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平面向量基本定理系数的等值线法
一、适用题型
在平面向量基本定理的表达式中，若需研究两系数的和差积商、线性表达
式及平方和时，可以用等值线法。
二、基本理论
(一)平面向量共线定理
己知OA=2OB+4OC,若1+4=1，则4，B,C三点共线：反之亦然
(二)等和线
平面内一组基底OA,OB及任一向量OP,OP=1OA+4OB(2,4∈R),若
点P在直线AB上或在平行于AB的直线上，则1+=k(定值)，反之也成立，我
们把直线AB以及与直线AB平行的直线成为等和线。
(1)当等和线恰为直线AB时，k=1:
(2)当等和线在O点和直线AB之间时，k∈(O,1):
(3)当直线AB在O点和等和线之间时，k∈1，+∞)：
(4)当等和线过0点时，k=0:
(5)若两等和线关于O点对称，则定值k互为相反数：
(6)定值k的变化与等和线到O点的距离成正比：
(三)等差线
平面内一组基底OA,OB及任一向量OP,OP=1OA+uOB(2,4∈R),C为
线段AB的中点，若点P在直线OC上或在平行于OC的直线上，则
入-=k(定值)，反之也成立，我们把直线OC以及与直线OC平行的直线称为等
差线。
(1)当等差线恰为直线OC时，k=0:
(2)当等差线过A点时，k=1:
(3)当等差线在直线OC与点A之间时，k∈(0,1)：
(4)当等差线与BA延长线相交时，k∈(1，+∞)：
(5)若两等差线关于直线OC对称，则两定值k互为相反数：
(四)等积线
平面内一组基底OA,OB及任一向量OP,OP=1OA+4OB(1,4∈R),若
点P在以直线OA,OB为渐近线的双曲线上，则山为定值k,反之也成立，我们
把以直线OA,OB为渐近线的双曲线称为等积线
(1)当双曲线有一支在∠AOB内时，k>0:
(2)当双曲线的两支都不在∠AOB内时，k<0:
(3)特别的，若OA=(a,b),OB=(a,-b),点P在双曲线
x2y2
a -
=1(a>0,b>0)时，k=:
(五)等商线
平面内一组基底OA,OB及任一向量OP,OP=OA+uOB(2,4∈R),若
点P在过O点（不与OA重合）的直线上，则=k定值)，反之也成立。我们
把过点O的直线（除OA外）称为等商线。
(1)当等商线过AB中点时，k=1:
(2)当等商线与线段AC(除端点)相交时，k∈1，+o):
(3)当等商线与线段BC(除端点)相交时，k∈(O,1):
(4)当等商线即为OB时，k=0:
(5)当等商线与线段BA延长线相交时，k∈(-0，-1)：
(6)当等商线与线段AB延长线相交时，k∈(-1,0)：
(7)当等商线与直线AB平行时，k=-1:
(六)等平方和线
平面内一组基底OA,OB及任一向量OP,OP=OA+uOB(2,4∈R),且
Od=O8,若点P在以∠A0B角平分线为半长轴的椭圆上，则？+：2为定值k,
反之也成立，我们把以以∠AOB角平分线为半长轴的椭圆称为等平方和线。

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