A′B′＝ AB.
按照下面的步骤画Rt△A′B′C′(如图2②).
①　　　　　　　　②
图2
(1)作∠MC′N＝90°；
(2)在射线C′M上截取　　 　　；
(3)以B′为圆心，AB长为半径画弧，交射线C′N于点A′；
(4)　　 　　.
2.剪下这两个三角形，把它们叠在一起进行比较，发现什么现象？
发现的现象：　　 　　.
3.直角三角形全等的判定定理：　 　　　.
几何语言：(如图3)
图3
在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，
　　　　　　　　　　　　
∴ 　　　　(　　).
4.你能够用几种方法说明两个直角三角形全等？
直角三角形是特殊的三角形，所以它不仅有一般三角形判定全等的方法“　　　　”，
还有其特殊的判定方法——“　　　　”.
注意：“HL”是直角三角形独有的判定方法，它是通过斜边、直角边分别相等来判定的，类似于“SSA”，但是对于一般的两个三角形，“SSA”不可以证明其全等.
合作探究
1.如图4，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，点O为DB与AC的交点，AC＝BD.求证：BC＝AD.
(
图
4
)分析：欲证BC＝AD，首先应寻找和这两条线段有关的三角形，这里有△ABD和△BAC，△ADO和△BCO，经过条件的分析可证明　　 　　.
证明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，∴ ∠C＝∠D＝90°.
2.如图5，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DFE的大小有什么关系？为什么？
　　图5
当堂达标
1.下列语句中不正确的是(　　)
A.斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B.有两边对应相等的两个直角三角形全等
C.有两个锐角相等的两个直角三角形全等
D.有一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
2.如图6，O是∠BAC内一点，且点O到AB，AC的距离OE＝OF，则△AEO≌△AFO的依据是(　　)
A.HL B.AAS C.SSS D.ASA
　　　
图6　　　　　　 　图7
3.如图7，已知∠C＝∠D＝90°，若添加一个条件，可使用“HL”判定Rt△ABC≌Rt△ABD，则以下给出的条件适合的是(　　)
A.AC＝AD B.AB＝AB
C.∠ABC＝∠ABD D.∠BAC＝∠BAD
4.如图8，AD，BE为△ABC的高，BE交AD于点F，且有BF＝AC，FD＝CD.求证：∠C＝∠AFE.
　
　图8　
5.如图9，在△ABC中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且AE＝CF.
(1)求证：Rt△ABE≌Rt△CBF.
(2)若∠CAE＝30°，求∠ACF的度数.
　　　　　
图9
　
课后提升
如图10，已知AB⊥CF，DE⊥CF，垂足分别为B，E，AB＝DE，请添加一个适当的条件，使△ABC≌△DEF，并予以证明.
　
　图10　　 　　
反思感悟
我的收获：
　　 　　 　 　　　
　　 　　 　 　　　
我的易错点：
　　 　　　 　 　　
　　 　　　 　 　　
参考答案
当堂达标
1.C　2.A　3.A
4.证明：在Rt△BFD和Rt△ACD中，
∴ Rt△BFD≌Rt△ACD(HL)，∴ ∠BFD＝∠C.
∵ ∠BFD＝∠AFE，∴ ∠C＝∠AFE.
5.(1)证明：∵ ∠ABC＝90°，∴ ∠CBF＝∠ABE＝90°.
在Rt△ABE和Rt△CBF中，
∴ Rt△ABE≌Rt△CBF(HL).
(2)解：∵ AB＝BC，∠ABC＝90°，∴ ∠CAB＝∠ACB＝45°.
∴ ∠BAE＝∠CAB-∠CAE＝45°-30°＝15°.
由(1)知Rt△ABE≌Rt△CBF，∴ ∠BCF＝∠BAE＝15°，
∴ ∠ACF＝∠BCF+∠ACB＝45°+15°＝60°.
课后提升
解：AC＝FD(答案不唯一).
证明：在Rt△ABC和Rt△DEF中，
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF(HL).

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