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两角和与差的正弦
知能点全解：
知能点一：两角和与差的正弦公式推导
因为
即： 这就是两角差的正弦公式
同理可得： 这就是两角和的正弦公式
特别提醒:
要记住两个公式：
知能点二：两角和与差的正弦公式的理解
例 1：对于等式的认识正确的是（ ）
A、对任意的都成立 B、只对取几个特殊值时成立
C、对于任何都不成立 D、有无限个的值使等式成立
及时演练：
1、已知都是锐角，下列不等式中不成立的是（ ）
A、 B、 C、 D、
2、下列式子中正确的序号有 。
①；②；③
④；⑤。
3、对于任何与的大小关系为 。
知能点三：辅助角公式
Ⅰ公式的推导：
令，则，于是有：
其中由，和共同确定
Ⅱ公式的应用
例 2：求函数的最大值
及时演练：
1、把下列各式化为的形式，其中
（1） ； （2） 。
（3） ； （4） 。
2、当时，函数的最大值为 ，最小值为 。
3、若，则与的大小关系为 。
4、函数的最大值为 。
5、函数的图像的一条对称轴是（ ）
A、 B、 C、 D、
典型例题精析：
题型一：利用两角和与差的余弦公式解决求值与化简问题
例 3：已知均在第二象限，求和的值
及时演练：
； ； 。
2、 ； 。
已知是第三象限角，则 。
已知是第三象限角，则 。
已知，则 。
若，则 。
已知都是锐角，，则 ；
已知，则 ； 。
题型二：综合应用
例 4：已知中，有关系式成立，则为（ ）
A、等腰三角形 B、的三角形 C、等腰三角形或的三角形 D、不能确定
例 5：求值
及时演练：
设A，B，C为三内角，且的两根为，则三角形的形状为 。
化简 。
函数，若函数的值域是，则实数的值为 。
已知向量，且，则 。
等腰三角形一个底角的正弦和余弦的和是，那么这个三角形的顶角等于 。
在中，，且，则三角形的形状为 。
在中，如果则C角的大小为 。两角和与差的正弦（教师用）
知能点全解：
知能点一：两角和与差的正弦公式推导
因为
即： 这就是两角差的正弦公式
同理可得： 这就是两角和的正弦公式
特别提醒:
要记住两个公式：
知能点二：两角和与差的正弦公式的理解
例 1：对于等式的认识正确的是（ ）
A、对任意的都成立 B、只对取几个特殊值时成立
C、对于任何都不成立 D、有有限个的值使等式成立
解析：因为，只有当且时，才有，即：。所以，答案应是D。
及时演练：
1、已知都是锐角，下列不等式中不成立的是（ D ）
A、 B、 C、 D、
2、下列式子中正确的序号有 ④⑤ 。
①；②；③
④；⑤。
3、对于任何与的大小关系为 。
知能点三：辅助角公式
Ⅰ公式的推导：
令，则，于是有：
其中由，和共同确定
Ⅱ公式的应用
例 2：求函数的最大值
解：
所以函数的最大值为。
及时演练：
1、把下列各式化为的形式，其中
（1） ； （2） 。
（3） ； （4） 。
2、当时，函数的最大值为 ，最小值为 。
3、若，则与的大小关系为 。
4、函数的最大值为 。
5、函数的图像的一条对称轴是（ B ）
A、 B、 C、 D、
典型例题精析：
题型一：利用两角和与差的余弦公式解决求值与化简问题
例 3：已知均在第二象限，求和的值
解：∵均在第二象限
∴，
及时演练：
1、 ； ； 。
2、 ； 。
3、 ； 。
4、已知是第三象限角，则 。
5、已知是第三象限角，则 。
6、已知，则 。
7、若，则 。
8、已知都是锐角，，则 ；
9、已知，则 ； 。
题型二：综合应用
例 4：已知中，有关系式成立，则为（ ）
A、等腰三角形 B、的三角形 C、等腰三角形或的三角形 D、不能确定
解：由得：
则有： ∴
∵ ∴或
即或 故答案选C
例 5：求值
解 ：原式
及时演练：
1、设A，B，C为三内角，且的两根为，则三角形的形状为 等腰三角形 。
2、化简 。
3、函数，若函数的值域是，则实数的值为 或 。
4、已知向量，且，则 。
5、等腰三角形一个底角的正弦和余弦的和是，那么这个三角形的顶角等于 或 。
6、在中，，且，则三角形的形状为 等腰直角三角形 。
7、在中，如果则C角的大小为 。

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