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高考数学一轮复习——三角形三内角正切积等于正切和的应用
【方法点拨】
斜三角形中，.
【典型题示例】
例1 在锐角三角形中，，则的最小值是 ．
【答案】8
【解析】由，，
可得（*），
由三角形为锐角三角形，则，
在（*）式两侧同时除以可得，
又(#)，
则，
由可得，
令，由为锐角可得，
由(#)得，解得
，
，由则，因此最小值为，
当且仅当时取到等号，此时，，
解得（或互换），此时均为锐角．
例2 △ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，若＝＝，则 cosAcosBcosC＝ ．
【答案】
【分析】由已知联想到正弦定理，得到三内角正切间的关系，求出正切值即可.
【解析】由＝＝及正弦定理得:
代入解得，，
所以，，
故.
【巩固训练】
1. 在锐角△中，若，，依次成等差数列，则的值为 ．
2. 在△ABC中，已知sinA＝13sinBsinC，cosA＝13cosBcosC，则tanA＋tanB＋tanC的值为 ．
3.设，且，若，，则 .
4. 在中，若，则的大小是（ ）
A． B． C． D．
【答案与提示】
1.【答案】3
【解析】依题意，因为，所以 ，所以，所以.
2.【答案】196
【解析】依题意cosAsinA＝13cosBcosC13sinBsinC，即cosAsinA＝13cos，
即cosAsinA＝13cosA，所以tanA，又易得tanA＝tanBtanC，
而tanA＋tanB＋tanCtanAtanBtanC，所以tanA＋tanB＋tanCtanA．
3.【答案】
【提示】①，
②，
又由立得：.
4.【答案】D
【解析】由正弦定理可知，，，，（R为三角形外接圆半径），
因为，
所以
且A，B，C都为锐角，
所以，
所以
整理可得，，故，．

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