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人教A版（2019）必修第二册 6.1 平面向量的概念 同步练习
一、单选题
1．过内一点任作一条直线，再分别过顶点作的垂线，垂足分别为，若恒成立，则点是的
A．垂心 B．重心 C．外心 D．内心
2．已知平面向量，，，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则
C．若，，则
D．若，则
3．下列说法错误的是（ ）
A．向量与向量长度相等
B．单位向量都相等
C．向量的模可以比较大小
D．任一非零向量都可以平行移动
4．若M为△ABC的边AB上一点，且则=（ ）
A． B． C． D．
5．已知平面四边形ABCD满足，则四边形ABCD是（ ）
A．正方形 B．平行四边形 C．菱形 D．梯形
6．下列说法中，正确的是（ ）
①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；
③单位向量都是同方向；④任意向量与零向量都共线．
A．①② B．②③ C．②④ D．①④
7．下列结论中正确的为（ ）
A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同
B．向量与向量的长度相等
C．对任意向量，是一个单位向量
D．零向量没有方向
8．下列说法正确的是（ ）
A．单位向量均相等
B．单位向量
C．零向量与任意向量平行
D．若向量，满足，则
E．
9．下列说法错误的是（ ）
A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
C．长度相等方向相反的向量共线 D．方向相反的向量可能相等
10．下列说法正确的是（ ）
A．向量就是所在的直线平行于所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．若，则
D．共线向量是在一条直线上的向量
11．向量，将按向量平移后得到向量，则的坐标形式为（ ）
A． B．
C． D．
12．下列说法中正确的个数是（ ）
①单位向量都平行；②若两个单位向量共线，则这两个向量相等；
③向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④有相同起点的两个非零向量不平行；
⑤方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
13．在如图所示的向量中（小正方形的边长为1），判断是否存在下列关系的向量：
（1）是共线向量的有______；
（2）方向相反的向量有______；
（3）模相等的向量有______.
14．下列叙述：
（1）单位向量都相等；
（2）若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；
（3）共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；
（4）方向不同的两个向量一定不平行.
其中正确的有________.(填所有正确的序号)
15．已知为单位向量，且=0，若 ，则___________.
16．在四边形中，若，则四边形是平行四边形( )
17．已知△ABC和点M满足.若存在实数m使得成立，则m＝__________.
三、解答题
18．如图所示，在中，，，与交于点M．过M点的直线l与、分别交于点E，F．
（1）试用，表示向量；
（2）设，，求证：是定值．
19．判断下列命题是否正确，并说明理由．
①若向量与同向，且||>||，则>；
②若向量，则与的长度相等且方向相同或相反；
③对于任意||＝||，且与的方向相同，则＝；
④向量与向量平行，则向量与方向相同或相反．
20．如图，，，，是上的八个等分点，则在以，，，以及点O这九个点中任意两点为起点与终点的向量里，模等于圆半径的向量有多少个？模等于半径倍的向量有多少个？
21．如图所示，已知向量，求作向量．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．B
本题采用特殊位置法，将直线特殊为过三角形顶点，从而可得解.
【详解】
本题采用特殊位置法较为简单.
因为过内一点任作一条直线，可将此直线特殊为过点A，则，有.
如图：
则有直线AM经过BC的中点，
同理可得直线BM经过AC的中点，直线CM经过AB的中点，
所以点是的重心，
故选B.
本题主要考查了向量在三角形中的应用，采用了特殊位置法，属于难题.
2．D
根据向量相等、向量共线的定义或性质，结合各选项的描述判断正误即可.
【详解】
A：若为非零向量，为零向量时，有但不成立，错误；
B：时，，不一定相等，错误；
C：若为零向量时，，不一定有，错误；
D：说明，同向，即，正确.
故选：D
3．B
A.由相反向量判断；B.由单位向量判断；C.由向量的长度是数量判断；D.由相等向量判断.
【详解】
A.和长度相等，方向相反，故正确；
B.单位向量长度都为1，但方向不确定，故错误；
C.向量的长度可以比较大小，即模长可以比较大小，故正确；
D.向量只与长度和方向有关，无位置无关，故任一非零向量都可以平行移动，故正确.
故选：B.
4．A
先用向量，表示向量，再转化为用，表示即可得答案.
【详解】
解：根据题意做出图形，如图，
所以，
所以.
故选：A.
关键点睛：解题关键在于利用向量的线性运算进行求解，属于基础题
5．B
根据平面向量相等的概念，即可证明，且，由此即可得结论.
【详解】
在四边形ABCD中， ，所以，且，
所以四边形为平行四边形．
故选：B
6．D
根据零向量、单位向量的性质即可判断各项的正误.
【详解】
①长度为0的向量都是零向量，正确；
②零向量的方向任意，故错误；
③单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；
④任意向量与零向量都共线，正确；
故选：D
7．B
利用单位向量的概念可判断A选项的正误；利用向量模的定义可判断B选项的正误；取可判断C选项的正误；利用零向量的定义可判断D选项的正误.
【详解】
对于A选项，两个单位向量的模相等，但这两个单位向量的方向不确定，故A错；
对于B选项，向量与向量的模相等，B对；
对于C选项，若，则无意义，C错；
对于D选项，零向量的方向任意，D错.
故选：B.
8．C
利用单位向量的定义可判断AB；利用零向量的定义可判断CE；利用向量定义可判断D.
【详解】
对于A，单位向量是模长为1的向量，而向量是有大小，有方向的量，故A错误；
对于B，单位向量，故B错误；
对于C，零向量方向任意，故零向量与任意向量平行，故C正确；
对于D，若向量满足，只说明的大小相等，方向不一定，故D错误；
对于E，，故E错误；
故选：C
9．D
向量有方向、有大小，平行包含同向与反向两种情况.向量相等意味着模相等且方向相同，根据定义判断选项.
【详解】
A.向量与向量的方向相反，长度相等，故A正确；
B.规定零向量与任意非零向量平行，故B正确；
C.能平移到同一条直线的向量是共线向量，所以长度相等，方向相反的向量是共线向量，故C正确；
D.长度相等，方向相同的向量才是相等向量，所以方向相反的向量不可能相等，故D不正确.
本题主要考查向量的基本概念及共线（平行）向量和相等向量的概念，属于基础概念题型.
10．C
根据共线向量的定义可判断A，D；由相等向量的定义可判断B，C；进而可得正确选项.
【详解】
对于A：根据共线向量的定义可知向量就是所在的直线与所在的直线平行或重合，故选项A不正确；
对于B：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量，故选项B不正确；
对于C：若，则，故选项C正确；
对于D：方向相同或相反的非零向量叫平行向量，也叫共线向量，零向量与任意向量共线，故选项D不正确；
故选：C.
11．C
由向量平移可知，与方向相同且长度相等，即可得的坐标.
【详解】
因为平移后，与方向相同且长度相等，故.
故选：C
12．A
根据向量的定义判断．
【详解】
①错误，因为单位向量的方向可以既不相同又不相反；
②错误，因为两个单位向量共线，则这两个向量的方向有可能相反；
③正确，因为零向量与任意向量共线，所以若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；
④错误，有相同起点的两个非零向量方向有可能相同或相反，所以有可能是平行向量；
⑤正确，方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量的方向是相反的，所以这两个向量是共线向量．
正确的有两个．
故选：A．
13． 和，和 和，和
（1）通过表示向量的有线段的关系，利用向量共线的定义找出共线向量
（2）利用相反向量的定义，从找出相反向量．
（3）直接由图形中得出有线段的长度相等的即可.
【详解】
解:（1），，故和，和是共线向量.
（2）和，和是方向相反的向量.
（3）由勾股定理可得，模相等的向量有.
故答案为：（1）和，和；（2）和，和；（3）.
本题考查共线向量、相反向量的定义和向量的模长的定义，属于基础题．
14．（2）
（1）单位向量的方向不一定相同，故不相等；（2）零向量方向不确定；（3）共线向量可以起点不同，终点相同；（4）方向相反的向量是平行的.
【详解】
（1）错误,单位向量模都相等，但是方向不一定相同.
（2）正确,若一个向量的模为0，则该向量是零向量，其方向不确定，是任意的.
（3）错误,共线的向量，若起点不同，但终点有可能相同.
（4）错误,方向相反的两个向量一定平行.
故答案为：（2）
15．.
根据结合向量夹角公式求出，进一步求出结果.
【详解】
因为，，
所以，
，所以，
所以 ．
本题主要考查平面向量的数量积、向量的夹角．渗透了数学运算、直观想象素养．使用转化思想得出答案．
16．真命题
根据平面向量相等的概念，即可证明，且，由此即可得结论.
【详解】
解：：在四边形ABCD中， ，所以，且，所以四边形为平行四边形．
所以该命题为真命题，
故答案为：真命题.
17．3
【详解】
由条件知是的重心，设是边的中点，
则，而，
所以.
18．（1）；（2）证明见解析．
（1）由向量共线定理即可求出；
（2）由E，M，F三点共线，可设（），由，，可得，最后结合（1）的结论可得，问题得以证明．
【详解】
（1）由A，M，D三点共线可得存在实数m（）使得：，
又，故，
由C，M，B三点共线可得存在实数n（）使得：，
又，故，
由题意，，不共线，则：
，解得，
故；
（2）由E，M，F三点共线，可设（），
由，，则：，
由（1）知，，则：，即，
所以，
所以是定值．
关键点睛：本题考查平面向量综合，解题关键是理解并能由点共线转化为向量共线，再根据向量共线的条件得出等式，从而证明结论.
19．①不正确；②不正确；③正确；④不正确，理由见解析.
根据向量的概念判断①，根据向量模的概念判断②，根据向量相等判断③根据共线向量判断④.
【详解】
①不正确．因为向量是不同于数量的一种量．
它由两个因素来确定，即大小与方向，
所以两个向量不能比较大小，故①不正确．
②不正确．由||＝||只能判断两向量长度相等，并不能判断方向．
③正确．因为||＝||，且a与b同向．由两向量相等的条件可得＝.
④不正确．因为向量与向量若有一个是零向量，则其方向不确定．
20．模等于圆半径的向量有16，等于半径倍的向量有16个.
结合图形，根据平面向量的模的概念进行简单计算即可得解.
【详解】
由图可知，模等于圆半径的向量为，，，，共16个；
图中两个正方形的每条边对应了2个模等于圆半径倍的向量，共16个.
21．答案见解析
平面内将的起点都移至O点，令，即可作.
【详解】
如图所示，在平面内任取一点O，，
∴，即为所求．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页

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