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高考数学一轮复习——取对数
【典型题示例】
例1 已知函数，若函数有四个不同的零点，则实数m的取值范围是 ．
【答案】
【解析】是偶函数，问题转化为，即（）有两个零点
易知，两边均为曲线，较难求解.
两边取自然对数，，即
问题即为：与有两个交点
先考察直线与相切，即只有一点交点的“临界状态”
设切点为，则，解得，此时切点为
代入
再求与有两个交点时，m的取值范围
由图象知，当在直线下方时，满足题意
故，解之得，此时也符合
所以实数m的取值范围是．
点评：取对数的目的在于“化双曲为一直一曲”，简化了运算、难度，取对数不影响零点的个数.
例2 设正实数x，则的值域为_____．
【答案】[0，]
【分析】所求函数结构是商的形式，分子、分母又是指对运算，让人“雾里看花”一头雾水，无从下手.联想到“取对数”、“换元”，就可以“拨开浓雾终见日”了.
【解析】当lnx≠0时，两边取对数得：
令lnx＝t ∴设
∵
∴当时，；当时，
∴，
∴，
又lnx≠0时，
∴的值域为[0，]，
∴函数的值域为[0，]．
例3 已知实数，满足，，则______.
【答案】
【分析】由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令，得到，研究函数的单调性，求出关系，即可求解.
【解法一】对两边取自然对数得：，
对两边取自然对数得： （※）
为使两式结构相同，将（※）进一步变形为：
设，则
所以在单调递增，的解只有一个.
∴， ∴
【解析二】实数，满足，，
，，则，
，
所以在单调递增，而，
.
点评：两种解法实质相同，其关键是对已知等式进行变形，使其“结构相同”，然后构造函数，利用函数的单调性，利用是同一方程求解.
【巩固训练】
1.已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A. a2. 设实数，若对任意的，不等式恒成立，则的最大值是（ ）.
3.若存在正实数x，y，z满足，且，则的最小值为 　 ．
4.若函数（且）的定义域[m，n] 上的值域是[m2，n2]（15. 若函数（）有且只有三个零点，则实数a的取值范围是 ．
6.已知变量(),且,若恒成立,则实数m的最大值是 ．
【答案与提示】
1.【答案】A
2. 【答案】
【提示一】变形为，构造函数，等价转化为，即，只需，答案为.
【提示二】变形为，两边取对数，构造函数，该函数单增，故等价转化为，即，只需，答案为.
3 【答案】
【提示】，，令，，.
4.【答案】
【提示】方法同例1.
5. 【答案】
【提示】，取对数得，即，分离函数转化为、有三个交点.
6.【答案】e
【提示】，则单增.

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