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7.2离散型随机变量及分布列
【学习目标】：
1.借助教材实例,了解离散型随机变量及其分布列.
2.了解离散型随机变量的性质、两点分布的概念.
3.会求简单的离散型随机变量的分布列.
【知识要点】 认真研读教材p56--p60，用红色笔进行勾画
1.离散型随机变量
(1)随机变量:对于随机试验样本空间Ω中的每一个样本点ω,都有唯一的实数X与之对应,我们称X为随机变量.
(2)离散型随机变量:可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称之为离散型随机变量.
(3)表示:随机变量用大写英文字母表示,如X,Y,Z;随机变量的取值用小写英文字母表示,如x,y,z.
(4)本质:通过引入一个取值依赖于样本点的变量X,来刻画样本点和实数的对应关系,实现样本点的数量化.
2.离散型随机变量的分布列
(1)定义:设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率P=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.
(2)表示:表格
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
概率分布图
(3)性质:①pi≥0,i=1,2,…,n;
②p1+p2+…+pn=1.
3.两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验,用A表示“成功”,表示“失败”,定义X=如果P=p,则P=1-p,那么X的分布列为
X 0 1
P 1-p p
我们称X服从两点分布或0-1分布.
【知识自悟】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)
(1)一只大熊猫一年内的体重是离散型随机变量.(　　)
(2)离散型随机变量的取值一定是有限个.(　　)
(3)离散型随机变量是指某一区间内的任意值.(　　)
提示:(1)×.大熊猫一年内的体重是连续型随机变量.
(2)×.离散型随机变量的取值可能是无限个,但是能一一列出.
(3)×.离散型随机变量的取值可以是任意的实数.
2.下列变量:
①某机场候机室中一天的旅客数量为X;
②某寻呼台一天内收到的寻呼次数为X;
③某水电站观察到一天中长江的水位为X;
④某立交桥一天内经过的车辆数为X.
其中不是离散型随机变量的是(　　)
A.①中的X B.②中的X
C.③中的X D.④中的X
【解析】选C.①②④中的随机变量X可能取的值,我们都可以按一定次序一一列出,因此它们都是离散型随机变量;③中的X可以取某一区间内的一切值,无法按一定次序一一列出,故它不是离散型随机变量.
3.袋中有大小相同的5个钢球,分别标有1,2,3,4,5五个号码.在有放回地抽取条件下依次取出2个球,设两个球号码之和为随机变量X,则X所有可能值的个数是(　　)
A.25 B.10 C.9 D.5
【解析】选C.第一次可取1,2,3,4,5中的任意一个,由于是有放回地抽取,第二次也可取1,2,3,4,5中的任何一个,两次的号码和可能为2,3,4,5,6,7,8,9,10.
【题型探究】
1.下列所述:
①某加工厂加工的一批某种钢管的外径与规定的外径尺寸之差X;
②某报社一天内收到的投稿件数X;
③一天之内的温度X;
④一位射击手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,用X表示该射击手在一次射击中的得分.
其中X是离散型随机变量的是(　　)
②③　　　　B.②④　　　　C.③④　　　　D.③④
【解析】1.选B.②④中的X可以取的值可以一一列举出来,而①③中的X可以取某一区间内的一切值,属于连续型的.
2.(多选题)抛掷两枚骰子一次,记第一枚骰子掷出的点数减去第二枚骰子掷出的点数之差为X,那么“X≤-4”表示的随机事件的结果是(　　)
A.第一枚1点,第二枚4点 B.第一枚2点,第二枚6点
C.第一枚1点,第二枚5点 D.第一枚1点,第二枚6点
【解析】选BCD.抛掷两枚骰子,点数之差满足小于等于-4的只有三种情况,故第一枚为1点、第二枚为6点,第一枚为1点、第二枚为5点,第一枚为2点、第二枚为6点.
2.离散型随机变量X的分布列为下表，则常数C的值为(　　)
X 0 1
P 9C2-C 3-8C
B. C.或 D.以上都不对
【解析】1.选B.由离散型随机变量X的分布列,
得解得C=或(舍去).
2.设离散型随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P 0.2 0.1 0.1 0.3 m
求:(1)2X+1的分布列;(2)求P(1【解析】由分布列的性质知:0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,解得m=0.3.
(1)由题意可知P(2X+1=1)=P(X=0)=0.2,
P(2X+1=3)=P(X=1)=0.1,
P(2X+1=5)=P(X=2)=0.1,
P(2X+1=7)=P(X=3)=0.3,
P(2X+1=9)=P(X=4)=0.3.
所以2X+1的分布列为:
2X+1 1 3 5 7 9
P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3
(2)P(13.某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题,其中前两个问题回答正确各得10分,回答不正确得0分,第三个问题回答正确得20分,回答不正确得-10分.如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是,回答第三个问题正确的概率为,且各题回答正确与否相互之间没有影响.若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功.
(1)求这位挑战者回答这三个问题的总得分X的分布列.
(2)求这位挑战者闯关成功的概率.
【解析】(1)这位挑战者回答这三个问题的总得分X所有可能的取值为-10,0,10,20,30,40,
P(X=-10)=××=, P(X=0)=×××=, P(X=10)=×=,
P(X=20)=××=, P(X=30)=×××=, P(X=40)=×=.
所以X的分布列为:
X -10 0 10 20 30 40
P
(2)依题意总分不低于10分就算闯关成功,
所以这位挑战者闯关成功的概率
P=P(X≥10)=1-P(X≤0)=1--=.
【分组讨论】
1.一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数为ξ.
(1)列表说明可能出现的结果与对应的ξ的值;
(2)若规定抽取3个球中,每抽到一个白球加5分,抽到黑球不加分,且最后结果都加上6分,求最终得分η的可能取值,并判定η是否为离散型随机变量.
【解析】(1)
ξ 0 1 2 3
结果 取得3 个黑球 取得1个白球,2个黑球 取得2个白球,1个黑球 取得3个白球
(2)由题意可得:η=5ξ+6,而ξ可能的取值范围为{0,1,2,3},所以η对应的各值是:5×0+6,5×1+6,5×2+6,5×3+6.故η的可能取值为6,11,16,21.显然,η为离散型随机变量.
2.已知随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=mk(k=1,2,3,4,5),则实数m=(　　)
A. B. C. D.
【解析】选C.因为随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=mk(k=1,2,3,4,5),所以m+2m+3m+4m+5m=1,解得实数m=.
2.已知随机变量X的分布列:
X 1 2 3 4 5
P a
(1)求a;
(2)求P(X≥4),P(2≤X<5).
【解析】(1)由++a++=1,得a=.
(2)P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)=+=,
P(2≤X<5)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=++=.
3.袋内有5个白球,6个红球,从中摸出两球,记X=则X的分布列为________.
【解析】P(X=0)==,P(X=1)=1-=.
故X的分布列如表:
X 0 1
P

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