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微专题2. 函数单调性，奇偶性，周期性
设计目标.
本节是在学完函数单调性与奇偶性后设计的一次微专题探究课，众所周知，
函数性质是高一上一个教学难点也是高考必考点，所以有必要通过设计此次微专题课达到两方面目标：
1.加强对函数单调性奇偶性的理解与认识，特别是在两个性质的应用方面，要通过题目强化认知，数形结合，提高认知能力.
2.拓展对奇偶性的认知，将其推广到函数对称性，并进一步考虑单调性与对称性的综合应用，再次加强对函数性质的理解，最后通过个别高考题目达到强化，培优的效果.
二．知识回顾
1.函数的单调性定义
2.判断或证明函数单调性的常见方法
3.单调性的常见应用
4. 函数奇偶性定义
5.判断或证明函数奇偶性的常见方法
奇偶性常见应用
三．微专题探究
2.1.奇偶性与单调性综合问题.
例1. 已知偶函数在区间上单调递增，则满足的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
例2．已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例1.解析∵f（x）为偶函数，∴f（x）＝f（|x|）.则f（|2x－1|）<，
又∵f（x）在[0，＋∞）上单调递增，∴，解得.故选：A.
例2解析：由题得，所以函数是奇函数，
因为，所以是上的增函数，所以，
所以.故选：A
练习1.定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则（ ）
A． B．
C． D．
故选：A.
2.2函数的对称性.
函数对称性主要有轴对称和中心对称两种情况. 函数对称性研究的是一个函数本身所具有的性质.
1.轴对称: 函数图象关于一条垂直于轴的直线对称，则当函数图象上任意两个点到直线的距离相等且函数值时. 我们就称函数关于对称.
代数表示: (1).
(2).
即当两个自变量之和为一个定值，函数值相等时,则函数图像都关于直线对称.
一般地，若函数满足，则函数的图象关于直线对称.
特别地，偶函数(关于轴对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相等.
2.中心对称：函数上任意一点（）关于点对称的点（）也在函数图像上，此时我们就称函数为关于点()对称的中心对称图像，点()为对称中心.
用代数式表示：(1).
(2).
一般地,若函数满足,则函数的图象关于点对称.
特别地，奇函数(关于原点对称)，，即当横坐标到原点的距离相等(横坐标互为相反数），函数值相反.
3.注释: 对称性的作用: 知一半而得全部，即一旦函数具备对称性，则只需分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质.
(1).利用对称性求得函数在某点的函数值.
(2).利用对称性可以在作图时只需作出一半的图象，然后再根据对称性作出另一半的图象.
(3).对于轴对称函数，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；对于中心对称函数，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同.
2.3.对称性的应用
2.3.1对称性与单调性
例3.在上定义的函数是偶函数，且．若在区间上是减函数，则（ ）
A．在区间上是增函数，在区间上是减函数
B．在区间上是增函数，在区间上是增函数
C．在区间上是减函数，在区间上是增函数
D．在区间上是减函数，在区间上是减函数
例3解析：由可得，所以的对称轴为，
因为函数是偶函数，所以，
由可得：，
所以，所以是周期为的周期函数，
若在区间上是减函数，根据对称性可知在上是增函数，
根据周期为可知：在区间上是增函数，在区间上是减函数，
故选：A.
2.3.2 已知对称性求解析式
例4.已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有根之和等于
A．4 B．5 C．6 D．12
例4解析：因为为奇函数，所以图像关于对称，
所以函数的图像关于对称，即
当时，，
所以当时，
当时，可得
当时，可得
所以的所有根之和为
故选A
2.3.3 对称函数的图象性质
例5.已知函数满足，若函数的图象与函数的图象的交点为,则( )
A. B. C. D.
结论1.若的图像关于直线对称.设
.
例8.已知函数满足,若函数与图像的交点为,，（），则
A. B. C. D.
结论2.若,
即.
一般地，对于
练习2.已知函数是偶函数，当时， 恒成立，设，，，则，，的大小关系为（ ）
B． C． D．
练习3．已知函数在区间上单调递增，且函数为偶函数，则下列结论成立的是（）
A． B．
C． D．
练习2【详解】
当时，，则，
所以，函数为上的增函数，
由于函数是偶函数，可得，
，
，因此，.
故选：A.
练习3【详解】
因为函数f(x＋2)是偶函数，所以f(x＋2)＝f(－x＋2)，即函数f(x)的图象关于x＝2对称，
又因为函数y＝f(x)在区间[0，2]上单调递增，所以函数y＝f(x)在区间[2，4]上单调递减.
因为，，所以，即，
故选：B.
一、单选题
1．已知函数满足，若函数与图象的交点为，则 的值为（ ）
A．4m B．3m C．2m D．m
2．已知函数满足，函数的图象与的图象的交点为，，…，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数是偶函数，当时，恒成立，设则a，b，c的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
4．已知定义在上的函数在上为增函数，且函数为偶函数，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数是定义在上的奇函数，且，当时，，则的大小关系是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．若函数为偶函数，且在上单调递增，则的解集为___________．
7．已知定义在上的奇函数满足，且，则的值为___________.
8．已知函数是定义在上的偶函数，当时，，那么不等式的解集是 ________．
三．直击高考
1．(2021年高考全国甲卷理科)设函数的定义域为，为奇函数，
为偶函数，当时，．若，则
A． B． C． D．
2．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)设函数的定义域为，满足
，且当时，．若对任意，都有
，则的取值范围是
A． B． C． D．
3．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)已知是定义域为的奇函数，
满足．若，则
A． B．0 C．2 D．50
参考答案
练习题
1．A
解：由，得，
所以函数的图像关于点对称，
因为，
所以的图像可以看成是由的图像向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到的，所以函数的图像关于点对称，
所以函数与的图像交点关于点对称，
所以，，
设，则，
所以，所以，
设，则，
所以 ，所以，
所以，
故选：A
2．C由可知的图象关于点对称，
又因为的图象也关于点对称，
所以两个函数的图象的交点关于点对称，
即，，
所以，故选：．
3．D. 由题设知：时，单调递增，
∵是偶函数，
∴关于对称，即上单调递减，
由对称性可知：，而，
∴，即.
故选：D.
4．D. 因为函数为偶函数，所以函数关于对称，
又因为函数在上为增函数，所以函数在上为减函数，
又因为，所以
故选：D
5．C.由于是上的奇函数，且，
所以，
所以是周期为的周期函数.当时，
..
.
.
所以.
故选：C.
6．∵为偶函数，
∴，
∴，即，
∴，
∵在上单调递增，∴，
∵，
∴，解得或，
∴不等式的解集为．
故答案为：.
7．对任意，由是奇函数得，又，所以，则，所以是以4为周期的函数.
由是R上的奇函数得，所以，，故.
故答案为：.
8．；因为当时，，所以，
由可得：，即，
因为函数是定义在R上的偶函数，
所以，
所以，
因为时，，可知在单调递增，
所以，解得，
所以不等式的解集是，
故答案为：.
直击高考
1．D【详解】
因为是奇函数，所以①；
因为是偶函数，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因为，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：从定义入手．
所以．
思路二：从周期性入手
由两个对称性可知，函数的周期．
所以．
故选：D．
2．B【详解】
时，，，，即右移1个单位，图像变为原来的2倍．
如图所示：当时，，令，整理得：，（舍），时，成立，即，，故选B．
3．C【详解】
详解：因为是定义域为的奇函数，且，
所以,
因此，
因为，所以，
，从而，选C.
1.定义:对于定义域内的每一个，都存在非零常数，使得恒成立，则称函数具有周期性，叫做的一个周期，则（）也是的周期，所有周期中的最小正数叫的最小正周期.
2.函数周期性有关结论:
设是非零常数，若对于函数定义域内的任一变量有下列条件之一成立，
则函数是周期函数，且是它的一个周期.
(1). (2).
(3). (4).
3.函数的对称性与周期性
性质1. 若函数同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且.
性质2. 若函数同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且.
性质3.若函数既关于点中心对称，又关于直线轴对称，则函数必为周期函数，且.
特别地：
(1).若是奇函数且关于轴对称，则是周期函数，周期为______.
(2).若是偶函数且关于轴对称，则是周期函数，周期为______.
(3).若是奇函数且关于轴对称，则是周期函数，周期为______.
(4).若是偶函数且关于轴对称，则是周期函数，周期为______.
4.周期性的应用:
(1).函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到
整个函数的性质.
(2).图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行复制粘贴.
(3).单调性：
由于间隔的函数图象相同，所以若函数在上单调增(减)，则在上单调增(减).
例1.(1).函数满足，当，求_______.
(2).若是上的奇函数,且满足,当时,，则( )
A.2 B.-2 C.-98 D.98
例2.已知函数是定义在上的奇函数，满足.若，
则，( ).
A. B. C. D.
练习题
1．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数满足，且，当时，，则（ ）
A．-1 B．0 C．1 D．2
3．函数对任意，都有的图形关于对称，且，则（ ）
A．1 B． C．0 D．2
4．定义在上的函数，满足，当时，，当时，，则的值等于（ ）
A．405 B．404 C．810 D．808
5．若函数，则的值为________.
6．已知是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，若，则______.
7．已知是定义在R上的奇函数，并且，当时，，则______．
8．函数是定义在R上的偶函数且满足，当时，，则________．
1．（2021 石河子校级月考）已知函数的定义域是，则的定义域是　　
A．，， B．，，
C． D．
【解答】解：函数的定义域是，
中，
满足，
解得，
即且，
的定义域是，，．
故选：．
2．（2021 正定县校级期末）已知函数，则函数的定义域为　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：由，
解得，
即定义域为，．
由，
解得，
则函数的定义域为，，
故选：．
3．已知函数的定义域是，则函数的定义域为　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：函数的定义域是，
，
由，解得，
函数的定义域为，．
故选：．
4．（2021 文登市校级期中）已知函数的定义域为，，则函数的定义域是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：，，
，
，
故选：．
5．（2021 潮南区校级月考）已知函数的定义域为，，则的定义域为　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：的定义域为，，
，
则，
即的定义域为，．
故选：．
6．（2021 东湖区校级月考）设函数满足，且对任意，都有，则　　
A．0 B．1 C．2021 D．2021
【解答】解：根据题意，在中，
令得（1），
令，则（1），
即，
则（1），
（2）（1），
（3）（2），
，
，
等式两边同时相加，得，
得，
故选：．
7．（2021 道里区校级期中）若函数对定义域内任意两个自变量，都有，则可以是　　
A． B． C． D．
【解答】解：函数满足对定义域内任意实数，都有，
当时，有，，
即；
所以该函数可以是指数函数．
故选：．
8．（2021 朝阳区期末）函数满足对定义域内的任意，都有，则函数可以是　　
A． B． C． D．
【解答】解：由得，
①，
，
①说明自变量变化相等时，当自变量越大时，对应函数值的变化量越来越小，
对于、是一次函数，且在上直线递增，函数值的变化量是相等的，错；
对于、在定义域上不是单调函数，在上递减，在递增，错；
对于、是增长速度最快呈爆炸式增长的指数函数，当自变量越大时，
对应函数值的变化量越来越大，错；
对于、是增长越来越慢的对数函数，当自变量越大时，
对应函数值的变化量越来越小，正确．
故选：．
9．（2010 东宝区校级模拟）函数，对任意的实数，，只要，就有成立，则函数的奇偶性为　　
A．奇函数 B．偶函数
C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数又不是偶函数
【解答】解：对任意的实数，，只要，就有成立
令，等式成立，即（1）
（1）
另可令，
即对恒成立
即既是奇函数又是偶函数
故选：．
10．（2021春 鄞州区校级月考）已知函数满足：对任意的实数，，都有成立，且（2），则　　
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
令可得即，
令，可得（2），
所以（2）①
因为（2）②，
①②联立可得，（2），
又因为（1），
所以（1），
因为，
所以（1），
所以，
故
故选：．
二．多选题（共1小题）
11．（2021 清江浦区校级月考）若满足对任意的实数，都有（a）（b）且（1），则下列判断正确的有　　
A．是奇函数
B． 在定义域上单调递增
C．当时，函数
D．
【解答】解：令，可得（1）（1），即，，
不是奇函数，故错误；
若存在，使得，则，与矛盾，
故对，，
对任意，都有，
对于任意正整数，（1），，
若为正整数，则（1），
若为正有理数为与互质的正整数），则，
若为正无理数，则可看作某个有理数列的极限，故可看作的极限，而，故，
故当时，，故正确；
不妨设，则，切，
，，，
，故是增函数，故正确；
令可得（a）（1）（a），
，故，
，故正确，
故选：．
三．填空题（共10小题）
12．（2021 秦都区校级月考）已知函数的定义域为，，则函数的定义域为　，　．
【解答】解：函数的定义域为，，
即，
得，；
的定义域为，．
故答案为：，．
13．已知函数的定义域为，，则函数的定义域为 　，　．
【解答】解：函数的定义域为，，
，，，
解得：，
故函数的定义域是，，
故答案为：，．
14．（2021秋 惠山区校级月考）设是上的奇函数，是上的偶函数，若函数的值域为，，则的值域为　，　．
【解答】解：由是上的奇函数，是上的偶函数，
得到，，
函数的值域为，，
，且和的定义域都为，
把换为得：，
变形得：，
即，
则的值域为，．
故答案为：，
15．（2010春 盐城校级期中）若函数的值域为，，则的值域为　，　．
【解答】解：函数，即函数的图象向左平移1个单位，就可得到函数的图象，
变化过程中只是自变量发生变化，其值域并未改变．
故答案为，．
16．（2021 河南月考）设函数，满足，且对任意，，都有，则　　．
【解答】解：令，得，（1），
所以（1）．
令，得，
即．①
又，
令代入，得，
即．②
联立①、②得：
方法二、令，（1）①
令，（1）②
令①②，
故答案为．
17．（2021 金水区校级期中）已知函数满足，则函数的解析式为　　．
【解答】解：已知函数满足①，
将换成，故②
由①②化简得．
故答案为：
18．（2021 上杭县校级月考）若函数满足，则的解析式为　　．
【解答】解：，
，
，
故答案为：．
19．已知函数满足，则函数的解析式为 　　；（3）　　．
【解答】解：令，则①，
又②，
①②，得，
（3）．
故答案为：；．
20．（2021 徐汇区校级期末）对任意正实数，，，（9），则　1　．
【解答】解：令，则（9）（3），
（3），
令，则，
．
故答案为：1．
21．（2021 吉安期中）若函数是上的单调函数，且对任意的实数都有，则　　．
【解答】解：是上的单调函数，且对任意的实数都有，
，
，
，解得，
，
．
故答案为：．
四．解答题（共14小题）
22．（2021春 九原区校级期末）已知函数对一切实数，均有成立，且（1）．
（1）求的解析式；
（2）若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围．
【解答】解：（1）由，
令，，得，（1），
，，
．
（2），
在区间上是单调函数；
或，
即或；
故实数的取值范围为，，．
23．已知函数满足，求的解析式．
【解答】解：由，①
取，可得，②
①②得：，
即．
24．（1）已知，求的解析式．
（2）设是上的函数，且，并且对任意实数，都有，求的解析式．
【解答】解：（1）因为，
所以，
于是得到关于的方程组，
解得；
（2）令得，，即，
又令，代入上式得，，
所以．
25．已知定义在上的函数满足：①对任意，都有；②对任意正实数、都成立．
（1）求证：时，；
（2）判断并证明的奇偶性；
（3）如果（4），解不等式，求取值范围．
【解答】（1）解：设，得：（1）（1），
即（1）（1）（1），
（1），
再设，则，令，
（1）
，
，
．
（2）证明：设且，，
则，
当 时，，
为偶函数．
（3）解对，，，有
在为增函数，
同理在为减函数，
（4）（4）（4）（4），
解得
同理在为减函数，
解得，，
综上所述：取值范围，
26．（2021春 碑林区校级期末）函数对任意的，，都有（a）（b），并且当时，
（1）求证：在上是增函数；
（2）若（2），解不等式．
【解答】解：（1）证明：任取，
．
．
，
是上的增函数．
（2）（2）．
（2）．
又由（1）的结论知，是上的增函数，
，
，
即不等式的解集为．
27．（2021 太和县校级月考）已知函数对任意的，，都有（a）（b），并且当时，．
（1）求证：是上的增函数；
（2）若（4），解关于的不等式．
【解答】解：（1）证明：设，，且；
对任意的，，都有（a）（b）；
；
时，；
又；
；
；
在上是增函数；
（2）对任意的，，都有（a）（b）；
（4）（2）（2）；
（2）；
由得，（2），且是上的增函数；
；
解得；
不等式的解集为．
28．（2021 瓯海区校级期末）设是定义在上的函数，对、恒有，，且当时，．
（1）求的值；
（2）证明：时，恒有；
（3）求证：在上是减函数；
（4）若，求的范围．
【解答】解：（1）对任意，恒有，
令，可得，
由的任意性，可得
的值为1；
（2）由（1）中结论，令
则，可得
因此，与互为倒数，
当时，，当时，，即，
又时，
当时恒有；
（3）设，可得
由（2）知当时，恒有，
根据，可得
因此，在上是减函数；
（4）（2），
，．即无解
因此，所求无解．
29．（2021 湖北期中）设函数满足：
①对任意实数，都有；
②对任意，都有恒成立；
③不恒为0，且当时，．
（1）求，（1）的值；
（2）判断函数的奇偶性，并给出你的证明；
（3）定义：“若存在非零常数，使得对函数定义域中的任意一个，均有，则称为以为周期的周期函数”．试证明：函数为周期函数，并求出的值．
【解答】（1）解：由于不恒为0，故存在，使，令，，
则，，
令（2）（1），
由并令得：（2），
结合以上结果可得（1），
又令（因为，
（1），故（1）；
（2）解：为偶函数．
证明如下：
令，，得：，以及有，
即有，即有为偶函数；
（3）证明：由，并取，得，又为偶函数，
则，即是以2为周期的周期函数；
令，
再令，．
而，解得，，
由得，，
，
又由于是以2为周期的周期函数，
．

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