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1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
学案
一、学习目标
1.能理解空间点、直线、平面的向量表示.
2.能用空间向量研究直线、平面的平行关系.
3.能用空间向量研究直线、平面的垂直关系.
二、基础梳理
1.空间中点的位置向量
如图，在空间中，我们取一定点O作为基点，那么空间中任意一点P就可以用向量来表示．我们把向量称为点P的位置向量．
2. 空间中直线的向量表示式
直线l的方向向量为a，且过点A．如图，取定空间中的任意一点O，可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t，
使＝＋ta，①，把＝a代入①式得＝＋t，②
①式和②式都称为空间直线的向量表示式．
3. 空间中平面的向量表示式
（1）平面ABC的向量表示式
空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x，y，使＝＋x＋y．③
我们把③式称为空间平面ABC的向量表示式．
（2）平面的法向量
如图，若直线l⊥α，取直线l的方向向量a，我们称a为平面α的法向量；过点A且以a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合{P|a·＝0}．
4. 线线平行的向量表示
设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则l1∥l2 u1∥u2 λ∈R，使得u1＝λu2．
5.线面平行的向量表示
设u是直线l的方向向量，n是平面α的法向量，l α，则l∥α u⊥n u·n＝0．
6.面面平行的向量表示
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，则α∥β n1∥n2 λ∈R，使得n1＝λn2．
7. 空间中垂直关系的向量表示
设直线l1，l2的方向向量分别为u1，u2，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则
线线垂直 l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2＝0
线面垂直 l1⊥α u1∥n1 λ∈R，u1＝λn1
面面垂直 α⊥β n1⊥n2 n1·n2＝0
三、巩固练习
1.若在空间直线上,则直线的一个方向向量为( )
A. B. C. D.
2.若直线,且的方向向量为,平面的法向量为,则的值为( )
A. B. C. D.8
3.已知平面的一个法向量为（1，-2,2），平面的一个法向量为（-2,4，k），若，则实数k的值为( )
A.5 B.4 C.-4 D.-5
4.已知,平面的一个法向量为,点A不在平面内,则直线AB与平面的位置关系为( )
A. B.
C.与相交但不垂直 D.
（多选）
5.如图，一个结晶体的形状为平行六面体，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是( )
A. B.
C.向量与的夹角是60° D. 与AC所成角的余弦值为
6.下列命题中正确的是( )
A.A,B,M,N是空间中的四点，若,,不能构成空间向量的一组基底，则A,B,M,N四点共面
B.已知为空间向量的一组基底，若，则也是空间向量的一组基底
C.若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线
D.若直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则直线l与平面所成角的正弦值为
7.如图,已知正方体的棱长为a,E,F,G分别为棱AB,,的中点,下列结论中正确的是( )
A. 平面EFG
B.平面
C.异面直线EF与所成角的正切值为
D. 四面体的体积等于
8.如图，在长方体中，，P为线段上的动点，则下列结论正确的是( )
A.当时，三点共线
B.当时，
C.当时，平面
D.当时，平面
答案以及解析
1.答案：A
解析：,与共线的非零向量都可以作为直线的方向向量,故选A.
2.答案：C
解析：与平面的法向量垂直.故,解得,故选C.
3.答案：C
解析：向量（1，-2,2）与向量（-2,4，k）共线，存在实数，使,.故选C.
4.答案：D
解析：因为,所以.又点A不在平面内,n为平面的一个法向量,所以,故选D.
5.答案：AB
解析：因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，
所以，
，
则，所以A正确；
，所以B正确；
显然为等边三角形，则.
因为，且向量与的夹角是120°，所以与夹角是120°，所以C不正确；
因为，
所以，，
，
所以，所以D不正确.故选AB.
6.答案：ABD
解析：对于A,A,B,M,N是空间中的四点，若不能构成空间向量的一组基底，则共面，则A,B,M,N四点共面，故A正确；
对于B，已知为空间向量的一组基底，所以,,不共面，若，则,,也不共面，故也是空间向量的一组基底，故B正确；
对于C，因为,所以，所以或，故C错误；
对于D，因为，所以直线l与平面所成角的正弦值为，故D正确.
7.答案：BC
解析：如图所示，取的中点H,的中点I,BC的中点M，连接HG并延长，连接MI并延长，记HG与MI的延长线交于点P，延长EF，记EF的反向延长线交MI的反向延长线于点Q,EF的延长线交HG的反向延长线于点N.连接BD,，
因为与BG相交，故与平面EFG相交，故A不正确.
,,，
平面，.
,,，
平面，，
又,
平面，故B正确.
以D为原点，DA,DC,所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，
，
，
，
异面直线EF与所成角的正切值为，故C正确.
易知四面体的体积等于正方体的体积减去四个正三棱锥的体积，
即，故D不正确.
故选BC.
8.答案：ACD
解析：在长方体中，以D为坐标原点，DA,DC,所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
因为，所以，
则，，，，，，，则，.
对于A选项，当时，P为线段的中点，由长方体的结构特征可知P为体对角线的中点，因此P也为线段的中点，所以，P,D三点共线，故A正确；
对于B选项，连接AC.当时，，，，由，得，所以，故P为线段上靠近点的五等分点，所以，则，，所以，所以与不垂直，故B错误；
对于C选项，当时，，，.
设平面的一个法向量为，
则即
令，则，，
所以.
因为，
所以，
所以，所以，又平面，所以平面，故C正确；
对于D选项，当时，，所以，
所以，所以，，又，所以平面，故D正确.
故选ACD.

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