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第4讲 第3课时 万有引力定律的应用
课堂讲解
考点1、天体质量和密度的估算
1．重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。
(1)由G＝mg得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝＝＝。
2．天体环绕法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。
(1)由G＝m得天体的质量M＝。
(2)若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。
(3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
注：若已知的量不是r、T，而是r、v或v、T等，计算中心天体质量和密度的思路相同。若已知r、v，利用G＝m得M＝。若已知v、T，可先求出r＝，再利用G＝m或G＝mr求M。若已知ω、T则不能求出M。
例1、(2021·广东高考)2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行。若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是(　　)
A．核心舱的质量和绕地半径
B．核心舱的质量和绕地周期
C．核心舱的绕地角速度和绕地周期
D．核心舱的绕地线速度和绕地半径
变式1、(2017·北京高考)利用引力常量G和下列某一组数据，不能计算出地球质量的是(　　)
A．地球的半径及重力加速度(不考虑地球自转)
B．人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期
C．月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离
D．地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离
例2、（密度）（2020·全国卷）若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是（　　）
A． B． C． D．
月球半径 R0
月球表面处的重力加速度 g0
地球和月球的半径之比 R/R0＝4
地球表面和月球表面的重力加速度之比 ＝6
变式2、嫦娥五号探测器由轨道器、返回器、着陆器等多个部分组成。探测器预计在2017年由长征五号运载火箭在中国文昌卫星发射中心发射升空，自动完成月面样品采集，并从月球起飞，返回地球，带回约2 kg月球样品。某同学从网上得到一些信息，如表格中的数据所示，请根据题意，判断地球和月球的密度之比为(　　)
A. B. C．4 D．6
考点2、当卫星开启发动机，或者受空气阻力作用时，万有引力不再等于卫星所需向心力，卫星的轨道将发生变化。
1、卫星轨道的突变：由于技术上的需要，有时要在适当的位置短时间内启动飞行器上的发动机，使飞行器轨道发生突变，使其进入预定的轨道。如图所示，发射同步卫星时，可以分多过程完成：
(1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1。
(2)变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，这时(3)卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。
飞船和空间站的对接过程与此类似。卫星的回收过程和飞船的返回则是相反的过程，通过突然减速，>m，变轨到低轨道，最后在椭圆轨道的近地点处返回地面。
（2）卫星变轨时一些物理量的定性分析
(1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ、Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v4，在轨道Ⅱ上过P、Q点时的速率分别为v2、v3，在P点加速，则v2>v1；在Q点加速，则v4>v3。又因v1>v4，故有v2>v1>v4>v3。
(2)加速度：因为在P点不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过，P点到地心的距离都相同，卫星的加速度都相同，设为aP。同理，在Q点加速度也相同，设为aQ。又因Q点到地心的距离大于P点到地心的距离，所以aQ(3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径或半长轴分别为r1、r2、r3，由＝k可知T1例3、(2021·天津高考)2021年5月15日，天问一号探测器着陆火星取得成功，迈出了我国星际探测征程的重要一步，在火星上首次留下国人的印迹。天问一号探测器成功发射后，顺利被火星捕获，成为我国第一颗人造火星卫星。经过轨道调整，探测器先沿椭圆轨道Ⅰ运行，之后进入称为火星停泊轨道的椭圆轨道Ⅱ运行，如图所示，两轨道相切于近火点P，则天问一号探测器(　　)
A．在轨道Ⅱ上处于受力平衡状态
B．在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时短
C．从轨道Ⅰ进入Ⅱ在P处要加速
D．沿轨道Ⅰ向P飞近时速度增大
变式3、（变轨问题）（2019·江苏卷）1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动，如图所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G。则（　　）
A． B．
C． D．
考点3、双星、多星模型
（1）双星模型
(1)两颗星体绕公共圆心转动，如图1所示。
(2)特点
①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即
＝m1ωr1， ＝m2ωr2。
②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。
③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。
④两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝。
⑤双星的运动周期T＝2π。⑥双星的总质量m1＋m2＝。
（2）三星模型（重点各个天体的角速度和质量相同）理想情况下，它们的位置具有对称性，下面介绍两种特殊的对称轨道。
①三颗星位于同一直线上，两颗质量均为m的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图3甲所示)。
②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图3乙所示)。
例4、(2018·全国卷Ⅰ)(多选)2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　)
A．质量之积 B．质量之和
C．速率之和 D．各自的自转角速度
变式4、(多选)宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中有一种三星系统如图所示，三颗质量均为m的星球位于边长为R的等边三角形的三个顶点上，并绕其中心O做匀速圆周运动。忽略其他星球对它们的引力作用，引力常量为G，以下对该三星系统的说法正确的是(　　)
A．每颗星球做圆周运动的半径都为R
B．每颗星球做圆周运动的加速度都与三颗星球的质量无关
C．每颗星球做圆周运动的周期都为2πR
D．若距离R和m均增大为原来的3倍，则每颗星球的线速度大小不变
考点4、天体追击问题(同向)：两天体再次离得最近：；两天体离得最远：；
例5、假设有一载人宇宙飞船在距地面高度为4200 km的赤道上空绕地球做匀速圆周运动，地球半径约为6400 km，地球同步卫星距地面高度为36000 km，宇宙飞船和地球同步卫星绕地球同向运动，每当二者相距最近时，宇宙飞船就向同步卫星发射信号，然后再由同步卫星将信号发送到地面接收站。某时刻二者相距最远，从此刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为(　　)
A．4次 B．6次
C．7次 D．8次
变式5、（教材必修二P72页B组第6题）太阳系各行星几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动。当地球恰好运行到某地外行星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线的现象，天文学称为“行星冲日”。已知地球及各地外行星绕太阳运动的轨道半径如下表所示。根据题中信息，试计算木星相邻两次冲日的时间间隔，哪颗地外行星相邻两次冲日的时间间隔最短？
课后巩固
（教材必修二P58页第3题）某人造地球卫星沿圆轨道运行，轨道半径是 6.8×103km，周期是 5.6×103 s。试从这些数据估算地球的质量
2、（教材必修二P71页B组第2题）行星的平均密度是ρ，靠近行星表面运行的卫星运转周期是T，证明：ρΤ2是一个常量，即对任何行星都相同。
3、（2021·全国卷）科学家对银河系中心附近的恒星S2进行了多年的持续观测，给出1994年到2002年间S2的位置如图所示。科学家认为S2的运动轨迹是半长轴约为（太阳到地球的距离为）的椭圆，银河系中心可能存在超大质量黑洞。这项研究工作获得了2020年诺贝尔物理学奖。若认为S2所受的作用力主要为该大质量黑洞的引力，设太阳的质量为M，可以推测出该黑洞质量约为（　　）
A． B． C． D．
4、宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，可忽略其他星体对三星系统的影响。稳定的三星系统存在两种基本形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的轨道上运行，如图甲所示，周期为T1；另一种是三颗星位于边长为r的等边三角形的三个顶点上，并沿等边三角形的外接圆运行，如图乙所示，周期为T2。若每颗星的质量都相同，则T1∶T2为(　　)
A． B．
C． D．
参考答案
课堂讲解
例1、答案 D
解析 根据核心舱做圆周运动的向心力由地球的万有引力提供，可得G＝m＝mω2r＝mr，则M＝＝＝，可知要计算地球的质量M，除引力常量G外，还要知道核心舱的绕地半径r及绕地线速度v、绕地角速度ω或绕地周期T中的一个。所以若已知核心舱的质量和绕地半径或已知核心舱的质量和绕地周期，都不能计算出地球的质量；若已知核心舱的绕地角速度和绕地周期，不能计算出核心舱的绕地半径，也不能计算出地球的质量；若已知核心舱的绕地线速度和绕地半径，可由M＝计算出地球的质量。故D正确，A、B、C错误。
变式1、答案　D
解析　根据G＝mg可知，已知地球的半径及重力加速度可计算出地球的质量，A能；根据G＝m及v＝可知，已知人造卫星在地面附近绕地球做圆周运动的速度及周期可计算出地球的质量，B能；根据G＝mr可知，已知月球绕地球做圆周运动的周期及月球与地球间的距离，可计算出地球的质量，C能；已知地球绕太阳做圆周运动的周期及地球与太阳间的距离只能求出太阳的质量，不能求出地球的质量，D不能。
例2、答案 A
解析 卫星在星体表面附近绕其做圆周运动，则， ，
知卫星该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期
变式2、答案 B
解析 利用题给信息，对地球，有G＝mg，得M＝，又V＝πR3，得地球的密度ρ＝＝；对月球，有G＝mg0，得M0＝，又V0＝πR，得月球的密度ρ0＝＝，则地球的密度与月球的密度之比＝，故B正确。
例3、答案 D
解析 天问一号探测器在轨道Ⅱ上做变速运动，受力不平衡，故A错误；轨道Ⅰ的半长轴大于轨道Ⅱ的半长轴，根据开普勒第三定律可知，在轨道Ⅰ运行周期比在Ⅱ时长，故B错误；天问一号探测器从轨道Ⅰ进入Ⅱ，是从高轨道进入低轨道，则应在P处减速，故C错误；天问一号探测器沿轨道Ⅰ向P飞近时，万有引力做正功，动能增大，速度增大，故D正确。
变式3、答案 B
解析 “东方红一号”从近地点到远地点万有引力做负功，动能减小，所以，过近地点圆周运动的速度为 ，由于“东方红一号”在椭圆上运动，所以，故B正确．
例4、答案　BC
解析　依题意已知两颗中子星的周期T、距离L，各自的自转角速度不可求，D错误；对m1：G＝m1ω2r1，对m2：G＝m2ω2r2，已知几何关系：r1＋r2＝L，ω＝，联立以上各式可解得：r1＝L，r2＝L，m1＋m2＝，B正确；速率之和v1＋v2＝ωr1＋ωr2＝ω(r1＋r2)＝，C正确；质量之积m1m2＝·＝·r1r2，r1r2不可求，故m1m2不可求，A错误。
变式4、答案　ACD
解析　由几何关系知每颗星球做圆周运动的半径r＝R，故A正确；任意两颗星球之间的万有引力为F＝，每一颗星球受到的合力F1＝F，由合力提供向心力，有＝ma，解得a＝，即每颗星球做圆周运动的加速度都与三颗星球的质量m成正比，故B错误；由合力提供向心力，有＝mr，解得每颗星球做圆周运动的周期T＝2πR，故C正确；由合力提供向心力，有＝m，解得v＝，若距离R和m均增大为原来的3倍，则每颗星球的线速度大小不变，故D正确。
例5、答案　C
解析　宇宙飞船轨道半径为r1＝4200 km＋6400 km＝10600 km，地球同步卫星轨道半径为r2＝36000 km＋6400 km＝42400 km，r2＝4r1。根据开普勒第三定律有＝，得T2＝8T1，即地球同步卫星运动周期为宇宙飞船圆周运动周期的8倍。因T2＝24 h，则T1＝3 h，宇宙飞船圆周运动的角速度ω1＝＝ rad/h，地球同步卫星圆周运动的角速度ω2＝＝ rad/h，设二者每隔时间Δt相距最近一次，则Δt＝＝ h，则从二者相距最远时刻开始，在一昼夜的时间内，接收站共接收到信号的次数为＋1＝7.5≈7次，C正确。
变式5、答案 1.09年和海王星
解析 木星相邻两次行星冲日的时间间隔就是地球比该行星多运动一周的时间，根据开普勒第三定律，有，所以木星的周期为年。
由，得，年
对于地外行星，由，得，可知行星的轨道半径R越大，其周期T越大，相邻两次行星冲日的时间间隔t越短，所以海王星相邻两次行星冲日的时间间隔最短。
课后巩固
答案 5.9×1024 kg
解析 卫星绕地球做圆周运动的向心力由地球对卫星的万有引力提供，有，得地球质量=5.9×1024 kg
答案
解析 对于靠近行星表面运行的卫星，有，
行星质量,两式联立，有=常量。
3、答案 B
解析 可以近似把S2看成匀速圆周运动，由图可知，S2绕黑洞的周期T=16年，地球的公转周期T0=1年，S2绕黑洞做圆周运动的半径r与地球绕太阳做圆周运动的半径R关系是
地球绕太阳的向心力由太阳对地球的引力提供，由向心力公式可知
解得太阳的质量为
同理S2绕黑洞的向心力由黑洞对它的万有引力提供，由向心力公式可知
解得黑洞的质量为
综上可得
故选B。
4、答案　D
解析　设每颗星的质量为m。第一种形式下，对做圆周运动的任一星体有G＋G＝mR，解得T1＝4πR；第二种形式下，由几何关系知，星体做圆周运动的半径为R′＝，任一星体受到的合力F合＝2G·cos30°，根据合力提供向心力有F合＝m×，解得T2＝2πr，则T1∶T2＝，故选D。

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