资源简介

指数函数、对数函数、幂函数
一、知识框架
1.指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.
(2)指数函数的图像与性质
a>1 0图像
性质 定义域 定义域为R
值域 值域为(0，＋∞)，即对任何实数，都有ax>0
过定点 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
函数值 的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，00时，01
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
对称性 y＝ax与y＝的图像关于y轴对称
2.对数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.
(2)对数函数的图像与性质
a>1 0图像
性质 定义域 定义域为(0，＋∞)，图像在y轴的右边
值域 值域为R
过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
函数值 的变化 当01时，y>0 当00， 当x>1时，y<0
单调性 增函数 减函数
对称性 y＝logax与y＝logx的图像关于x轴对称
4.指数函数与对数函数的关系
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称.
3.幂函数及其性质
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图像
(3)幂函数的性质
①所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都通过点(1，1).
②如果α>0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数.
③如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内；当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图像在x轴上方且无限地逼近x轴.
二、真题演练
1.（2021广东普通高中学业水平考试）已知a=0.23，b=0.32，c=0.33，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. a＜c＜b B. b＜a＜c
C. c＜a＜b D. a＜b＜c
【答案】A
【详解】解：因为在定义域上单调递减，所以，又在定义域上单调递增，所以，所以，即
故选：A
2.（2020广东普通高中学业水平考试）设，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【详解】因为,,
,,所以.故选:D
3.（2022广东普通高中学业水平考试）已知，则a,b,c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【详解】因为,,,
所以.故选:A
三、典型例题
考向1 指数函数的性质及其应用
1．函数是指数函数，则（ ）
A．或 B． C． D．且
【答案】C
【详解】由指数函数定义知，同时，且，所以解得.
故选：C
2．已知函数是奇函数，当时，，则=（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】奇函数，当时，，
所以.
故选：B
3．函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：令，解得，
所以当时，，
所以函数过定点.
故选：B
考向2 对数函数的性质及其应用
1．下列函数中，是对数函数的是（ ）
A．y＝logxa(x>0且x≠1)
B．y＝log2x－1
C．
D．y＝log5x
【答案】D
【详解】A、B、C都不符合对数函数的定义，只有D满足对数函数定义．
故选：D.
2．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤
C．③④ D．②④⑥
【答案】C
【详解】根据对数函数的定义，只有符合（且）形式的函数才是对数函数，其中x是自变量，a是常数.易知，①是指数函数；②中的自变量在对数的底数的位置，不是对数函数；③中，是对数函数；④中，是对数函数；⑤⑥中函数显然不是对数函数，由此可知只有③④是对数函数.
故选：C.
3．设函数，则（ ）
A．0 B．2 C．1 D．
【答案】B
【详解】解：根据题意，函数，
则（3），
则（1），
故选：B．
考向3 幂数函数的性质及其应用
1．幂函数在x（0，+∞）上是减函数，则m＝（ ）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1
【答案】A
【详解】∵幂函数，
∴m2﹣m﹣1＝1，
解得m＝2，或m＝﹣1；
又x（0，+∞）时f（x）为减函数，
∴当m＝2时，m2+m﹣3＝3，幂函数为y＝x3，不满足题意；
当m＝﹣1时，m2+m﹣3＝﹣3，幂函数为，满足题意；
综上，．
故选：A．
2．现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【详解】幂函数满足形式，故，满足条件，共2个
故选：B
3．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】因为函数为幂函数，所以，则，
又因为的图象经过点，所以，得，
所以.
故选：A
四、练习巩固
一、选择题
1．已知指数函数的图象经过点，则（ ）
A．8 B．16 C． D．
【答案】B
【详解】解：由题意可得，
解得，
故选：B.
2．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】因为，所以单调递增，且恒过点，
故A为正确答案.
故选：A
3．y＝2x－1的定义域是（ ）
A．(－∞，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞)
【答案】A
【详解】因为，
所以，
故选：A
4．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】要使得函数有意义，
则，，，解得.
故函数的定义域为.
故选：D.
5．已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】∵是减函数，，所以，
又，
∴．
故选：C．
6．下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：函数在区间上递增；
函数在区间上单调递减；
函数在区间上递增；
函数在区间上递增.
故选：B.
7．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】由题意知，，解得，则函数的定义域为.
故选：C.
8．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】要使函数解析式有意义，需满足解得:.
故选：C
9．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】由对数函数的值域为，向右平移2个单位得函数的值域为，
则的值域为，
故选：A.
10．已知函数且，则该函数图象恒过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：因为函数经过定点
所以函数且的图象经过定点.
故选：B
11．下列函数是奇函数的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】奇函数应该满足，
，的定义域为
显然A,C,不成立，
当时，有，所以为奇函数，
由可知，为偶函数.
故选：B．
12．在同一坐标系中，函数与的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】由指数函数与对数函数的单调性知： 在上单调递增，在上单调递增，只有B满足.
故选：B.
13．下列函数中值域为的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】值域为，值域为R，值域为，值域为R，故只有满足.
故选：C
14．幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】根据幂函数的性质，
在第一象限内，的右侧部分的图像，图像由下至上，幂指数增大，
所以由图像得：，
故选：D
15．下列函数中是减函数的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】选项A：由，可得为增函数.判断错误；
选项B：由，可得为增函数，则是减函数.判断正确；
选项C：由，可得是减函数，则为增函数.判断错误；
选项D：在上单调递增. 判断错误.
故选：B
16．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】的定义域为，且，为偶函数，图象关于轴对称，可排除；
，由幂函数性质知：在上单调递增，但增长速度越来越慢，可排除AC.
故选：B.
17．若幂函数的图象经过点，则函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】解：因为幂函数的图象经过点，
所以，解得，
所以．
故选：A
18．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【详解】由题意，幂函数的图象经过点，
则 ，
故选：D
二、填空题
1．函数的定义域为______．
【答案】
【详解】因为，所以，则，
即，解得，
故函数的定义域为．
故答案为：.
2．若，，，则，，的大小关系为________．
【答案】##
【详解】解：因为，，
又，即，
所以；
故答案为：
3．若函数是幂函数，满足，则_________．
【答案】
【详解】解：函数是幂函数，设，
又，所以，即，所以，得
所以，则.
故答案为：.
4．已知正实数满足，则___________（填“"或“"）
【答案】
【详解】单调递减，当时，，且为正实数，
单调递增，所以.
故答案为：
三、解答题
1．解下列不等式．
【答案】
【详解】解：由已知，得，解得．
所以原不等式的解集是．
2．已知函数（，且）满足.
(1)求的值；
(2)解不等式.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据解析式及题中所给数据，代入即可得a值
（2）由（1）可得解析式，代入不等式，根据指数的运算性质即单调性，即可得答案.
(1)
因为
所以，整理得，解得或（舍）
(2)
由（1）可得，
所以，即为，整理可得，
因为为单调递增函数，
所以，解得，
所以不等式的解集为指数函数、对数函数、幂函数
一、知识框架
1.指数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.
(2)指数函数的图像与性质
a>1 0图像
性质 定义域 定义域为R
值域 值域为(0，＋∞)，即对任何实数，都有ax>0
过定点 过定点(0，1)，即x＝0时，y＝1
函数值 的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，00时，01
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
对称性 y＝ax与y＝的图像关于y轴对称
2.对数函数及其性质
(1)概念：一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1.
(2)对数函数的图像与性质
a>1 0图像
性质 定义域 定义域为(0，＋∞)，图像在y轴的右边
值域 值域为R
过定点 过定点(1，0)，即x＝1时，y＝0
函数值 的变化 当01时，y>0 当00， 当x>1时，y<0
单调性 增函数 减函数
对称性 y＝logax与y＝logx的图像关于x轴对称
4.指数函数与对数函数的关系
指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图像关于直线y＝x对称.
3.幂函数及其性质
(1)幂函数的定义
一般地，函数y＝xα称为幂函数，其中α为常数.
(2)常见的五种幂函数的图像
(3)幂函数的性质
①所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，因此在第一象限内都有图像，并且图像都通过点(1，1).
②如果α>0，则幂函数的图像通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数.
③如果α<0，则幂函数在区间(0，＋∞)上是减函数，且在第一象限内；当x从右边趋向于原点时，图像在y轴右方且无限地逼近y轴；当x无限增大时，图像在x轴上方且无限地逼近x轴.
二、真题演练
1.（2021广东普通高中学业水平考试）已知a=0.23，b=0.32，c=0.33，则a，b，c的大小关系是（ ）
A. a＜c＜b B. b＜a＜c
C. c＜a＜b D. a＜b＜c
2.（2020广东普通高中学业水平考试）设，则（ ）
A. B. C. D.
3.（2022广东普通高中学业水平考试）已知，则a,b,c的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
三、典型例题
考向1 指数函数的性质及其应用
1．函数是指数函数，则（ ）
A．或 B． C． D．且
2．已知函数是奇函数，当时，，则=（ ）
A． B． C． D．
3．函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
考向2 对数函数的性质及其应用
1．下列函数中，是对数函数的是（ ）
A．y＝logxa(x>0且x≠1)
B．y＝log2x－1
C．
D．y＝log5x
2．已知函数①；②；③；④；⑤；⑥.其中是对数函数的是（ ）
A．①②③ B．③④⑤
C．③④ D．②④⑥
3．设函数，则（ ）
A．0 B．2 C．1 D．
考向3 幂数函数的性质及其应用
1．幂函数在x（0，+∞）上是减函数，则m＝（ ）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或2 D．1
2．现有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦，其中幂函数的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A． B． C． D．
四、练习巩固
一、选择题
1．已知指数函数的图象经过点，则（ ）
A．8 B．16 C． D．
2．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．y＝2x－1的定义域是（ ）
A．(－∞，＋∞) B．(1，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞)
4．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
5．已知，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．下列函数中，在区间上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
7．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
8．函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
9．函数的值域为（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数且，则该函数图象恒过定点（ ）
A． B． C． D．
11．下列函数是奇函数的为（ ）
A． B．
C． D．
12．在同一坐标系中，函数与的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
13．下列函数中值域为的是（ ）
A． B． C． D．
14．幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
15．下列函数中是减函数的为（ ）
A． B．
C． D．
16．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
17．若幂函数的图象经过点，则函数的解析式是（ ）
A． B．
C． D．
18．已知幂函数的图象经过点，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
二、填空题
1．函数的定义域为______．
2．若，，，则，，的大小关系为________．
3．若函数是幂函数，满足，则_________．
4．已知正实数满足，则___________（填“"或“"）
三、解答题
1．解下列不等式．
2．已知函数（，且）满足.
(1)求的值；
(2)解不等式.

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