资源简介

14.2　乘法公式
14.2.1　平方差公式
学习目标
1.理解平方差公式，能运用公式进行计算.(重点)
2.在探索平方差公式的过程中，感悟从具体到抽象地研究问题的方法，在验证平方差公式的过程中，感悟数形结合思想.
自主学习
学习任务　平方差公式
1.计算下列多项式的积.
(1)(x+1)(x-1)＝　　　　；
(2)(m+2)(m-2)＝　　　　；
(3)(2x+1)(2x-1)＝　　　　.
2.观察算式结构，你发现了什么规律？计算结果后，你又发现了什么规律？
(1)算式中每个因式都是　　　　项.
(2)算式都是两个数的　　　　与　　　　的　　　　，即两个因式中，有一项是　　　　，另一项是　　　　.
(3)计算结果后，你又发现了什么规律？计算结果都是前项的　　　　　与后项的
　　　　的差.
(4)用字母表示你的发现：　　　　.
(5)你能对发现的规律进行推导吗？
3.平方差公式用文字语言叙述为：　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　.
合作探究
小组合作探究下列问题：
1.你能根据图1中图形的面积说明平方差公式吗？
图1
(1)长方形AMHG的长和宽分别是　　　　，　　　　；面积是　　　　.
(2)如果长方形AMHG中的一部分长方形FEHG被分割下来，并补到长方形MBCD的位置，就形成多边形ABCDEF，此时多边形ABCDEF的面积是　　　　.
(3)上述两种方法表示的面积的关系是　　　　.
2.运用平方差公式计算：
(1)(3x+2)(3x-2)；(2)(-x+2y)(-x-2y).
3.计算：
(1)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)；(2)102×98.
当堂达标
1.下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是(　　)
A.(x+1)(1+x) B.(2x-5)(2x+5)
C.(-a+b)(a-b) D.(x2-y)(x+y2)
2.下列运算正确的是(　　)
A.x7÷x5＝x2 B.(xy2)2＝xy4
C.x2·x5＝x10 D.(+)(-)＝b-a
3.填空：
(1)(1+3a)(1-3a)＝　　　　.
(2)(2y-3x)(3x+2y)＝　　　　.
(3)(　　　　-4b)(　　　　+4b)＝9a2-16b2.
(4)化简(x-1)(x+1)的结果是　　　　.
4.计算：
(1)(x-3y)(-x-3y)；(2)53×47；
(3)2 0212-2 020×2 022.
5.如图2①所示，从边长为a的正方形纸片中剪去一个边长为b的小正方形，再沿着线段AB剪开，把剪成的两张纸片拼成如图2②所示的等腰梯形.
(1)设图①中阴影部分面积为S1，图②中阴影部分面积为S2，请直接用含a，b的代数式表示S1和S2；
(2)请写出上述过程所揭示的乘法公式.
图2　　　　　　　　　
6.如图3所示，小明家有一块“L”形的自留地，现在要分成两块形状、面积相同的部分，种上两种不同的蔬菜，请你来帮小明设计，并算出这块自留地的面积.
　　　　图3　　
7.(选做题)某同学化简a(a+2b)-(a+b)(a-b)出现了错误，解答过程如下：
原式＝a2+2ab-(a2-b2)(第一步)
＝a2+2ab-a2-b2(第二步)
＝2ab-b2(第三步)
(1)该同学解答过程从第　　　　步开始出错，错误原因是　　　　；
(2)写出此题正确的解答过程.
反思感悟
我的收获：
　　 　　
　　 　　
我的易错点：
　　 　　
　　 　　
参考答案
当堂达标
1.B　2.A
3.(1)1-9a2　(2)4y2-9x2
(3)3a，3a或-3a，-3a　(4)x2-1
4.解：(1)9y2-x2；(2)2 491；(3)4 041.
5.解：(1)S1＝a2-b2；
S2＝(2b+2a)(a-b)＝(a+b)(a-b).
(2)(a+b)(a-b)＝a2-b2.
6.解：连接BE(图略)，可分成形状、面积相等的两部分，
面积为(b+a)(a-b)×2＝a2-b2.
7.解：(1)二　去括号时有一项没有变号
(2)原式 ＝a2+2ab-(a2-b2)＝a2+2ab-a2+b2＝2ab+b2.
14.2.2　完全平方公式
第1课时
学习目标
1.完全平方公式的推导及其应用.(重点)
2.了解公式的几何意义.
3.熟练运用公式进行计算.(难点)
自主学习
学习任务一　知识回顾
1.合并同类项法则：　　　　　　　　　　　　.
ab+ba＝　　　　；2xy-5xy+xy＝　　　　.
2.多项式与多项式相乘的法则：　　　　.
(a+b)(m+n)＝　　　　　　　　　　.
3.根据乘方的定义，我们知道：a2＝a·a，那么(a+b)2 应该写成怎样的形式呢？
(a+b)2＝　　　　　　　　.
学习任务二　完全平方公式
1.计算下列多项式的积.
(1)(p+1)2＝(p+1)(p+1)＝　　　　　　　　　；
(2)(m+2)2＝　　　　　　　　　　　；
(3)(p-1)2＝(p-1)(p-1)＝　　　　　　；
(4)(m-2)2＝　　　　　　　.
2.观察上面四道题中等式左边的形式和最终计算出的结果，发现其中的规律：
(1)左边都是　　　　　　　　　　形式，右边都是　　　　次　　　　项式.
(2)左边第一项和右边第一项有什么关系？
(3)左边第二项与右边最后一项是什么关系？
(4)右边中间一项与左边两项的关系是什么？
(5)归纳完全平方公式：(a+b)2＝　　　　　　　；
(a-b)2＝　　　 　.
语言叙述为：　 　　　.
合作探究
小组合作探究下列问题：
1.你能根据图1和图2中图形的面积说明完全平方公式吗？
　　　
图1　　　　　　　 图2
(1)如图1所示，可以看出大正方形的边长是　　　　，面积是　　　　　；还可以看出大正方形是由　　　　个小正方形和　　　　个长方形组成的.所以大正方形的面积与这四个图形面积之和　　　　.阴影部分的正方形边长是　　　　，面积是　　　　；另一个小正方形的边长是　　　　，它的面积是　　　　；另外两个长方形的长都是　　　　，宽都是　　　　，所以每个长方形的面积都是　　　　.于是就可以得出　　　　　　　　　　，这正好符合完全平方公式.
(2)如图2所示，大正方形的边长是　　　　，它的面积是　　　　；长方形DCGE与长方形BCHF是全等图形，长都是　　　　，宽都是　　　　，所以它们的面积都是　　　　；正方形HCGM的边长是　　　　，它的面积是　　　　；正方形AFME的边长是　　　　，它的面积是　　　　.从图中可以看出正方形AFME的面积等于正方形ABCD的面积减去两个长方形DCGE和BCHF的面积，再加上正方形HCGM的面积，也就是　　　　　　，这正好符合完全平方公式.
2.运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2； (2)；
(3)(-a-b)2； (4)(b-a)2.
3.通过上面的计算，你发现：
(1)(a+b)2与(-a-b)2的关系是　　　　　.
(2)(a-b)2与(b-a)2的关系是　　　　.
(3)(a-b)2与a2-b2相等吗？
4.运用完全平方公式计算：(1)1022；(2)992.
当堂达标
1.判断正误：
(1)(b-4a)2＝b2-16a2(　　)
(2)＝a2+ab+b2(　　)
(3)(4m-n)2＝16m2-4mn+n2(　　)
(4)(-a-b)2＝a2-2ab+b2(　　)
2.在下列各式中，计算正确的是(　　)
A.(2m-n)2＝4m2-n2
B.(5x-2y)2＝25x2-10xy+2y2
C.(-a-1)2＝-a2-2a-1
D.(-a2-0.3ab)2＝a4+0.6a3b+0.09a2b2
3.化简(x-3)2-x(x-6)的结果为(　　)
A.6x-9 B.-12x+9 C.9 D.3x+9
4.运用完全平方公式计算：
(1)(y-6)2； (2)(-2y+4)2；
(3)4992； (4)2012.
5.(1)先化简，再求值：(2a+1)2- 4a(a-1)，其中a＝；
(2)先化简，再求值：(x-1)2+ x(3-x)，其中x＝-.
6.已知a+b＝5，ab＝6，求a2+b2的值.
7.(选做题)大家一定熟知杨辉三角(如图3所示)，观察下列等式：
1
1　1
1　2　1
1　3　3　1
1　4　6　4　1
…
图3
(a+b)1＝a+b；
(a+b)2＝a2+2ab+b2；
(a+b)3＝a3+3a2b+3ab2+b3；
(a+b)4＝a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
…
根据前面各式的规律，可得(a+b)5＝　　　　.
反思感悟
我的收获：
　　 　　
　　 　　
我的易错点：
　　 　　
　　 　　
参考答案
当堂达标
1.(1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.D　3.C
4.解：(1)y2-12y+36；(2)4y2-16y+16；
(3)249 001；(4)40 401.
5.解：(1)原式＝4a2+4a+1-4a2+4a＝8a+1，
当a＝时，原式＝8×+1＝2.
(2)原式＝x2-2x+1+3x-x2＝x+1，
当x＝-时，原式＝-+1＝.
6.解：∵ a+b＝5，∴ (a+b)2＝52，
∴ a2+2ab+b2＝25，∴ a2+2×6+b2＝25，
∴ a2+b2＝25-12，∴ a2+b2＝13.
7.a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5
14.2.2　完全平方公式
第2课时
学习目标
1.理解并掌握添括号法则.(重点)
2.会利用添括号法则灵活运用完全平方公式.(难点)
自主学习
学习任务一　知识回顾
1.请同学们完成下列运算并回忆去括号法则.
(1)4+(5+2)；(2)4-(5+2)；
(3)a+(b+c)；(4)a-(b-c).
去括号法则：　　 　　.
也就是说，遇“加”不变，遇“减”都变.
2.4+5+2与4+(5+2)的值相等，4-5-2与4-(5+2)的值相等.它们的不同是什么？
学习任务二　添括号法则
1.观察下列等式，等式左右两边有何区别？
(1)4+5+2＝4+(5+2)；(2)4-5-2＝4-(5+2).
区别就是：左边没括号，右边有　　　　，也就是添了　　　　.
2.根据上面的两个等式能不能总结出添括号法则呢？
添括号的法则：　　 　　.
3.你能举例说明吗？
4.请同学们利用添括号法则完成下列练习：
(1)在等号右边的括号内填上适当的项：
①a+b-c＝a+(　　)；②a-b+c＝a-(　　)；
③a-b-c＝a-(　　)；④a+b+c＝a-(　　).
(2)判断下列运算是否正确.
①2a-b-＝2a-；
②m-3n+2a-b＝m+(3n+2a-b)；
③2x-3y+2＝-(2x+3y-2)；
④a-2b-4c+5＝(a-2b)-(4c+5).
合作探究
小组合作探究下列问题：
运用乘法公式计算：
(1)(x+2y-3)(x-2y+3)；(2)(a+b+c)2；
(3)(x+3)2-x2；(4)(x+5)2-(x-2)(x-3).
当堂达标
1.在等号右边的括号内填上适当的项，并用去括号法则检验.
(1)a+b-c＝a-(　　)；(2)a-b-c＝a+(　　)；
(3)a-b+c＝a-(　　)；(4)a+b+c＝a+(　　).
2. 4张长为a、宽为b(a>b)的长方形纸片，按如图1的方式拼成一个边长为(a+b)的正方形，图中空白部分的面积为S1，阴影部分的面积为S2，若S1＝2S2，则a，b满足(　　)
A.2a＝5b 　　　B.2a＝3b
(
图
1
)C.a＝3b 　　　D.a＝2b
3.计算：(a+1)(a-1)-(a-2)2.
4.运用乘法公式计算：
(1)(a+2b-1)2；(2)(2x+y+z)(2x-y-z).
5.先化简，再求值：a(a+2b)-(a+1)2+2a，其中a＝+1，b＝-1.
6.已知3x2-x＝1，求7-9x2+3x的值.
7.(选做题)有一张边长为a厘米的正方形桌面，因为实际需要，需将正方形边长增加b厘米，木工师傅设计了如图2所示的三种方案：
　　
方案一　　　 方案二　　　方案三
图2
小明发现这三种方案都能验证公式：a2+2ab+b2＝(a+b)2，
对于方案一，小明是这样验证的：
a2+ab+ab+b2＝a2+2ab+b2＝(a+b)2.
请你根据方案二、方案三，写出公式的验证过程.
方案二：
方案三：
反思感悟
我的收获：
　　 　　
　　 　　
我的易错点：
　　 　　
　　 　　
参考答案
当堂达标
1.(1)-b+c　(2)-b-c　(3)b-c　(4)b+c
2.D　解析：∵ S1＝2S2，且S1+S2＝(a+b)2，
∴ S1＝(a+b)2，∴ ［ab+b(a+b)+(a-b)2］＝(a+b)2，
整理得a＝2b.
3.解：(a+1)(a-1)-(a-2)2＝a2-1-(a2-4a+4)
＝a2-1-a2+4a-4＝4a-5.
4.解：(1)a2+4ab+4b2-2a-4b+1；(2)4x2-y2-2yz-z2.
5.解：原式＝a2+2ab-(a2+2a+1)+2a
＝a2+2ab-a2-2a-1+2a
＝2ab-1.
当a＝+1，b＝-1时，
原式＝2(+1)(-1)-1
＝2［()2-1］-1
＝2-1＝1.
6.解：原式＝7-3(3x2-x).
把3x2-x＝1代入，得原式＝7-3＝4.
7.解：方案二：a2+ab+(a+b)b＝a2+ab+ab+b2＝a2+ 2ab +b2＝(a+b)2.
方案三：a2++
＝a2+［a+(a+b)］b＝a2+2ab+b2＝(a+b)2.

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