资源简介

1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系
学案
一、学习目标
1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距离问题.
2.理解异面直线所成角、直线与平面所成角、二面角与空间向量之间的关系，并会用向量方法求简单夹角问题.
3.能描述用空间向量解决立体几何问题的程序，体会向量方法在研究几何问题中的作用.
二、基础梳理
1.点P到直线l的距离
已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量＝a在直线l上的投影向量为＝a·u，则点P到直线l的距离为(如图)．
2.点P到平面α的距离
设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)．
3.两个平面的夹角
平面α与平面β的夹角：平面α与平面β相交，形成四个二面角，我们把这四个二面角中不大于90°的二面角称为平面α与平面β的夹角．
4.空间角的向量法解法
角的分类 向量求法 范围
两条异面直线所成的角　　 设两异面直线l1，l2所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝
直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos〈u，n〉|＝
两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝
三、巩固练习
1.已知向量m,n分别是直线l的方向向量和平面的法向量，若，则直线l与平面所成的角为( )
A. B. C. D.
2.如图，在三棱锥中，，，平面平面ABC,M,N分别为DA和DC的中点，则异面直线CM与BN所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.0
3.如图所示,在直二面角中,四边形是边长为2的正方形,是等腰直角三角形,其中,则点到平面的距离为( )
A. B. C. D.
4.已知四边形ABCD中,,, ,若平面ABCD,且,则点P到直线BC的距离为( )
A. B. C. D.5
（多选）
5.若将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则下列结论正确的有( )
A.AD与BC所成的角为45°
B.AC与BD所成的角为90°
C.BC与平面ACD所成角的正弦值为
D.平面ABC与平面BCD的夹角的正切值是
6.已知正方体的棱长为1，E,F分别为线段，上的动点，则下列结论正确的是( )
A.平面
B.平面平面
C.点F到平面的距离为定值
D.直线AE与平面所成角的正弦值为定值
7.如图,已知E是棱长为2的正方体的棱BC的中点,F是棱的中点,设点D到平面的距离为d,直线DE与平面所成的角为，平面与平面AED的夹角为,则下列说法正确的有( )
A.平面 B. C. D.
8.已知正方体的棱长为4，EF是棱AB上的一条线段，且，点Q是棱的中点，点P是棱上的动点，则下面结论中正确的是( )
A.PQ与EF一定不垂直
B.二面角的正弦值是
C.的面积是
D.点P到平面QEF的距离是常量
答案以及解析
1.答案：A
解析：设直线l与平面所成的角为，则.
2.答案：A
解析：取BC的中点O，连接OD,OA. 在三棱锥中，，平面平面ABC,O为BC的中点, .以O为坐标原点，OC所在直线为x轴，OA所在直线为y轴，OD所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，.设异面直线CM与BN所成的角为，则，异面直线CM与BN所成角的余弦值为.
3.答案：B
解析：取的中点,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,则,从而.设平面的法向量为,则,即,令,则,为平面的一个法向量.故点到平面的距离.
4.答案：C
解析：平面ABCD,平面ABCD,.,
,平面PAB.平面PAB，，
线段PB的长为点P到直线BC的距离.由已知，可得在
中，，又，.故选C.
5.答案：BCD
解析：取BD的中点O，连接AO,CO.
若将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则,,，
以O为原点，OC所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OA所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
设，则，，，，
，，
，
AD与BC所成的角为60°，故A不正确；
易得，，
，，故B正确；
设平面ACD的一个法向量为，
则取，则，
，
设BC与平面ACD所成的角为，
，故C正确；
易知平面BCD的一个法向量，
，，
设平面ABC的一个法向量为，
则取，则，
，，
设平面ABC与平面BCD的夹角为，
则，
，，
平面ABC与平面BCD所成角的正切值是，故D正确.故选BCD.
6.答案：ABC
解析：以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，
由题意知，，，，，，，，，则，，
设，，,
则，
.
设，，，则.
对于A，, , ,
, ,
又AC,平面，，
平面，故A正确；
对于B，，，，
，，
又，平面，，
平面，
又平面，
平面平面，故B正确；
对于C，平面，为平面的一个法向量，
，点F到平面的距离，为定值，故C正确；
对于D，易知平面，
是平面的一个法向量，
设直线AE与平面所成的角为，
又，
，
不是定值，故D错误.故选ABC.
7.答案：BCD
解析：以A为坐标原点，，,的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，，，，
所以，，，，，.
设平面的一个法向量为，
则即
令，则，，故.
，故不存在实数使得，即与不共线，
DF与平面不垂直，故A不正确.
，，故B正确.
，
，故C正确.
易知为平面AED的一个法向量，为锐角，
，故D正确.
故选BCD.
8.答案：BCD
解析：当P与重合时，平面，平面，
,A错;
以D为坐标原点建系，
设，，，
设平面PEF的法向量为
，
不妨设,则，，
设平面QEF的法向量为
,
不妨设，则，，
设二面角为，则
，B对；
P到EF的距离，，C对；
平面PEF就是平面，Q到平面PEF的距离是
又Q到AB的距离为定值，为定值
设P到平面QEF的距离为h，，
为定值，D对；
选BCD.

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