资源简介

13.3　等腰三角形
13.3.1　等腰三角形
第1课时
学习目标
1.探索并证明等腰三角形的两个性质.(重点)
2.能利用性质证明两个角相等或两条线段相等.(难点)
3.结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用.(重点)
自主学习
学习任务一　等腰三角形的性质
在练习本上任意画一个等腰三角形，把它剪下来，折一折，上面得出的结论仍然成立吗？由此你能概括出等腰三角形的性质吗？
答：等腰三角形的性质：
1.等腰三角形的两个底角　　　　　；
2.等腰三角形的顶角　　　　线、底边上的　　　　线、底边上的　　　　相互重合.
学习任务二　等腰三角形性质的证明
利用试验操作的方法，我们发现并概括出等腰三角形的性质1和性质2.对于性质1，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？
1.请你根据结论画出图形，写出已知：　　　　；
求证：　　 　　.
2.结合所画的图形，你认为证明两个底角相等的思路是　　 　　.
3.如何在一个等腰三角形中构造出两个全等三角形呢？
答：　　 　　.
合作探究
小组合作，完成以下几个问题：
1.如图1，可以把等腰三角形的性质2分解为三个命题，你能分别写出并证明吗？
图1
2.在等腰三角形性质的探索过程和证明过程中，“折痕”“辅助线”发挥了非常重要的作用，由此，你能发现等腰三角形具有什么特征？
答：等腰三角形的特征是：等腰三角形是　　　　图形，底边上的中线(顶角的平分线、底边上的高)所在直线就是它的　　　　.
当堂达标
1.(1)等腰三角形的一个角是110°，它的另外两个角的度数是　　　　.
(2)等腰三角形的一个角是80°，它的另外两个角的度数是　　　　.
(3)已知等腰三角形的两边长分别为3和7，则第三边的长为　　　　.
(4)已知等腰三角形的一边长等于5，另一边长为6，则它的周长为　　　　.
2.如图2，在△ABC中，AB＝AD＝DC，∠BAD＝26°，则∠B和∠C的度数分别是　　　　.
　　　
　 图2　　　　　　　　图3
3.如图3，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A的度数为　　　　.
4.若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，求该等腰三角形顶角的度数.
5.如图4，在△ABC中，AB＝AC，AD和BE是高，它们相交于点H，且AE＝BE，求证：AH＝2BD.
图4 　
6.角平分线与等腰三角形有着十分密切的联系.在许多几何问题中，遇到等腰三角形就会想到顶角平分线，遇到角平分线又能作出等腰三角形.当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形.如图5①中，若AD平分∠BAC，AD∥EC，则△AEC是等腰三角形；如图5②中，若AD平分∠BAC，DE∥AC，则△ADE是等腰三角形；如图5③中，若AD平分∠BAC，CE∥AB，则△ACE是等腰三角形；如图5④中，若AD平分∠BAC，EF∥AD，则△AGE是等腰三角形.
　　
　　 ①　　　　　②　　　　　 ③　　　　　 ④　　　　　　　图6
图5　　　　　　　　　　　　　　　　
如图6，在△ABC中，AB＝AC，在AC上取点P，过点P作EF⊥BC，交BA的延长线于点E，垂足为F.求证：AE＝AP.
课后提升
我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k＝，则该等腰三角形的顶角为　　　　度.
反思感悟
我的收获：
　 　　　　　 　　　 　　　
　 　　　　　 　　　 　　　
我的易错点：
　 　　　　 　　 　　 　　　
　 　　　　 　　 　　 　　　
参考答案
当堂达标
1.(1)35°，35°　(2)80°，20°或50°，50°　(3)7
(4)16或17
2.77°，38.5°　3.36°
4.解：(1)如图7，由题意知∠ABD＝40°.
在Rt△ADB中，∠A＝90°-∠ABD＝90°-40°＝50°.
　　　
图7　　　　　　 　图8 　
(2)如图8，由题意知∠ABD＝40°.
在Rt△ABD中，∠DAB＝90°-40°＝50°，
∴ ∠BAC＝130°.
∴ 该等腰三角形顶角的度数为50°或130°.
5.证明：∵ AB＝AC，AD是高，∴ BC＝2BD.
∵ AD，BE是高，∴ ∠ADC＝90°，∠AEH＝∠BEC＝90°.
∴ ∠HAE+∠C＝90°，∠CBE+∠C＝90°.
∴ ∠HAE＝∠CBE.
在△AHE和△BCE中，
∠HAE＝∠CBE，AE＝BE，∠AEH＝∠BEC，
∴ △AHE≌△BCE(ASA).∴ AH＝BC.
又∵ BC＝2BD，∴ AH＝2BD.
6.证明：如图9，作AD平分∠BAC，
图9
∴ ∠BAD＝∠CAD.
∵ AB＝AC，∴ AD⊥BC.
∵ EF⊥BC，故AD∥EF.
∴ ∠E＝∠BAD，∠CAD＝∠APE.
∴ ∠E＝∠APE，∴ AE＝AP.
课后提升
36　解析：根据“特征值”的定义，设该等腰三角形的顶角度数为x，则一个底角的度数为2x，所以x+2x+2x＝180°，解得x＝36°.
13.3.1　等腰三角形
第2课时
学习目标
1.探索等腰三角形的判定定理.(重点)
2.理解等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明.(难点)
3.了解等腰三角形的尺规作图.(重点)
自主学习
学习任务　等腰三角形的判定方法
1.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边　　　　　　　　.
2.1中命题的题设是　　　　　　　　；结论是　　　　　　　　　　 .如何证明这个命题？(请尝试用多种方法证明)
方法一：　　方法二：　　方法三：
合作探究
小组合作，完成以下几个问题：
1.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形.
已知：如图1所示，∠CAE 是△ABC 的外角，∠1 ＝∠2，AD∥BC.
求证：AB＝AC.
证明：∵ AD∥BC，
(
图
1
)∴ ∠1＝∠B(　　　　　　　　)，∠2＝∠C(　　　　　　　　).
而已知∠1＝∠2，∴ ∠B＝∠C.
∴ AB＝AC(　　　　　　　　　　　　).
2.如图2所示，已知等腰三角形底边长为a ，底边上的高为h，求作这个等腰三角形.
图2
作法：
(1)　　　　　　　　　　　　　　　 ；
(2)　　　　　　　　　　　　　　　 ；
(3)　　　　　　　　　　　　　　　 ；
(4)　　　　　　　　　　　　　　　 .
当堂达标
1.如图3，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D，E分别是BC上的两点，且∠BAD＝∠DAE＝∠EAC，则图中的等腰三角形分别是　　　　　　　　.
　　
图3　　　　　　　 　图4
2.如图4，在△ABC中，点D是边BC上一点，∠BAD＝80°，AB＝AD＝DC，则∠C＝　　　.
3.如图5，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，分别交AB，AC于点D，E.若BD+CE＝6，则线段DE的长为(　　)
A.9 B.8
C.7 D.6
(
图
5
)4.已知：如图6所示，AD∥BC，BD平分∠ABC，试判断△ABD的形状，并说明理由.
　图6　　 　
5.如图7，AB＝AC，E为CA的延长线上一点，作ED⊥BC于点D，交AB于点F，求证：△AEF为等腰三角形.
　图7 　　
6.如图8所示，把一张长方形的纸沿对角线折叠，则重合部分是等腰三角形吗？为什么？
　　　图8　 　　
7.如图9，在等腰三角形ABC中，∠A＝36°，请设计出三种不同的方法，将△ABC分割成三个三角形，并且使每个三角形都是等腰三角形.
图9　　
课后提升
在等腰三角形ABC中，BD⊥AC，垂足为D，且BD＝AC，则等腰△ABC的底角的度数为　　　　.
反思感悟
我的收获：
　 　　　　　 　　　 　　　
　 　　　　　 　　　 　　　
我的易错点：
　 　　　　 　　 　　 　　　
　 　　　　 　　 　　 　　　
参考答案
当堂达标
1.△ABC，△ABD，△ADE，△AEC，△ABE，△ACD
2.25°　3.D
4.解：△ABD是等腰三角形.理由：
∵ AD∥BC，∴ ∠ADB＝∠DBC.
又∵ BD平分∠ABC，∴ ∠ABD＝∠DBC，
∴ ∠ADB＝∠ABD，∴ AB＝AD，
∴ △ABD是等腰三角形.
5.证明：∵ AB＝AC，∴ ∠B＝∠C.
又∵ ED⊥BC，∴ ∠C+∠E＝90°，∠B+∠BFD＝90°.
∴ ∠E＝∠BFD.
又∵ ∠AFE＝∠BFD，∴ ∠E＝∠AFE.
∴ AE＝AF.∴ △AEF为等腰三角形.
6.解：重合部分是等腰三角形.理由如下：
根据轴对称的性质可得AF＝CD＝AB，∠F＝∠D＝90°.
又∠FHA＝∠DHC，∴ △FAH≌△DCH(AAS)，
∴ CH＝AH，∴ 重合部分是等腰三角形.
7.如图7①②③所示.
① 　　 ② ③
图7
课后提升
15°或45°或75°　解析：分情况讨论：
(1)当∠B为顶角时，三角形ABC是等腰直角三角形，如图8①，底角∠A＝∠B＝45°；
(2)当∠B为底角，∠BAC为锐角时，如图8②，BD＝AC，∴ ∠BAC＝30°，则∠B＝75°；
(3)当∠B为底角，∠BAC为钝角时，如图8③，BD＝AC，∴ ∠BAD＝30°，∠BAC＝150°，则∠B＝15°.
∴ 等腰三角形ABC底角的度数为45°或75°或15°.
①　　　　 ② ③
图8
13.3.2　等边三角形
第1课时
学习目标
1.探索等边三角形的性质和判定.(重点)
2.能运用等边三角形的性质和判定进行计算和证明.(难点)
自主学习
学习任务一　等边三角形的性质
1.请分别画出一个等腰三角形和一个等边三角形，结合你画的图形说出它们有什么区别和联系.
区别：　　　　　　　　　　　　　　　　.
联系：　　　　　　　　　　　　　　　　 .
2.研究三角形我们一般要看三角形的边、角、对称性等.等腰三角形有哪些特殊的性质呢？
从边的角度：　　　　　　　　　　　；从角的角度：　　　　　　　　　　　；
从对称性的角度：　　　　　　　　　　　 .
3.将等腰三角形的性质用于等边三角形，你能得到什么结论？结合等腰三角形的性质，你能得到等边三角形对应的结论吗？填在下表中：
图形 边 角 轴对称图形
等腰三角形 两边相等 (定义) 两底角相等 (等边对等角) 是(三线合一)， 有一条对称轴
等边三角形 三边相等 (定义)
4.你能证明“等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°”这一结论吗？
图1
已知：如图1，　　　　　　　　　　.
求证：　　　　　　　　　　.
证明：　　　　　　　　　　.
5.等边三角形是轴对称图形吗？若是轴对称图形，请画出它的对称轴.
学习任务二　等边三角形的判定
等边三角形除了用定义(即用边)来判定以外，能否利用角来判定呢？一个三角形的三个内角满足什么条件时是等边三角形？一个等腰三角形满足什么条件时是等边三角形？
(1)从边的角度：三边　　　　　的三角形是等边三角形.
(2)从角的角度： 等边三角形的判定定理1：三个角都　　　　的三角形是等边三角形.
等边三角形的判定定理2：有一个角是　　　　°的　　　　三角形是等边三角形.
合作探究
小组合作，共同完成下面题目的证明过程.
如图2所示，△ABC 是等边三角形，DE∥BC，分别交AB，AC 于点D，E.求证：△ADE 是等边三角形.
证明：
图2
当堂达标
1.如图3，在等边三角形ABC中，BD为AC边上的中线，CE为∠ACB的平分线，BD，CE交于点M，则∠BME＝　　　　.
(
图
3
)2.下列三角形：①有两个角等于60°的三角形；②有一个角等于60°的等腰三角形；③三个外角(每个顶点处各取一个外角)相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形.其中是等边三角形的有(　　)
A.①②③　　 B.①②④
C.①③　 　 D.①②③④
3.已知∠AOB＝30°，点P在∠AOB的内部，点P1与点P关于OB对称，点P2与点P关于OA对称，则P1，O，P2三点构成的三角形是(　　)
A.直角三角形 B.钝角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
4.如图4，P为正方形ABCD内一点，且△PBC为等边三角形，则∠APD的度数为　　　　.
图4
5.如图5，△DEF是等边三角形，且∠1＝∠2＝∠3.
问：△ABC是等边三角形吗？说明理由.
　图5 　　
6.如图6，已知点B，C，D在同一条直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H.
(1)求证：△BCE≌△ACD.
(2)求证：CF＝CH.
(3)判断△CFH的形状并说明理由.
　　图6
7.如图7，已知△ABC为等边三角形，点D，E分别在边BC，AC上，且AE＝CD，AD与BE相交于点F.
(1)求证：△ABE≌△CAD.
(2)求∠BFD的度数.
图7
反思感悟
我的收获：
　 　　　　　 　　　 　　　
　 　　　　　 　　　 　　　
我的易错点：
　 　　　　 　　 　　 　　　
　 　　　　 　　 　　 　　　
参考答案
当堂达标
1.60°　2.D　3.D　4.150°
5.解：△ABC是等边三角形.理由：
如图8，∵ △DEF为等边三角形，
∴ ∠4＝∠5＝∠6＝60°，
∴ ∠ABC＝∠2+∠7＝∠1+(∠4-∠1)＝∠4＝60°，
同理∠BAC＝∠ACB＝60°.
∴ △ABC为等边三角形.
图8
6.(1)证明：∵ △ABC和△CDE都是等边三角形，
∴ BC＝AC＝AB，EC＝CD＝ED，∠BCA＝∠DCE＝60°，∴ ∠BCE＝∠ACD.
在△BCE和△ACD中，
∴ △BCE≌△ACD(SAS).
(2)证明：∵ △BCE≌△ACD，∴ ∠CBF＝∠CAH.
∵ ∠ACB＝∠DCE＝60°，∴ ∠ACH＝60°.
∴ ∠BCF＝∠ACH.
在△BCF和△ACH中，
∴ △BCF≌△ACH(ASA)，∴ CF＝CH.
(3)解：△CFH是等边三角形.理由如下：
∵ CF＝CH，∴ △CFH是等腰三角形.
又∠ACH＝60°，∴ △CFH是等边三角形.
7.(1)证明：在△ABE和△CAD中，
∴ △ABE ≌△CAD (SAS) .
(2)解：由(1)知△ABE ≌△CAD，
∴ ∠ABF＝∠CAD.
∵ △ABC为等边三角形，∴ ∠BAC＝60°，
∴ ∠BAF+∠CAD＝60°，∴ ∠BAF+∠ABF＝60°.
∵ ∠BFD为△ABF的一个外角，∴ ∠BFD＝60°.
13.3.2　等边三角形
第2课时
学习目标
1.探索含30°角的直角三角形的性质.(重点)
2.理解含30°角的直角三角形的性质，并会应用它进行有关的证明和计算.(难点)
自主学习
学习任务　含30°角的直角三角形的性质
1.等边三角形是轴对称图形，若沿着其中一条对称轴折叠，能产生什么特殊图形？
2.这个特殊的直角三角形相比一般的直角三角形有什么不同之处，它有什么特殊性质？
答：(1)对称轴把这个等边三角形平均分成两个　　　　.
(2)这个直角三角形的两个锐角分别是　　　 °和　　　　°，并且斜边长是30°角所对的直角边长的　　　　.
(3)“在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半”.在这句话中，
条件是：　　　　　　 　　.
结论是：　　 　　.
符号语言描述为：∵ 在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A＝30°，∴ BC＝　　　　AB.
已知：如图1所示，在Rt△ABC 中，∠C ＝90°，∠A ＝30°.
图1
求证：BC＝AB.
证明：
合作探究
小组合作，完成本题：
(
图
2
)如图2所示是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB＝7.4 m，∠A＝30°，立柱BC，DE要多长.
解：
当堂达标
1.等腰三角形一底角为30°，底边上的高为9 cm，则其腰长是　　　　，顶角是　　　　.
2.在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠A＝30°，则CD＝　　　　AC，BC＝
　　　　AB，BD＝　　　　BC，BD＝　　　　AB.
3.(湖南湘潭中考)如图3所示，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD＝　　　　.
图3
4.如图4所示，在等腰三角形ABC中，顶角∠A＝120°，AB＝AC，AC的垂直平分线分别交AC，BC于点E，F.求证：BF＝2CF.
　　　图4　　　　
5.已知∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD∥OA交OB于点D，PE⊥OA于点E，OD＝4 cm，求PE的长.
6.如图5，在△ABC中，已知AB＝AC，∠C＝30°，AB⊥AD，AD＝4 cm.
求：(1)∠DAC的度数；
(2)BC的长.
　　图5　　
7.某市在“旧城改造”中计划在市内一块如图6所示的三角形空地上种植某种草皮以美化环境，已知这种草皮每平方米a元，则购买这种草皮至少要多少元？
　图6　　
反思感悟
我的收获：
　 　　　　　 　　　 　　　
　 　　　　　 　　　 　　　
我的易错点：
　 　　　　 　　 　　 　　　
　 　　　　 　　 　　 　　　
参考答案
当堂达标
1.18 cm　120°　2.　　　　3.30°
4.证明：如图7所示，连接AF.
图7
∵ AB＝AC，
∴ ∠B＝∠C(等边对等角).
∵ ∠BAC＝120°，
∴ ∠B＝∠C＝30°(三角形内角和定理).
∵ EF是AC的垂直平分线(已知)，
∴ AF＝CF(垂直平分线的性质)，
∴ ∠1＝∠C＝30°(等边对等角)，
∴ ∠2＝∠BAC-∠1＝90°.
在Rt△BAF中，AF＝BF(直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半)，AF＝CF(已证)，
∴ CF＝BF(等量代换)，
即BF＝2CF.
5.解：如图8所示，过点P作PF⊥OB于点F.
图8
∵ ∠AOB＝30°，OC平分∠AOB，
∴ ∠AOC＝∠BOC＝15°.
∵ PD∥OA，
∴ ∠DPO＝∠AOP＝15°，
∴ ∠DPO＝∠BOC，∴ PD＝OD＝4 cm.
∵ ∠AOB＝30°，PD∥OA，∴ ∠BDP＝30°，
∴ 在Rt△PDF中，PF＝PD＝2 cm.
∵ OC为角平分线，PE⊥OA，PF⊥OB，
∴ PE＝PF＝2 cm.
6.解：(1)∵ AB＝AC，∠C＝30°，
∴ ∠B＝30°，∴ ∠BAC＝120°.
∵ ∠BAD＝90°，∴ ∠DAC＝30°.
(2)∵ ∠DAC＝30°，∠C＝30°，∴ AD＝CD＝4 cm.
在Rt△BAD中，∠B＝30°，AD＝4 cm，
∴ BD＝2AD＝8 cm，∴ BC＝BD+CD＝12 cm.
7.分析：如图9所示，先作△ABC的高AD，求出∠ABD＝30°，得出AD＝AB，再根据S△ABC＝BC·AD求出三角形的面积，最后根据这种草皮每平方米a元求出结果.
图9
解：作△ABC的高AD.
∵ ∠ABC＝150°，∴ ∠ABD＝30°，
∴ AD＝AB＝×20＝10(m)，
∴ S△ABC＝BC·AD＝×30×10＝150(m2).
∵ 这种草皮每平方米a元，
∴ 购买这种草皮至少要150a元.
答：购买这种草皮至少要150a元.

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