资源简介 2022 年北京大学强基计划笔试数学试题1. 已知 2n+1与 3n+1均为完全平方数且 n不超过 2022,则正整数 n的个数为 .答案:1解:设 2n+ 1 = a2,3n+ 1 = b2化简得到 3a2 2b2 = 1,即 (3a)2 6b2 = 3,由于 (3, 1)为佩尔方程 x2 6y2 = 3的一组解,由佩尔方程的性质知其有无穷多组解,对其任意一组解 (xk, yk),由于 x2k = 6y2k + 3,所以 xk 为被 3整除的正奇数.2则 a = xk,n = a 1,知这样的 n均为正整数.3 2由于 1 ≤ n ≤ 2022,知 1 < a ≤ 6√3,所以 3√< xk ≤ 189,√ √(3 + 2 6)(5 + 2 6)k + (3 2 6)(5 2 6)k由佩尔方程的通解知 xk = ,2由特征方程知其所对应的递推公式为 xk+2 = 10xk+1 xk,x1 = 3,x2 = 27,得 x3 = 267,因此仅 x2 = 27满足条件,此时 n = 40.所以这样的 n为 1个. 12. 已知凸四边形 ABCD满足 ∠ABD = ∠BDC = 50 ,∠CAD = ∠ACB = 40 ,则符合题意且不相似的凸四边形 ABCD的个数为 .答案:2解:对凸四边形 ABCD,由 ∠CAD = ∠ACB,有 AD BC;由 ∠ABD = ∠BDC,图 1: 第 2题图有 AB CD.故四边形 ABCD为平行四边形.如图,设对角线 AC 中点为 O. 我们下面固定对角线 AC,则点 D 在固定的射线 AD上,我们只需求出该射线上满足 ∠CDO = 50 的点 D个数即可.记过 C,O且与射线 AD相切的圆为 ω(易知这样圆存在且唯一),切点为D′,由圆幂定√理知 AD′2 = AO ·AC 从而 AD′ = 2AO.首先说明 ∠CD′O > 50 .该结论等价于 180 ∠CAD′ 2∠AD′O > 50 ,即 ∠AD′O < 45 .设 ∠AD′O = θ,易知 θ < 90 . 在△AD′O中,由正弦定理,AO AD′=sin θ sin(140 θ) sin(140 θ) √= 2sin θ√ sin(140 θ)注意到 2 = 6 1 ,所以 sin θ 6 sin 45 ,且当 θ = 45 时等号不成立,sin θ sin θ故 θ < 45 ,结论得证.射线 AD上在D′的左右两侧各有一个满足 ∠CO′D = 50 的点D,故满足条件的形状不同的凸四边形有两种. 3. 已知正整数 y不超过 2022且满足 100整除 2y + y,则这样的 y的个数为 .答案:20解:由于 100|2y + y,所以 4|2y + y.显然 y = 1,所以 y ≥ 2,所以 4|2y,进而得到 4|y.设 y = 4f(1 ≤ f ≤ 504),则 5|24f + 4f,由于 24 ≡ 1(mod 5),所以 4f + 1 ≡ 0(mod 5),即 f ≡ 1(mod 5).设 f = 5d+ 1,则 y = 4f = 20d+ 4(0 ≤ d ≤ 100).则 220d+4 + 20d+ 4 ≡ 0(mod 25).由欧拉定理,φ(25) = 20,所以 220 ≡ 1(mod 25).进而得到 0 ≡ 220d+4 + 20d+ 4 ≡ 20d+ 20(mod 25).所以 25|20d+ 20,5|d+ 1,所以 d = 5k + 4(0 ≤ k ≤ 19).因此这样的 y有 20个. √4. 已知 [x] 表示不超过 x 的整数,如 [1.2] = 1,[ 1.2] = 2. 已知 α = 1 + 5,则2[α12] = .答案:321 √ √解:记 a = (1 + 5)n + (1 5)nn ,2 2则由其所对应的特征根方程知数列 an满足 an+2 = an+1 + an且 a0 = 2,a1 = 1,依次可得 a2 = 3,a3 = 4,a4 = 7,a5 = 11,a6 = 18,a7 = 29,a8 = 47,a9 = 76,a10 = 12√3,a11 = 199,a12 = 322√.而 |1 5 | ∈ (0, 1),所以 (1 5)12 ∈ (0, 1),2 √ 2所以 a > (1 + 5)1212 > a12 1,所以 [α12] = 321. 25. y y f f d d( )2已知六位数 y1y2f3f4d5d6,满足1 2 3 4 5 6 = 1 + y1y2f3 ,则所有满足条件的六f4d5d6位数之和为 .(f4d5d6不必为三位数)答案:2065020解:假设 y1y2f3 = m,f4d5d6 = n,则 100 ≤ m ≤ 999,1 ≤ n ≤ 999.由此可得原命题等价于 1000m + 1 = (1 +m)2,即 1000 = 2 +m.n n由于 102 ≤ 2 +m ≤ 1002,所以 1 ≤ n ≤ 9且 n|1000,所以 n = 1, 2, 4, 5, 8,因此对应的 (m,n)有 5种不同的取值,对应的六位数为 1000m+n = 1000× (1000 2) + n,即 998001, 498002, 248004, 198005, 123008.n这样的六位数之和为 2065020. 6. 已知整数 a, b, c, d满足 a+ b+ c+ d = 6,则 ab+ ac+ ad+ bc+ bd+ cd的正整数取值个数为 .答案:10解:由于 a, b, c, d均为整数,(a+ b+ c+ d)2 (a2 + b2 + c2 + d2)所以 ab+ ac+ ad+ bc+ bd+ cd = 为整数.2因此只需 (a+ b+ c+ d)2 (a2 + b2 + c2 + d2) > 0,即 a2 + b2 + c2 + d2 < 36.原命题即为求 a2 + b2 + c2 + d2小于 36的不同取值的个数.由柯西不等式知 (a2 + b2 + c2 + d2)(1 + 1 + 1 + 1) ≥ (a+ b+ c+ d)2 = 36,因此 a2 + b2 + c2 + d2 ≥ 9,又因为 a2 + b2 + c2 + d2与 a+ b+ c+ d奇偶性相同,所以 a2 + b2 + c2 + d2的取值必为 10到 34之间的偶数.下证 a2 + b2 + c2 + d2不为 8的倍数:采用反证法,若否,则 a2 + b2 + c2 + d2 ≡ 0(mod 4),此时 a, b, c, d要么同为偶数要么同为奇数.(i)a, b, c, d同为偶数:设 a = 2a′, b = 2b′, c = 2c′, d = 2d′.此时 a′ + b′ + c′ + d′ = 3, a2 + b2 + c2 + d2 = 4(a′2 + b′2 + c′2 + d′2).因为 a′2 + b′2 + c′2 + d′2与 a′ + b′ + c′ + d′奇偶性相同,所以 a2 + b2 + c2 + d2不可能为 8的倍数.(ii)a, b, c, d同为奇数:由于奇数的平方模 8同余于 1,所以 a2 + b2 + c2 + d2 ≡ 4(mod 8),所以 a2 + b2 + c2 + d2不可能为 8的倍数.因此 a2 + b2 + c2 + d2的取值必为 10到 34之间的偶数且不为 8的倍数.另一方面,设 f(a, b, c, d) = a2 + b2 + c2 + d2,我们有 f(2, 2, 1, 1) = 10, f(2, 2, 2, 0) = 12, f(3, 2, 1, 0) = 14, f(3, 3, 0, 0) = 18,f(3, 3, 1, 1) = 20, f(4, 2, 1, 1) = 22, f(4, 3, 0, 1) = 26, f(4, 2, 2, 2) = 28,f(4, 3, 1, 2) = 30, f(4, 4, 0, 2) = 34,因而 a2 + b2 + c2 + d2的取值为所有 10到 34之间不为 8的倍数的偶数,因此 ab+ ac+ ad+ bc+ bd+ cd的不同取值为 10个. 7. 已知凸四边形 ABCD满足:AB = 1,BC = 2,CD = 4,DA = 3,则其内切圆半径取值范围(为 .√ √ ]答案: 15 , 2 65 5解:先证明一个引理:平面上四边形 ABCD的四边长分别记为 a, b, c, d,那么四边形ABCD的面积√√√√SABCD = (p a)(p b)(p c)(p A+ Cd) abcd cos2 ,2其中 p为四边形 ABCD的半周长 1(a+ b+ c+ d).2引理的证明:在△ABD和 △CBD中分别应用余弦定理,有 BD2 = a2 + d2 2ad cosA,BD2 = b2 + c2 2bc cosC,又1 1SABCD = ad sinA+ bc sinC,2 2于是可得 ad cosA bc cosC =1 (a2 b2 c2 + d2) ,2ad sinA+ bc sinC = 2SABCD,两式平方相加,移项可得2 1 ( ) ( )S 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1ABCD = a d + b c a b c + d abcd cos(A+ C),4 16 2整理即得.回到本题中,一方面, √ √S ≤ (p a)(p b)(p c)(p d) 2 6r = =p p 5另一方面,欲求 r最{小值,只需使得}S最小,只需使得 cos2 A{+ C = cos2 B +}D 最大2 2即可. 又因为 max A+ C , B +D ≥ π ,所以只需令 max A+ C , B +D 最大即2 2 2 2 2可.设 AC = x,BD = y,有 1 < x < 3, 2 < y < 4,易知 ∠A,∠C 随 y增加而增加,∠B,∠D随 x增加而增加,所以只需比较 x → 3和 y → 4的情况即可,此时四边形 ABCD分√别趋向退化成边长为 3, 3, 4和 4, 4, 2的三角形,经比较可得面积较小者为 15.故√S 15r = >p 5(√ √ ]综上,r ∈ 15 , 2 6 . 5 58. 已知 a, b ∈ R,z1 = 5 a+ (6 4b)i,z2 = 2 + 2a+ (3 + b)i,z3 = 3 a+ (1 + 3b)i,当 |z1|+ |z2|+ |z3|最小时,3a+ 6b = .答案:337 √解:已知 |z1|+ |z2|+ |z3| ≥ |z1 + z2 + z3| = |10 + 10i| = 10 2,当且仅当 arg z1 = arg z2 = arg z π3 = 时取等.4此时 5 a = 6 4b,2 + 2a = 3 + b,3 a = 1 + 3b,解得 a = 5,b = 3,7 7所以当 |z1|+ |z2|+ |z3|取最小值时 3a+ 6b = 33 . 79. 已知复数 z,满足 z 与 2 的实部和虚部均属于 [ 1, 1],则 z在复平面上形成轨迹的面2 z积为 .答案:12 2π解:图 2: 第 9题图设满足要求的复数 z = x+ yi(x, y ∈ R),2y y则原命题即为 2x2 2 +x2 2 i与 + i的实部和虚部均属于 [ 1, 1],x + y x + y 2 2 2y y因此 1 ≤ 2x2 2 ≤ 1, 1 ≤ 2 2 ≤ 1, 1 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ ≤ 1.x + y x + y 2 2整理后得 2 ≤ x ≤ 2, 2 ≤ y ≤ 2,(x 1)2 + y2 ≥ 1,(x+ 1)2 + y2 ≥ 1,x2 + (y 1)2 ≥ 1,x2 + (y + 1)2 ≥ 1.因此点 z的轨迹所构成的图形为图中阴影区域,其外边界为一个边长为 4的正方形.此区域面积为 8× (2× 2 1× 12 π × 1 ) = 12 2π. 2 2 410. 在 △ABC 中,S c△ABC = (a b),其外接圆半径 R = 2,且 4(sin2 A sin2 B) =2√( 3a b) sinB,则 sin A B + sin C = .2 2答案:1解:因为 R = 2,所以√4(sin2 A sin2 B) = ( 3a b) sinB√ a2 b2 = ( 3a b)b√ a = 3b因为 S = c△ABC (a b),所以2√bc sinA = c(a b) sinA = 3 1√进而有 sinB = s√inA = 1 3,于是3 3A B C A B A+B(sin + sin )2 = (sin + cos )22 2 2 22 A B 2 A+B A B A+B= sin + cos + 2 sin cos2 2 2 2= 1 1 cos(A 1B) + cos(A+B) + sinA sinB2 2= 1 sinA sinB + sinA sinB= 1因为 0 < A B,C < π,所以 sin A B + sin C = 1 . 2 211. 在梯形 ABCD中,AD BC,M 在边 CD上,有 ∠ABM = ∠CBD = ∠BCD,则AM 取值范围为 .BM答案:(1 ,+∞)2解: ∠ADM = 180 ∠BCD = 180 ∠ABM,所以 A,B,M,D四点共圆,于是AM sin∠ABM sin∠DCB DB= = =BM sin∠BDM sin∠BDC BC易知 DB ∈ (1 ,+∞). BC 2√12. 已知 1 x2 = 4x3 3x,则该方程所有实根个数与所有实根乘积的比值为 .答案:12解:令 x = cos θ(θ ∈ [0,(π]). )则 sin θ = cos 3θ,即 cos π θ = cos 3θ,由于 π θ ∈ [ π , π ],cos 3θ ∈ [0, 3π],2 2 2 2所以 3θ = π θ或 3θ = π θ + 2π或 3θ = θ π + 2π.2 2 2解得 θ = π 或 5π 或 3π .8 8 4因而其全部解为 x = cos π 或 cos 5π 或 cos 3π .8 8 4由题意知,所求值为:3 = 3 = 6 = 12 = 12. π 5π 3π π π 3π π π πcos cos cos cos sin cos sin cos sin8 8 4 8 8 4 4 4 213. 若 A 为十进制数,A = a0a1 . . . an,记 D(A) = a0 + 2a1 + 22a2 + · · · + 2nan. 已知b0 = 203310,bn+1 = D(bn),则 b2022 各位数字的平方和 200(横线上填大于,小于或等于).答案:小于解:由题意知若A为n+1位数,则D(A) ≤ (2n+1 1)×9 < 2n+1×10,b0 = 203310 < 1040,所以 b 至多为 40位,所以 b < 240 × 10 < 8140 1 × 10 < 1015,所以 b1至多 15位,进而 b2 < 215 × 10 < 85 × 10 < 106,所以 b 62至多 6位,进而 b3 < 2 × 10 < 640,所以 b3至多 3位,进而 b4 < 23 × 10 < 80,所以 b4至多 2位,进而 b5 < 40也至多两位,依此类推可得 b2022至多两位,其各位数字的平方和不超过 81 + 81 = 162,小于 200. 【注】 原问题为求 b2022 各位数字的平方和,题目中所给出选项分别为“730”,“520”和“370”和“以上答案均不正确”。√14. 已知数列 {an}满足 a = 12,a = 11 n+1 (3 + an + 3 1 + 2an),则 a10 最接近的整数4为 .答案:4√ b2 1解:令 bn = 1 + 2an,则 b1 = 5且 an = n ,2b2 2原递推即为 n+1 1= 1bn 1(3 + + 3bn),2 4 2整理后即为 4b2 2n+1 = bn + 6bn + 9,由 bn > 0得 2bn+1 = bn + 3,即 2(b 3) = b 3,所以 b 3 = 1 (b 3) = 1n+1 n n2n 11 .2n 2b2 1所以 b = 1n n 2 + 3 > 3,an =n > 4,2 2√另一方面,b10 =1 + 3 < √ 1 + 3 = 10,256 10 + 3b2 1所以 a 1010 = < 4.5,2综上所述,4 < a10 < 4.5,所以与之最接近的整数为 4. 215. 已知 f(x)是二次函数,f( 2) = 0,且 2x ≤ f(x) ≤ x + 4,则 f(10) = .2答案:36.解:法一:由 f( 2) = 0,可设 f(x) = (x+ 2)(ax+ b) = ax2 + (2a+ b)x+ 2b,则由 f(x) ≥ 2x得 ax2 + (2a+ b 2)x+ 2b ≤ 0,所以 a ≥ 0且 (2a+ b 2)2 ≤ 8ab,整理后即为 4a2 + b2 ≤ 4ab+ 8a+ 4b 4,由 f(x) ≤ x2 + 4 得 (2a 1)x2 + (4a+ 2b)x+ 4b 4 ≤ 0,2若 2a 1 = 0则必有 4a+ 2b = 0,此时与 (2a+ b 2)2 ≤ 8ab矛盾,所以 2a 1 ≤ 0且 (4a+ 2b)2 ≤ 4(2a 1)(4b 4),整理后为 4a2 + b2 ≤ 4ab 8a 4b+ 4,与 4a2 + b2 ≤ 4ab+ 8a+ 4b 4相加即得 4a2 + b2 ≤ 4ab,即 (2a b)2 ≤ 0,所以 2a = b,所以 f(x) = (x+ 2)(ax+ 2a) = a(x+ 2)2,又由于在原不等式中令 x = 2可得 4 ≤ f(2) ≤ 4,所以 f(2) = 4,由此解得 a = 1 .4所以 f(x) = 1(x+ 2)2,f(10) = 36.4法二:22x 6 x + 4 1f(x) 6 0 6 f(x) 2x 6 (x 2)22 2令 g(x) = f(x) 2x,则 g( 2) = 4, g(2) = 0,设 g(x) = a(x 2)(x m)(a = 0).若m = 2,则 [ ]′ ∣1 ∣(x 2)2 g(x) ∣∣ = g′(2) = a(m 2) = 02 x=2于是 a(m 2) > 0时,存在 x0 < 2使得 1(x 2)20 g(x0) < 0,矛盾;2a(m 2) < 0时,存在 x0 > 2使得 1(x 20 2) g(x0) < 0,矛盾;2故m = 2,令 x = 2,则 16a = g( 2) = 4 a = 1 .4于是 f(x) = g(x) + 2x = 1(x 2)2 + 2x = 1(x+ 2)2,进而 f(10) = 36. 4 416. 已知数列 {ak}1≤k≤5各项均为正整数,且 |ak+1 ak| ≤ 1,{ak}中存在一项为 3,可能的数列的个数为 .答案:211解:记 bi = ai+1 ai(1 ≤ i ≤ 4),则 bi ∈ { 1, 0, 1},对确定的 b1, b2, b3, b4,数列 {ak}1≤k≤5各项间的大小顺序即确定,设 min {a1, a2, a3, a4, a5} = a,则 a ∈ {1, 2, 3},对于给定的 a, b1, b2, b3, b4可唯一确定一组数列,由于 bi ∈ { 1, 0, 1}且 a ∈ {1, 2, 3},这样的数列共 3× 34 = 243个,其中不符合题设条件的数列各项均为 1或 2,这样的数列有 25 = 32个,综上所述,符合要求的数列共有 243 32 = 211个. 17. 将不大于 12 的正整数分为 6 个两两交集为空的二元集合,且每个集合中两个元素互质,则不同的分法有 种.答案:252解:易知 {2, 4, 6, 8, 10, 12}中的元素两两不互质,因此恰好在 6个不同的集合中。设依次为 Y2,Y4, · · · , Y12.此时剩余的正整数中 1, 7, 11可以任意放在上述 6个集合中,5不能放在 Y10中,3, 9不能放在 Y6或 Y12中,分两种情况:(1)若 5放入了 Y6或 Y12中,有两种情况,此时 3与 9可在 4个集合中选择,有 A24种情况,而 1, 7, 11放入集合有 A33种情况.(2)若 5没有放入 Y6 或 Y12 中,则 5有 3个集合可以选择,进而 3与 9可在 3个集合中选择,有 A23种情况,而 1, 7, 11放入集合有 A33种情况.综上所述,不同的集合拆分方法共有 A1A2A3 + A1A2 32 4 3 3 3A3 = 252种. 18. 已知 y,f,d为正整数,f(x) = (1+ x)y + (1+ x)f + (1+ x)d.其中 x的系数为 10,则x2的系数的最大可能值与最小可能值之和为 .答案:40解:由题意得 y + f + d = 10,2 2 2 2 2 2x2的系数为 C2 C2 C2 y + f + d y f d y + f + d 10y + f + d = = .2 22 2 2 ≥ (y + f + d)2由柯西不等式知 y + f + d = 100,3 3又由于 y,f,d为正整数所以 y2 + f2 + d2 ≥ 34.当 y = 3, f = 3, d = 4时,y2 + f2 + d2 = 34,因此 y2 + f2 + d2的最小值为 34.另一方面,若 a, b为正整数,则 a2 + b2 ≤ 12 + (a+ b 1)2,这是因为上式展开即为 ab a b+ 1 ≥ 0,亦即 (a 1)(b 1) ≥ 0.所以 y2+f2+d2 ≤ 12+(y+f 1)2+d2 ≤ 12+12+(y+f +d 2)2 = 1+1+64 = 66.当 y = 1, f = 1, d = 8时,y2 + f2 + d2 = 66,因此 y2 + f2 + d2的最大值为 66.y2 + f2 + d2 10进而我们有 的最大最小值分别为 12, 28,所以 x2的系数的最大可能2值与最小可能值之和为 40. 19. 若△AB(C 三]边长为等差数列,则 cosA+ cosB + cosC 的取值范围是 .答案: 1, 32解:不妨设三边长为 1 d, 1, 1 + d,其中 0 6 d < 1 .此时:2cosA+ cosB + cosC(1 + d)2 + 1 (1 d)2 (1 d)2 + 1 (1 + d)2 (1 + d)2 + (1 d)2 1= ( +2(1 + d) ) ( +2(1 ]d) 2(1 + d)(1 d)3(1 2d2)= 3 2 = 2 1 2 ∈ 1,3 . 2(1 d ) 2 1 d 22022年北京大学强基计划测试数学试题考试时间:2022年6月29日9:00一10:00备注:数学一共20道题目,均为单项选择,考试时间为1个小时,考试形式为机考1.满足2n+1和3n+1都是完全平方数,且n≤2022的整数n共有()个A.11B.12C.13D.以上都不对2.凸四边形ABCD满足∠ABD=∠BDC=50°,∠CAD=∠ACB=40°,则符合题意且不相似的凸四边形ABCD的个数为3.已知正整数y不超过2022且满足100整除2”+y,则这样的y的个数为已知[x]表示不超过x的整数,如1.2]=1,〔-1.2]=-2,已知a=),则[a2]=A.321B.322C.323D.以上都不对5.已知六位数4满足劲4=(1+)2,则所有满足条件的六位数fadsde之和为(f4dsd不必为三位数)6.已知整数a,b,c,d满足a+b+c+d=6,则ab+ac+ad+bc+bd+cd的正整数取值个数为7.已知凸四边形ABCD满足:AB=1,BC=2,CD=4,DA=3,则其内切圆半径取值范围为8.己知a,b∈R,ǎ1=5-a+(6-4b)i,2=2+2a+(3+b)i,3=3-a+(1+3b)i当|z+|2l+z3最小时,3a+6b=9,.已知复数,满足号与子的实部和虚部均属于~1,小,则:在复平面上形成轨迹的面积为10.在△ABC中,SaAc=5a-),其外接圆半径R=2,且4mA-m)=(v3a-0小nB,则sm42B+s如号.CII.在梯形ABCD中,AD∥BC,M在边CD上,有∠ABM=∠CBD=∠BCD,则AMBM取值范围为12.己知√1一x2=4x3一3x,则该方程所有实数根的个数与所有实数根乘积的比值是13.若A为十进制数,A=a0a1…an,记D(A)=ao十2a1十22a2十…+2”an,己知b=203310,b+1=D(b),则b2o2各位数字的平方和为14.已知数列a,>满是a,=12,a+1=(3+a+3V1+2a),则aw最接近的整数为15.已知f回是=次函数,f(2》=0,且2z≤fa)≤2士4,则fa0)=16.己知数列{as}1≤ks5各项均为正整数,且aw+1一as≤1,{a*}中存在一项为3,可能的数列的个数为17.将不大于12的正整数分为6个两两交集为空的二元集合,且每个集合中两个元素互质,则不同的分法有种18.己知y,f,d为正整数,f(x)=(1+x)"+(1+x)f+(1+x),其中x的系数为10,则x2的系数的最大可能值与最小可能值之和为■19.若△ABC三边长为等差数列,则cosA+cosB+cosC的取值范围是20.内接于椭圆女+买+号=1的菱形周长的最大值和最小值之和是(A.4V13B.14V13c.10v13D.上述三个选项都不对 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