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第十三章　轴对称
13.1　轴对称
13.1.1　轴对称
学习目标
1.了解轴对称图形和两个图形成轴对称的概念，知道轴对称图形和两个图形成轴对称的区别与联系.(重点)
2.探索成轴对称的两个图形的性质和轴对称图形的性质，体会由具体到抽象认识问题的过程，感悟类比方法在研究数学问题中的作用.(难点)
3.能判断一个图形是否为轴对称图形，能画出轴对称图形的对称轴，认识两个图形关于某直线对称的对称轴、对称点.
4.了解线段垂直平分线的概念.
自主学习
学习任务一　轴对称图形
1.如图1，把一张纸对折，剪出一个图案(折痕处不要完全剪断)，再打开这张对折的纸，就得到了美丽的窗花.观察得到的窗花，你能发现它们有什么共同的特点吗？
图1
2.你能举出一些轴对称图形的例子吗？
学习任务二　轴对称
1.观察下面每对图形(如图2)，你能类比前面的内容概括出它们的共同特征吗？
图2
2.什么是对称点？
学习任务三　线段的垂直平分线
1.如图3，△ABC 和△A′B′C′关于直线MN 对称，点A′，B′，C′分别是点A，B，C 的对称点，线段AA′，BB′，CC′与直线MN 有什么关系？ 你能说明其中的道理吗？
　
　　　图3
2.上面的问题说明“如果△ABC 和△A′B′C′关于直线MN对称，那么直线MN垂直于线段AA′，BB′和CC′，并且直线MN平分线段AA′，BB′和CC′”.如果将其中的“三角形”改为“四边形”“五边形”…，其他条件不变，上述结论还成立吗？你能用数学语言概括前面的结论吗？
学习任务四　轴对称图形的性质
如图4是一个轴对称图形，仔细观察线段AA′，BB′与直线l，你能发现什么结论？能说明理由吗？
　
　　　图4
合作探究
小组合作，总结出轴对称图形和轴对称的区别与联系：
关系 名称
轴对称 轴对称图形
区别 概念
图形个数
对象
对称轴数量
联系
当堂达标
1.下列两个图形都是轴对称图形的是(　　)
A.正三角形和梯形
B.直角三角形和圆
C.等腰三角形和圆
D.平行四边形和等腰直角三角形
2.观察图5中的各组图形，其中两个图形成轴对称的个数为(　　)
①　　 　 ②　 　　 ③　　　 　 ④
图5
A.1 B.2
C.3 D.4
3.(河北中考)图6是由“”和“”组成的轴对称图形，该图形的对称轴是直线(　　)
A.l1 B.l2
C.l3 D.l4
　　　　
图6　　　　　　　　　图7
4.如图7，△AOD关于直线l进行轴对称变换后得到△BOC，下列说法中不正确的是(　　)
A.∠DAO＝∠CBO，∠ADO＝∠BCO
B.直线l垂直平分AB，CD
C.△AOD和△BOC均是等腰三角形
D.AD＝BC，OD＝OC
5.如图8，已知AD平分∠BAC，AB＝AC，则下列结论错误的是(　　)
图8
A.△ADC≌△ADB
B.AD垂直平分BC
C.BC垂直平分AD
D.四边形ABDC是轴对称图形
6.(天津中考)如图9，将一个三角形纸片ABC沿过点B的直线折叠，使点C落在AB边上的点E处，折痕为BD，则下列结论一定正确的是(　　)
图9
A.AD＝BD
B.AE＝AC
C.ED+EB＝DB
D.AE+CB＝AB
7.两个图形关于某直线对称，对称点一定在(　　)
A.这条直线的两旁
B.这条直线的同旁
C.这条直线上
D.这条直线两旁或在这条直线上
8.如图10，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合.已知AC＝5 cm，△ADC的周长为17 cm，则BC的长为　　　　.
图10
反思感悟
我的收获：
　 　　　　　 　　　 　　　
　 　　　　　 　　　 　　　
我的易错点：
　 　　　　 　　 　　 　　　
　 　　　　 　　 　　 　　　
参考答案
当堂达标
1.C　2.C　3.C　4.C　5.C　6.D　7.D
8.12 cm　解析：∵ △ADC的周长为17 cm，AC＝5 cm，
∴ AD+DC＝12 cm.
∵ △ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合，
∴ AD＝BD，
∴ BD+DC＝AD+DC＝12 cm，即BC＝12 cm.
13.1.2　线段的垂直平分线的性质
学习目标
1.理解线段的垂直平分线的性质和判定.(重点)
2.能运用线段的垂直平分线的性质和判定解决实际问题.(难点)
3.会用尺规经过已知直线外一点作这条直线的垂线，了解作图的原理.(难点)
自主学习
学习任务一　线段的垂直平分线的性质
1.如图1，直线l垂直平分线段AB，在直线l上任取一点P，点P与线段AB两个端点的距离相等吗？
图1
2.如何证明？
学习任务二　线段的垂直平分线的判定
1.线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？
2.如何证明？
合作探究
如图2，小组合作，尝试用尺规作图的方法经过直线AB外一点C作已知直线AB的垂线.
图2
当堂达标
1.如图3所示，下列推理不正确的是(　　)
A.∵ AD＝BD，CD⊥AB，∴ CA＝CB
B.∵ AC＝BC，∴ CD垂直平分线段AB
(
图
3
)C.∵ AC＝BC，∴ 线段AB的垂直平分线经过点C
D.∵ AC＝BC，DC⊥AB，∴ AD＝BD
2.如图4，已知AC＝AD，BC＝BD，那么(　　)
图4
A.CD垂直平分AB
B.AB垂直平分CD
C.CD与AB互相垂直平分
D.以上都不对
3.(四川达州中考)如图5，△ABC中，BD平分∠ABC，BC的中垂线交BC于点E，交BD于点F，连接CF.若∠A＝60°，∠ABD＝24°，则∠ACF的度数为(　　)
A.48° B.36° C.30° D.24°
　　　
图5　　　　　　　　图6
4.如图6，点P是∠AOB外的一点，点M，N分别是∠AOB两边上的点，点P关于OA的对称点Q恰好落在线段MN上，点P关于OB的对称点R落在MN的延长线上，若PM＝2.5 cm，PN＝3 cm，MN＝4 cm，则线段QR的长为(　　)
A.4.5 cm B.5.5 cm C.6.5 cm D.7 cm
5.如图7，在△ABC中，∠C＝90°，DE垂直平分斜边AB，分别交AB，BC于点D，E.若∠CAB＝∠B+30°，求∠AEB的度数.
　　图7　 　　
6.如图8所示，BC＝20 cm，DE是AB的垂直平分线，与BC交于点E，AC＝12 cm，求△ACE的周长.
　　
　图8　 　
7.如图9所示，已知AB＝AD，BC＝DC，BD交AC于点O，请分别说明下列结论成立的理由：
(1)△ABC≌△ADC；
(2)AC是线段BD的垂直平分线.
图9
反思感悟
我的收获：
　 　　　　　 　　　 　　　
　 　　　　　 　　　 　　　
我的易错点：
　 　　　　 　　 　　 　　　
　 　　　　 　　 　　 　　　
　　参考答案
当堂达标
1.B　解析：由AC＝BC这一条件，只能证明点C在线段AB的垂直平分线上，不能说明点D 是线段AB的中点，也不能说明CD⊥AB.故选B.
2.B　3.A　4.A
5.解：在△ABC中，∵ ∠C＝90°，
∴ ∠CAB+∠B＝90°.
又∵ ∠CAB＝∠B+30°，
∴ ∠B+30°+∠B＝90°，即∠B＝30°.
又∵ ED垂直平分AB，∴ EA＝EB，
易证△AED≌△BED，
∴ ∠EAD＝∠B＝30°，
∴ ∠AEB＝180°-30°-30°＝120°.
6.解：∵ DE是AB的垂直平分线，∴ BE＝AE.
∴ △ACE的周长＝AE+EC+AC＝BE+CE+AC＝BC+AC＝20+12＝32(cm).
7.解：(1)∵ AB＝AD，BC＝DC，AC＝AC，
∴ △ABC≌△ADC(SSS).
(2)∵ AB＝AD，BC＝CD，
∴ 点A，C在线段BD的垂直平分线上.
∴ AC是线段BD的垂直平分线.

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