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2023届新高考数学压轴题专题突破
近来准备第一次月考，做了不少模拟题，看了一些复习书，也发现了自身存在的一些值得提升之处。再加上前些天看见中学数学星空公众号中有学生投稿导数题，命题的质量虽高，却感觉和新高考差距过大，便尝试第一次高质量的（历时3天）按新高考及最新模拟题的风格命制了一道导数压轴题。我们将以这道题为例，逐个击破导数压轴题的各个考点（零点与双变量、泰勒展开，主要是不等式证明）。试题如下：
已知函数在时有极小值．
求的取值范围；
设直线与的图像有两个交点，横坐标记为，当时，证明：．
注：自然对数的底数，．
请大家先不要往后看，自己认真想一想，还是挺有味道的。
第一次命制这种风格（之前高考卷出来后，依葫芦画瓢仿着出了一道三角函数为背景的，现在看看太low了）的导数压轴题，也是第一次写数学小专题来投稿，如有不足敬请谅解，也欢迎批评指正或提出宝贵建议；如有好的想法或者解题思路，可以下方留言；也欢迎留下联系方式，后续可以深度交流。
乍看这题，许多同学可能感到束手无策．其实，个人认为这题的区分度还是比较高的，第(2)问的大体思路还是比较明确的。
先说第(1)问，求导得，在时有极小值，则此时有解。有人可能坚信参变分离一时爽，可是这题你就会发现参变分离后的函数求导略微有些复杂，于是我们还不如直接研究。求导得，设，，，，所以，即。这就结束了吗？那恭喜你掉坑了，尽管这道题你带回检验时不会找到极大值点，但是时极小值点为0，不合题意，故。
再说第(2)问之前，我们先来看一些常用的不等式。
下面正式进入第(2)问。
数感好的同学，把欲证的表达式移项后因式分解，会发现原命题等价于证明，且。这也侧面体现了这道题的善良，你只需要分别搞定两个零点，不用去想那些化为单变量、切线放缩之类的。
这里另提一句，有同学直接放缩，于是转化为证明，这也是可行的，但是这样那边并不好看，如果此时再将右侧放到，便会出错，所以我并不推荐这么做。
但是，本题不需要用到那些方法，不代表以后考试也不需要，这里给出两道题目，简单介绍一下化为单变量与切线放缩的具体操作，大家也可借此热热身。
先看这道2018年理科1卷的压轴题（难度较低，适合入门找信心）。
再看这道2022年淄博三模的压轴题（难度略高，适合拔高提能力）。
回到本题，按照正确的（较理想的）解法，首先要用到零点存在定理。这部分新高考有着较高的要求，尤其要注意找具体的数值代入来比大小，而不能仅仅用图像或极限来说明。
零点存在定理：假设函数在闭区间[a, b]上连续，且函数值与异号，则在开区间(a, b)上必定存在至少一个c，使得。
记，由于下凸，回到之前的思路，要证明，且，由零点存在定理，只需证，①，②。
柿子先挑软的捏，稍加分析可知显然②比①要好证得多。那就先证明②：把两边分别带进去，得到不等式，移项通分化简得，分析单调性再赋值，发现该式显然成立，所以。对于这一个不等式，其实就是在考察你是否能熟练地完成中考要求的分式化简，最后一步显得极为简单。
那么现在就差证明了，如果方法选取不当，或是放缩不够精准，要想顺利证明还是有些困难的。
真正熟悉泰勒展开的同学，一定知道把式中换成，在两边同乘，就得到，这时就转化为证明，即只需证。
设，这步换元能使后面的书写简单许多。原不等式写作，同样的移项通分化简得。到这里有的同学可能又犯难了，这么复杂的式子，总不至于直接求导吧。的确，一般看到的形式，通常会想到放缩，那就等价于证明，分析单调性再赋值，发现原式恒大于两个端点值。代入发现大于零没问题，可是代入却发现刚好略小于零，这可有点尴尬。不妨在这个区间里随便取个值，比如，代入发现大于零也没问题，故当时，由上述推理易知原不等式成立。
至此，只需证明当时，。既然刚才的放缩略微过头了一点，我们把精度提高，多保留一项，考虑放缩，
那么原不等式等价于证明。事到如今，似乎也只能暴力求导了（除非能找到小于某个很好看的式子）。先求一阶导，再求二阶导，二阶导恒大于零，时一阶导大于零，所以单调递增，当时恒大于零．
综上，得证．
最后，简单总结一下，对于证明不等式的问题，往往有以下两种思路。
(1) 直接构造函数证明不等式：证明不等式最常见的方法是利于函数的单调性证明不等式，即把不等式的证明问题转化为函数的单调性，直接构造然后再利用函数的单调性来证明不等式.这种策略只能适用于函数形式不太复杂的情况，而且有时要结合隐零点的策略。
(2) 放缩证明不等式：对于一个函数型不等式的问题，更常见的情况是进行放缩后继续证明，我们放缩的目的是为了进行化简，将过于复杂的一些项给放掉。在放缩过程中，切线放缩和泰勒展开是我们放缩证明不等式的两大法宝。
注：最后一页是完整版答案解析和评分标准。
答案详解：
(1) 求导得，在时有极小值，则此时有解．，设，，，，所以，即．但是时极小值点为0，不合题意，故．
(2) 要证明，移项再因式分解后整理可得，等价于证明：且．记，由于下凸，所以只需证，当时：①，②．先证明②：等价于证明，只需证，分析单调性再赋值，发现该式显然成立，所以．再证明①：设，等价于证明，只需证．当时，考虑放缩，等价于证明，分析单调性再赋值，发现该式显然成立；当时，考虑放缩，等价于证明，先求一阶导，再求二阶导，二阶导恒大于零，时一阶导大于零，所以单调递增，当时恒大于零．综上，得证．
评分标准：
本题满分12分．第(1)问共4分，得出或等价表达式2分，最终结果正确2分（未舍去扣1分）．第(2)问共8分，命题的等价转化2分，证明①共4分（当时2分，当时2分），证明②2分（若将放缩到1且证明正确也得2分）．其余解法酌情给分．

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