资源简介

14.3　因式分解
14.3.1　提公因式法
学习目标
1.了解因式分解的概念.(重点)
2.了解公因式的概念，能用提公因式法进行因式分解.(难点)
自主学习
学习任务　复习与回顾：整式的乘法
1.计算下列各式：
x(x+1)＝　　　　；(x+1)(x-1)＝　　　　.
2.思考：210能被哪些数整除？即210＝(　)×(　)×(　 )×(　).
类似地，在整式的变形中，有时需要将一个多项式写成几个整式的乘积的形式.
3.把下列多项式写成两个整式的乘积的形式：
(1)x2+x＝　　　　　　　　；
(2)x2-1＝　　　　　　　　.
4.把一个多项式化成几个　　　　的形式，像这样的式子变形叫做因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
5.谈谈你对整式乘法和因式分解的理解.
合作探究
小组合作探究下列问题：
1.你能将多项式pa+pb+pc分解因式吗？
(1)这个多项式有什么特点？
(2)你能将这个多项式分解因式吗？
(3)分解因式的依据是什么？
(4)分解后的各因式与原多项式有何关系？
2.把8a3b2-12ab3c分解因式.
3.你能总结出提公因式的方法吗？
4.把2a(b+c)-3(b+c)分解因式.
当堂达标
1.判断下列各式哪些是整式乘法？哪些是因式分解？
(1)x2-4y2＝(x+2y)(x-2y)； (2)2x(x-3y)＝2x2-6xy；
(3)(5a-1)2＝25a2-10a+1； (4)x2+4x+4＝(x+2)2；
(5)(a-3)(a+3)＝a2-9； (6)m2-4＝(m+2)(m-2)；
(7)2πR+2πr＝2π(R+r).
2.下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是 (　　)
A.(3-x)(3+x)＝9-x2
B.-3x(x+y-z)＝-3x2-3xy+3xz
C.m3-mn2＝m(m+n)(m-n)
D.4yz-2y2z+z＝2y(2z-yz)+z
3.计算2 022×2 022-2 022×2 021-2 021×2 020+ 2 021×2 021的值是(　　)
A.1 B.-1 C.4 043 D.4 040
4.已知a-2b＝-2，则4-2a+4b的值是(　　)
A.0 B.2 C.4 D.8
5.(1)分解因式：ax-ay＝　　　　；
(2)分解因式：x2-5x＝　　　　；
(3)分解因式：ab-a＝　　　　.
6.说出下列多项式中各项的公因式.
(1)ma+mb；(2)4kx-8ky；(3)5y3+20y2；
(4)a2b-2ab2+ab；(5)4(a+b)-2a(a+b).
7.把下列各式分解因式：
(1)7ma+14ma2；　　(2)24x3y-18x2y ；　　(3)2a(y-z)+3b(z-y)；
(4)p(a2+b2)-q(a2+b2) ；　　(5)-7ab-14abx+49aby；　　(6)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b).
反思感悟
我的收获：
　　 　　
我的易错点：
　　 　　
参考答案
当堂达标
1.整式乘法：(2)(3)(5)；因式分解：(1)(4)(6)(7).
2.C
3.C　解析：原式＝2 022(2 022-2 021)-2 021× (2 020-2 021)＝2 022×1-2 021×(-1)＝
2 022+2 021＝4 043.
4.D　解析：原式＝4-2(a-2b).
∵ a-2b＝-2，∴ 原式＝4-2×(-2)＝4+4＝8.
5. (1)a(x-y)； (2)x(x-5)；(3)a(b-1).
6. (1)m；(2)4k；(3)5y2；(4)ab；(5)2(a+b).
7. (1)7ma(1+2a)；(2)6x2y(4x-3)；
(3)(y-z)(2a-3b)；(4)(a2+b2)(p-q)；
(5)-7ab(1+2x-7y)；(6)2(2a+b)2.
14.3.2　公式法
第1课时
学习目标
1.进一步理解因式分解的意义，会运用平方差公式分解因式.(重点)
2.经历通过整式乘法逆向得出因式分解方法的过程，发展学生逆向思考问题的能力和推导能力.(难点)
3.通过分组讨论等数学活动收获数学知识，体会与他人合作的乐趣.
自主学习
学习任务一　知识回顾
1.什么是平方差公式？
2.你能利用平方差公式快速计算下列各式吗？
(1)(a+2)(a-2)；(2)(2x+3)(2x-3).
3.你能将下列多项式分解因式吗？
(1)a2-4；(2)4x2-9.
学习任务二　因式分解中的平方差公式
1.逆用乘法公式将一个多项式分解因式的过程叫做　　　　分解因式.
2.将平方差公式反过来可得　　　 　　　　　　，这个公式叫做因式分解中的平方差公式.
3.你能说出整式乘法与因式分解有何关系吗？
4.你会用文字语言表述公式a2 -b2 ＝(a+b)(a-b) 吗？
语言叙述为：　　　　.
5.观察式子：a2 -b2 ＝(a+b)(a-b)的项、指数、符号有何特点？
(1)左边特征为：　　 　　；
(2)右边特征为：　　 　　.
合作探究
小组合作探究下列问题：
1.议一议：下列多项式哪些可以用平方差公式分解因式：
(1)x2+y2；(2)x2-y2；(3)-x2+y2 ；(4)-x2-y2.
2.分解因式：(1)4x2-9；(2)(x+p)2-(x+q)2.
3.分解因式：(1)x4-y4；(2)a3b-ab.
4.在解决上述问题中应注意哪些问题？
当堂达标
1.下列各多项式中，不能用平方差公式分解因式的是(　　)
A.a2b2-1 B.4-0.25a2 C.-a2-b2 D.-x2+1
2.把多项式2x2-8分解因式，结果正确的是(　　)
A.2(x2-8) B.2(x-2)2
C.2(x+2)(x-2) D.
3.分解因式：x2-1＝　　　　.
4.分解因式：1-x2＝　　　　.
5.分解因式：x4-16＝　　　　.
6.把下列各式分解因式：
(1)x2-b2；(2)9a2-4b2；(3)x2y-4y；(4)-a4+81.
7.计算+++…+ +.
反思感悟
我的收获：
　　 　　
　　 　　
我的易错点：
　　 　　
　　 　　
参考答案
当堂达标
1.C　2.C　3.(x+1)(x-1)
4.(1+x)(1-x)　5.(x2+4)(x+2)(x-2)
6.(1)；(2)(3a+2b)(3a-2b)；
(3)y(x+2)(x-2)；(4)-(a2+9)(a+3)(a-3).
7.解：把分子利用平方差公式分解因式，得
+ ++ … ++
＝(-1)+(-1)+(-1)+…+(-1)+(-1)＝×(-1)＝-1 011.
14.3.2　公式法
第2课时
学习目标
1.会分析和判断一个多项式是否为完全平方式，初步掌握运用完全平方公式把多项式分解因式的方法.(重点)
2.理解完全平方式的意义和特点.
3.能运用十字相乘法对形如x2+px+q的二次三项式进行因式分解.
自主学习
学习任务一　知识回顾
1.什么叫做把一个多项式分解因式？我们已经学习了哪些因式分解的方法？
2.把下列各式分解因式：
(1)ax4-ax2；(2)16m4-n4.
3.我们学过的乘法公式除了平方差公式之外，还有哪些公式？请写出来.
学习任务二　完全平方式
1.你能将多项式a2+2ab+b2与a2-2ab+b2分解因式吗？
a2+2ab+b2＝　　　　　　 ；
a2-2ab+b2＝　　　　　　.
2.归纳完全平方式：　　 　　　　；
语言叙述：　　　　　 　　　　　.
这两个多项式有什么特点？
3.下列多项式是否为完全平方式？为什么？
(1)x2+6x+9；(2)x2+xy+y2；
(3)25x4-10x2+1；(4)16a2+1.
合作探究
小组合作探究下列问题：
1.分解因式：
(1)16x2+24x+9；(2)-x2+4xy-4y2.
2.分解因式：
(1)3ax2+6axy+3ay2； (2)(a+b)2-12(a+b)+36.
3.分解因式：
(1)x2-7x+10. (2)x2+3x-10.
(3)x2+11x+24. (4)x2-4x-21.
当堂达标
1.填空：
(1)x2-10x+(　　)＝(　　　　　)2；
(2)9x2+(　　)+4y2＝(　　　　　)2；
(3)1-(　　)+m2＝(　　　　　)2.
2.下列因式分解正确的是(　　)
A.3a2x2-6ax＝3(ax2-2ax) B.-x2+y2＝(-x+y)(-x-y)
C.a2+2ab+4b2＝(a+2b)2 D.-ax2+2ax-a＝-a(x-1)2
3.把多项式2x2-8x+8分解因式，结果正确的是(　　)
A.(2x-4)2 B.2(x-4)2 C.2(x-2)2 D.2(x+2)2
4.把多项式ax2-4ax-12a分解因式的结果是(　　)
A.a(x-6)(x+2) B.a(x-3)(x+4)
C.x2-4x-12 D.a(x+6)(x-2)
5.填空：(1)分解因式：m2+4m+4＝　　　　.
(2)分解因式：2x2-2x+＝　　　　.
6.把下列各式分解因式：
(1)a2-24a+144；(2)4a2b2+4ab+1；
(3)(x+y) 2-10(x+y)+25；(4)-2xy-x2-y2.
7.你知道数学中的整体思想吗？若把注意力和着眼点放在问题的整体上，多方位思考、联想、探究，进行整体思考、整体变形，从不同的方面确定解题策略，能使问题迅速解决.你能用整体思想方法把下列式子分解因式吗？
(1)(x+2y)2-2(x+2y)+1；
(2)(a+b)2-4(a+b-1).
课后提升
8.分解因式：a4b4-8a2b2+16.
9.分解因式：(x-y)2-2x+2y+1.
反思感悟
我的收获：
　　 　　
　　 　　
我的易错点：
　　 　　
　　 　　
参考答案
当堂达标
1.(1)25，x-5　(2)±12xy，3x±2y
(3)±m，1±m
2.D　3.C
4.A　解析：原式＝a(x2-4x-12)＝a(x-6)(x+2).
5.(1)(m+2)2　(2)
6. (1)(a-12)2；(2)(2ab+1)2；
(3)(x+y-5)2；(4)-(x+y)2.
7.解：(1)把(x+2y)看成一个整体，所以(x+2y)2-2(x+ 2y)+1＝(x+2y-1)2.
(2)把a+b看成一个整体，所以(a+b)2-4(a+b-1)＝(a+b)2-4(a+b)+4＝(a+b-2)2.
课后提升
8.解：a4b4-8a2b2+16＝(a2b2-4)2＝(ab+2)2(ab-2)2.
9.解：(x-y)2-2x+2y+1＝(x-y)2-2(x-y)+1＝(x-y-1)2.

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