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13.4　课题学习　最短路径问题
第1课时
学习目标
1.利用轴对称知识解决两点之间最短路径问题.(重、难点)
2.通过解决实际问题，培养问题转化能力.
自主学习
学习任务一　直线异侧两点间最短距离
如图1所示，已知点A，B分别是直线l异侧的两点，如何在l上找到一个点，使得这个点到A，B两点的距离和最短？为什么？
图1
总结：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要　　　　这两点，与直线的　　　　即为所求.
学习任务二　直线同侧两点间最短距离
问题情境：牧马人从图2中的A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路径最短？为什么？
图2
1.这是一个实际问题，你打算首先做什么？
答：将A，B 两地抽象为两个　　　　，将河l 抽象为一条　　　　.
2.你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？
答：(1)从　　　　地出发，到河边　　　　饮马，然后到　　　　地；
(2)在河边饮马的地点有　　　　处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再到B 地的路程之和；
(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和最　　　　的直线l上的点.
设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小(如图3).
合作探究
小组合作，完成下面问题：
如图3所示，在直线l上找到一点C，使它到A，B两点的距离和最小.
图3
师生活动
学生独立思考并利用所学知识解决问题，教师巡回指导，小组讨论总结作图方法.
作法：
(1)　　 　　；
(2)　 　　　；
(3)　 　　　.
总结：求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接　　　　点与另一个点，则与该直线的　　　　即为所求.
当堂达标
1.如图4所示，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，修建在河边什么地方，可使所用的水管最短？(请通过你所学的知识找出这个地点的位置)
图4　 　　　
2.如图5所示，四边形EFGH是一个矩形的球桌面，有黑白两球分别位于A，B两点，试说明怎样撞击白球B，才使白球B先撞击球桌边EF，反弹后又能击中黑球A？
图5　 　　　
3.作图：(1)如图6所示，在直线l上求作一点P，使PA+PB最小；
(2)如图7所示，在直线l上求作一点P，使PA-PB最大.
　　　
图6 　　　　　　　　　　　图7
反思感悟
我的收获：
　 　　　　　 　　　 　　　
我的易错点：
　 　　　　 　　 　　 　　　
参考答案
当堂达标
1.分析：如图8所示，利用轴对称作对称点.
图8
解：先作点B关于河岸的对称点，然后连接此对称点与点A，交河岸于点P，点P即为所求.
2.分析：如图9所示，可作出点A关于球桌边EF的对称点A1，连接BA1交EF于点O，点O即为所求的点.
图9
解：先作出点A关于球桌边EF的对称点A1，连接BA1交EF于点O.将球杆沿BOA1的方向撞击白球B，可使白球B先撞击球桌边EF，然后反弹后又能击中黑球A.
3.分析：(1)作点B关于l的对称点B′，连接AB′，线段AB′与l交于点P，则点P就是所求点，也可作A关于l的对称点A′；(2)连接AB，并延长交直线l于点P.
解：(1)如图10所示，作点B关于l的对称点B′，连接AB′，线段AB′与l交于点P，则点P就是所求点，此时，PA+PB最小；
　　　
图10　　　　　　　　　　　图11　　
(2)如图11所示，连接AB，并延长交直线l于点P，此时，PA-PB最大.
13.4　课题学习　最短路径问题
第2课时
学习目标
1.学会利用平移解决实际问题中“造桥选址”中的路径最短的问题.(重点)
2.通过独立思考，合作探究，培养运用数学知识解决实际问题的基本能力，感受学习成功的快乐.
自主学习
学习任务　造桥选址问题
问题情境：如图1所示，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？(假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)
图1
1.这是一个实际问题，你打算首先做什么？ 你能将这个问题抽象为数学问题吗？
2.要研究AM+NB的和最小，但AM和NB不衔接，如何将AM转化到与NB有公共点的位置，且线段长度不变，可以借助哪种几何变化？
答：1.如图2所示，将A，B 两地抽象为两个　　　　，将河两岸抽象为两条平行　　　　，当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB的和最小？由于河岸宽度是固定的，即将问题转化为：当点N在直线b的什么位置时，AM+NB的和最　　　　？
　　　
图2　　　　　　　　　　　
2.如图3所示，将桥MN平移到AA′处，且M与A重合，则N与A′重合，由平移性质知AM＝NA′.由“两点之间，线段最短”的性质知，要使AM+BN最短(即NA′+BN最短)，只要点N在线段BA′上即可.
图3
合作探究
小组合作，利用图4完成上面问题的证明.
图4　 　
当堂达标
1.在解决最短路径问题时，我们通常利用　　　　　、 　　　　　等变换把已知问题转化为容易解决的问题，从而做出最短路径的选择.
2.如图5所示，幸福小区A和超市B位于公路的两侧，现要在公路上建一座天桥，天桥建在何处可使幸福小区A的人到超市B购物最近？(假定公路的两边是平行的直线，天桥与公路垂直)
图5
反思感悟
我的收获：
　 　　　　　 　　　 　　　
　 　　　　　 　　　 　　　
我的易错点：
　 　　　　 　　 　　 　　　
　 　　　　 　　 　　 　　　
参考答案
当堂达标
1.轴对称　平移
2.解：如图6所示，过点 A作AC⊥l1于点C，在线段AC上截取AA′等于公路宽，然后连接BA′交l2于点N，最后过点N作MN⊥l1于点 M，则MN即为所求的建桥的地点.
图6

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